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Articulo de referencia

La identidad de Capelli

En matemáticas , la identidad de Capelli , que recibe su nombre de Alfredo Capelli ( 1887 ) , es un análogo de la fórmula det( AB ) = det( A ) det( B ), para ciertas matrices co...

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En matemáticas , la identidad de Capelli , que recibe su nombre de Alfredo Capelli ( 1887 ) , es un análogo de la fórmula det( AB ) = det( A ) det( B ), para ciertas matrices con entradas no conmutativas, relacionada con la teoría de la representación del álgebra de Lie.    gramolnorte{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}. Se puede utilizar para relacionar un invariante ƒ con el invariante Ω ƒ , donde Ω es el proceso Ω de Cayley .

Declaración

Supongamos que x ij para i , j = 1,..., n son variables conmutativas. Denotemos por E ij el operador de polarización.

miij=∑a=1norteincógnitaia∂∂incógnitaja.{\displaystyle E_{ij}=\sum _{a=1}^{n}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}.}

La identidad de Capelli establece que los siguientes operadores diferenciales, expresados ​​como determinantes, son iguales:

|mi11+norte−1⋯mi1,norte−1mi1norte⋮⋱⋮⋮minorte−1,1⋯minorte−1,norte−1+1minorte−1,norteminorte1⋯minorte,norte−1minortenorte+0|=|incógnita11⋯incógnita1norte⋮⋱⋮incógnitanorte1⋯incógnitanortenorte||∂∂incógnita11⋯∂∂incógnita1norte⋮⋱⋮∂∂incógnitanorte1⋯∂∂incógnitanortenorte|.{\displaystyle {\begin{vmatrix}E_{11}+n-1&\cdots &E_{1,n-1}&E_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\E_{n-1,1}&\cdots &E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n}\\E_{n1}&\cdots &E_{n,n-1}&E_{nn}+0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x_{11}&\cdots &x_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n1}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}.}

Ambos lados son operadores diferenciales. El determinante de la izquierda tiene entradas que no conmutan y se expande conservando todos los términos su orden "de izquierda a derecha". Este determinante se suele denominar determinante columna , ya que se puede obtener mediante la expansión columnar del determinante a partir de la primera columna. Se puede escribir formalmente como

det(A)=∑σ∈Snortesgn⁡(σ)Aσ(1),1Aσ(2),2⋯Aσ(norte),norte,{\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\sigma (1),1}A_{\sigma (2),2}\cdots A_{\sigma (n),n},}

donde en el producto aparecen primero los elementos de la primera columna, luego los de la segunda y así sucesivamente. El determinante de la derecha es el proceso omega de Cayley , y el de la izquierda es el determinante de Capelli.

Los operadores E ij se pueden escribir en forma matricial:

mi=incógnitaDt,{\displaystyle E=XD^{t},}

dóndemi,incógnita,D{\displaystyle E,X,D}son matrices con elementos E ij , x ij ,∂∂incógnitaij{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}}respectivamente. Si todos los elementos de estas matrices fueran conmutativos, entonces claramentedet(mi)=det(incógnita)det(Dt){\displaystyle \det(E)=\det(X)\det(D^{t})}La identidad de Capelli muestra que, a pesar de la no conmutatividad, existe una "cuantización" de la fórmula anterior. El único precio de la no conmutatividad es una pequeña corrección:(norte−i)δij{\displaystyle (ni)\delta _ {ij}}en el lado izquierdo. Para fórmulas de matrices no conmutativas genéricas como

det(AB)=det(A)det(B){\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}

No existen, y la noción de «determinante» en sí misma carece de sentido para matrices no conmutativas genéricas. Por eso, la identidad de Capelli aún encierra cierto misterio, a pesar de las numerosas demostraciones propuestas. No parece existir una demostración muy breve. La verificación directa del enunciado puede plantearse como un ejercicio para n = 2, pero resulta extensa para n = 3.

Relaciones con la teoría de la representación

Consideremos el siguiente contexto un poco más general. Supongamos quenorte{\displaystyle n}ymetro{\displaystyle m}son dos números enteros yincógnitaij{\displaystyle x_{ij}}para i=1,…,norte, j=1,…,metro{\displaystyle i=1,\dots ,n,\ j=1,\dots ,m}, sean variables conmutativas. Redefinir miij{\displaystyle E_{ij}}con casi la misma fórmula:

miij=∑a=1metroincógnitaia∂∂incógnitaja.{\displaystyle E_{ij}=\sum _{a=1}^{m}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}.}

con la única diferencia de que el índice de sumatoriaa{\displaystyle a}abarca desde1{\displaystyle 1}ametro{\displaystyle m}Se puede observar fácilmente que dichos operadores satisfacen las relaciones de conmutación:

[miij,mikl]=δjkmiil−δilmikj.         {\displaystyle [E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}.~~~~~~~~~}

Aquí [a,b]{\displaystyle [a,b]}denota el conmutadorab−ba{\displaystyle ab-ba}Estas son las mismas relaciones de conmutación que satisfacen las matrices.miij{\displaystyle e_{ij}}que tienen ceros en todas partes excepto en la posición(i,j){\displaystyle (i,j)}, donde 1 se encuentra. (miij{\displaystyle e_{ij}}a veces se denominan unidades matriciales ). Por lo tanto, concluimos que la correspondenciaπ:miij↦miij{\displaystyle \pi :e_{ij}\mapsto E_{ij}}define una representación del álgebra de Liegramolnorte{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}en el espacio vectorial de polinomios deincógnitaij{\displaystyle x_{ij}}.

Caso m = 1 y representación S k C n

Resulta especialmente instructivo considerar el caso especial m  =  1; en este caso tenemos x i1 , que se abrevia como x i :

miij=incógnitai∂∂incógnitaj.{\displaystyle E_{ij}=x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.}

En particular, para los polinomios de primer grado se observa que:

miijincógnitak=δjkincógnitai.              {\displaystyle E_{ij}x_{k}=\delta _{jk}x_{i}.~~~~~~~~~~~~~~}

Por lo tanto, la acción demiij{\displaystyle E_{ij}}restringido al espacio de polinomios de primer orden es exactamente lo mismo que la acción de unidades matriciales.miij{\displaystyle e_{ij}}sobre vectores endonorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}. Por lo tanto, desde el punto de vista de la teoría de la representación, el subespacio de polinomios de primer grado es una subrepresentación del álgebra de Lie.gramolnorte{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}, que identificamos con la representación estándar endonorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}. Más adelante, se observa que los operadores diferencialesmiij{\displaystyle E_{ij}}preservar el grado de los polinomios, y por lo tanto los polinomios de cada grado fijo forman una subrepresentación del álgebra de Lie. gramolnorte{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}Además, se puede observar que el espacio de polinomios homogéneos de grado k se puede identificar con la potencia tensorial simétrica.Skdonorte{\displaystyle S^{k}\mathbb {C} ^{n}}de la representación estándardonorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}.

También se puede identificar fácilmente la estructura de peso más alta de estas representaciones. El monomioincógnita1k{\displaystyle x_{1}^{k}}es un vector de peso máximo , en efecto:miijincógnita1k=0{\displaystyle E_{ij}x_{1}^{k}=0}para i  < j . Su peso máximo es igual a ( k , 0, ... , 0), en efecto:    miiiincógnita1k=kδi1incógnita1k{\displaystyle E_{ii}x_{1}^{k}=k\delta _{i1}x_{1}^{k}}.

Dicha representación a veces se denomina representación bosónica degramolnorte{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}Fórmulas similaresmiij=ψi∂∂ψj{\displaystyle E_{ij}=\psi _{i}{\frac {\partial }{\partial \psi _{j}}}}aquí definimos la llamada representación fermiónica.ψi{\displaystyle \psi _{i}}son variables anticonmutativas. Nuevamente, los polinomios de grado k forman una subrepresentación irreducible que es isomorfa aΛkdonorte{\displaystyle \Lambda ^{k}\mathbb {C} ^{n}}es decir, potencia tensorial antisimétrica dedonorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}. El peso máximo de dicha representación es (0,  ...,  0,  1,  0,  ...,  0). Estas representaciones para k  =  1,  ..., n son representaciones fundamentales de gramolnorte{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}.

Identidad de Capelli para m = 1

Volvamos a la identidad de Capelli. Se puede demostrar lo siguiente:

det(mi+(norte−i)δij)=0,norte>1{\displaystyle \det(E+(n-i)\delta _{ij})=0,\qquad n>1}

La motivación para esta igualdad es la siguiente: consideremiijdo=incógnitaipagj{\displaystyle E_{ij}^{c}=x_{i}p_{j}}para algunas variables de desplazamientoincógnitai,pagj{\displaystyle x_{i},p_{j}}La matrizmido{\displaystyle E^{c}}es de rango uno y por lo tanto su determinante es igual a cero. Elementos de la matrizmi{\displaystyle E}se definen mediante fórmulas similares, sin embargo, sus elementos no conmutan. La identidad de Capelli muestra que la identidad conmutativa:det(mido)=0{\displaystyle \det(E^{c})=0}puede conservarse por el módico precio de corregir la matrizmi{\displaystyle E}por(norte−i)δij{\displaystyle (n-i)\delta _{ij}}.

Cabe mencionar también que se puede dar una identidad similar para el polinomio característico :

det(t+mi+(norte−i)δij)=t[norte]+Tr(mi)t[norte−1],    {\displaystyle \det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\mathrm {Tr} (E)t^{[n-1]},~~~~}

dóndet[k]=t(t+1)⋯(t+k−1){\displaystyle t^{[k]}=t(t+1)\cdots (t+k-1)}. La contraparte conmutativa de esto es un hecho simple que para matrices de rango  =  1 el polinomio característico contiene solo el primer y el segundo coeficiente.

Consideremos un ejemplo para n  =  2.

|t+mi11+1mi12mi21t+mi22|=|t+incógnita1∂1+1incógnita1∂2incógnita2∂1t+incógnita2∂2|=(t+incógnita1∂1+1)(t+incógnita2∂2)−incógnita2∂1incógnita1∂2=t(t+1)+t(incógnita1∂1+incógnita2∂2)+incógnita1∂1incógnita2∂2+incógnita2∂2−incógnita2∂1incógnita1∂2{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{vmatrix}t+E_{11}+1&E_{12}\\E_{21}&t+E_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}t+x_{1}\partial _{1}+1&x_{1}\partial _{2}\\x_{2}\partial _{1}&t+x_{2}\partial _{2}\end{vmatrix}}\\[8pt]&=(t+x_{1}\partial _{1}+1)(t+x_{2}\partial _{2})-x_{2}\partial _{1}x_{1}\partial _{2}\\[6pt]&=t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})+x_{1}\partial _{1}x_{2}\partial _{2}+x_{2}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1}x_{1}\partial _{2}\end{aligned}}}

Usando

∂1incógnita1=incógnita1∂1+1,∂1incógnita2=incógnita2∂1,incógnita1incógnita2=incógnita2incógnita1{\displaystyle \partial _{1}x_{1}=x_{1}\partial _{1}+1,\partial _{1}x_{2}=x_{2}\partial _{1},x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}}

vemos que esto es igual a:

t(t+1)+t(incógnita1∂1+incógnita2∂2)+incógnita2incógnita1∂1∂2+incógnita2∂2−incógnita2incógnita1∂1∂2−incógnita2∂2=t(t+1)+t(incógnita1∂1+incógnita2∂2)=t[2]+tTr(mi).{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})+x_{2}x_{1}\partial _{1}\partial _{2}+x_{2}\partial _{2}-x_{2}x_{1}\partial _{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{2}\\[8pt]&=t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})=t^{[2]}+t\,\mathrm {Tr} (E).\end{aligned}}}

El álgebra envolvente universal U(gramolnorte){\displaystyle U({\mathfrak {gl}}_{n})} y su centro

Una propiedad interesante del determinante de Capelli es que conmuta con todos los operadores E ij , es decir, el conmutador[miij,det(mi+(norte−i)δij)]=0{\displaystyle [E_{ij},\det(E+(n-i)\delta _{ij})]=0}es igual a cero. Se puede generalizar:

Consideremos cualesquiera elementos E ij en cualquier anillo, tales que satisfagan la relación de conmutación.[miij,mikl]=δjkmiil−δilmikj{\displaystyle [E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}}, (de modo que pueden ser operadores diferenciales arriba, unidades matriciales e ij o cualquier otro elemento) definimos los elementos C k de la siguiente manera:

det(t+mi+(norte−i)δij)=t[norte]+∑k=norte−1,…,0t[k]dok,     {\displaystyle \det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\sum _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k]}C_{k},~~~~~}

dóndet[k]=t(t+1)⋯(t+k−1),{\displaystyle t^{[k]}=t(t+1)\cdots (t+k-1),}

entonces:

  • Los elementos C k conmutan con todos los elementos E ij
  • Los elementos C k pueden obtenerse mediante fórmulas similares al caso conmutativo:
dok=∑I=(i1<i2<⋯<ik)det(mi+(k−i)δij)II,{\displaystyle C_{k}=\sum _{I=(i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k})}\det(E+(k-i)\delta _{ij})_{II},}

es decir, son sumas de menores principales de la matriz E , módulo la corrección de Capelli.+(k−i)δij{\displaystyle +(k-i)\delta _{ij}}. En particular, el elemento C 0 es el determinante de Capelli considerado anteriormente.

Estas afirmaciones están interrelacionadas con la identidad de Capelli, como se analizará más adelante, y de manera similar, la demostración directa de pocas líneas no parece existir, a pesar de la simplicidad de la formulación.

El álgebra envolvente universalU(gramolnorte){\displaystyle U({\mathfrak {gl}}_{n})}puede definirse como un álgebra generada por E ij sujeta a las relaciones

[miij,mikl]=δjkmiil−δilmikj{\displaystyle [E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}}

solo. La proposición anterior muestra que los elementos C k pertenecen al centro deU(gramolnorte){\displaystyle U({\mathfrak {gl}}_{n})}. Se puede demostrar que en realidad son generadores libres del centro deU(gramolnorte){\displaystyle U({\mathfrak {gl}}_{n})}A veces se les denomina generadores de Capelli . Las identidades de Capelli para estos generadores se analizarán más adelante.

Consideremos un ejemplo para n  =  2.

|t+mi11+1mi12mi21t+mi22|=(t+mi11+1)(t+mi22)−mi21mi12=t(t+1)+t(mi11+mi22)+mi11mi22−mi21mi12+mi22.{\displaystyle {\begin{aligned}{}\quad {\begin{vmatrix}t+E_{11}+1&E_{12}\\E_{21}&t+E_{22}\end{vmatrix}}&=(t+E_{11}+1)(t+E_{22})-E_{21}E_{12}\\&=t(t+1)+t(E_{11}+E_{22})+E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}.\end{aligned}}}

Es inmediato comprobar ese elemento. (mi11+mi22){\displaystyle (E_{11}+E_{22})}viajar conmiij{\displaystyle E_{ij}}. (Corresponde a un hecho obvio que la matriz identidad conmuta con todas las demás matrices). Más instructivo es comprobar la conmutatividad del segundo elemento con miij{\displaystyle E_{ij}}Hagámoslo pormi12{\displaystyle E_{12}}:

[mi12,mi11mi22−mi21mi12+mi22]{\displaystyle [E_{12},E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}]}
=[mi12,mi11]mi22+mi11[mi12,mi22]−[mi12,mi21]mi12−mi21[mi12,mi12]+[mi12,mi22]{\displaystyle =[E_{12},E_{11}]E_{22}+E_{11}[E_{12},E_{22}]-[E_{12},E_{21}]E_{12}-E_{21}[E_{12},E_{12}]+[E_{12},E_{22}]}
=−mi12mi22+mi11mi12−(mi11−mi22)mi12−0+mi12{\displaystyle =-E_{12}E_{22}+E_{11}E_{12}-(E_{11}-E_{22})E_{12}-0+E_{12}}
=−mi12mi22+mi22mi12+mi12=−mi12+mi12=0.{\displaystyle =-E_{12}E_{22}+E_{22}E_{12}+E_{12}=-E_{12}+E_{12}=0.}

Vemos que el determinante ingenuomi11mi22−mi21mi12{\displaystyle E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}}no viajará diariamente conmi12{\displaystyle E_{12}}y la corrección de Capelli+mi22{\displaystyle +E_{22}}es esencial para garantizar la centralidad.

Pares m y duales generales

Volvamos al caso general:

miij=∑a=1metroincógnitaia∂∂incógnitaja,{\displaystyle E_{ij}=\sum _{a=1}^{m}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}},}

para n y m arbitrarios . La definición de los operadores E ij se puede escribir en forma matricial:mi=incógnitaDt{\displaystyle E=XD^{t}}, dónde mi{\displaystyle E}esnorte×norte{\displaystyle n\times n}matriz con elementos miij{\displaystyle E_{ij}}; incógnita{\displaystyle X}esnorte×metro{\displaystyle n\times m}matriz con elementos incógnitaij{\displaystyle x_{ij}}; D{\displaystyle D}esnorte×metro{\displaystyle n\times m}matriz con elementos ∂∂incógnitaij{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}}.

Identidades de Capelli-Cauchy-Binet

Para una matriz general m, E se define como el producto de dos matrices rectangulares: X y D transpuestas . Si todos los elementos de estas matrices conmutaran, se sabe que el determinante de E puede expresarse mediante la fórmula de Cauchy-Binet, utilizando los menores de X y D. Existe un análogo de esta fórmula para la matriz E , con el mismo coste de corrección .mi→(mi+(norte−i)δij){\displaystyle E\rightarrow (E+(n-i)\delta _{ij})}:

det(mi+(norte−i)δij)=∑I=(1≤i1<i2<⋯<inorte≤metro)det(incógnitaI)det(DIt){\displaystyle \det(E+(n-i)\delta _{ij})=\sum _{I=(1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}\leq m)}\det(X_{I})\det(D_{I}^{t})},

En particular (similar al caso conmutativo): si m < n , entoncesdet(mi+(norte−i)δij)=0{\displaystyle \det(E+(n-i)\delta _{ij})=0}; si m = n volvemos a la identidad anterior.

Cabe mencionar también que, de forma similar al caso conmutativo (véase Cauchy-Binet para menores ), se puede expresar no solo el determinante de E , sino también sus menores a través de los menores de X y D :

det(mi+(s−i)δij)KL=∑I=(1≤i1<i2<⋯<is≤metro)det(incógnitaKI)det(DILt){\displaystyle \det(E+(s-i)\delta _{ij})_{KL}=\sum _{I=(1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{s}\leq m)}\det(X_{KI})\det(D_{IL}^{t})},

Aquí K  =  ( k 1  < k 2 < ... < k s ), L = ( l 1 < l 2 < ... < l s ), son multiíndices arbitrarios; como suele ser habitual              METROKL{\displaystyle M_{KL}}denota una submatriz de M formada por los elementos M k a l b . Nótese que la corrección de Capelli ahora contiene s , no n como en la fórmula anterior. Nótese que para s=1 , la corrección ( s − i ) desaparece y obtenemos solo la definición de E como un producto de X y transpuesta a D . Mencionemos también que para K,L genéricos los menores correspondientes no conmutan con todos los elementos E ij , por lo que la identidad de Capelli existe no solo para elementos centrales.  

Como corolario de esta fórmula y de la del polinomio característico en la sección anterior, mencionemos lo siguiente:

det(t+mi+(norte−i)δij)=t[norte]+∑k=norte−1,…,0t[k]∑I,Jdet(incógnitaIJ)det(DJIt),{\displaystyle \det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\sum _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k]}\sum _{I,J}\det(X_{IJ})\det(D_{JI}^{t}),}

dóndeI=(1≤i1<⋯<ik≤norte),{\displaystyle I=(1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n),}J=(1≤j1<⋯<jk≤norte){\displaystyle J=(1\leq j_{1}<\cdots <j_{k}\leq n)}Esta fórmula es similar al caso conmutativo, módulo+(norte−i)δij{\displaystyle +(n-i)\delta _{ij}}en el lado izquierdo y t [n] en lugar de t n en el lado derecho.

Relación con pares duales

El interés moderno en estas identidades ha sido estimulado en gran medida por Roger Howe, quien las consideró en su teoría de pares duales reductivos (también conocida como dualidad de Howe). Para establecer un primer contacto con estas ideas, examinemos más precisamente los operadores. miij{\displaystyle E_{ij}}Estos operadores preservan el grado de los polinomios. Consideremos los polinomios de grado 1:miijincógnitakl=incógnitailδjk{\displaystyle E_{ij}x_{kl}=x_{il}\delta _{jk}}, vemos que el índice l se conserva. Se puede ver que desde el punto de vista de la teoría de la representación, los polinomios de primer grado pueden identificarse con la suma directa de las representaciones.donorte⊕⋯⊕donorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} ^{n}}, aquí el l -ésimo subespacio ( l=1...m ) está generado porincógnitail{\displaystyle x_{il}}, i  =  1,  ..., n . Echemos otro vistazo a este espacio vectorial: 

donorte⊕⋯⊕donorte=donorte⊗dometro.{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}.}

Este punto de vista ofrece el primer indicio de simetría entre m y n . Para profundizar en esta idea, consideremos:

miijdual=∑a=1norteincógnitaai∂∂incógnitaaj.{\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}=\sum _{a=1}^{n}x_{ai}{\frac {\partial }{\partial x_{aj}}}.}

Estos operadores vienen dados por las mismas fórmulas que miij{\displaystyle E_{ij}}enumeración modulari↔j{\displaystyle i\leftrightarrow j}Por lo tanto, con los mismos argumentos podemos deducir quemiijdual{\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}forman una representación del álgebra de Liegramolmetro{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{m}}en el espacio vectorial de polinomios de x ij . Antes de continuar, podemos mencionar la siguiente propiedad: operadores diferencialesmiijdual{\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}viajar con operadores diferencialesmikl{\displaystyle E_{kl}}.

El grupo de la mentiraGRAMOLnorte×GRAMOLmetro{\displaystyle GL_{n}\times GL_{m}}actúa sobre el espacio vectorialdonorte⊗dometro{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}}de forma natural. Se puede demostrar que la acción correspondiente del álgebra de Liegramolnorte×gramolmetro{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}\times {\mathfrak {gl}}_{m}}viene dado por los operadores diferencialesmiij    {\displaystyle E_{ij}~~~~}y miijdual{\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}respectivamente. Esto explica la conmutatividad de estos operadores.

Las siguientes propiedades más profundas son realmente ciertas:

  • Los únicos operadores diferenciales que conmutan conmiij    {\displaystyle E_{ij}~~~~}son polinomios enmiijdual{\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}y viceversa.
  • Descomposición del espacio vectorial de polinomios en una suma directa de productos tensoriales de representaciones irreducibles deGRAMOLnorte{\displaystyle GL_{n}}yGRAMOLmetro{\displaystyle GL_{m}}se puede expresar de la siguiente manera:
do[incógnitaij]=S(donorte⊗dometro)=∑DρnorteD⊗ρmetroD′.{\displaystyle \mathbb {C} [x_{ij}]=S(\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m})=\sum _{D}\rho _{n}^{D}\otimes \rho _{m}^{D'}.}

Los sumandos están indexados por los diagramas de Young D y las representacionesρD{\displaystyle \rho ^{D}}son mutuamente no isomorfos. Y diagramaD{\displaystyle {D}}determinarD′{\displaystyle {D'}}y viceversa.

  • En particular, la representación del grupo grande. GRAMOLnorte×GRAMOLmetro{\displaystyle GL_{n}\times GL_{m}} es libre de multiplicidad, es decir, cada representación irreducible aparece solo una vez.

Se puede observar fácilmente la gran similitud con la dualidad Schur-Weyl .

Generalizaciones

Se ha trabajado mucho en la identidad y sus generalizaciones. Aproximadamente dos docenas de matemáticos y físicos contribuyeron al tema, por nombrar algunos: R. Howe , B. Kostant [ 1 ] [ 2 ] el medallista Fields A. Okounkov [ 3 ] [ 4 ] A. Sokal , [ 5 ] D. Zeilberger . [ 6 ]

Históricamente, parece que las primeras generalizaciones fueron obtenidas por Herbert Westren Turnbull en 1948, [ 7 ] quien encontró la generalización para el caso de matrices simétricas (ver [ 5 ] [ 6 ] para tratamientos modernos).

Las otras generalizaciones se pueden dividir en varios patrones. La mayoría de ellas se basan en el punto de vista del álgebra de Lie. Dichas generalizaciones consisten en cambiar el álgebra de Lie.gramolnorte{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}a álgebras de Lie simples [ 8 ] y sus super [ 9 ] [ 10 ] (q) , [ 11 ] [ 12 ] y versiones actuales. [ 13 ] Además, la identidad puede generalizarse para diferentes pares duales reductivos . [ 14 ] [ 15 ] Y finalmente, se puede considerar no solo el determinante de la matriz E, sino su permanente, [ 16 ] traza de sus potencias e inmanentes. [ 3 ] [ 4 ] [ 17 ] [ 18 ] Mencionemos algunos artículos más; [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] aún la lista de referencias está incompleta. Se ha creído durante bastante tiempo que la identidad está íntimamente relacionada con las álgebras de Lie semisimples. Sorprendentemente, en 2008 [ 5 ] S. Caracciolo, A. Sportiello y AD Sokal encontraron una nueva generalización puramente algebraica de la identidad que no tiene nada que ver con ninguna álgebra de Lie.

Identidad de Turnbull para matrices simétricas

Consideremos matrices simétricas

incógnita=|incógnita11incógnita12incógnita13⋯incógnita1norteincógnita12incógnita22incógnita23⋯incógnita2norteincógnita13incógnita23incógnita33⋯incógnita3norte⋮⋮⋮⋱⋮incógnita1norteincógnita2norteincógnita3norte⋯incógnitanortenorte|,D=|2∂∂incógnita11∂∂incógnita12∂∂incógnita13⋯∂∂incógnita1norte∂∂incógnita122∂∂incógnita22∂∂incógnita23⋯∂∂incógnita2norte∂∂incógnita13∂∂incógnita232∂∂incógnita33⋯∂∂incógnita3norte⋮⋮⋮⋱⋮∂∂incógnita1norte∂∂incógnita2norte∂∂incógnita3norte⋯2∂∂incógnitanortenorte|{\displaystyle X={\begin{vmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}&\cdots &x_{1n}\\x_{12}&x_{22}&x_{23}&\cdots &x_{2n}\\x_{13}&x_{23}&x_{33}&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1n}&x_{2n}&x_{3n}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}2{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&2{\frac {\partial }{\partial x_{22}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&2{\frac {\partial }{\partial x_{33}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}\\[6pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}&\cdots &2{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}}

Herbert Westren Turnbull [ 7 ] descubrió en 1948 la siguiente identidad:

det(incógnitaD+(norte−i)δij)=det(incógnita)det(D){\displaystyle \det(XD+(n-i)\delta _{ij})=\det(X)\det(D)}

La demostración combinatoria se puede encontrar en el artículo [ 6 ] otra demostración y generalizaciones divertidas en el artículo [ 5 ] ver también la discusión a continuación.

La identidad Howe-Umeda-Kostant-Sahi para matrices antisimétricas

Consideremos matrices antisimétricas

incógnita=|0incógnita12incógnita13⋯incógnita1norte−incógnita120incógnita23⋯incógnita2norte−incógnita13−incógnita230⋯incógnita3norte⋮⋮⋮⋱⋮−incógnita1norte−incógnita2norte−incógnita3norte⋯0|,D=|0∂∂incógnita12∂∂incógnita13⋯∂∂incógnita1norte−∂∂incógnita120∂∂incógnita23⋯∂∂incógnita2norte−∂∂incógnita13−∂∂incógnita230⋯∂∂incógnita3norte⋮⋮⋮⋱⋮−∂∂incógnita1norte−∂∂incógnita2norte−∂∂incógnita3norte⋯0|.{\displaystyle X={\begin{vmatrix}0&x_{12}&x_{13}&\cdots &x_{1n}\\-x_{12}&0&x_{23}&\cdots &x_{2n}\\-x_{13}&-x_{23}&0&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-x_{1n}&-x_{2n}&-x_{3n}&\cdots &0\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}0&{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&0&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}\\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&0&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}\\[6pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}&\cdots &0\end{vmatrix}}.}

Entonces

det(incógnitaD+(norte−i)δij)=det(incógnita)det(D).{\displaystyle \det(XD+(n-i)\delta _{ij})=\det(X)\det(D).}

La identidad Caracciolo-Sportiello-Sokal para matrices de Manin

Consideremos dos matrices M e Y sobre algún anillo asociativo que satisfacen la siguiente condición.

[METROij,Ykl]=−δjkQil     {\displaystyle [M_{ij},Y_{kl}]=-\delta _{jk}Q_{il}~~~~~}

para algunos elementos Q il . O “en palabras”: los elementos en la j -ésima columna de M conmutan con los elementos en la k -ésima fila de Y a menos que j  = k , y en este caso el conmutador de los elementos M ik y Y kl depende solo de i , l , pero no depende de k . 

Supongamos que M es una matriz de Manin (el ejemplo más sencillo es la matriz con elementos que conmutan).

Luego, para el caso de la matriz cuadrada

det(METROY+Qdiagramo(norte−1,norte−2,…,1,0))=det(METRO)det(Y).       {\displaystyle \det(MY+Q\,\mathrm {diag} (n-1,n-2,\dots ,1,0))=\det(M)\det(Y).~~~~~~~}

Aquí Q es una matriz con elementos Q il , y diag( n − 1, n − 2, ..., 1, 0) significa la matriz diagonal con los elementos n − 1, n − 2, ..., 1, 0 en la diagonal.               

Ver [ 5 ] proposición 1.2' fórmula (1.15) página 4, nuestra Y es transpuesta a su B . 

Obviamente, la identidad original de Capelli es el caso particular de esta identidad. Además, a partir de esta identidad se puede ver que en la identidad original de Capelli se pueden considerar elementos

∂∂incógnitaij+Fij(incógnita11,…,incógnitakl,…){\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}+f_{ij}(x_{11},\dots ,x_{kl},\dots )}

para funciones arbitrarias f ij y la identidad seguirá siendo verdadera.

La identidad Mukhin-Tarasov-Varchenko y el modelo Gaudin

Declaración

Consideremos las matrices X y D como en la identidad de Capelli, es decir, con elementosincógnitaij{\displaystyle x_{ij}}y∂ij{\displaystyle \partial _{ij}}en la posición  ( ij ).

Sea z otra variable formal (que conmuta con x ). Sean A y B matrices cuyos elementos son números complejos.

det(∂∂z−A−incógnita1z−BDt){\displaystyle \det \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-A-X{\frac {1}{z-B}}D^{t}\right)}
=detPon todo incógnita y z a la izquierda, mientras que todas las derivaciones están a la derecha.Calcular como si todos se desplazaran diariamente{\displaystyle ={\det }_{{\text{Put all }}x{\text{ and }}z{\text{ on the left, while all derivations on the right}}}^{\text{calculate as if all commute}}}
(∂∂z−A−incógnita1z−BDt){\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-A-X{\frac {1}{z-B}}D^{t}\right)}

Aquí, el primer determinante se entiende (como siempre) como el determinante de columna de una matriz con entradas no conmutativas. El determinante de la derecha se calcula como si todos los elementos conmutaran, colocando todas las x y z a la izquierda, mientras que las derivadas se colocan a la derecha. (Este método se denomina ordenamiento de Wick en mecánica cuántica ).

El sistema cuántico integrable de Gaudin y el teorema de Talalaev

La matriz

L(z)=A+incógnita1z−BDt{\displaystyle L(z)=A+X{\frac {1}{z-B}}D^{t}}

es una matriz de Lax para el sistema de cadena de espín integrable cuántico de Gaudin . D. Talalaev resolvió el problema de larga data de la solución explícita para el conjunto completo de leyes de conservación de conmutación cuántica para el modelo de Gaudin , descubriendo el siguiente teorema.

Considerar

det(∂∂z−L(z))=∑i=0norteHi(z)(∂∂z)i.{\displaystyle \det \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-L(z)\right)=\sum _{i=0}^{n}H_{i}(z)\left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}\right)^{i}.}

Entonces, para todos i,j,z,w

[Hi(z),Hj(w)]=0,        {\displaystyle [H_{i}(z),H_{j}(w)]=0,~~~~~~~~}

Es decir, H i ( z ) son funciones generadoras en z para los operadores diferenciales en x que conmutan entre sí. Por lo tanto, proporcionan leyes de conservación cuánticas conmutativas para el modelo de Gaudin.

Permanentes, inmanentes, huellas: "identidades superiores de Capelli"

La identidad original de Capelli es una afirmación sobre determinantes. Posteriormente, se hallaron identidades análogas para permanentes , inmanentes y trazas. El artículo de SG Williamson [ 26 ] , basado en el enfoque combinatorio, fue uno de los primeros resultados en esta dirección.

Identidad de Turnbull para permanentes de matrices antisimétricas

Consideremos las matrices antisimétricas X y D con elementos x ij y sus correspondientes derivaciones, como en el caso de la identidad HUKS anterior.

Entonces

pagmirmetro(incógnitatD−(norte−i)δij)=pagmirmetroPon todo incógnita a la izquierda, con todas las derivaciones a la derecha.Calcular como si todos se desplazaran diariamente.(incógnitatD).{\displaystyle \mathrm {perm} (X^{t}D-(n-i)\delta _{ij})=\mathrm {perm} _{{\text{Put all }}x{\text{ on the left, with all derivations on the right}}}^{\text{Calculate as if all commute}}(X^{t}D).}

Citemos: [ 6 ] "...se afirma sin pruebas al final del artículo de Turnbull". Los propios autores siguen a Turnbull; al final de su artículo escriben:

"Dado que la demostración de esta última identidad es muy similar a la demostración del análogo simétrico de Turnbull (con una ligera variación), la dejamos como un ejercicio instructivo y agradable para el lector."

La identidad se analiza en profundidad en el artículo. [ 27 ]

Referencias

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  2. ↑ Kostant, B .; Sahi, S. (1993), "Álgebras de Jordania e identidades de Capelli", Inventiones Mathematicae , 112 (1): 71– 92, Bibcode : 1993InMat.112..657K , doi : 10.1007/BF01232451 , S2CID 32635854 
  3. 1 2 Okounkov, A. (1996), "Immanantes cuánticos e identidades de Capelli superiores", Transformation Groups , 1 ( 1–2 ): 99–126 , arXiv : q-alg/9602028 , Bibcode : 1996q.alg.....2028O , doi : 10.1007/BF02587738 , S2CID 262827 
  4. 1 2 Okounkov, A. (1996), "Young Basis, Wick Formula, and Higher Capelli Identities", International Mathematics Research Notices , 1996 (17): 817– 839, arXiv : q-alg/9602027 , Bibcode : 1996q.alg.....2027O , doi : 10.1155/S1073792896000505
  5. 1 2 3 4 5 Caracciolo, S.; Sportiello, A.; Sokal, A. (2008), "Determinantes no conmutativos, fórmulas de Cauchy-Binet e identidades de tipo Capelli I. Generalizaciones de las identidades de Capelli y Turnbull", The Electronic Journal of Combinatorics , 16 , arXiv : 0809.3516 , Bibcode : 2008arXiv0809.3516C , doi : 10.37236/192 , S2CID 1765203 
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  9. ↑ Molev, A. (1996), Funciones de Schur supersimétricas factoriales e identidades de super Capelli , arXiv : q-alg/9606008 , Bibcode : 1996q.alg.....6008M
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Lecturas adicionales

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  • Howe, Roger (1989), "Observaciones sobre la teoría clásica de invariantes", Transactions of the American Mathematical Society , 313 (2): 539– 570, doi : 10.2307/2001418 , JSTOR 2001418 , MR 0986027  
  • Howe, Roger ; Umeda, Toru (1991), "La identidad de Capelli, el teorema del doble conmutador y las acciones libres de multiplicidad", Mathematische Annalen , 290 (1): 565–619 , doi : 10.1007/BF01459261 , S2CID 120894514 
  • Umeda, Tôru (1998), "Las identidades de Capelli, un siglo después", Artículos seleccionados sobre análisis armónico, grupos e invariantes , Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, vol.  183, Amer. Math. Soc., pp. 51–78 , ISBN  978-0-8218-0840-5, MR 1615137 
  • Weyl, Hermann (1946), Los grupos clásicos: sus invariantes y representaciones , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, MR 0000255 {{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )