Grupo límite

Para${\textstyle n\geq 1}$, el espacio de grupos marcados${\textstyle {\mathcal {G}}_{n}}$es el conjunto de subgrupos normales del grupo libre${\textstyle F_{n}}$. Porque${\textstyle F_{n}}$es un grupo discreto , la topología de Chabauty es la topología en${\textstyle {\mathcal {G}}_{n}}$inducido por la topología del producto , o topología de Tychonoff , en el conjunto potencia${\textstyle \{0,1\}^{F_{n}}}$(dónde${\textstyle \{0,1\}}$es discreto). Por lo tanto, se puede decir que dos elementos${\textstyle N,N'}$de${\textstyle {\mathcal {G}}_{n}}$están "cerca" si uno tiene${\textstyle S\cap N=S\cap N'}$para un subconjunto finito "grande"${\textstyle S\subset F_{n}}$. Dado que una presentación grupal con${\textstyle n}$Los generadores pueden considerarse un epimorfismo de${\textstyle F_{n}}$, que es lo mismo que un cociente de${\textstyle F_{n}}$, el conjunto de todas las presentaciones grupales que involucran un conjunto de${\textstyle n}$letras está naturalmente en biyección con${\textstyle {\mathcal {G}}_{n}}$y por lo tanto hereda su topología. Se pueden considerar elementos de${\textstyle {\mathcal {G}}_{n}}$ya sea como subgrupos, presentaciones o epimorfismos.

Para${\textstyle 1\leq k\leq n}$, un grupo límite sobre${\textstyle F_{k}}$es el cociente de${\textstyle F_{n}}$por un elemento del cierre topológico del conjunto de subgrupos normales${\textstyle N\triangleleft F_ {n}}$de tal manera que${\textstyle F_{n}/N}$es isomorfo a${\textstyle F_{k}}$. Como el espacio${\textstyle {\mathcal {G}}_{n}}$es compacto metrizable , esto es lo mismo que un límite de una secuencia de epimorfismos${\textstyle \phi _{i}:F_{n}\longrightarrow F_{k}}$Un grupo límite es un grupo finitamente generado para el cual surge una presentación de esta manera para algún${\textstyle 1\leq k\leq n}$.

Un grupo generado finitamente${\textstyle G}$Se dice que es completamente libre de residuos si para todo subconjunto finito${\textstyle B\subset G}$, existe un grupo libre${\textstyle F}$y un homomorfismo${\textstyle f:G\longrightarrow F}$cuya restricción a${\textstyle B}$es inyectivo.

Se puede observar que los grupos completamente libres residuales generados finitamente son grupos límite, como sigue. Si${\textstyle G}$es generado por${\textstyle n}$elementos, entonces hay un epimorfismo${\textstyle g:F_{n}\longrightarrow G}$. Tomando un agotamiento contable creciente de${\textstyle G}$por subconjuntos finitos${\textstyle B_{i}}$, uno tiene homomorfismos${\textstyle f_ {i}:G\longrightarrow F_ {k_ {i}}}$cuya restricción a${\textstyle B_{i}}$es inyectivo, y dado que cualquier${\textstyle n}$-un subgrupo generado de un grupo libre es un grupo libre de rango como máximo${\textstyle n}$, se puede suponer que${\textstyle f_{i}}$s son epimorfismos y${\textstyle k_{i}\leq n}$. Una subsecuencia de${\textstyle f_{i}\circ g}$tiende a${\textstyle g}$y tiene constante${\textstyle k_{i}=k}$, por eso${\textstyle G}$es un grupo límite sobre${\textstyle F_{k}}$.

Lo contrario también es cierto (pero es más difícil de demostrar), por lo tanto, los grupos límite se caracterizan como grupos finitamente generados y completamente libres de residuos. ^{[ 1 ]}

Cualquier grupo límite se obtiene iterando construcciones llamadas extensión libre del centralizador , y luego pasando a un subgrupo. ^{[ 1 ]}

Dado un grupo${\textstyle G}$y un elemento${\textstyle c\in G}$con centralizador${\textstyle Z_{c}\leq G}$, una extensión gratuita del centralizador${\textstyle Z_{c}}$es un producto fusionado gratuito${\displaystyle G{\underset {Z_{c}}{\ast }}(Z_{c}\times \mathbb {Z} ^{d})}$para algunos${\textstyle d\geq 1}$. Si${\textstyle G}$es un grupo límite y${\textstyle c\neq 1}$, se puede obtener la extensión libre del centralizador como un límite de los homomorfismos que envían los generadores del${\textstyle \mathbb {Z} ^{d}}$a potencias de${\textstyle c}$tendiendo al infinito de una manera que elimina las relaciones distintas de la conmutación con${\textstyle c}$.