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Articulo de referencia

Modelo de Cox-Ingersoll-Ross

Tres trayectorias de los procesos CIR En finanzas matemáticas , el modelo Cox-Ingersoll-Ross (CIR) describe la evolución de los tipos de interés . Es un tipo de "modelo de un fa...

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Tres trayectorias de los procesos CIR

En finanzas matemáticas , el modelo Cox-Ingersoll-Ross (CIR) describe la evolución de los tipos de interés . Es un tipo de "modelo de un factor" ( modelo de tipo corto ) ya que describe los movimientos de los tipos de interés como impulsados ​​por una sola fuente de riesgo de mercado . El modelo puede utilizarse en la valoración de derivados de tipos de interés . Fue introducido en 1985 [ 1 ] por John C. Cox , Jonathan E. Ingersoll y Stephen A. Ross como una extensión del modelo Vasicek , que a su vez es un proceso de Ornstein-Uhlenbeck .

El modelo

Proceso CIR

El modelo CIR describe la tasa de interés instantánea.rt{\displaystyle r_{t}}con un proceso de raíz cuadrada de Feller , cuya ecuación diferencial estocástica es

drt=a(b−rt)dt+σrtdWt,{\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW_{t},}

dóndeWt{\displaystyle W_{t}}es un proceso de Wiener (que modela el factor de riesgo de mercado aleatorio) ya{\displaystyle a},b{\displaystyle b}, yσ{\displaystyle \sigma \,}son los parámetros . El parámetroa{\displaystyle a}corresponde a la velocidad de ajuste a la mediab{\displaystyle b}, yσ{\displaystyle \sigma \,}a la volatilidad. El factor de deriva,a(b−rt){\displaystyle a(b-r_{t})}es exactamente igual que en el modelo de Vasicek. Garantiza la reversión a la media del tipo de interés hacia el valor a largo plazo.b{\displaystyle b}, con una velocidad de ajuste regida por el parámetro estrictamente positivoa{\displaystyle a}.

El factor de desviación estándar ,σrt{\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}, evita la posibilidad de tipos de interés negativos para todos los valores positivos dea{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}También se excluye un tipo de interés cero si se cumple la condición.

2ab≥σ2{\displaystyle 2ab\geq \sigma ^{2}\,}

se cumple. De manera más general, cuando la tasa (rt{\displaystyle r_{t}}) es cercano a cero, la desviación estándar (σrt{\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}) también se vuelve muy pequeño, lo que amortigua el efecto del choque aleatorio sobre la tasa. En consecuencia, cuando la tasa se acerca a cero, su evolución pasa a estar dominada por el factor de deriva, que empuja la tasa hacia arriba (hacia el equilibrio ).

En el caso4ab=σ2{\displaystyle 4ab=\sigma ^{2}\,}[ 2 ] El proceso de raíz cuadrada de Feller se puede obtener a partir del cuadrado de un proceso de Ornstein-Uhlenbeck . Es ergódico y posee una distribución estacionaria. Se utiliza en el modelo de Heston para modelar la volatilidad estocástica.

Distribución

  • Distribución futura
La distribución de valores futuros de un proceso CIR se puede calcular de forma cerrada:
rt+T=Y2do,{\displaystyle r_{t+T}={\frac {Y}{2c}},}
dóndedo=2a(1−mi−aT)σ2{\displaystyle c={\frac {2a}{(1-e^{-aT})\sigma ^{2}}}}y Y es una distribución chi-cuadrado no central con4abσ2{\displaystyle {\frac {4ab}{\sigma ^{2}}}}grados de libertad y parámetro de no centralidad2dortmi−aT{\displaystyle 2cr_{t}e^{-aT}}Formalmente, la función de densidad de probabilidad es:
F(rt+T;rt,a,b,σ)=domi−tú−v(vtú)q/2Iq(2túv),{\displaystyle f(r_{t+T};r_{t},a,b,\sigma )=c\,e^{-uv}\left({\frac {v}{u}}\right)^{q/2}I_{q}(2{\sqrt {uv}}),}
dóndeq=2abσ2−1{\displaystyle q={\frac {2ab}{\sigma ^{2}}}-1},tú=dortmi−aT{\displaystyle u=cr_{t}e^{-aT}},v=dort+T{\displaystyle v=cr_{t+T}}, yIq(2túv){\displaystyle I_{q}(2{\sqrt {uv}})}es una función de Bessel modificada de primer tipo de ordenq{\displaystyle q}.
  • Distribución asintótica
Debido a la reversión a la media, a medida que el tiempo se vuelve grande, la distribución der∞{\displaystyle r_{\infty }}se aproximará a una distribución gamma con la densidad de probabilidad de:
F(r∞;a,b,σ)=βαΓ(α)r∞α−1mi−βr∞,{\displaystyle f(r_{\infty };a,b,\sigma )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}r_{\infty }^{\alpha -1}e^{-\beta r_{\infty }},}
dóndeβ=2a/σ2{\displaystyle \beta =2a/\sigma ^{2}}yα=2ab/σ2{\displaystyle \alpha =2ab/\sigma ^{2}}.

Propiedades

  • Reversión a la media ,
  • volatilidad dependiente del nivel (σrt{\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}),
  • Para un positivo dador0{\displaystyle r_{0}}el proceso nunca llegará a cero, si2ab≥σ2{\displaystyle 2ab\geq \sigma ^{2}}; de lo contrario, ocasionalmente puede tocar el punto cero,
  • mi⁡[rt∣r0]=r0mi−at+b(1−mi−at){\displaystyle \operatorname {E} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})}, por lo que la media a largo plazo esb{\displaystyle b},
  • Var⁡[rt∣r0]=r0σ2a(mi−at−mi−2at)+bσ22a(1−mi−at)2.{\displaystyle \operatorname {Var} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}{\frac {\sigma ^{2}}{a}}(e^{-at}-e^{-2at})+{\frac {b\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-at})^{2}.}

Calibración

La EDE continua se puede discretizar de la siguiente manera:
rt+Δt−rt=a(b−rt)Δt+σrtΔtεt,{\displaystyle r_{t+\Delta t}-r_{t}=a(b-r_{t})\,\Delta t+\sigma \,{\sqrt {r_{t}\Delta t}}\varepsilon _{t},}
lo cual es equivalente a
rt+Δt−rtrt=abΔtrt−artΔt+σΔtεt,{\displaystyle {\frac {r_{t+\Delta t}-r_{t}}{{\sqrt {r}}_{t}}}={\frac {ab\Delta t}{{\sqrt {r}}_{t}}}-a{\sqrt {r}}_{t}\Delta t+\sigma \,{\sqrt {\Delta t}}\varepsilon _{t},}
proporcionóεt{\displaystyle \varepsilon _ {t}}es niid (0,1). Esta ecuación se puede utilizar para una regresión lineal.

Simulación

La simulación estocástica del proceso CIR se puede lograr utilizando dos variantes:

Fijación de precios de los bonos

Bajo el supuesto de ausencia de arbitraje , un bono puede valorarse utilizando este proceso de tasa de interés. El precio del bono es exponencialmente afín a la tasa de interés:

PAG(t,T)=A(t,T)mi−B(t,T)rt{\displaystyle P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r_{t}}\!}

dónde

A(t,T)=(2hmi(a+h)(T−t)/22h+(a+h)(mih(T−t)−1))2ab/σ2{\displaystyle A(t,T)=\left({\frac {2he^{(a+h)(Tt)/2}}{2h+(a+h)(e^{h(Tt)}-1)}}\right)^{2ab/\sigma ^{2}}}
B(t,T)=2(mih(T−t)−1)2h+(a+h)(mih(T−t)−1){\displaystyle B(t,T)={\frac {2(e^{h(Tt)}-1)}{2h+(a+h)(e^{h(Tt)}-1)}}}
h=a2+2σ2{\displaystyle h={\sqrt {a^{2}+2\sigma ^{2}}}}

Extensiones

El modelo CIR utiliza un caso especial de difusión de salto afín básica , que aún permite una expresión de forma cerrada para los precios de los bonos. Se pueden introducir funciones que varían con el tiempo, reemplazando los coeficientes, en el modelo para que sea consistente con una estructura temporal preasignada de tasas de interés y posiblemente volatilidades. El enfoque más general se encuentra en Maghsoodi (1996). [ 3 ] Un enfoque más manejable se encuentra en Brigo y Mercurio (2001b) [ 4 ] donde se agrega un desplazamiento externo dependiente del tiempo al modelo para que sea consistente con una estructura temporal de tasas de entrada.

Una extensión significativa del modelo CIR al caso de media estocástica y volatilidad estocástica es dada por Lin Chen (1996) y se conoce como modelo de Chen . Una extensión más reciente para manejar volatilidad de clúster, tasas de interés negativas y diferentes distribuciones es el llamado "CIR #" de Orlando, Mininni y Bufalo (2018, [ 5 ] 2019, [ 6 ] [ 7 ] 2020, [ 8 ] 2021, [ 9 ] 2023 [ 10 ] ) y una extensión más simple que se centra en tasas de interés negativas fue propuesta por Di Francesco y Kamm (2021, [ 11 ] 2022 [ 12 ] ), que se denominan modelos CIR- y CIR--.

Véase también

Referencias

  1. ↑ "Una teoría de la estructura temporal de los tipos de interés - The Econometric Society" . www.econometricsociety.org . Consultado el 14 de octubre de 2023 .
  2. ^ Yuliya Mishura, Andrey Pilipenko y Anton Yurchenko-Tytarenko (10 de enero de 2024): proceso Cox-Ingersoll-Ross de baja dimensión, estocástico, DOI:10.1080/17442508.2023.2300291
  3. ↑ Maghsoodi, Yoosef (enero de 1996). "Solución de la estructura temporal extendida de Cir y valoración de opciones sobre bonos" . Mathematical Finance . 6 (1): 89– 109. doi : 10.1111/j.1467-9965.1996.tb00113.x . ISSN 0960-1627 . 
  4. ↑ Brigo, Damiano; Mercurio, Fabio (2001-07-01). "Una extensión determinista de cambio de modelos de tasa corta analíticamente tratables y homogéneos en el tiempo" . Finanzas y Estocástica . 5 (3): 369– 387. doi : 10.1007/PL00013541 . ISSN 0949-2984 . S2CID 35316609 .  
  5. ↑ Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (2018). «Un nuevo enfoque para el modelado de tasas de interés a corto plazo en CIR». Nuevos métodos en el modelado de renta fija . Contribuciones a la ciencia de la gestión. Springer International Publishing. págs. 35–43 . doi : 10.1007/978-3-319-95285-7_2 . ISBN  978-3-319-95284-0.
  6. ↑ Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (1 de enero de 2019). "Un nuevo enfoque para pronosticar las tasas de interés del mercado a través del modelo CIR". Estudios en Economía y Finanzas . 37 (2): 267– 292. doi : 10.1108/SEF-03-2019-0116 . ISSN 1086-7376 . S2CID 204424299 .  
  7. ↑ Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (19 de agosto de 2019). "Calibración de tasas de interés con un modelo CIR". The Journal of Risk Finance . 20 (4): 370– 387. doi : 10.1108/JRF-05-2019-0080 . ISSN 1526-5943 . S2CID 204435499 .  
  8. ↑ Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (julio de 2020). "Pronóstico de tasas de interés a través de los modelos Vasicek y CIR: un enfoque de partición" . Journal of Forecasting . 39 (4): 569– 579. arXiv : 1901.02246 . doi : 10.1002/for.2642 . ISSN 0277-6693 . S2CID 126507446 .  
  9. ↑ Orlando, Giuseppe; Bufalo, Michele (26 de mayo de 2021). "Pronóstico de tasas de interés: entre Hull y White y el CIR#: cómo hacer que funcione un modelo de un solo factor" . Journal of Forecasting . 40 (8): 1566– 1580. doi : 10.1002/for.2783 . ISSN 0277-6693 . 
  10. ↑ Orlando, Giuseppe; Bufalo, Michele (14 de julio de 2023). "Pronóstico de series temporales con el modelo CIR#: de los sentimientos de los mercados frenéticos al turismo estacional regular" . Desarrollo Tecnológico y Económico de la Economía . 29 (4): 1216– 1238. doi : 10.3846/tede.2023.19294 . ISSN 2029-4921 . 
  11. ↑ Di Francesco, Marco; Kamm, Kevin (4 de octubre de 2021). "Cómo manejar las tasas de interés negativas en un marco CIR" . SeMa Journal . 79 (4): 593– 618. arXiv : 2106.03716 . doi : 10.1007/s40324-021-00267-w . S2CID 235358123 . 
  12. ↑ Di Francesco, Marco; Kamm, Kevin (2022). "Sobre el modelo CIR extendido de cambio determinista en un marco de tasa de interés negativa" . International Journal of Financial Studies . 10 (2): 38. doi : 10.3390/ijfs10020038 . hdl : 11585/916048 .

Referencias adicionales

  • Hull, John C. (2003). Opciones, futuros y otros derivados . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall . ISBN 0-13-009056-5.
  • Cox, JC ; Ingersoll, JE ; Ross, SA (1985). "Una teoría de la estructura temporal de los tipos de interés". Econometrica . 53 (2): 385– 407. doi : 10.2307/1911242 . JSTOR 1911242 . 
  • Maghsoodi, Y. (1996). "Solución de la estructura temporal CIR extendida y valoración de opciones sobre bonos". Finanzas Matemáticas . 6 (6): 89– 109. doi : 10.1111/j.1467-9965.1996.tb00113.x .
  • Damiano Brigo; Fabio Mercurio (2001). Modelos de tipos de interés: teoría y práctica con Smile, inflación y crédito (2.ª ed., 2006  ). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
  • Brigo, Damiano; Fabio Mercurio (2001b). "Una extensión de cambio determinista de modelos de tasa a corto plazo analíticamente tratables y homogéneos en el tiempo" . Finance & Stochastics . 5 (3): 369– 388. doi : 10.1007/PL00013541 . S2CID 35316609 . 
  • Librería de código abierto que implementa el proceso CIR en Python.
  • Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (2020). "Pronóstico de tasas de interés a través de los modelos Vasicek y CIR: Un enfoque de partición". Journal of Forecasting . 39 (4): 569– 579. arXiv : 1901.02246 . doi : 10.1002/for.2642 . ISSN 1099-131X . S2CID 126507446 .