Grupo octaédrico binario

En matemáticas , el grupo octaédrico binario , denominado 2O o ⟨2,3,4⟩ ^[1], es un grupo no abeliano de orden 48. Es una extensión del grupo octaédrico quiral O o (2,3,4) de orden 24 por un grupo cíclico de orden 2, y es la preimagen del grupo octaédrico bajo el homomorfismo de cobertura 2:1 del grupo ortogonal especial por el grupo de espín . De ello se deduce que el grupo octaédrico binario es un subgrupo discreto de Spin(3) de orden 48. ${\displaystyle \operatorname {Giro} (3)\to \operatorname {SO} (3)}$

El grupo octaédrico binario se describe más fácilmente de manera concreta como un subgrupo discreto de los cuaterniones unitarios , bajo el isomorfismo donde Sp(1) es el grupo multiplicativo de los cuaterniones unitarios. (Para una descripción de este homomorfismo, consulte el artículo sobre cuaterniones y rotaciones espaciales ). ${\displaystyle \operatorname {Giro} (3)\cong \operatorname {Espín} (1)}$

Explícitamente, el grupo octaédrico binario se da como la unión de las 24 unidades de Hurwitz.

${\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,{\frac {1}{2}}(\pm 1\pm i\pm j\pm k)\}}$

con los 24 cuaterniones obtenidos de

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\pm 1\pm 1i+0j+0k)}$

por una permutación de coordenadas y todas las combinaciones de signos posibles. Los 48 elementos tienen valor absoluto 1 y, por lo tanto, se encuentran en el grupo de cuaterniones unidad Sp(1).

El grupo octaédrico binario, denotado por 2 O , encaja en la secuencia exacta corta

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to 2O\to O\to 1.\,}$

Esta secuencia no se divide , lo que significa que 2 O no es un producto semidirecto de {±1} por O. De hecho, no existe ningún subgrupo de 2 O isomorfo a O.

El centro de 2 O es el subgrupo {±1}, de modo que el grupo de automorfismo interno es isomorfo a O . El grupo de automorfismo completo es isomorfo a O × Z ₂ .

El grupo 2 O tiene una presentación a cargo de

${\displaystyle \langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{4}=rst\rangle }$

o equivalentemente,

${\displaystyle \langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{4}\rangle .}$

Los generadores de cuaterniones con estas relaciones se dan por

${\displaystyle r={\frac {1}{\sqrt {2}}}(i+j)\qquad s={\frac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i),}$

con${\displaystyle r^{2}=s^{3}=t^{4}=rst=-1.}$

El grupo tetraédrico binario , 2 T , formado por las 24 unidades de Hurwitz , forma un subgrupo normal de índice 2. El grupo cuaternionario , Q 8 , formado por las 8 unidades de Lipschitz forma un subgrupo normal de 2 O de índice 6. El grupo cociente es isomorfo a S ₃ (el grupo simétrico de 3 letras). Estos dos grupos, junto con el centro {±1}, son los únicos subgrupos normales no triviales de 2 O .

El grupo de cuaterniones generalizado , Q 16, también forma un subgrupo de 2 O , índice 3. Este subgrupo es autonormalizante, por lo que su clase de conjugación tiene 3 miembros. También existen copias isomorfas de los grupos diedros binarios Q 8 y Q 12 en 2 O .

Todos los demás subgrupos son grupos cíclicos generados por los distintos elementos (con órdenes 3, 4, 6 y 8). ^[2]

El grupo octaédrico binario se generaliza a dimensiones superiores: así como el octaedro se generaliza al ortoplex , el grupo octaédrico en SO(3) se generaliza al grupo hiperoctaédrico en SO( n ), que tiene una cubierta binaria bajo la función${\displaystyle \operatorname {Espín} (n)\to SO(n).}$

• Grupo poliédrico binario
• grupo cíclico binario , ⟨ n ⟩, índice 2 n
• grupo diedro binario , ⟨2,2, n ⟩, índice 4 n
• grupo tetraédrico binario , 2T=⟨2,3,3⟩, índice 24
• grupo icosaédrico binario , 2I=⟨2,3,5⟩, índice 120

• Coxeter, HSM y Moser, WOJ (1980). Generadores y relaciones para grupos discretos, 4.ª edición . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
• Conway, John H .; Smith, Derek A. (2003). Sobre cuaterniones y octoniones . Natick, Massachusetts: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9.