espacio Sobolev

En el caso unidimensional, el espacio de Sobolev${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} )}$para${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$se define como el subconjunto de funciones${\displaystyle f}$en${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$de tal manera que${\displaystyle f}$y sus derivados débiles hasta el orden${\displaystyle k}$tienen una norma L ^p finita . Como se mencionó anteriormente, se debe tener cuidado al definir las derivadas en el sentido adecuado. En el problema unidimensional es suficiente suponer que${\displaystyle (k{-}1)}$derivada -ésima${\displaystyle f^{(k-1)}}$es diferenciable casi en todas partes y es igual casi en todas partes a la integral de Lebesgue de su derivada (esto excluye ejemplos irrelevantes como la función de Cantor ).

Con esta definición, los espacios de Sobolev admiten una norma natural ,

${\displaystyle \|f\|_{k,p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\left\|f^{(i)}\right\|_{p}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int \left|f^{(i)}(t)\right|^{p}\,dt\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Esto se puede extender al caso${\displaystyle p=\infty }$, con la norma definida entonces utilizando el supremo esencial por

${\displaystyle \|f\|_{k,\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left\|f^{(i)}\right\|_{\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left({\text{ess}}\,\sup _{t}\left|f^{(i)}(t)\right|\right).}$

Equipado con la norma${\displaystyle \|\cdot \|_{k,p},W^{k,p}}$se convierte en un espacio de Banach . Resulta que basta con tomar solo el primero y el último de la secuencia, es decir, la norma definida por

${\displaystyle \left\|f^{(k)}\right\|_{p}+\|f\|_{p}}$

es equivalente a la norma anterior (es decir, las topologías inducidas de las normas son las mismas).

La transición a múltiples dimensiones trae consigo más dificultades, empezando por la propia definición. El requisito de que${\displaystyle f^{(k-1)}}$ser la integral de${\displaystyle f^{(k)}}$no se generaliza, y la solución más sencilla es considerar las derivadas en el sentido de la teoría de la distribución .

A continuación se presenta una definición formal.${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,1\leqslant p\leqslant \infty .}$El espacio Sobolev${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$se define como el conjunto de todas las funciones${\displaystyle f}$en${\displaystyle \Omega }$de tal manera que para cada índice múltiple${\displaystyle \alpha }$con${\displaystyle |\alpha |\leqslant k,}$la derivada parcial mixta

${\displaystyle f^{(\alpha )}={\frac {\partial ^{|\alpha |\!}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$

existe en el sentido débil y está en${\displaystyle L^{p}(\Omega ),}$es decir

${\displaystyle \left\|f^{(\alpha )}\right\|_{L^{p}}<\infty .}$

Es decir, el espacio Sobolev${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$se define como

${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )=\left\{u\in L^{p}(\Omega ):D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega )\,\,\forall |\alpha |\leqslant k\right\}.}$

El número natural${\displaystyle k}$se denomina orden del espacio de Sobolev${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$

Hay varias opciones para una norma para${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$Las dos siguientes son comunes y equivalentes en el sentido de equivalencia de normas :

${\displaystyle \|u\|_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&1\leqslant p<\infty$ ;\\\max _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty  ;\end{cases}}}

y

${\displaystyle \|u\|'_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}&1\leqslant p<\infty$ ;\\\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty .\end{cases}}}

Con respecto a cualquiera de estas normas,${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$es un espacio Banach. Para${\displaystyle p<\infty ,W^{k,p}(\Omega )}$También es un espacio separable . Es convencional denotar${\displaystyle W^{k,2}(\Omega )}$por${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$porque es un espacio de Hilbert con la norma${\displaystyle \|\cdot \|_{W^{k,2}(\Omega )}}$. ^{[ 1 ]}

Para un número natural k y 1 < p < ∞ se puede demostrar (usando multiplicadores de Fourier ^{[ 3 ] [ 4 ]} ) que el espacio${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$puede definirse de forma equivalente como

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})=H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}):={\Big \{}f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}){\Big \}},}$

con la norma

${\displaystyle \|f\|_{H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}:=\left\|{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}.}$

Esto motiva los espacios de Sobolev con orden no entero, ya que en la definición anterior podemos reemplazar k por cualquier número real s . Los espacios resultantes

${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}\left[{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\right\}}$

Se denominan espacios potenciales de Bessel ^{[ 5 ]} (nombrados en honor a Friedrich Bessel ). Son espacios de Banach en general y espacios de Hilbert en el caso especial p = 2.

Para${\displaystyle s\geq 0,H^{s,p}(\Omega )}$es el conjunto de restricciones de funciones de${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$a Ω equipado con la norma

${\displaystyle \|f\|_{H^{s,p}(\Omega )}:=\inf \left\{\|g\|_{H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}:g\in H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),g|_{\Omega }=f\right\}.}$

Nuevamente, H ^s,p (Ω) es un espacio de Banach y en el caso p = 2 un espacio de Hilbert.

Utilizando teoremas de extensión para espacios de Sobolev, se puede demostrar que también W ^k,p (Ω) = H ^k,p (Ω) se cumple en el sentido de normas equivalentes, si Ω a es un dominio con frontera uniforme C ^k , k a un número natural y 1 < p < ∞ . Mediante las inmersiones

${\displaystyle H^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1}$

los espacios potenciales de Bessel${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$forman una escala continua entre los espacios de Sobolev${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$Desde un punto de vista abstracto, los espacios potenciales de Bessel aparecen como espacios de interpolación complejos de espacios de Sobolev, es decir, en el sentido de normas equivalentes se cumple que

${\displaystyle \left[W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),W^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\right]_{\theta }=H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

dónde:

${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty ,\ 0<\theta <1,\ s=(1-\theta )k+\theta (k+1)=k+\theta .}$

Otro enfoque para definir espacios de Sobolev de orden fraccionario surge de la idea de generalizar la condición de Hölder al entorno L ^p . ^{[ 6 ]} Para${\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,\theta \in (0,1)}$y${\displaystyle f\in L^{p}(\Omega ),}$La seminorma de Slobodeckij (aproximadamente análoga a la seminorma de Hölder) se define por

${\displaystyle [f]_{\theta ,p,\Omega }:=\left(\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{\theta p+n}}}\;dx\;dy\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Sea s > 0 un número que no es entero y establezcamos${\displaystyle \theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)}$. Utilizando la misma idea que para los espacios de Hölder , el espacio de Sobolev-Slobodeckij ^{[ 7 ]}${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$se define como

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega ):=\left\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }<\infty \right\}.}$

Es un espacio Banach para la norma.

${\displaystyle \|f\|_{W^{s,p}(\Omega )}:=\|f\|_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega )}+\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }.}$

Si${\displaystyle \Omega }$es suficientemente regular en el sentido de que existen ciertos operadores de extensión, entonces también los espacios de Sobolev-Slobodeckij forman una escala de espacios de Banach, es decir, se tienen las inyecciones o incrustaciones continuas.

${\displaystyle W^{k+1,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s',p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{k,p}(\Omega ),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1.}$

Existen ejemplos de Ω irregulares tales que${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ni siquiera es un subespacio vectorial de${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$para 0 < s < 1 (véase el Ejemplo 9.1 de ^{[ 8 ]} )

Desde un punto de vista abstracto, los espacios${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$coinciden con los espacios de interpolación reales de los espacios de Sobolev, es decir, en el sentido de normas equivalentes se cumple lo siguiente:

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )=\left(W^{k,p}(\Omega ),W^{k+1,p}(\Omega )\right)_{\theta ,p},\quad k\in \mathbb {N} ,s\in (k,k+1),\theta =s-\lfloor s\rfloor .}$

Los espacios de Sobolev-Slobodeckij desempeñan un papel importante en el estudio de las trazas de las funciones de Sobolev. Son casos especiales de los espacios de Besov . ^{[ 4 ]}

La constante que surge en la caracterización del espacio de Sobolev fraccionario${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$puede caracterizarse mediante la fórmula de Bourgain-Brezis-Mironescu:

${\displaystyle \lim _{s\nearrow 1}\;(1-s)\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{sp+n}}}\;dx\;dy={\frac {2\pi ^{\frac {n-1}{2}}\Gamma ({\frac {p+1}{2}})}{p\Gamma ({\frac {p+n}{2}})}}\int _{\Omega }\vert \nabla f\vert ^{p};}$

y la condición

${\displaystyle \limsup _{s\nearrow 1}\;(1-s)\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{sp+n}}}\;dx\;dy<\infty }$

caracteriza esas funciones de${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$que se encuentran en el espacio de Sobolev de primer orden${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$. ^{[ 9 ]}

Los operadores de extensión son la forma más natural de definir${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$para s no enteros (no podemos trabajar directamente en${\displaystyle \Omega }$ya que tomar la transformada de Fourier es una operación global). Definimos${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$al decir que${\displaystyle u\in H^{s}(\Omega )}$si y solo si${\displaystyle Au\in H^{s}(\mathbb {R} ^{n}).}$De forma equivalente, la interpolación compleja produce el mismo resultado.${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$espacios siempre y cuando${\displaystyle \Omega }$tiene un operador de extensión. Si${\displaystyle \Omega }$no tiene un operador de extensión, la interpolación compleja es la única forma de obtenerlo.${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$espacios.

En consecuencia, la desigualdad de interpolación sigue siendo válida.

Como arriba , definimos${\displaystyle H_{0}^{s}(\Omega )}$ser el cierre en${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$del espacio${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$de funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto. Dada la definición de traza, arriba, podemos afirmar lo siguiente:

Si${\displaystyle u\in H_{0}^{s}(\Omega )}$podemos definir su extensión por cero${\displaystyle {\tilde {u}}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$de forma natural, es decir

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)={\begin{cases}u(x)&x\in \Omega \\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

Para f ∈ L ^p (Ω) su extensión por cero,

${\displaystyle Ef:={\begin{cases}f&{\textrm {on}}\ \Omega ,\\0&{\textrm {otherwise}}\end{cases}}}$

es un elemento de${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n}).}$Además,

${\displaystyle \|Ef\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}=\|f\|_{L^{p}(\Omega )}.}$

En el caso del espacio de Sobolev W ^1,p (Ω) para 1 ≤ p ≤ ∞ , extender una función u por cero no necesariamente producirá un elemento de${\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$Pero si Ω está acotado con frontera de Lipschitz (por ejemplo, ∂Ω es C ¹ ), entonces para cualquier conjunto abierto acotado O tal que Ω⊂⊂O (es decir, Ω está contenido de forma compacta en O), existe un operador lineal acotado ^{[ 2 ].}

${\displaystyle E:W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

de tal manera que para cada${\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega ):Eu=u}$ae en Ω, Eu tiene soporte compacto dentro de O, y existe una constante C que depende solo de p , Ω, O y la dimensión n , tal que

${\displaystyle \|Eu\|_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}\leqslant C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}.}$

Nosotros llamamos${\displaystyle Eu}$una extensión de${\displaystyle u}$a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$