Teorema de Borsuk-Ulam

De manera informal, el teorema de Borsuk-Ulam establece que, para un " animal de globo " (o cualquier forma arbitrariamente distorsionada) hecho a partir de un globo esférico y luego aplastado hasta convertirlo en un plano (dejando salir el aire de alguna manera), al menos un par de puntos que estaban opuestos entre sí en la esfera original se aplastarán en el mismo punto del plano.

De forma más formal, toda aplicación continua de la esfera al plano asigna a un par de puntos antipodales el mismo punto. Una afirmación análoga es válida en dimensiones superiores (véase más abajo).

Declaración general

Formalmente, el teorema establece que toda función continua de una esfera n- dimensional a un espacio euclidiano n- dimensional debe mapear un par de puntos antipodales al mismo punto. Dos puntos en una esfera se denominan antipodales si se encuentran en direcciones exactamente opuestas al centro, como los polos Norte y Sur.

El teorema de Borsuk-Ulam tiene varias afirmaciones equivalentes en términos de funciones impares . Recordemos que $S^{n}$ es la n -esfera y $B^{n}$ es la n -bola :

Si $g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ es una función impar continua, entonces existe una $x\in S^{n}$ de tal manera que: $g(x)=0$ .
Si $g:B^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ es una función continua que es impar en $S^{n-1}$ (el límite de $B^{n}$ ), entonces existe un $x\in B^{n}$ de tal manera que: $g(x)=0$ .

Ejemplos

De forma más compacta: si $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ es continuo entonces existe un $x\in S^{n}$ de tal manera que: $f(-x)=f(x)$ .

El caso $n=1$ Esto se puede ilustrar diciendo que siempre existe un par de puntos opuestos en el ecuador terrestre con la misma temperatura. Lo mismo ocurre con cualquier círculo. Esto supone que la temperatura varía continuamente en el espacio, lo cual, sin embargo, no siempre es así. ^{[ 1 ]}

El caso $n=2$ Esto se suele ilustrar diciendo que, en cualquier momento, siempre hay un par de puntos antipodales en la superficie terrestre con temperaturas iguales y presiones barométricas iguales, suponiendo que ambos parámetros varían continuamente en el espacio.

Historia

Según Matoušek (2003 , p. 25) , la primera mención histórica del enunciado del teorema de Borsuk-Ulam aparece en Lyusternik y Shnirel'man (1930) . La primera demostración la dio Karol Borsuk ( 1933 ) , quien atribuyó la formulación del problema a Stanisław Ulam . Desde entonces, diversos autores han encontrado numerosas demostraciones alternativas, recopiladas por Steinlein (1985) .

Declaraciones equivalentes

Las siguientes afirmaciones son equivalentes al teorema de Borsuk-Ulam. ^{[ 2 ]}

Con funciones impares

Una función $g$ se denomina impar (también conocido como antípoda o que preserva el antípoda ) si para cada $x$ , $g(-x)=-g(x)$ .

El teorema de Borsuk-Ulam es equivalente a cada una de las siguientes afirmaciones:

(1) Cada función impar continua $S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ tiene un cero.

(2) No existe ninguna función impar continua $S^{n}\to S^{n-1}$ .

Aquí hay una demostración de que el teorema de Borsuk-Ulam es equivalente a (1):

( $\Longrightarrow$ ) Si el teorema es correcto, entonces es específicamente correcto para funciones impares, y para una función impar, $g(-x)=g(x)$ si y solo si $g(x)=0$ Por lo tanto, toda función continua impar tiene un cero.

( $\Longleftarrow$ ) Para cada función continua $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ La siguiente función es continua e impar: $g(x)=f(x)-f(-x)$ Si toda función continua impar tiene un cero, entonces $g$ tiene un cero y, por lo tanto, $f(x)=f(-x)$ .

Para demostrar que (1) y (2) son equivalentes, utilizamos las siguientes aplicaciones impares continuas:

la inclusión obvia $i:S^{n-1}\to \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ ,
y el mapa de proyección radial $p:\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}\to S^{n-1}$ dado por $x\mapsto {\frac {x}{|x|}}$ .

La prueba ahora se escribe sola.

$((1)\Longrightarrow (2))$ Demostramos la contrapositiva. Si existe una función impar continua $f:S^{n}\to S^{n-1}$ , entonces $i\circ f$ es una función impar continua $S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ .

$((1)\Longleftarrow (2))$ De nuevo demostramos la contrapositiva. Si existe una función impar continua $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ , entonces $p\circ f$ es una función impar continua $S^{n}\to S^{n-1}$ .

Pruebas

caso unidimensional

El caso unidimensional se puede demostrar fácilmente utilizando el teorema del valor intermedio (TVI).

Dejar $g$ sea la función continua de valor real impar en un círculo definido por $g(x)=f(x)-f(-x)$ . Elija un arbitrario $x$ . Si $g(x)=0$ Entonces hemos terminado. De lo contrario, sin pérdida de generalidad , $g(x)>0.$ Pero $g(-x)<0.$ Por lo tanto, según el IVT, hay un punto $y$ en el cual $g(y)=0$ .

Caso general

Demostración topológica algebraica

Supongamos que $h:S^{n}\to S^{n-1}$ es una función continua impar con $n\geq 2$ (el caso $n=1$ se trata arriba). Tenga en cuenta que el caso $n=2$ También se puede abordar utilizando la teoría básica de recubrimientos .

Al pasar a órbitas bajo la acción antipodal, obtenemos entonces una función continua inducida. $h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}$ entre espacios proyectivos reales , e induce un isomorfismo en grupos fundamentales porque $h$ es extraño.

Por el teorema de Hurewicz y el teorema del coeficiente universal para la cohomología, el homomorfismo inducido en la cohomología con $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ coeficientes,

$H^{1}(\mathbb {RP} ^{n};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\leftarrow H^{1}(\mathbb {RP} ^{n-1};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ),$

es un isomorfismo. Sea $a$ ser el generador de $H^{1}(\mathbb {RP} ^{n};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ y $b$ sea el de $H^{1}(\mathbb {RP} ^{n-1};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ . Entonces el isomorfismo envía $b$ a $a$ . Por lo tanto, el homomorfismo de anillo de cohomología inducido ,

$(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )[a]/a^{n+1}=H^{*}(\mathbb {RP} ^{n};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\leftarrow H^{*}(\mathbb {RP} ^{n-1};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )[b]/b^{n},$

envía $b^{n}=0$ a $a^{n}\neq 0$ , una contradicción. ^{[ 3 ]}

También se puede demostrar la afirmación más fuerte de que cualquier mapa impar $S^{n-1}\to S^{n-1}$ tiene grado impar y luego deduce el teorema a partir de este resultado.

Prueba combinatoria

El teorema de Borsuk - Ulam se puede demostrar a partir del lema de Tucker . ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Dejar $g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ sea una función impar continua. Debido a que g es continua en un dominio compacto , es uniformemente continua . Por lo tanto, para cada $\epsilon >0$ , hay un $\delta >0$ de tal manera que, por cada dos puntos de $S_{n}$ que se encuentran dentro $\delta$ de cada uno, sus imágenes bajo g están dentro $\epsilon$ del otro.

Defina una triangulación de $S_{n}$ con bordes de longitud como máximo $\delta$ . Etiqueta cada vértice $v$ de la triangulación con una etiqueta $l(v)\in {\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm n}$ De la siguiente manera:

El valor absoluto de la etiqueta es el índice de la coordenada con el mayor valor absoluto de g : $|l(v)|=\arg \max _ {k}(|g(v)_{k}|)$ .
El signo de la etiqueta es el signo de g en la coordenada anterior, de modo que: $l(v)=\operatorname {sgn}(g(v)_{|l(v)|})|l(v)|$ .

Como g es impar, el etiquetado también es impar: $l(-v)=-l(v)$ . Por lo tanto, aplicando el lema de Tucker a un hemisferio de $S_{n}$ produce dos vértices adyacentes $u,v$ con etiquetas opuestas. Supongamos sin pérdida de generalidad que las etiquetas son $l(u)=1,l(v)=-1$ . Por definición de l , esto significa que en ambos $g(u)$ y $g(v)$ , la coordenada #1 es la coordenada más grande: en $g(u)$ esta coordenada es positiva mientras que en $g(v)$ es negativo. Por la construcción de la triangulación, la distancia entre $g(u)$ y $g(v)$ es como máximo $\epsilon$ , así que en particular $|g(u)_{1}-g(v)_{1}|=|g(u)_{1}|+|g(v)_{1}|\leq \epsilon$ (desde $g(u)_{1}$ y $g(v)_{1}$ tienen signos opuestos) y por lo tanto $|g(u)_{1}|\leq \epsilon$ . Pero dado que la coordenada más grande de $g(u)$ es la coordenada #1, esto significa que $|g(u)_{k}|\leq \epsilon$ para cada $1\leq k\leq n$ . Entonces $|g(u)|\leq c_{n}\epsilon$ , dónde $c_{n}$ es alguna constante que depende de $n$ y la norma $|\cdot |$ que usted haya elegido.

Lo anterior es cierto para todos $\epsilon >0$ ; desde $S_{n}$ es compacto, por lo tanto debe haber un punto u en el que $|g(u)|=0$ .

Corolarios

Ningún subconjunto de $\mathbb {R} ^{n}$ es homeomorfo a $S^{n}$
El teorema del sándwich de jamón : Para cualesquiera conjuntos compactos A ₁ , ..., A _n en $\mathbb {R} ^{n}$ Siempre podemos encontrar un hiperplano que divida cada uno de ellos en dos subconjuntos de igual medida.

Resultados equivalentes

Anteriormente mostramos cómo demostrar el teorema de Borsuk-Ulam a partir del lema de Tucker. Lo contrario también es cierto: es posible demostrar el lema de Tucker a partir del teorema de Borsuk-Ulam. Por lo tanto, estos dos teoremas son equivalentes. Existen varios teoremas de punto fijo que se presentan en tres variantes equivalentes: una variante de topología algebraica , una variante combinatoria y una variante de recubrimiento de conjuntos. Cada variante puede demostrarse por separado utilizando argumentos totalmente diferentes, pero cada variante también puede reducirse a las otras variantes de su fila. Además, cada resultado de la fila superior puede deducirse del que se encuentra debajo en la misma columna. ^{[ 6 ]}

Generalizaciones

En el teorema original, el dominio de la función f es la n- esfera unitaria (el límite de la n -bola unitaria). En general, también es cierto cuando el dominio de f es el límite de cualquier subconjunto simétrico abierto y acotado de $\mathbb {R} ^{n}$ que contiene el origen (Aquí, simétrico significa que si x está en el subconjunto, entonces -x también está en el subconjunto). ^{[ 7 ]}
En términos más generales, si $M$ es una variedad riemanniana compacta n- dimensional y $f:M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ es continua, existe un par de puntos x e y en $M$ de tal manera que $f(x)=f(y)$ y x e y están unidas por una geodésica de longitud $\delta$ , para cualquier prescrito $\delta >0$ . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}
Consideremos la función A que asigna a un punto su punto antipodal: $A(x)=-x.$ Tenga en cuenta que $A(A(x))=x.$ El teorema original afirma que existe un punto x en el que $f(A(x))=f(x).$ En general, esto también es cierto para toda función A para la cual $A(A(x))=x.$ ^{[ 10 ]} Sin embargo, en general esto no es cierto para otras funcionesA.^{[ 11 ]}

Véase también

Notas

↑ Jha, Aditya; Campbell, Douglas; Montelle, Clemency; Wilson, Phillip L. (30 de julio de 2023). "Sobre la falacia del continuo: ¿Es la temperatura una función continua?" . Foundations of Physics . 53 (4): 69. Bibcode : 2023FoPh...53...69J . doi : 10.1007/s10701-023-00713-x . hdl : 1721.1/152272 . ISSN 1572-9516 .
^ Prescott , Timoteo (2002). Extensiones del teorema de Borsuk-Ulam (BS). Universidad Harvey Mudd. CiteSeerX 10.1.1.124.4120 .
↑ Joseph J. Rotman, Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1(Para una explicación completa, consulte el capítulo 12).
↑ Freund, Robert M.; Todd, Michael J. (1982). "Una demostración constructiva del lema combinatorio de Tucker" . Journal of Combinatorial Theory . Serie A. 30 (3): 321– 325. doi : 10.1016/0097-3165(81)90027-3 .
↑ Simmons, Forest W.; Su, Francis Edward (2003). "Reducción a la mitad del consenso mediante teoremas de Borsuk - Ulam y Tucker" . Ciencias Sociales Matemáticas . 45 : 15-25 . doi : 10.1016/s0165-4896(02)00087-2 . hdl : 10419/94656 .
↑ Nyman, Kathryn L.; Su, Francis Edward (2013), "Un equivalente de Borsuk-Ulam que implica directamente el lema de Sperner" , The American Mathematical Monthly , 120 (4): 346–354 , doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.04.346 , JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.120.04.346 , MR 3035127
↑ "Teorema del punto fijo de Borsuk" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
^ Hopf, H. (1944). "Eine Verallgemeinerung bekannter Abbildungs-und Überdeckungssätze". Portugaliae Mathematica .
↑ Malyutin, AV; Shirokov, IM (2023). "Teoremas de tipo Hopf para f-vecinos". Hermano. Èlektron. Estera. Izv . 20 (1): 165-182 .
^ Yang, Chung Tao (1954). "Sobre los teoremas de Borsuk-Ulam, Kakutani-Yamabe-Yujobo y Dyson, I". Anales de Matemáticas . 60 (2): 262– 282. doi : 10.2307/1969632 . JSTOR 1969632 .
↑ Jens Reinhold, Faisal; Sergei Ivanov. "Generalización de Borsuk-Ulam" . Math Overflow . Consultado el 18 de mayo de 2015 .

Referencias

Borsuk, Karol (1933). "Drei Sätze über die n -dimensionale euklidische Sphäre" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en alemán). 20 : 177– 190. doi : 10.4064/fm-20-1-177-190 . Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
Lyusternik, Lazar ; Shnirel'man, Lev (1930). "Métodos topológicos en problemas variacionales". Issledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri OMG U. Moscú.
Matoušek, Jiří (2003). Usando el teorema de Borsuk-Ulam . Berlín: Springer Verlag. doi : 10.1007/978-3-540-76649-0 . ISBN 978-3-540-00362-5.
Steinlein, H. (1985). "El teorema de las antípodas de Borsuk y sus generalizaciones y aplicaciones: un estudio. Méthodes topologiques en analyse non linéaire". Sém. Matemáticas. Súper. Montreal, Sém. Ciencia. OTAN (Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN) . 95 : 166-235 .
Su, Francis Edward (noviembre de 1997). "Borsuk-Ulam implica a Brouwer: una construcción directa" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 104 (9): 855–859 . CiteSeerX 10.1.1.142.4935 . doi : 10.2307/2975293 . JSTOR 2975293. Archivado del original (PDF) el 13 de octubre de 2008. Recuperado el 21 de abril de 2006 .

Enlaces externos

¿A quién más le importa la topología? Collares robados y Borsuk-Ulam en YouTube
El Explorador de Borsuk-Ulam . Una ilustración interactiva del Teorema de Borsuk-Ulam.

[:0-1] Jha, Aditya; Campbell, Douglas; Montelle, Clemency; Wilson, Phillip L. (30 de julio de 2023). "Sobre la falacia del continuo: ¿Es la temperatura una función continua?" . Foundations of Physics . 53 (4): 69. Bibcode : 2023FoPh...53...69J . doi : 10.1007/s10701-023-00713-x . hdl : 1721.1/152272 . ISSN 1572-9516 .

[prescott2002-2] Prescott , Timoteo (2002). Extensiones del teorema de Borsuk-Ulam (BS). Universidad Harvey Mudd. CiteSeerX 10.1.1.124.4120 .

[rotman-3] Joseph J. Rotman, Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1(Para una explicación completa, consulte el capítulo 12).

[FreundTodd1982-4] Freund, Robert M.; Todd, Michael J. (1982). "Una demostración constructiva del lema combinatorio de Tucker" . Journal of Combinatorial Theory . Serie A. 30 (3): 321– 325. doi : 10.1016/0097-3165(81)90027-3 .

[SimmonsSu2003-5] Simmons, Forest W.; Su, Francis Edward (2003). "Reducción a la mitad del consenso mediante teoremas de Borsuk - Ulam y Tucker" . Ciencias Sociales Matemáticas . 45 : 15-25 . doi : 10.1016/s0165-4896(02)00087-2 . hdl : 10419/94656 .

[6] Nyman, Kathryn L.; Su, Francis Edward (2013), "Un equivalente de Borsuk-Ulam que implica directamente el lema de Sperner" , The American Mathematical Monthly , 120 (4): 346–354 , doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.04.346 , JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.120.04.346 , MR 3035127

[7] "Teorema del punto fijo de Borsuk" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

[8] Hopf, H. (1944). "Eine Verallgemeinerung bekannter Abbildungs-und Überdeckungssätze". Portugaliae Mathematica .

[9] Malyutin, AV; Shirokov, IM (2023). "Teoremas de tipo Hopf para f-vecinos". Hermano. Èlektron. Estera. Izv . 20 (1): 165-182 .

[10] Yang, Chung Tao (1954). "Sobre los teoremas de Borsuk-Ulam, Kakutani-Yamabe-Yujobo y Dyson, I". Anales de Matemáticas . 60 (2): 262– 282. doi : 10.2307/1969632 . JSTOR 1969632 .

[11] Jens Reinhold, Faisal; Sergei Ivanov. "Generalización de Borsuk-Ulam" . Math Overflow . Consultado el 18 de mayo de 2015 .

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[ 3 ]

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[ 5 ]

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[ 8 ]

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