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Articulo de referencia

Escala de Bohlen-Pierce

Acorde de la escala de Bohlen-Pierce: CGA, afinado en armónicos 3, 5 y 7. "BP" encima de las claves indica la notación de Bohlen-Pierce. Jugar ⓘ El mismo acorde en la notación d...

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Acorde de la escala de Bohlen-Pierce: CGA, afinado en armónicos 3, 5 y 7. "BP" encima de las claves indica la notación de Bohlen-Pierce.Jugarⓘ
El mismo acorde en la notación de Ben Johnston para entonación justa.

La escala Bohlen-Pierce ( escala BP ) es una afinación y escala musical , descrita por primera vez en la década de 1970, que ofrece una alternativa a las escalas de repetición de octava típicas en la música occidental y otras músicas, [ 1 ] específicamente la escala diatónica temperada igual .

El intervalo 3:1 (a menudo denominado tritava ) sirve como relación armónica fundamental, reemplazando la relación 2:1 de la escala diatónica (la octava) con una duodécima justa (una octava más alta que una quinta justa). Para cualquier nota que forme parte de la escala BP, todas las notas que se encuentren una o más tritavas más altas o más bajas también forman parte del sistema y se consideran equivalentes.

La escala BP divide la tritava en 13 pasos, ya sea en temperamento igual (la forma más popular) o en una versión con afinación justa . En comparación con las escalas de repetición de octava, los intervalos de la escala BP son más consonantes con ciertos tipos de espectros acústicos .

La escala fue descrita independientemente por Heinz Bohlen , [ 2 ] Kees van Prooijen [ 3 ] y John R. Pierce . Pierce, quien, junto con Max Mathews y otros, publicó su descubrimiento en 1984, [ 4 ] renombró la escala Pierce 3579b y su variante cromática como escala Bohlen-Pierce tras conocer la publicación anterior de Bohlen. Bohlen había propuesto la misma escala basándose en la consideración de la influencia de los tonos de combinación en la impresión Gestalt de intervalos y acordes. [ 5 ]

Los intervalos entre las clases de altura de la escala BP se basan en razones de frecuencia de enteros impares , en contraste con los intervalos en las escalas diatónicas, que emplean razones tanto impares como pares que se encuentran en la serie armónica . Específicamente, los pasos de la escala BP se basan en razones de enteros cuyos factores son 3, 5 y 7. Por lo tanto, la escala contiene armonías consonantes basadas en los armónicos impares 3:5:7:9 (jugarⓘ ). La cuerda formada por la proporción 3:5:7 (jugarⓘ ) cumple una función muy similar a la del acorde 4:5:6 (una tríada mayor)jugarⓘ ) lo hace en escalas diatónicas (3:5:7 = 1: ⁠ 1 + 2 / 3 ⁠ : ⁠ 2 + 1 / 3 ⁠ y 4:5:6 = 2: ⁠ 2 + 1 / 2 ⁠ :3 = 1: ⁠ 1 + 1 / 4 ⁠ : ⁠ 1 + 1 / 2 ⁠ ).

Acordes y modulación

El patrón de sensibilidad de entonación 3:5:7 s es similar al 4:5:6 s (el acorde mayor justo), más similar que el del acorde menor. [ 6 ] Esta similitud sugiere que nuestros oídos también percibirán 3:5:7 como consonante.

El acorde 3:5:7  puede considerarse, por lo tanto, la tríada mayor de la escala BP. Se aproxima mediante un intervalo de 6 semitonos  BP de temperamento igual (tocar un semitonoⓘ ) en la parte inferior y un intervalo de 4 semitonos temperados iguales en la parte superior(semitonos 0, 6, 10;jugarⓘ ). Una tríada menor tiene correspondientemente 6 semitonos arriba y 4 semitonos abajo(0, 4, 10;jugarⓘ ). 5:7:9 es la primera inversión de la tríada mayor(0, 4, 7;jugarⓘ ). [ 7 ]

Un estudio de tríadas cromáticas formadas a partir de combinaciones arbitrarias de los 13  tonos de la escala cromática entre doce músicos y doce oyentes no entrenados encontró que los semitonos 0, 1, 2 eran el acorde más disonante (jugarⓘ ), pero0, 11, 13(jugarⓘ ) fue considerada la más consonante por los sujetos entrenados (porque suena como una tríada mayor octava abajo) y0, 7, 10(jugarⓘ ) fue juzgada como la más consonante por los sujetos no entrenados. [ 8 ]

Cada nota de la escala Pierce 3579b pertenece a una tríada mayor y menor, excepto  la nota II. Existen trece tonalidades posibles. La modulación se logra cambiando una sola nota. Al subir la nota  II un semitono, la tónica asciende a la nota  III (semitono  3), que por lo tanto puede considerarse la dominante . La nota VIII (semitono 10) puede considerarse  el análogo de la subdominante . [ 7 ]

Timbre y la tritave

Familia de clarinetes Bohlen-Pierce: soprano, contrabajo y tenor.

La relación 3:1 sirve como proporción armónica fundamental, reemplazando la relación 2:1 de la escala diatónica (la octava ).jugarⓘ ) Este intervalo es una duodécima perfecta endiatónica(quinta perfectacuando se reduce en una octava), pero como esta terminología se basa en tamaños de paso yfuncionesque no se utilizan en la escala BP, a menudo se le llama con un nuevo nombre, tritava (jugarⓘ ), en contextos BP, refiriéndose a su función comopseudooctava, y usando el prefijo "tri-" (tres) para distinguirla de la octava. En las escalas convencionales, si una altura dada es parte del sistema, entonces todas las alturas una o más octavas más altas o más bajas también son parte del sistema y, además, se consideranequivalentes. En la escala BP, si una altura dada está presente, entoncesningunade las alturas una o más octavas más altas o más bajas está presente, perotodaslas alturas una o más tritavas más altas o más bajas son parte del sistema y se consideran equivalentes.

El uso de proporciones de números enteros impares en la escala BP es apropiado para timbres que contienen solo armónicos impares. Debido a que el espectro del clarinete (en el registro chalumeau ) consiste principalmente en armónicos impares, y el instrumento sobreagudos en la duodécima (o tritava) en lugar de la octava como la mayoría de los demás instrumentos de viento madera, existe una afinidad natural entre este y la escala Bohlen-Pierce. A sugerencia del compositor Georg Hajdu , el fabricante de clarinetes Stephen Fox desarrolló los primeros clarinetes soprano Bohlen-Pierce y comenzó a ofrecerlos a la venta a principios de 2006. Produjo el primer clarinete tenor BP (seis tonos por debajo del soprano) en 2010 y el primer clarinete épsilon (cuatro tonos por encima del soprano) en 2011. Un clarinete contra (una tritava por debajo del soprano) es tocado actualmente (2020) por Nora Müller, de Lübeck, Alemania.

Solo estoy ajustando

Se puede construir una escala diatónica de Bohlen-Pierce con las siguientes razones justas (el gráfico muestra la escala "Lambda" (λ)):

Toca solo la escala "Lambda" de Bohlen-Pierceⓘcontraste con la escala diatónica mayorⓘ

Una escala BP justa puede construirse a partir de cuatro acordes superpuestos 3:5:7, por ejemplo, V, II, VI y IV, aunque se pueden elegir acordes diferentes para producir una escala similar: [ 9 ]

(5:3)(7:5) V IX III | III VII I | VI I IV | IV VIII II

temperamento Bohlen-Pierce

" Círculo cromático " para la escala de Bohlen-Pierce, con el tercer modo de la escala Lambda marcado. [ 1 ]

Bohlen expresó originalmente la escala BP tanto en entonación justa como en temperamento igual . La forma temperada , que divide la tritava en trece pasos iguales, se ha convertido en la forma más popular. Cada paso está 13 √ 3 ​​= 3 1 ⁄ 13 = 1,08818… por encima del siguiente, o 1200  log 2  (3 1 ⁄ 13 ) = 146,3… cents por paso. La octava se divide en un número fraccional de pasos. Se utilizan doce pasos temperados iguales por octava en 12-tet . La escala Bohlen-Pierce podría describirse como 8,202087-tet, porque una octava completa (1200 cents), dividida por 146,3… cents por paso, da 8,202087 pasos por octava.

Dividir la tritava en 13 pasos iguales tempera, o reduce a unísono, los intervalos 245:243 (aproximadamente 14 cents, a veces llamado diesis menor de Bohlen-Pierce ) y 3125:3087 (aproximadamente 21 cents, a veces llamado diesis mayor de Bohlen-Pierce) del mismo modo que dividir la octava en 12 pasos iguales reduce tanto 81:80 ( coma sintónica ) como 128:125 ( limma de 5 límites ) a unísono. Un temperamento lineal de 7 límites tempera ambos intervalos; el temperamento Bohlen-Pierce resultante ya no tiene nada que ver con las equivalencias de tritava o las escalas que no son de octava, más allá del hecho de que está bien adaptado para usarlas. Una afinación de 41 pasos iguales por octava ( 1200 / 41 = 29,27 cents por paso) sería bastante lógica para este temperamento. En dicha afinación, una doceava justa temperada (1902,4 cents, aproximadamente medio cent más que una doceava justa) se divide en 65 pasos iguales, lo que resulta en una aparente paradoja: tomar cada quinto grado de esta escala basada en octavas produce una excelente aproximación a la escala temperada igualada BP, que no se basa en octavas. Además, un intervalo de cinco de estos pasos genera momentos de simetría ( MOS ) (basados ​​en octavas ) con 8, 9 o 17 notas, y la escala de 8 notas (que comprende los grados 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 y 35 de la escala de 41 notas iguales) podría considerarse la versión equivalente en octava de la escala de Bohlen-Pierce.

Diagramas de intervalos y escalas

Las siguientes son las trece notas de la escala (centavos redondeados al número entero más cercano):

Justamente sintonizado

De temperamento igual

tocar la escala Bohlen-Pierce temperada igualⓘ

Música y composición

Octava 12-tet (izquierda) comparada con tritava 13-tet (derecha)

¿Cómo suena estéticamente la música que utiliza la escala de Bohlen-Pierce ? Dave Benson sugiere que ayuda usar solo sonidos con armónicos impares, incluyendo clarinetes o tonos sintetizados, pero argumenta que debido a que "algunos de los intervalos suenan un poco como intervalos en la escala dodecafónica [más familiar] , pero muy desafinados ", el oyente promedio sentirá continuamente "que algo no está del todo bien", debido al condicionamiento social . [ 10 ]

Mathews y Pierce concluyen que se pueden componer melodías claras y memorables en la escala BP, que "el contrapunto suena bien" y que "los pasajes de acordes suenan como armonía", presumiblemente refiriéndose a una progresión , "pero sin gran tensión ni sensación de resolución". [ 11 ] En su estudio de 1989 sobre el juicio de consonancia, ambos intervalos de los cinco acordes calificados como más consonantes por músicos entrenados son aproximadamente intervalos diatónicos, lo que sugiere que su formación influyó en su selección y que una experiencia similar con la escala BP influiría igualmente en sus elecciones. [ 8 ]

Las composiciones que utilizan la escala Bohlen-Pierce incluyen "Purity", el primer movimiento de Clang-Tint de Curtis Roads . [ 12 ] Otros compositores informáticos que utilizan la escala BP incluyen a Jon Appleton , Richard Boulanger ( Solemn Song for Evening (1990)), Georg Hajdu , ppP de Juan Reyes (1999-2000), [ 13 ] "A Wild and Reckless Place" de Ami Radunskaya (1990), [ 14 ] Charles Carpenter ( Frog à la Pêche (1994) y Splat ), [ 15 ] [ 16 ] y Elaine Walker ( Stick Men (1991), Love Song y Greater Good (2011)). [ 17 ]

David Lieberman, profesor asociado de arquitectura en la Universidad de Toronto , dirigió el desarrollo de un "Stredici", un instrumento de cuerda afinado según la escala de Bohlen-Pierce. El instrumento, de cinco metros de longitud, se utilizó en conciertos en Boston en 2012. [ 18 ]

Simposio

El primer simposio Bohlen-Pierce tuvo lugar en Boston del 7 al 9 de marzo de 2010, producido por el compositor Georg Hajdu ( Hochschule für Musik und Theater Hamburg ) y la Boston Microtonal Society . Los coorganizadores fueron el Boston Goethe Institute , el Berklee College of Music , la Northeastern University y el New England Conservatory of Music. Los participantes del simposio, entre los que se encontraban Heinz Bohlen, Max Mathews, Clarence Barlow , Curtis Roads , David Wessel, Psyche Loui, Richard Boulanger, Georg Hajdu, Paul Erlich , Ron Sword, Julia Werntz , Larry Polansky , Manfred Stahnke, Stephen Fox, Elaine Walker, Todd Harrop, Gayle Young, Johannes Kretz, Arturo Grolimund y Kevin Foster, presentaron 20 ponencias sobre la historia y las propiedades de la escala Bohlen-Pierce, interpretaron más de 40 composiciones en este novedoso sistema y presentaron varios instrumentos musicales nuevos. Entre los intérpretes figuraban los músicos alemanes Nora-Louise Müller y Ákos Hoffman con clarinetes Bohlen-Pierce y Arturo Grolimund con flauta de pan Bohlen-Pierce, así como el conjunto canadiense tranSpectra y la banda estadounidense de xenharmonic ZIA, dirigida por Elaine Walker.

Otras afinaciones o escalas inusuales

Otras afinaciones no octavas investigadas por Bohlen [ 19 ] incluyen doce pasos en la tritava, denominada A12 por Enrique Moreno [ 20 ] y basada en el acorde 4:7:10Jugarⓘ , siete pasos en la octava (7-tet) o 11 pasos similares en la tritava, y ocho pasos en la octava, basados ​​en 5:7:9Jugarⓘ y de la cual solo se usaría la versión justa. Además, la pentava se puede dividir en ocho pasos que se aproximan a acordes de la forma 5:9:13:17:21:25. [ 21 ] Laescala de Bohlen de 833 centsse basa en lasecuencia de Fibonacci, aunque se creó a partir detonos de combinación, y contiene una compleja red de relaciones armónicas debido a la inclusión de armónicos coincidentes de intervalos de 833 cents apilados. Por ejemplo, "el paso 10 resulta ser idéntico a la octava (1200 cents) del tono base, al mismo tiempo presenta laProporción Áureaal paso 3". [ 22 ]

Se pueden especificar escalas alternativas indicando el tamaño de los pasos temperados iguales, por ejemplo, la escala alfa de 78 cents y la escala beta de 63,8 cents de Wendy Carlos , y la escala de 88 cents de Gary Morrison (13,64 pasos por octava o 14 por octava extendida de 1232 cents). [ 23 ] Esto da a la escala alfa 15,39 pasos por octava y a la escala beta 18,75 pasos por octava. [ 24 ]

Expansiones

División igual de 39 tonos de la tritava

Paul Erlich propuso dividir cada paso de la escala de Bohlen-Pierce en tercios, de modo que la tritava se divide en 39 pasos iguales en lugar de 13 pasos iguales. La escala, que puede verse como tres escalas de Bohlen-Pierce escalonadas uniformemente, produce armónicos impares adicionales. La escala de 13 pasos alcanza los armónicos impares 3:1; 5:3, 7:3; 7:5, 9:5; 9:7 y 15:7; mientras que la escala de 39 pasos incluye todos esos y muchos más (11:5, 13:5; 11:7, 13:7; 11:9, 13:9; 13:11, 15:11, 21:11, 25:11, 27:11; 15:13, 21:13, 25:13, 27:13, 33:13 y 35:13), mientras que aún le faltan casi todos los armónicos pares (incluidos 2:1; 3:2, 5:2; 4:3, 8:3; 6:5, 8:5; 9:8, 11:8, 13:8 y 15:8). El tamaño de esta escala es de aproximadamente 25 pasos iguales en una proporción ligeramente mayor que una octava, por lo que cada uno de los 39 pasos iguales es ligeramente menor que la mitad de uno de los 12 pasos iguales de la escala estándar. [ 25 ]

División igual de 65 tonos de la tritava

Al dividir cada grado de la escala de Bohlen-Pierce en quintas (de modo que la tritava se divide en 65 grados), se obtiene una octava muy precisa (41 grados) y una quinta justa (24 grados), así como aproximaciones para otros intervalos justos. La escala es prácticamente idéntica a la división igual de la octava en 41 tonos, salvo que cada grado es ligeramente menor (menos de una centésima de centésimo por grado).

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Pierce, John R. (2001). "Consonancia y escalas" . En Cook, Perry R (ed.). Música, cognición y sonido computarizado: una introducción a la psicoacústica . MIT Press. pág.  183. ISBN 978-0-262-53190-0.
  2. ↑ Bohlen, Heinz (1978). "13 Tonstufen in der Duodezime" . Acústica (en alemán). 39 (2). Stuttgart : S. Hirzel Verlag: 76–86 . Consultado el 27 de noviembre de 2012 .
  3. ^ Prooijen, Kees van (1978). "Una teoría de escalas de temperamento igualitario" . Interfaz . 7 : 45– 56. doi : 10.1080/09298217808570248 . Consultado el 27 de noviembre de 2012 .
  4. ↑ Mathews, MV; Roberts, LA; Pierce, JR (1984). "Cuatro nuevas escalas basadas en acordes de razón entera no sucesiva" . J. Acoust. Soc. Am. 75, S10(A) (S1): S10. Bibcode : 1984ASAJ...75...10M . doi : 10.1121/1.2021272 .
  5. ↑ Mathews, Max V.; Pierce, John R. (1989). «La escala Bohlen-Pierce». En Mathews, Max V.; Pierce, John R. (eds.). Direcciones actuales en la investigación de la música por ordenador . MIT Press. pág. 167. ISBN  9780262631396.
  6. ↑ Mathews y Pierce (1989) , págs. 165–166 
  7. 1 2 Mathews y Pierce (1989) , págs. 169 
  8. 1 2 Mathews y Pierce (1989) , págs. 171 
  9. ↑ Mathews; Pierce (1989). pág. 170.
  10. ↑ Benson, Dave. "Escalas musicales y la docena del panadero". Musik og Matematik . 28/06: 16.
  11. ↑ Mathews; Pierce (1989). pág. 172.
  12. ↑ Thrall, Michael Voyne (verano de 1997). "Synthèse 96: El 26.º Festival Internacional de Música Electroacústica". Computer Music Journal . 21 (2): 90–92 [91]. doi : 10.2307/3681110 . JSTOR 3681110 . 
  13. ↑ "John Pierce (1910-2002)". Computer Music Journal . 26, No. 4 (Lenguajes y entornos para música por ordenador): 6–7 . Invierno de 2002.
  14. ↑ Discografía de CDs microtonales , Fundación Huygens-Fokker , consultado el 13 de diciembre de 2016..
  15. ↑ d'Escrivan, Julio (2007). Collins, Nick (ed.). The Cambridge Companion to Electronic Music . Cambridge Companions to Music . pág. 229. ISBN  9780521868617.
  16. ↑ Benson, Dave (2006). Música: Una ofrenda matemática . pág. 237. ISBN  9780521853873.
  17. ↑ "Conciertos" . Bohlen-Pierce-Conference.org . Consultado el 27 de noviembre de 2012 .
  18. ↑ "David Lieberman participa en la Feria de Campos Eléctricos y Mini-Maker | Daniels" . www.daniels.utoronto.ca . Consultado el 4 de enero de 2023 .
  19. ↑ Böhlen (1978). nota al pie 26, página 84.
  20. ↑ "Otras escalas inusuales" . El sitio web de Bohlen-Pierce . Consultado el 27 de noviembre de 2012 .Citas: Moreno, Enrique Ignacio (dic. 1995). "Incrustación de espacios de paso iguales y la cuestión de los cromas expandidos: un enfoque experimental". Disertación . Universidad de Stanford: 12–22 .
  21. ↑ " Otras escalas inusuales ", The Bohlen–Pierce Site . Recuperado el 27 de noviembre de 2012. Citas: Bohlen (1978). págs. 76–86.
  22. ↑ Bohlen, Heinz. "Una escala de 833 centavos" . El sitio de Bohlen-Pierce . Consultado el 27 de noviembre de 2012 .
  23. ↑ Sethares, William (2004). Afinación, timbre, espectro, escala . pág. 60. ISBN  1-85233-797-4.
  24. ↑ Carlos, Wendy (2000) [1986]. "Notas del álbum". La Bella y la Bestia (CD). Wendy Carlos. ESD. 81552.
  25. ↑ "Estructuras a escala BP" . Sitio web de Bohlen-Pierce . Consultado el 27 de noviembre de 2012 .
  • " La escala Bohlen-Pierce " Investigación, ZiaSpace.com .
  • " Stephen Fox Clarinets ", clarinetes Bohlen-Pierce y otros instrumentos, SFoxClarinets.com .
  • " El sitio Bohlen–Pierce: un espacio web de una escala armónica alternativa ", Huygens-Fokker.org .
  • " Kees van Prooijen: 13 tonos en el 3er armónico " , Kees.cc.
  • Canción en escala de Bohlen Pierce: " 17tppp4 Walker Love Song ", Xenharmonic.Wikispaces.com .
  • " El Simposio Bohlen-Pierce ", Bohlen-Pierce-Conference.org .
  • " Simposio sobre la escala Bohlen-Pierce, Boston 2010 " [lista de reproducción], YouTube.com .