Clasificación de las álgebras de Clifford

La clasificación permite definir espinores de Dirac y espinores de Weyl en dimensión par. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

En dimensión par n , el álgebra de Clifford Cl _n ( C ) es isomorfa a End( C ^N ), que tiene su representación fundamental en Δ _n  := C ^N . ^{[ 14 ] [ 15 ]} Un espinor de Dirac complejo es un elemento de Δ _n . La palabra complejo indica que se trata de un módulo para un álgebra de Clifford compleja, no simplemente que el espacio vectorial subyacente sea complejo.

La subálgebra par Cl _n ⁰ ( C ) es isomorfa a End( C ^{N /2} ) ⊕ End( C ^{N /2} ) y por lo tanto su módulo espinorial se descompone como la suma directa de dos espacios de representación irreducibles Δ ⁺ _n ⊕ Δ ⁻ _n , cada uno isomorfo a C ^{N /2} . ^{[ 16 ] [ 17 ]} Un espinor de Weyl complejo zurdo (respectivamente diestro) es un elemento de Δ ⁺ _n (respectivamente, Δ ⁻ _n ).

El teorema de estructura puede demostrarse inductivamente. ^{[ 18 ] [ 19 ]} Para los casos base, Cl ₀ ( C ) es simplemente C ≅ End( C ) , mientras que Cl ₁ ( C ) es el álgebra C ⊕ C ≅ End( C ) ⊕ End( C ) , obtenida al tomar el generador único como γ ₁ = (1, −1) .

También se necesita Cl ₂ ( C ) ≅ End( C ² ) . Las matrices de Pauli dan una realización concreta: si se establece γ ₁ = σ ₁ y γ ₂ = σ ₂ , entonces estas generan una copia de Cl ₂ ( C ) cuyo espacio generado es todo End( C ² ). ^{[ 20 ] [ 21 ]}

El paso inductivo es el isomorfismo de periodicidad 2 estándar.

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n+2}(\mathbf {C} )\cong \mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} )\otimes \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} ).}$

Para construirlo, sea γ _a generar Cl _n ( C ), y sea${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{1}, {\tilde {\gamma }}_{2}}$generar Cl ₂ ( C ). Sea ω = i \tilde\gamma_1 \tilde\gamma_2 el elemento quiral en Cl ₂ ( C ), de modo que ω ² = 1 y cada${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{a}}$anticonmuta con ω . ^{[ 22 ] [ 23 ]} Entonces se obtienen generadores para Cl _{n +2} ( C ) estableciendo

${\displaystyle \Gamma _{a}=\gamma _{a}\otimes \omega \qquad (1\leq a\leq n),}$

${\displaystyle \Gamma _{n+1}=1\otimes {\tilde {\gamma }}_{1},\qquad \Gamma _{n+2}=1\otimes {\tilde {\gamma }}_{2}.}$

Estas satisfacen las relaciones de Clifford, por lo que, debido a la propiedad universal de las álgebras de Clifford, inducen un isomorfismo Cl _n ( C ) ⊗ Cl ₂ ( C ) \to Cl _{n +2} ( C ) . ^{[ 24 ] [ 25 ]}

Finalmente, si n es par y Cl _n ( C ) ≅ End( C ^N ) , entonces

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n+2}(\mathbf {C} )\cong \operatorname {End} (\mathbf {C} ^{N})\otimes \operatorname {End} (\mathbf {C} ^{2})\cong \operatorname {End} (\mathbf {C} ^{2N}).}$

Dado que 2N = 2 ^{( n +2)/2} , esto da el caso de dimensión par en dimensión n +2 . El caso de dimensión impar se sigue de manera similar, usando que el producto tensorial se distribuye sobre sumas directas. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

Una demostración estándar procede de tres ingredientes: los casos base de baja dimensión, el isomorfismo de 2-periodicidad

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n+2}(\mathbf {C} )\cong \mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} )\otimes \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} ),}$

y la identificación de la subálgebra par

${\displaystyle \mathrm {Cl} _ {n+1}(\mathbf {C} )^{0}\cong \mathrm {Cl} _ {n}(\mathbf {C} ).}$

Véase, por ejemplo, Porteous (1995) o Lawson y Michelsohn (2016) . ^{[ 28 ] [ 29 ]}

Para los casos base, uno tiene

${\displaystyle \mathrm {Cl} _ {0}(\mathbf {C} )\cong \mathbf {C} }$

y

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1}(\mathbf {C} )\cong \mathbf {C} \oplus \mathbf {C} .}$

La primera es inmediata. Para la segunda, si${\displaystyle e}$es el generador con${\displaystyle e^{2}=1}$, entonces

${\displaystyle P_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm e)}$

son idempotentes ortogonales centrales con${\displaystyle P_{+}+P_{-}=1}$, por lo que el álgebra se divide como la suma directa de los dos ideales unidimensionales${\displaystyle \mathbf {C} P_{+}}$y${\displaystyle \mathbf {C} P_{-}}$. ^{[ 30 ] [ 31 ]}

A continuación, se necesita el caso bidimensional.

${\displaystyle \mathrm {Cl} _ {2}(\mathbf {C} )\cong M_{2}(\mathbf {C} ).}$

Se obtiene una realización concreta a partir de las matrices de Pauli :

${\displaystyle \gamma _{1}=\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad \gamma _{2}=\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}.}$

Estos satisfacen${\displaystyle \gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\delta _{ij}}$, por lo que, mediante la propiedad universal, definen un homomorfismo${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} )\to M_{2}(\mathbf {C} )}$. Dado que la imagen contiene${\displaystyle 1,\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{1}\gamma _{2}}$, tiene dimensión 4 y por lo tanto es todo de${\displaystyle M_{2}(\mathbf {C} )}$. ^{[ 32 ] [ 33 ]}

El paso clave es el isomorfismo de 2-periodicidad. Sea${\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{n}}$generar${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} )}$, dejar${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{1},{\tilde {\gamma }}_{2}}$generar${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} )}$y establecer

${\displaystyle \omega =i{\tilde {\gamma }}_{1}{\tilde {\gamma }}_{2}.}$

Entonces${\displaystyle \omega ^{2}=1}$y${\displaystyle \omega }$anticommuta con ambos${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{1}}$y${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{2}}$. Definir elementos de${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} )\otimes \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} )}$por

${\displaystyle \Gamma _{a}=\gamma _{a}\otimes \omega \qquad (1\leq a\leq n),}$

${\displaystyle \Gamma _{n+1}=1\otimes {\tilde {\gamma }}_{1},\qquad \Gamma _{n+2}=1\otimes {\tilde {\gamma }}_{2}.}$

Porque${\displaystyle \omega ^{2}=1}$y${\displaystyle \omega }$anticommuta con los generadores de${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} )}$, los elementos${\displaystyle \Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{n+2}}$satisfacen las relaciones de Clifford para la forma cuadrática estándar en${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+2}}$Por lo tanto, la propiedad universal da un homomorfismo.

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n+2}(\mathbf {C} )\to \mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} )\otimes \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} ).}$

Ambas álgebras tienen dimensión${\displaystyle 2^{n+2}}$, por lo tanto, este homomorfismo es un isomorfismo. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

Se sigue por inducción en${\displaystyle m}$eso

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2m}(\mathbf {C} )\cong \mathrm {Cl} _{0}(\mathbf {C} )\otimes \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} )^{\otimes m}\cong M_{2^{m}}(\mathbf {C} ).}$

De hecho, el caso${\displaystyle m=0}$es${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0}(\mathbf {C} )\cong \mathbf {C} }$y cada aplicación de tensores de 2-periodicidad con${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} )\cong M_{2}(\mathbf {C} )}$, duplicando el tamaño de la matriz. ^{[ 36 ] [ 37 ]}

Para dimensión impar, sea${\displaystyle n=2m+1}$. El elemento de volumen${\displaystyle \omega =e_{1}e_{2}\cdots e_{n}}$es fundamental porque${\displaystyle n}$es extraño y más${\displaystyle \mathbf {C} }$puede ser redimensionado de modo que${\displaystyle \omega ^{2}=1}$. Por eso

${\displaystyle P_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm \omega )}$

son idempotentes ortogonales centrales, dando una descomposición

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2m+1}(\mathbf {C} )=\mathrm {Cl} _{2m+1}^{+}(\mathbf {C} )\oplus \mathrm {Cl} _{2m+1}^{-}(\mathbf {C} ).}$

Por otro lado, la subálgebra par es isomorfa a${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2m}(\mathbf {C} )}$y la proyección sobre cualquiera de los sumandos identifica cada factor simple con esa subálgebra par. Dado que

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2m}(\mathbf {C} )\cong M_{2^{m}}(\mathbf {C} ),}$

uno obtiene

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2m+1}(\mathbf {C} )\cong M_{2^{m}}(\mathbf {C} )\oplus M_{2^{m}}(\mathbf {C} ).}$^{[ 38 ] [ 39 ]}

Esto demuestra la clasificación:

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2m}(\mathbf {C} )\cong M_{2^{m}}(\mathbf {C} ),\qquad \mathrm {Cl} _{2m+1}(\mathbf {C} )\cong M_{2^{m}}(\mathbf {C} )\oplus M_{2^{m}}(\mathbf {C} ).}$

De forma equivalente, las álgebras de Clifford complejas son 2-periódicas, y la subálgebra par de${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n+1}(\mathbf {C} )}$es isomorfo a${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} )}$. ^{[ 40 ] [ 41 ]}

En primer lugar, existen formas cuadráticas no isomorfas de un grado dado, clasificadas por signatura. ^{[ 44 ]}

Toda forma cuadrática no degenerada en un espacio vectorial real es equivalente a una forma diagonal.

${\displaystyle Q(u)=u_{1}^{2}+\cdots +u_{p}^{2}-u_{p+1}^{2}-\cdots -u_{p+q}^{2}}$

donde n = p + q es la dimensión del espacio vectorial. El par de enteros ( p , q ) se denomina signatura de la forma cuadrática. ^{[ 44 ]} El espacio vectorial real con esta forma cuadrática se suele denotar R ^{p , q} . El álgebra de Clifford en R ^{p , q} se denota Cl _{p , q} ( R ).

Una base ortonormal estándar { e _i } para R ^{p , q} consta de n = p + q vectores mutuamente ortogonales, p de los cuales tienen norma +1 y q de los cuales tienen norma −1. ^{[ 44 ]}

Dada una base estándar { e _i } como se define en la subsección anterior, el pseudoescalar unitario en Cl _{p , q} ( R ) se define como

${\displaystyle \omega =e_{1}e_{2}\cdots e_{n}.}$

Es el análogo del elemento de volumen en el álgebra de Clifford. ^{[ 42 ] [ 43 ]}

Para calcular el cuadrado${\displaystyle \omega ^{2}=(e_{1}e_{2}\cdots e_{n})(e_{1}e_{2}\cdots e_{n})}$, se puede invertir el orden del segundo factor y luego conmutar vectores base iguales. Esto introduce el signo (−1) ^{n ( n −1)/2} , y dado que e _i ² = +1 para i \le p y e _i ² = -1 para los q vectores base restantes , se obtiene ^{[ 42 ] [ 43 ]}

${\displaystyle \omega ^{2}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(-1)^{q}=(-1)^{\frac {(p-q)(p-q-1)}{2}}={\begin{cases}+1&p-q\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&p-q\equiv 2,3{\pmod {4}}.\end{cases}}}$

Nótese que, a diferencia del caso complejo, en general no es posible encontrar un pseudoescalar que al cuadrado sea +1.

Si n (o equivalentemente, p − q ) es par, el álgebra Cl _{p , q} ( R ) es centralmente simple y, por lo tanto, isomorfa a un álgebra matricial sobre R o H según el teorema de Artin-Wedderburn . ^{[ 42 ] [ 43 ]}

Si n es impar, entonces el álgebra ya no es central simple: su centro contiene el pseudoescalar así como los escalares. ^{[ 42 ] [ 43 ]} Si n es impar y ω ² = +1 (equivalentemente, si p − q ≡ 1 (mod 4) ) entonces, al igual que en el caso complejo, el álgebra Cl _{p , q} ( R ) se descompone en una suma directa de álgebras isomorfas

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q}^{+}(\mathbf {R} )\oplus \operatorname {Cl} _{p,q}^{-}(\mathbf {R} ),}$

cada una de las cuales es centralmente simple y, por lo tanto, isomorfa a un álgebra matricial ^sobre R o H. ^{[ 42 ] [ 43} ]

Si n es impar y ω ² = −1 (equivalentemente, si p − q ≡ −1 (mod 4) ) entonces el centro de Cl _{p , q} ( R ) es isomorfo a C , y el álgebra puede considerarse como un álgebra simple central compleja; por lo tanto, es isomorfo a un álgebra matricial sobre C . ^{[ 42 ] [ 43 ]}

En total hay tres propiedades que determinan la clase del álgebra Cl _{p , q} ( R ): ^{[ 42 ] [ 43 ]}

• Firma módulo 2: n es par/impar, determinando si el álgebra es central simple o no;
• firma módulo 4: ω ² = ±1 , determinando en el caso de dimensión impar si el centro es R ⊕ R o C ;
• Firma módulo 8: la clase de Brauer del álgebra ( n par) o de la subálgebra par ( n impar), que determina si el factor simple central es escindido o cuaterniónico.

Cada una de estas propiedades depende únicamente de la signatura p − q módulo 8. La tabla de clasificación completa se muestra a continuación. El tamaño de las matrices está determinado por el requisito de que Cl _{p , q} ( R ) tenga dimensión 2 ^{p + q} . ^{[ 42 ] [ 43 ]}

Se puede observar que, de todos los tipos de anillos de matrices mencionados, solo hay uno compartido por las álgebras complejas y reales: el tipo M _{2 ^m} ( C ). Por ejemplo, Cl ₂ ( C ) y Cl _3,0 ( R ) son isomorfos a M ₂ ( C ). Es importante distinguir las categorías en las que se toman estos isomorfismos: Cl ₂ ( C ) se clasifica como un álgebra C , mientras que Cl _3,0 ( R ) se clasifica como un álgebra R. Por lo tanto, ambos son isomorfos como álgebras R , pero no canónicamente como álgebras complejas. ^{[ 42 ]}

A continuación se muestra una tabla de esta clasificación para p + q ≤ 8. Aquí, p + q se representa verticalmente y p − q horizontalmente (por ejemplo, el álgebra Cl _1,3 ( R ) ≅ M ₂ ( H ) se encuentra en la fila 4, columna −2). ^{[ 42 ] [ 43 ]}

En la tabla anterior hay una intrincada red de simetrías y relaciones. Lo más importante es que se encuentran los isomorfismos de periodicidad real estándar ^{[ 42 ] [ 43 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )&\cong \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )\otimes \operatorname {M} _{2}(\mathbf {R} ),\\\operatorname {Cl} _{q,p+2}(\mathbf {R} )&\cong \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )\otimes \mathbf {H} ,\\\operatorname {Cl} _{q+2,p}(\mathbf {R} )&\cong \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )\otimes \operatorname {M} _{2}(\mathbf {R} ).\end{aligned}}}$

En términos de la tabla, la primera regla dice que bajando un paso desde el álgebra de Clifford${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )}$rendimientos${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )}$, que consiste en${\displaystyle 2\times 2}$matrices sobre${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )}$Las otras dos reglas implican que

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+4,q}(\mathbf {R} )\cong \operatorname {Cl} _{p,q+4}(\mathbf {R} )}$

y de estos se obtiene la periodicidad de Bott en la forma

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+8,q}(\mathbf {R} )\cong \operatorname {Cl} _{p+4,q+4}(\mathbf {R} )\cong \operatorname {Cl} _{p,q+8}(\mathbf {R} )\cong \operatorname {M} _{16}(\operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )).}$^{[ 42 ] [ 43 ]}

Además, si la firma satisface p − q ≡ 1 (mod 4), entonces

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+k,q}(\mathbf {R} )\cong \operatorname {Cl} _{p,q+k}(\mathbf {R} ).}$

Esto indica que la tabla es simétrica con respecto a las columnas donde${\displaystyle p-q=}$..., −7, −3, 1, 5, 9,.... ^{[ 42 ]}

La periodicidad óctuple sobre los números reales forma parte de la periodicidad de Bott , la periodicidad correspondiente para los grupos de homotopía del grupo ortogonal estable ; de ​​manera similar, sobre los números complejos se tiene una periodicidad doble para el grupo unitario estable . En la descripción geométrica de Bott, los espacios de lazos relevantes se modelan mediante cocientes sucesivos de los grupos clásicos, que son espacios simétricos compactos . En la teoría de grupos estables, los espacios de lazos aparecen porque la periodicidad de Bott identifica los grupos clásicos estables, salvo homotopía, con espacios de lazos iterados de los espacios clasificadores correspondientes. Las periodicidades algebraicas dobles y óctuples coincidentes de las álgebras de Clifford complejas y reales forman parte del mismo panorama. ^{[ 45 ] [ 46 ]}

Tenga en cuenta que en la clasificación real, en general,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )\not \cong \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} ).}$

En la convención de signos utilizada en este artículo, intercambiar p y q reemplaza la forma cuadrática por su negativa, por lo que envía la diferencia de signatura p − q a q − p = −( p − q ) . Dado que la clase de isomorfismo del álgebra de Clifford real está determinada por p − q (mod 8) , se deben comparar las entradas en la tabla de clasificación para los residuos d y − d módulo 8. ^{[ 47 ] [ 48 ]}

Estas entradas coinciden solo cuando d ≡ − d (mod 8) , es decir, solo cuando d ≡ 0 o 4 (mod 8) . En todas las demás clases de congruencia, las álgebras son de diferentes tipos. Por ejemplo,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{1,0}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {R} \oplus \mathbf {R} ,\qquad \operatorname {Cl} _{0,1}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {C} ,}$

mientras

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2,0}(\mathbf {R} )\cong M_{2}(\mathbf {R} ),\qquad \operatorname {Cl} _{0,2}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {H} .}$

Así pues, la falta de simetría aparece ya en los primeros casos de baja dimensión. ^{[ 49 ] [ 50 ]}

Detrás de esta asimetría existen dos mecanismos diferentes. En dimensión impar, la distinción es visible en el centro. Si p − q ≡ 1 (mod 4) , entonces ω² = +1 y el álgebra se divide como una suma directa de dos ideales simples, por lo que su centro es R ⊕ R. Si, en cambio ^, p − q ≡ −1 (mod 4) , entonces ω² = −1 y el centro es C. Por lo tanto ^, intercambiar p y q puede cambiar el centro de real dividido a complejo. ^{[ 51 ] [ 52 ]}

En dimensión par, ambas álgebras son centrales simples, por lo que la distinción radica en sus clases de Brauer . Por ejemplo, cuando p − q ≡ 2 (mod 8), el álgebra es un álgebra de matrices escindidas sobre R , mientras que cuando q − p ≡ 2 (mod 8) —o equivalentemente p − q ≡ 6 (mod 8) —, el álgebra es un álgebra de matrices sobre H. Así, intercambiar p y q también puede transformar un álgebra escindida en un álgebra cuaterniónica. ^{[ 53 ] [ 54 ]}

De forma equivalente, uno tiene

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )\cong \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} )}$

si y solo si p − q ≡ 0 o 4 (mod 8) . Esta es simplemente la condición de punto fijo para la involución.${\displaystyle d\mapsto -d}$en la tabla de clasificación real. ^{[ 55 ] [ 56 ]}

Esta es una de las razones por las que las convenciones de signos importan en la literatura: los autores que utilizan la convención opuesta para la multiplicación de Clifford a menudo escriben${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}}$por lo que este artículo denota por${\displaystyle \operatorname {Cl} _{q,p}}$. La no simetría bajo${\displaystyle (p,q)\mapsto (q,p)}$es una propiedad de las álgebras de Clifford reales, no solo un artefacto notacional. ^{[ 57 ] [ 58 ]}

Esta asimetría pertenece al álgebra de Clifford completa, no al grupo de espín . Sea ( V , q ) un espacio cuadrático real. El grupo de espín se define dentro del álgebra de Clifford par por

${\displaystyle \operatorname {Spin} (V,q)=\operatorname {Pin} (V,q)\cap \operatorname {Cl} ^{0}(V,q),}$

donde Pin( V , q ) es generado por los vectores unitarios v con q ( v )=± 1 . ^{[ 59 ] [ 60 ]} Bajo la acción adjunta retorcida estándar, dicho vector actúa sobre V por reflexión en el hiperplano ortogonal a v , por lo que los productos de un número par de vectores unitarios actúan por transformaciones ortogonales que preservan la orientación. ^{[ 61 ] [ 62 ]}

Ahora bien, reemplazar q por −q no cambia el grupo ortogonal: las mismas aplicaciones lineales preservan q y −q , por lo que O( V , q ) = O( V , −q ) y , por lo tanto , SO( V , q ) = SO( V , −q ) . [ ^{63 ] Por} eso se tiene SO( p , q ) ≅ SO( q , p ) y, correspondientemente, Spin( p , q ) ≅ Spin( q , p ) . La cuestión es que, aunque las álgebras de Clifford no tienen por qué ser iguales, el grupo de espín se construye a partir de productos pares de las mismas reflexiones, dentro del álgebra de Clifford par. ^{[ 64 ] [ 65 ]}

Los ejemplos de dimensión más baja ya muestran la distinción. En la convención de signos utilizada en este artículo,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{1,0}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {R} \oplus \mathbf {R} ,\qquad \operatorname {Cl} _{0,1}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {C} ,}$

por lo tanto, las álgebras completas son diferentes, pero en ambos casos la subálgebra par es simplemente R. Por lo tanto

${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,0)\cong \operatorname {Spin} (0,1)\cong \{\pm 1\}.}$

Un ejemplo más instructivo es

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2,0}(\mathbf {R} )\cong M_{2}(\mathbf {R} ),\qquad \operatorname {Cl} _{0,2}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {H} .}$

Aquí las álgebras completas, y por lo tanto sus módulos reales irreducibles, son de diferentes tipos: en el primer caso el módulo irreducible es real bidimensional, mientras que en el segundo es cuaterniónico unidimensional. Pero el grupo de espín solo ve la subálgebra par. En ambas signaturas la subálgebra par está generada por 1 y el bivector e ₁ e ₂ , y

${\displaystyle (e_{1}e_{2})^{2}=-e_{1}^{2}e_{2}^{2}=-1.}$

Por lo tanto

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2,0}^{0}(\mathbf {R} )\cong \operatorname {Cl} _{0,2}^{0}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {C} ,}$

y en ambos casos el grupo de espín es el grupo circular

${\displaystyle \{\cos \theta +\sin \theta \,e_{1}e_{2}:\theta \in \mathbf {R} \}\cong U(1).}$

Así, el álgebra de Clifford completa puede distinguir los tipos de módulos reales y cuaterniónicos incluso cuando el grupo de espín asociado no puede: después de pasar a la subálgebra par, ambos casos se rigen por la misma estructura compleja. ^{[ 66 ] [ 67 ]}

El mismo fenómeno persiste en dimensiones superiores. Por ejemplo, aunque${\displaystyle \operatorname {Cl} _{1,3}(\mathbf {R} )}$y${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,1}(\mathbf {R} )}$son entradas diferentes en la tabla de clasificación real, los grupos de espín asociados son ambos la doble cubierta del grupo de Lorentz; en particular

${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {C} ),}$

y por lo tanto también${\displaystyle \operatorname {Spin} (3,1)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {C} )}$. ^{[ 68 ] [ 69 ]}

La discusión anterior asumió que el campo base tiene una característica distinta de 2. En característica 2, la forma polar de una forma cuadrática es alternante, por lo que un espacio cuadrático no singular debe tener dimensión par. ^{[ 72 ]} Las formas de dimensión impar siguen siendo importantes, pero se tratan utilizando la teoría de formas cuadráticas regulares (o “1/2-regulares”) en lugar de la teoría no singular. ^{[ 73 ]}

Por esta razón, la teoría de característica 2 se formula habitualmente no solo en términos de formas cuadráticas, sino también en términos de pares cuadráticos sobre álgebras simples centrales. En ese contexto, el discriminante y el álgebra de Clifford par se definen para pares cuadráticos y desempeñan el papel de los invariantes correspondientes en característica distinta de 2. ^{[ 74 ]} En consecuencia, no existe un análogo directo de la tabla de clasificación de signatura real en característica 2 sin antes reformular la teoría en este lenguaje.