Tipo acotado (matemáticas)

En matemáticas , se dice que una función definida en una región del plano complejo es de tipo acotado si es igual al cociente de dos funciones analíticas acotadas en esa región. Pero, de forma más general, una función es de tipo acotado en una región${\displaystyle \Omega }$si y solo si${\displaystyle f}$es analítico en${\displaystyle \Omega }$y${\displaystyle \log ^{+}|f(z)|}$tiene una mayorante armónica en${\displaystyle \Omega ,}$ dónde${\displaystyle \log ^{+}(x)=\max[0,\log(x)]}$. Ser la razón de dos funciones analíticas acotadas es una condición suficiente para que una función sea de tipo acotado (definido en términos de una mayorante armónica), y si${\displaystyle \Omega }$simplemente está conectado, la condición también es necesaria.

La clase de todos tales${\displaystyle f}$en${\displaystyle \Omega }$comúnmente se denota${\displaystyle N(\Omega )}$y a veces se la llama clase Nevanlinna para${\displaystyle \Omega }$La clase Nevanlinna incluye todas las clases Hardy .

Las funciones de tipo acotado no son necesariamente acotadas, ni poseen una propiedad denominada "tipo" que sea acotada. El motivo de este nombre probablemente se deba a que, al definirse en un disco, la característica de Nevanlinna (una función de la distancia al centro del disco) es acotada.

Claramente, si una función es la razón de dos funciones acotadas, entonces puede expresarse como la razón de dos funciones que están acotadas por 1:

${\displaystyle f(z)=P(z)/Q(z)}$

Los logaritmos de${\displaystyle |1/P(z)|}$y de${\displaystyle |1/Q(z)|}$son no negativos en la región, por lo tanto

${\displaystyle {\begin{aligned}\log |f(z)|&=\log |1/Q(z)|-\log |1/P(z)|\\&\leq \log |1/Q(z)|\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\log ^{+}|f(z)|&=\max[0,\log |f(z)|]\\&\leq \max(0,\log |1/Q(z)|)\\&\leq \log |1/Q(z)|\\&\leq -\Re \left(\log Q(z)\right).\end{aligned}}}$

Esta última es la parte real de una función analítica y, por lo tanto, es armónica , lo que demuestra que${\displaystyle \log ^{+}|f(z)|}$tiene una mayorante armónica en Ω.

Para una región dada, las sumas, diferencias y productos de funciones de tipo acotado son de tipo acotado, al igual que el cociente de dos de dichas funciones, siempre que el denominador no sea idénticamente cero.

Los polinomios son de tipo acotado en cualquier región acotada. También son de tipo acotado en el semiplano superior (SPS), porque un polinomio${\displaystyle f(z)}$Una función de grado n puede expresarse como una razón de dos funciones analíticas acotadas en el UHP:

${\displaystyle f(z)=P(z)/Q(z)}$

con

${\displaystyle P(z)=f(z)/(z+i)^{n}}$

${\displaystyle Q(z)=1/(z+i)^{n}.}$

La inversa de un polinomio también es de tipo acotado en una región, al igual que cualquier función racional .

La función${\displaystyle \exp(aiz)}$es de tipo acotado en el UHP si y solo si a es real. Si a es positivo, la función misma es acotada en el UHP (por lo que podemos usar${\displaystyle Q(z)=1}$), y si a es negativo, entonces la función es igual a 1/Q(z) con${\displaystyle Q(z)=\exp(|a|iz)}$.

El seno y el coseno son de tipo acotado en el UHP. De hecho,

${\displaystyle \sin(z)=P(z)/Q(z)}$

con

${\displaystyle P(z)=\sin(z)\exp(iz)}$

${\displaystyle Q(z)=\exp(iz)}$

Ambos están delimitados en el UHP.

Todos los ejemplos anteriores son de tipo acotado también en el semiplano inferior, utilizando diferentes funciones P y Q. Pero la región mencionada en la definición del término "tipo acotado" no puede ser todo el plano complejo a menos que la función sea constante porque se deben usar las mismas P y Q en toda la región, y las únicas funciones enteras (es decir, analíticas en todo el plano complejo) que son acotadas son las constantes, según el teorema de Liouville .

Otro ejemplo en el semiplano superior es una " función de Nevanlinna ", es decir, una función analítica que mapea el UHP al UHP cerrado. Si f ( z ) es de este tipo, entonces

${\displaystyle f(z)=P(z)/Q(z)}$

donde P y Q son las funciones acotadas:

${\displaystyle P(z)={\frac {f(z)}{f(z)+i}}}$

${\displaystyle Q(z)={\frac {1}{f(z)+i}}}$

(Esto obviamente también se aplica a${\displaystyle f(z)/i}$(es decir, una función cuya parte real es no negativa en el UHP).

Para una región dada, la suma, el producto o el cociente de dos funciones (no nulas) de tipo acotado también son de tipo acotado. El conjunto de funciones de tipo acotado es un álgebra sobre los números complejos y, de hecho, es un cuerpo .

Cualquier función de tipo acotado en el semiplano superior (con un número finito de raíces en algún entorno de 0) puede expresarse como un producto de Blaschke (una función analítica, acotada en la región, que factoriza los ceros) multiplicando el cociente${\displaystyle P(z)/Q(z)}$dónde${\displaystyle P(z)}$y${\displaystyle Q(z)}$están acotados por 1 y no tienen ceros en el UHP. Entonces se puede expresar este cociente como

${\displaystyle P(z)/Q(z)=\exp(-U(z))/\exp(-V(z))}$

dónde${\displaystyle U(z)}$y${\displaystyle V(z)}$son funciones analíticas que tienen parte real no negativa en el UHP. Cada una de ellas, a su vez, puede expresarse mediante una representación de Poisson (véanse las funciones de Nevanlinna ):

${\displaystyle U(z)=c-ipz-i\int _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{\lambda -z}}-{\frac {\lambda }{1+\lambda ^{2}}}\right)d\mu (\lambda )}$

${\displaystyle V(z)=d-iqz-i\int _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{\lambda -z}}-{\frac {\lambda }{1+\lambda ^{2}}}\right)d\nu (\lambda )}$

donde c y d son constantes imaginarias, p y q son constantes reales no negativas, y μ y ν son funciones no decrecientes de una variable real (bien comportadas, por lo que las integrales convergen). La diferencia q−p ha sido denominada "tipo medio" por Louis de Branges y describe el crecimiento o decrecimiento de la función a lo largo del eje imaginario:

${\displaystyle qp=\limsup _{y\to \infty }y^{-1}\ln |f(iy)|}$

El tipo medio en el semiplano superior es el límite de un promedio ponderado del logaritmo del valor absoluto de la función dividido por la distancia desde cero, normalizado de tal manera que el valor para${\displaystyle \exp(-iz)}$es 1: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle qp=\lim _{r\to \infty }(2/\pi )r^{-1}\int _{0}^{\pi }\ln |f(re^{i\theta })|\sin \theta d\theta }$

Si una función entera es de tipo acotado tanto en el semiplano superior como en el inferior, entonces es de tipo exponencial igual al mayor de los dos "tipos medios" respectivos ^{[ 2 ]} (y el mayor será no negativo). Una función entera de orden mayor que 1 (lo que significa que en alguna dirección crece más rápido que una función de tipo exponencial) no puede ser de tipo acotado en ningún semiplano.

Podemos, por lo tanto, producir una función de tipo acotado utilizando una exponencial apropiada de z y exponenciales de funciones de Nevanlinna arbitrarias multiplicadas por i , por ejemplo:

${\displaystyle f(z)=\exp(iz){\frac {\exp(i{\sqrt {z}})}{\exp(-i/{\sqrt {z}})}}}$

En cuanto a los ejemplos dados anteriormente, el tipo medio de polinomios o sus inversos es cero. El tipo medio de${\displaystyle \exp(aiz)}$en el semiplano superior es − a , mientras que en el semiplano inferior es a . El tipo medio de${\displaystyle \sin(z)}$en ambos semiplanos es 1.

Las funciones de tipo acotado en el semiplano superior con media no positiva y que tienen una extensión continua e integrable al cuadrado hasta el eje real tienen la interesante propiedad (útil en aplicaciones) de que la integral (a lo largo del eje real)

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(t)dt}{tz}}}$

igual${\displaystyle f(z)}$si z está en el semiplano superior y cero si z está en el semiplano inferior. ^{[ 3 ]} Esto puede denominarse la fórmula de Cauchy para el semiplano superior.

• Espacio De Branges
• Rolf Nevanlinna

• Conway, John B. (13 de junio de 1996). Funciones de una variable compleja II . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  159. Springer-Verlag . pág.  273. ISBN 0-387-94460-5.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994). Temas sobre clases de Hardy y funciones univalentes . Textos avanzados de Birkhauser: Libros de texto de Basilea. Basilea: Birkhauser Verlag.