Número de Betti

En topología algebraica , los números de Betti se utilizan para distinguir espacios topológicos en función de la conectividad de complejos simpliciales n- dimensionales . Para los espacios de dimensión finita más razonables (como variedades compactas , complejos simpliciales finitos o complejos CW ), la secuencia de números de Betti es 0 a partir de cierto punto (los números de Betti se anulan por encima de la dimensión de un espacio) y todos ellos son finitos.

El n -ésimo número de Betti representa el rango del n -ésimo grupo de homología , denotado H _n , que nos indica el número máximo de cortes que se pueden realizar antes de separar una superficie en dos piezas o ciclos de 0, ciclos de 1, etc. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, si${\displaystyle H_{n}(X)\cong 0}$entonces${\displaystyle b_{n}(X)=0}$, si${\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} }$entonces${\displaystyle b_{n}(X)=1}$, si${\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$entonces${\displaystyle b_{n}(X)=2}$, si${\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$entonces${\displaystyle b_{n}(X)=3}$, etc. Tenga en cuenta que solo se consideran los rangos de grupos infinitos, por lo que, por ejemplo, si ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} ^{k}\oplus \mathbb {Z} /(2)}$, dónde${\displaystyle \mathbb {Z} /(2)}$es el grupo cíclico finito de orden 2, entonces${\displaystyle b_{n}(X)=k}$. Estos componentes finitos de los grupos de homología son sus subgrupos de torsión , y se denotan por coeficientes de torsión .

El término «número de Betti» fue acuñado por Henri Poincaré en honor a Enrico Betti . La formulación moderna se debe a Emmy Noether . Los números de Betti se utilizan hoy en día en campos como la homología simplicial , la informática y las imágenes digitales .

De manera informal, el k -ésimo número de Betti se refiere al número de agujeros k -dimensionales en una superficie topológica. Un " agujero k -dimensional " es un ciclo k -dimensional que no es un límite de un objeto ( k +1)-dimensional.

Los primeros números de Betti tienen las siguientes definiciones para complejos simpliciales de 0, 1 y 2 dimensiones :

• b ₀ es el número de componentes conectadas;
• b ₁ es el número de agujeros unidimensionales o "circulares";
• b ₂ es el número de "vacíos" o "cavidades" bidimensionales.

Así, por ejemplo, un toro tiene un componente de superficie conectado, por lo que b ₀ = 1, dos agujeros "circulares" (uno ecuatorial y otro meridional ), por lo que b ₁ = 2, y una única cavidad encerrada dentro de la superficie, por lo que b ₂ = 1.

Otra interpretación de b _k es el número máximo de curvas k -dimensionales que se pueden eliminar mientras el objeto permanece conectado. Por ejemplo, el toro permanece conectado después de eliminar dos curvas unidimensionales (ecuatorial y meridional), por lo que b ₁ = 2. ^{[ 2 ]}

Los números de Betti bidimensionales son más fáciles de entender porque podemos ver el mundo en 0, 1, 2 y 3 dimensiones.

Para un entero no negativo k , el k -ésimo número de Betti b _k ( X ) del espacio X se define como el rango (número de generadores linealmente independientes) del grupo abeliano H _k ( X ), el k -ésimo grupo de homología de X . El k -ésimo grupo de homología es  ${\displaystyle H_{k}=\ker \delta _{k}/\operatorname {Im} \delta _{k+1}}$, el${\displaystyle \delta _{k}}$s son los mapas frontera del complejo simplicial y el rango de H _k es el k -ésimo número de Betti. De forma equivalente, se puede definir como la dimensión del espacio vectorial de H _k ( X ; Q ) ya que el grupo de homología en este caso es un espacio vectorial sobre Q . El teorema del coeficiente universal , en un caso muy simple sin torsión, muestra que estas definiciones son idénticas.  

De manera más general, dado un campo F se puede definir b _k ( X , F ), el k ésimo número de Betti con coeficientes en F , como la dimensión del espacio vectorial de H _k ( X , F ).  

El polinomio de Poincaré de una superficie se define como la función generatriz de sus números de Betti. Por ejemplo, los números de Betti del toro son 1, 2 y 1; por lo tanto, su polinomio de Poincaré es${\displaystyle 1+2x+x^{2}}$La misma definición se aplica a cualquier espacio topológico que tenga una homología finitamente generada.

Dado un espacio topológico que tiene una homología finitamente generada, el polinomio de Poincaré se define como la función generadora de sus números de Betti, a través del polinomio donde el coeficiente de${\displaystyle x^{n}}$es${\displaystyle b_{n}}$.

1. La secuencia numérica de Betti para un círculo es 1, 1, 0, 0, 0, ...;

   El polinomio de Poincaré es

   ${\displaystyle 1+x\,}$.

2. La secuencia de números de Betti para un toro tridimensional es 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ... .

   El polinomio de Poincaré es

   ${\displaystyle (1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}\,}$.

3. De manera similar, para un n - toro ,

   El polinomio de Poincaré es

   ${\displaystyle (1+x)^{n}\,}$(por el teorema de Künneth ), por lo que los números de Betti son los coeficientes binomiales .

Es posible que los espacios que son esencialmente de dimensión infinita tengan una secuencia infinita de números de Betti distintos de cero. Un ejemplo es el espacio proyectivo complejo de dimensión infinita , con la secuencia 1, 0, 1, 0, 1, ... que es periódica, con un período de longitud 2. En este caso, la función de Poincaré no es un polinomio, sino una serie infinita.

${\displaystyle 1+x^{2}+x^{4}+\dotsb }$,

que, al ser una serie geométrica, puede expresarse como la función racional

${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}.}$

De forma más general, cualquier secuencia periódica puede expresarse como una suma de series geométricas, generalizando lo anterior. Por ejemplo${\displaystyle a,b,c,a,b,c,\dots ,}$tiene la función generadora

${\displaystyle \left(a+bx+cx^{2}\right)/\left(1-x^{3}\right)\,}$

y, de forma más general, las secuencias recursivas lineales son precisamente las secuencias generadas por funciones racionales ; por lo tanto, la serie de Poincaré se puede expresar como una función racional si y solo si la secuencia de números de Betti es una secuencia recursiva lineal.

Los polinomios de Poincaré de los grupos de Lie simples compactos son:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{SU(n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{5}\right)\cdots \left(1+x^{2n+1}\right)\\P_{SO(2n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{Sp(n)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{SO(2n)}(x)&=\left(1+x^{2n-1}\right)\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-5}\right)\\P_{G_{2}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\\P_{F_{4}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{23}\right)\\P_{E_{6}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{9}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{17}\right)\left(1+x^{23}\right)\\P_{E_{7}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{19}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\\P_{E_{8}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\left(1+x^{39}\right)\left(1+x^{47}\right)\left(1+x^{59}\right)\end{aligned}}}$

En situaciones geométricas cuando${\displaystyle X}$es una variedad cerrada , la importancia de los números de Betti puede surgir de una dirección diferente, a saber, que predicen las dimensiones de los espacios vectoriales de formas diferenciales cerradas módulo formas diferenciales exactas . La conexión con la definición dada anteriormente se realiza a través de tres resultados básicos, el teorema de De Rham y la dualidad de Poincaré (cuando se aplican), y el teorema del coeficiente universal de la teoría de homología .

Existe una interpretación alternativa, según la cual los números de Betti dan las dimensiones de los espacios de formas armónicas . Esto requiere el uso de algunos de los resultados de la teoría de Hodge sobre el laplaciano de Hodge .

En este contexto, la teoría de Morse proporciona un conjunto de desigualdades para sumas alternadas de números de Betti en términos de una suma alternada correspondiente del número de puntos críticos.${\displaystyle N_{i}}$de una función Morse de un índice dado :

${\displaystyle b_{i}(X)-b_{i-1}(X)+\cdots \leq N_{i}-N_{i-1}+\cdots .}$

Edward Witten dio una explicación de estas desigualdades utilizando la función de Morse para modificar la derivada exterior en el complejo de De Rham . ^{[ 5 ]}

• Análisis de datos topológicos
• Característica de Euler

• Warner, Frank Wilson (1983), Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-90894-3.
• Roe, John (1998), Operadores elípticos, topología y métodos asintóticos , Serie Notas de investigación en matemáticas, vol.  395 (Segunda  edición), Boca Raton, FL: Chapman and Hall, ISBN 0-582-32502-1.