Grupo simpléctico

En matemáticas , el grupo simpléctico es el grupo de transformaciones lineales que preservan la estructura geométrica del espacio de fases , el espacio de variables de posición y momento utilizado en la mecánica clásica . Se define como el grupo de cambios lineales de coordenadas en el espacio de fases que preservan la forma simpléctica .

Los grupos simplécticos se suelen denotar $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )$ , dónde $n$ es un número entero positivo y $\mathbb {F}$ es un campo , a menudo los números reales o los números complejos . Se encuentran entre las cuatro familias de grupos clásicos y juegan un papel central en la geometría simpléctica , la mecánica hamiltoniana y la teoría de la representación . Una familia relacionada pero diferente es el grupo simpléctico compacto , generalmente denotado $\operatorname {Sp} (n)$ o $\mathrm {USp} (n)$ .

Terminología y notación

El término "simpléctico" fue introducido por Hermann Weyl para reemplazar términos más antiguos como " grupo complejo de líneas ". Su intención era que fuera un análogo de origen griego de la palabra " complejo ".

La notación $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )$ generalmente denota el grupo simpléctico de un $2n$ espacio vectorial simpléctico de dimensión sobre un campo $\mathbb {F}$ . Una familia relacionada pero diferente es el grupo simpléctico compacto , denotado $\operatorname {Sp} (n)$ o $\mathrm {USp} (n)$ , que es la forma real compacta del grupo simpléctico complejo.

Muchos autores utilizan notaciones ligeramente diferentes, que a menudo difieren por factores de $2$ . En la clasificación de Cartan , el álgebra de Lie de $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )$ tiene tipo $C_{n}$ .

$Sp(2 n, F)$

El grupo simpléctico es un grupo clásico definido como el conjunto de transformaciones lineales de un $2n$ espacio vectorial de dimensión sobre el campo $\mathbb {F}$ que preservan una forma bilineal antisimétrica no degenerada . Dicho espacio vectorial se llama espacio vectorial simpléctico , y el grupo simpléctico de un espacio vectorial simpléctico abstracto. $V$ se denota $\operatorname {Sp} (V)$ . Al fijar una base para $V$ , la forma simpléctica está representada por una matriz antisimétrica no singular $J$ , y $\operatorname {Sp} (V)$ se identifica con el grupo de $2n\times 2n$ matrices sobre $\mathbb {F}$ satisfactorio

$\{M\in M_{2n\times 2n}(\mathbb {F} ):M^{\mathrm {T} }JM=J\}.$

Este grupo de matrices se denota $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )$ o $\operatorname {Sp} (n,\mathbb {F} )$ , aunque la notación depende de la convención que se utilice. Aquí $M^{T}$ denota la transpuesta de $M$ .

En una base arbitraria, la matriz $J$ No es necesario que tenga una forma particular. Sin embargo, se puede elegir una base simpléctica , en la que la forma está representada por la matriz estándar.

$\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}},$

dónde $I_{n}$ es la matriz identidad. En tal base,

$\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )=\{M\in M_{2n\times 2n}(\mathbb {F} ):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \}.$

En este caso, $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )$ se pueden expresar como esas matrices de bloques $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$ , dónde $A,B,C,D\in M_{n\times n}(\mathbb {F} )$ , satisfaciendo las tres ecuaciones:

${\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}$

Dado que todas las matrices simplécticas tienen determinante $1$ , el grupo simpléctico es un subgrupo del grupo lineal especial $\operatorname {SL} (2n,\mathbb {F} )$ . Cuando $n=1$ , la condición simpléctica en una matriz se satisface si y solo si el determinante es uno, de modo que $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {F} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {F} )$ . Para $n>1$ , existen condiciones adicionales, es decir $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )$ es entonces un subgrupo propio de $\operatorname {SL} (2n,\mathbb {F} )$ .

Por lo general, el campo $\mathbb {F}$ es el campo de los números reales $\mathbb {R}$ o números complejos $\mathbb {C}$ En estos casos $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )$ es un grupo de Lie real o complejo de dimensión real o compleja $n(2n+1)$ , respectivamente. Estos grupos están conectados pero no son compactos .

El centro de $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )$ consta de las matrices $I_{2n}$ y $-I_{2n}$ siempre y cuando la característica del campo no sea $2$ . ^{[ 1 ]} Dado que el centro de $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )$ es discreto y su cociente módulo el centro es un grupo simple , $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )$ se considera un grupo de Lie simple .

El rango real del álgebra de Lie correspondiente y, por lo tanto, del grupo de Lie. $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )$ , es $n$ .

El álgebra de Lie de $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )$ es el conjunto

${\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},$

equipado con el conmutador como su corchete de Lie. ^{[ 2 ]} Para la forma bilineal antisimétrica estándar $\Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})$ , esta álgebra de Lie es el conjunto de todas las matrices de bloques $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$ sujeto a las condiciones

{\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}

$Sp(2 n, C)$

El grupo simpléctico sobre el cuerpo de los números complejos es un grupo de Lie simple , no compacto y simplemente conexo . La definición de este grupo no incluye conjugados (contrariamente a lo que se podría esperar ingenuamente), sino que es exactamente la misma que la definición salvo por el cambio de cuerpo. ^[³^]

$Sp(2 n, R)$

$\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ es un grupo de Lie simple, real, no compacto y conexo de dimensión $n(2n+1)$ . ^{[ 4 ]} Tiene un grupo fundamental isomorfo a los enteros bajo la suma. ^{[ 5 ]} Como la forma real de un álgebra de Lie compleja simple, su álgebra de Lie es la forma real escindida de ${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )$ . ^{[ 4 ]}

El mapa exponencial de ${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )$ a $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ no es sobreyectiva. ^{[ 6 ]}

Por cada $S$ en $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ , uno tiene una descomposición de Cartan/polar ^{[ 4 ]}^{[ 7 ]} $S=OZO'$ con $O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong \operatorname {U} (n)$ y $Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}$ . Como un colector, $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ es difeomorfo a $\operatorname {U} (n)$ veces un espacio vectorial de dimensión $n(n+1)$ . ^{[ 4 ]}

Generadores

generadores infinitesimales

Los miembros del álgebra de Lie simpléctica ${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {F} )$ son las matrices hamiltonianas .

Estas son matrices, $Q$ de tal manera que $Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}$ dónde $B$ y $C$ son matrices simétricas . Véase el grupo clásico para una derivación.

Generación por transvecciones

El grupo simpléctico se genera mediante sus transvecciones simplécticas . Más precisamente, si $(V,J)$ es un espacio vectorial simpléctico de dimensión finita sobre $\mathbb {F}$ , entonces ${\mathrm {Sp} (V,\omega )}$ se genera mediante las transformaciones $T_{v,\lambda }(x)=x+\lambda \,(x^{T}Jv)\,v,$ dónde $v\in V$ y $\lambda \in \mathbb {F}$ Esto forma parte de la teoría estructural de los grupos clásicos y aparece en una forma temprana en la obra de Dieudonné; véanse también los tratamientos posteriores dedicados específicamente a las transvecciones simplécticas y los subgrupos que generan. ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

Generación por involuciones

El grupo simpléctico $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )$ pueden generarse mediante transformaciones lineales $A:V\to V$ del espacio vectorial simpléctico $(V,J)$ de tal manera que $A^{2}=I$ y $A^{T}JA=-J$ . ^{[ 8 ]}^{[ 10 ]}

Ejemplo de matrices simplécticas

Para $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {R} )$ , el grupo de $2\times 2$ matrices con determinante $1$ , los tres simplécticos $(0,1)$ Las matrices son: ^{[ 11 ]} ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.$

Sp(2n, R)

Resulta que $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ puede tener una descripción bastante explícita usando generadores. Si dejamos $\operatorname {Sym} (n)$ denotamos lo simétrico $n\times n$ matrices, entonces $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ es generado por $D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},$ dónde ${\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}$ son subgrupos de $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ . ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

Relación con la geometría simpléctica

La geometría simpléctica es el estudio de las variedades simplécticas . El espacio tangente en cualquier punto de una variedad simpléctica es un espacio vectorial simpléctico . ^{[ 14 ]} Como se mencionó anteriormente, las transformaciones que preservan la estructura de un espacio vectorial simpléctico forman un grupo y este grupo es $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )$ , dependiendo de la dimensión del espacio y del campo sobre el que se define.

Un espacio vectorial simpléctico es, en sí mismo, una variedad simpléctica. Por lo tanto, una transformación bajo la acción del grupo simpléctico es, en cierto sentido, una versión linealizada de un simplectomorfismo , que es una transformación más general que preserva la estructura en una variedad simpléctica.

$Sp(n)$

El grupo simpléctico compacto ^{[ 15 ]} $\operatorname {Sp} (n)$ es la intersección de $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )$ con el $2n\times 2n$ grupo unitario:

\operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbb {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbb {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).

A veces se escribe como $\operatorname {USp} (2n)$ Alternativamente, $\operatorname {Sp} (n)$ puede describirse como el subgrupo de $\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )$ ( matrices cuaterniónicas invertibles) que conserva la forma hermitiana estándar en $\mathbb {H} ^{n}$ :

\langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.

Eso es, $\operatorname {Sp} (n)$ es simplemente el grupo unitario cuaterniónico , $\operatorname {U} (n,\mathbb {H} )$ . ^{[ 16 ]} De hecho, a veces se le llama grupo hiperunitario . También $\operatorname {Sp} (1)$ es el grupo de cuaterniones de norma $1$ , equivalente a $SU(2)$ y topológicamente una $3$ -esfera ${\mathcal {S}}^{3}$ .

Tenga en cuenta que $\operatorname {Sp} (n)$ no es un grupo simpléctico en el sentido de la sección anterior ; no conserva una simetría antisimétrica no degenerada. $\mathbb {H}$ -forma bilineal en $\mathbb {H} ^{n}$ : no existe tal forma excepto la forma cero. Más bien, es isomorfo a un subgrupo de $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )$ y, por lo tanto, conserva una forma simpléctica compleja en un espacio vectorial de doble dimensión. Como se explica a continuación, el álgebra de Lie de $\operatorname {Sp} (n)$ es la forma real compacta del álgebra de Lie simpléctica compleja ${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )$ .

$\operatorname {Sp} (n)$ es un grupo de Lie real con dimensión (real) $n(2n+1)$ Es compacto y de conexión sencilla . ^{[ 17 ]}

El álgebra de Lie de $\operatorname {Sp} (n)$ está dado por las matrices antihermíticas cuaterniónicas , el conjunto de $n\times n$ matrices cuaterniónicas que satisfacen

A+A^{\dagger }=0

dónde $A^{\dagger }$ es la transpuesta conjugada de $A$ (Aquí se toma el conjugado cuaterniónico). El corchete de Lie viene dado por el conmutador.

Subgrupos importantes

Algunos subgrupos principales son:

\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)

\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {U} (n)

\operatorname {Sp} (2)\supset \operatorname {O} (4)

Por el contrario, es en sí mismo un subgrupo de otros grupos:

\operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)

\operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)

\operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)

También existen los isomorfismos de las álgebras de Lie. ${\mathfrak {sp}}(2)={\mathfrak {so}}(5)$ y ${\mathfrak {sp}}(1)={\mathfrak {so}}(3)={\mathfrak {su}}(2)$ .

El grupo simpléctico unitario $\operatorname {USp} (n)$ se puede representar en términos de un álgebra de Clifford definida como un producto tensorial de álgebras de cuaterniones llamadas números hipercuaterniones. Uno tiene, $\mathbb {H} ^{\otimes 2}=\mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} =M_{4\times 4}(\mathbb {R} )=Cl_{3,1}\mathbb {(R)}$ . Por eso, $\mathbb {H} ^{\otimes 3}=M_{4\times 4}(\mathbb {H} )$ implica el grupo simpléctico compacto $\operatorname {USp} (4)$ . ^{[ 18 ]}

$Sp(2 n, Z)$

El grupo simpléctico integral $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )$ es el subgrupo de $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ que consiste en matrices con entradas enteras. Equivalentemente, es el grupo de $2n\times 2n$ Matrices enteras que conservan la forma simpléctica estándar:

\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )=\{M\in M_{2n}(\mathbb {Z} ):M^{\mathrm {T} }JM=J\},

dónde

J={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.

Para $n=1$ Este grupo coincide con el grupo modular. $\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$ .

El grupo $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )$ actúa sobre el semiplano superior de Siegel , el espacio de complejos simétricos $n\times n$ matrices con parte imaginaria definida positiva, mediante transformaciones lineales fraccionarias

\gamma \cdot \tau =(A\tau +B)(C\tau +D)^{-1},\qquad \gamma ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} ).

Por esta razón, $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )$ También se le llama grupo modular de Siegel de grado $n$ .

Sus subgrupos de congruencia , como el subgrupo de congruencia principal.

\Gamma _{n}(m)=\{\gamma \in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} ):\gamma \equiv I_{2n}{\pmod {m}}\},

desempeñan un papel central en la teoría de las formas modulares de Siegel . El cociente del semiespacio superior de Siegel por $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )$ es el espacio de módulos de variedades abelianas polarizadas principalmente de dimensión $n$ y los cocientes por subgrupos de congruencia corresponden a la adición de estructura de nivel.

En geometría aritmética también se estudian otros subgrupos aritméticos del grupo simpléctico, como los grupos paramodulares .

Relación entre los grupos simplécticos

Toda álgebra de Lie compleja y semisimple tiene una forma real escindida y una forma real compacta ; la primera se denomina complejización de las dos últimas.

El álgebra de Lie de $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )$ es semisimple y se denota ${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )$ Su forma real dividida es ${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )$ y su forma real compacta es ${\mathfrak {sp}}(n)$ Estos corresponden a los grupos de Lie. $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ y $\operatorname {Sp} (n)$ respectivamente.

Las álgebras, ${\mathfrak {sp}}(p,n-p)$ , que son las álgebras de Lie de $\operatorname {Sp} (p,n-p)$ , son la signatura indefinida equivalente a la forma compacta.

isomorfismos accidentales

También existen varios isomorfismos accidentales , con diversos grupos de espín :

$\operatorname {Sp} (2,\mathbb {F} )\cong \operatorname {SL} (2,\mathbb {F} )$ (en características diferentes de dos), y $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {R} )\cong \operatorname {Spin} _{0}(1,2)$ Esto se debe a que el grupo lineal especial conserva automáticamente cualquier forma simpléctica en dos dimensiones.
$\operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)$
$\operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {Sp} (1)\times \operatorname {Sp} (1)$
$\operatorname {Sp} (2)\cong \operatorname {Spin} (5)$ Este isomorfismo se exhibe al identificar $\operatorname {Sp} (2)$ con el grupo de $2\times 2$ matrices cuaterniónicas $g\in M_{2}(\mathbb {H} )$ de tal manera que $g^{*}g=I$ dónde $g^{*}={\bar {g}}^{T}$ es la transpuesta conjugada de $x$ . El rastro reducido en $M_{2}(\mathbb {H} )$ es invariante bajo $\operatorname {Sp} (2)$ -conjugación y el espacio de trazas (reducidas) libres $x\in M_{2}(\mathbb {H} )$ de tal manera que $x^{*}=x$ es un espacio euclidiano pentadimensional, con forma cuadrática $\operatorname {tr} _{\mathrm {red} }(x^{2})$ .
$\operatorname {Sp} (1,1)\cong \operatorname {Spin} _{0}(1,4)$ Este isomorfismo se exhibe al identificar $\operatorname {Sp} (1,1)$ con el grupo de $2\times 2$ matrices cuaterniónicas $g\in M_{2}(\mathbb {H} )$ de tal manera que $g^{*}Kg=K$ dónde $K={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ y $g^{*}={\bar {g}}^{T}$ es la transpuesta conjugada de $x$ . La traza reducida es invariante bajo $\operatorname {Sp} (1,1)$ -conjugación y el espacio de trazas (reducidas) libres $x\in M_{2}(\mathbb {H} )$ de tal manera que $Kx^{*}K=x$ es un espacio pseudoeuclidiano pentadimensional, con forma cuadrática $\operatorname {tr} _{\mathrm {red} }(x^{2})$ , de firma $(1,4)$ .
$\operatorname {Sp} (4,\mathbb {R} )\cong \operatorname {Spin} _{0}(2,3)$ . Identificar $\operatorname {Sp} (4,\mathbb {R} )$ como subconjunto del anillo $M_{4}(\mathbb {R} )$ de $4\times 4$ matrices reales $g$ de tal manera que $gJg^{T}=J$ dónde $J={\begin{bmatrix}0&I\\-I&0\end{bmatrix}}$ (con $2\times 2$ bloques y $I$ el $2\times 2$ matriz identidad). El subespacio $V\subset M_{4}(\mathbb {R} )$ que consisten en matrices sin traza $J$ de tal manera que $x=-Jx^{T}J$ es pentadimensional, y la forma de traza define una firma. $(2,3)$ métrica pseudoeuclidiana sobre ella, que se conserva mediante la acción $x\mapsto gxg^{-1}$ de $\operatorname {Sp} (4,\mathbb {R} )$ .

Significado físico

Mecánica clásica

El verdadero grupo simpléctico $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ surge en la mecánica hamiltoniana como el grupo de transformaciones canónicas lineales del espacio de fases. En coordenadas canónicas

(q^{1},\dots ,q^{n},p_{1},\dots ,p_{n}),

Sus elementos son precisamente los cambios lineales de variables que preservan la forma simpléctica estándar, o equivalentemente el corchete de Poisson .

El álgebra de Lie ${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )$ se identifica naturalmente con hamiltonianos cuadráticos en el espacio de fases: si

H(z)={\tfrac {1}{2}}z^{\mathrm {T} }Kz,

entonces el flujo hamiltoniano correspondiente es lineal y define un subgrupo de un parámetro de $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ En este sentido, el grupo simpléctico se genera mediante hamiltonianos cuadráticos.

Mecánica cuántica y el grupo metapléctico

El grupo simpléctico actúa mediante cambios lineales de coordenadas en el espacio de fases de la mecánica clásica. Cuando se intenta aplicar las mismas transformaciones a las funciones de onda de la mecánica cuántica , se produce una ambigüedad de fase, y es necesario recurrir a un recubrimiento doble . El grupo metapléctico es un recubrimiento doble del grupo simpléctico sobre $\mathbb {R}$ (Tiene análogos en otros cuerpos locales , cuerpos finitos y anillos de adele ).

Véase también

Notas

↑ "Grupo simpléctico" , Enciclopedia de Matemáticas. Consultado el 13 de diciembre de 2014.
↑ Hall 2015 Prop. 3.25
↑ Hall 2015 , pág. 10.
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↑ Salón 2015 .
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↑ Habermann, Katharina (2006). Introducción a los operadores de Dirac simplécticos . Springer. pág. 2. ISBN 978-3-540-33421-7OCLC 262692314
↑ "Apuntes de clase – Clase 2: Reducción simpléctica" , consultado el 30 de enero de 2015.
↑ Sala 2015 Sección 1.2.8
↑ Hall 2015 pág. 14
↑ Hall 2015 Prop. 13.12
↑ Girard, PR; Clarysse, P.; Pujol, R.; Delachartre, P. (2025). "Grupos simplécticos unitarios hipercuaterniónicos: una herramienta unificadora para la física" . Advances in Applied Clifford Algebras . 35 (40). Springer. doi : 10.1007/s00006-025-01402-w .

Referencias

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[1] "Grupo simpléctico" , Enciclopedia de Matemáticas. Consultado el 13 de diciembre de 2014.

[2] Hall 2015 Prop. 3.25

[FOOTNOTEHall201510-3] Hall 2015 , pág. 10.

[Knapp2002-4] 1 2 3 4 Knapp, Anthony W. (2002). Lie Groups Beyond an Introduction (2nd ed.). Birkhäuser.

[FOOTNOTEHall2015-5] Salón 2015 .

[Djokovic1980-6] Djoković, Dragomir Ž. (1980). "Sobre el mapa exponencial en grupos de Lie clásicos". Journal of Algebra . 64 (1): 76– 88.

[Benoist2023-7] Benoist, Yves (2023). "Sobre el grupo simpléctico racional". arXiv : 2208.02549 [ math.GR ].

[Dieudonne1955-8] Dieudonné , Jean (1955). "Sur les générateurs des groupes classiques". Summa Brasiliensis Mathematicae . 3 : 149-179 .

[9] Brown, Ronald; Humphries, Stephen P. (1986). "Órbitas bajo transvecciones simplécticas. I". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 3. 52 (3): 517– 531. doi : 10.1112/plms/s3-52.3.517 .

[10] Wonenburger, Anna (1966). "Transformaciones que son productos de dos involuciones". Journal of Mathematics and Mechanics . 16 (4): 327– 338.

[11] Grupo simpléctico , (fuente: Wolfram MathWorld ), descargado el 14 de febrero de 2012

[12] Folland, Gerald B. (2016). Análisis armónico en el espacio de fases . Princeton: Princeton Univ Press. pág. 173. ISBN 978-1-4008-8242-7OCLC 945482850

[13] Habermann, Katharina (2006). Introducción a los operadores de Dirac simplécticos . Springer. pág. 2. ISBN 978-3-540-33421-7OCLC 262692314

[14] "Apuntes de clase – Clase 2: Reducción simpléctica" , consultado el 30 de enero de 2015.

[15] Sala 2015 Sección 1.2.8

[16] Hall 2015 pág. 14

[17] Hall 2015 Prop. 13.12

[18] Girard, PR; Clarysse, P.; Pujol, R.; Delachartre, P. (2025). "Grupos simplécticos unitarios hipercuaterniónicos: una herramienta unificadora para la física" . Advances in Applied Clifford Algebras . 35 (40). Springer. doi : 10.1007/s00006-025-01402-w .

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