Octonión

Una forma más sistemática de definir los octoniones es mediante la construcción de Cayley-Dickson. Aplicando la construcción de Cayley-Dickson a los cuaterniones se obtienen los octoniones, que pueden expresarse como${\displaystyle \mathbb {O} ={\mathcal {CD}}(\mathbb {H} ,1)}$. ^{[ 6 ]}

Así como los cuaterniones se pueden definir como pares de números complejos, los octoniones se pueden definir como pares de cuaterniones. La suma se define por pares. El producto de dos pares de cuaterniones ( a , b ) y ( c , d ) se define por

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})}$

donde z * denota el conjugado del cuaternión z . Esta definición es equivalente a la dada anteriormente cuando los ocho octoniones unitarios se identifican con los pares

${\displaystyle (1,0),(i,0),(j,0),(k,0),(0,1),(0,i),(0,j),(0,k)}$.

La suma y la resta de octoniones se realizan sumando y restando los términos correspondientes y, por lo tanto, sus coeficientes, al igual que con los cuaterniones.

La multiplicación de octoniones es más compleja. La multiplicación es distributiva respecto de la suma, por lo que el producto de dos octoniones se puede calcular sumando los productos de todos los términos, de nuevo como con los cuaterniones. El producto de cada par de términos se puede obtener multiplicando los coeficientes y utilizando una tabla de multiplicación de los octoniones unitarios, como esta (dada tanto por Arthur Cayley en 1845 como por John T. Graves en 1843): ^{[ 7 ]}

La mayoría de los elementos fuera de la diagonal de la tabla son antisimétricos, lo que la convierte casi en una matriz antisimétrica, excepto por los elementos de la diagonal principal, así como la fila y la columna para las que e ₀ es un operando.

La tabla se puede resumir de la siguiente manera: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle e_{\ell }e_{m}={\begin{cases}e_{m},&{\text{si }}\ell =0\\e_{\ell },&{\text{si }}m=0\\-e_{0},&{\text{si }}\ell =m,m\neq 0\\\varepsilon _{\ell mn}e_{n},&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$

donde ε _ℓmn es un tensor completamente antisimétrico con valor +1 cuando ℓmn = 123 , 145 , 176 , 246 , 257 , 347 , 365 , o cualquier permutación par de estos, y −1 para cualquier permutación impar (por ejemplo, ε ₁₂₃ = +1 ; ε ₁₃₂ = ε ₂₁₃ = -1 ; ε ₃₁₂ = ε ₂₃₁ = +1 ). Siempre que dos de los tres índices sean iguales, ε _ℓmn = 0 .

La definición anterior no es única: es una de las 480  definiciones posibles para la multiplicación de octoniones con e ₀ = 1. Las demás se pueden obtener permutando y cambiando los signos de los elementos de la base no escalar { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ , e ₅ , e ₆ , e ₇ } . Las 480  álgebras diferentes son isomorfas , y rara vez es necesario considerar qué regla de multiplicación particular se utiliza.

Cada una de estas 480 definiciones es invariante salvo signos bajo algún  ciclo de 7 puntos (1 2 3 4 5 6 7) , y para cada  ciclo de 7 hay cuatro definiciones, que difieren por signos e inversión de orden. Una elección común es usar la definición invariante bajo el  ciclo de 7 (1 2 3 4 5 6 7) con e ₁ e ₂ = e ₄ usando el diagrama de multiplicación triangular, o plano de Fano a continuación que también muestra la lista ordenada de tríadas de ciclo de 7 basado en 1 2 4 y sus matrices de multiplicación asociadas tanto en formato e _n como IJKL .

Tríadas de octoniones, plano de Fano y matrices de multiplicación

Una variante de esto que a veces se usa es etiquetar los elementos de la base por los elementos ∞ , 0, 1, 2, ..., 6, de la línea proyectiva sobre el cuerpo finito de orden 7. La multiplicación viene dada entonces por e _∞ = 1 y e ₁ e ₂ = e ₄ , y todas las ecuaciones se obtienen a partir de esta sumando una constante ( módulo 7) a todos los subíndices: En otras palabras usando las siete ternas (1 2 4) , (2 3 5) , (3 4 6) , (4 5 0) , (5 6 1) , (6 0 2) , (0 1 3) . Estas son las palabras clave no nulas del código de residuo cuadrático de longitud  7 sobre el cuerpo de Galois de dos elementos, GF (2) . Hay una simetría de orden  7 dada al sumar una constante módulo  7 a todos los subíndices, y también una simetría de orden 3 dada al multiplicar, módulo  7, todos los subíndices por uno de los residuos cuadráticos 1, 2 y 4. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Estas siete ternas también pueden considerarse como las siete traslaciones del conjunto {1,2,4} de cuadrados no nulos que forman un conjunto de diferencias cíclico (7,3,1) en el cuerpo finito GF(7) de siete elementos.

El avión Fano que se muestra arriba con${\displaystyle e_{n}}$y las matrices de multiplicación IJKL también incluyen la base del álgebra geométrica con signatura (− − − −) y se dan en términos de las siguientes 7 ternas cuaterniónicas (omitiendo el elemento escalar de identidad): 

${\displaystyle (I,j,k),(i,J,k),(i,j,K),(I,J,K),(\bigstar I,i,l),(\bigstar J,j,l),(\bigstar K,k,l)}$

o alternativamente

${\displaystyle (\sigma _{1},j,k),(i,\sigma _{2},k),(i,j,\sigma _{3}),(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}),(\bigstar \sigma _{1},i,l),(\bigstar \sigma _{2},j,l),(\bigstar \sigma _{3},k,l)}$

en el que los elementos en minúscula { i , j , k , l } son vectores (por ejemplo {${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}}$}, respectivamente) y las mayúsculas { I , J , K } = {${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$} son bivectores (por ejemplo${\displaystyle \gamma _{\{1,2,3\}}\gamma _{0}}$, respectivamente) y el operador estrella de Hodge ★ = i j k l es el elemento pseudoescalar. Si se fuerza a que ★ sea igual a la identidad, entonces la multiplicación deja de ser asociativa, pero ★ puede eliminarse de la tabla de multiplicación, lo que resulta en una tabla de multiplicación de octoniones.

Manteniendo ★ = i j k l asociativo y por lo tanto no reduciendo el álgebra geométrica de 4 dimensiones a una de octoniones, toda la tabla de multiplicación se puede derivar de la ecuación para ★ . Consideremos las matrices gamma en los ejemplos dados anteriormente. La fórmula que define la quinta matriz gamma (${\displaystyle \gamma _{5}}$) muestra que es el ★ de un álgebra geométrica de cuatro dimensiones de las matrices gamma.

Un mnemotécnico conveniente para recordar los productos de octoniones unitarios viene dado por el diagrama, que representa la tabla de multiplicar de Cayley y Graves. ^{[ 7 ] [ 12 ]} Este diagrama con siete puntos y siete líneas (el círculo que pasa por 1, 2 y 3 se considera una línea) se llama plano de Fano . Las líneas son direccionales. Los siete puntos corresponden a los siete elementos de la base estándar de${\displaystyle \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\mathbb {O} {\bigr ]}}$(Véase la definición en el apartado §  Conjugado, norma e inverso más abajo). Cada par de puntos distintos se encuentra sobre una línea única, y cada línea pasa por exactamente tres puntos.

Sea ( a , b , c ) una terna ordenada de puntos situados en una línea dada con el orden especificado por la dirección de la flecha. Entonces la multiplicación viene dada por ab = c y ba = −c junto con permutaciones cíclicas . Estas reglas junto con

• 1 es la identidad multiplicativa,
• ${\displaystyle {e_{i}}^{2}=-1\ }$para cada punto del diagrama

define completamente la estructura multiplicativa de los octoniones. Cada una de las siete líneas genera una subálgebra de${\displaystyle \mathbb {O} }$isomorfo a los cuaterniones ℍ .

El conjugado de un octonio

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7}}$

es dado por

${\displaystyle x^{\ast }=x_{0}e_{0}-x_{1}e_{1}-x_{2}e_{2}-x_{3}e_{3}-x_{4}e_{4}-x_{5}e_{5}-x_{6}e_{6}-x_{7}e_{7}}$.

La conjugación es una involución de${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$y satisface ( xy )* = y * x * (nótese el cambio de orden).

La parte real de x viene dada por

${\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}e_{0}}$

y la parte imaginaria (a veces llamada la parte pura ) por

${\displaystyle {\frac {x-x^{*}}{2}}=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7}}$.

El conjunto de todos los octoniones puramente imaginarios abarca un subespacio de 7 dimensiones .${\displaystyle \mathbb {O} ,}$denotado${\displaystyle \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\mathbb {O} {\bigr ]}}$.

La conjugación de octoniones satisface la ecuación

${\displaystyle -6x^{*}=x+(e_{1}x)e_{1}+(e_{2}x)e_{2}+(e_{3}x)e_{3}+(e_{4}x)e_{4}+(e_{5}x)e_{5}+(e_{6}x)e_{6}+(e_{7}x)e_{7}}$.

El producto de un octonión con su conjugado, x * x = xx * , es siempre un número real no negativo:

${\displaystyle x^{*}x={x_{0}}^{2}+{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+{x_{4}}^{2}+{x_{5}}^{2}+{x_{6}}^{2}+{x_{7}}^{2}}$.

Utilizando esto, la norma de un octonión se define como

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}$.

Esta norma coincide con la norma euclidiana estándar de 8 dimensiones en ℝ ⁸ .

La existencia de una norma sobre${\displaystyle \mathbb {O} }$implica la existencia de inversos para cada elemento no nulo de${\displaystyle \mathbb {O} .}$El inverso de x ≠ 0 , que es el único octonio x ⁻¹ que satisface xx ⁻¹ = x ⁻¹ x = 1 , viene dado por

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}$.

Cualquier octonión x puede descomponerse en su parte real y su parte imaginaria:

${\displaystyle x={\mathfrak {R}}(x)+{\mathfrak {I}}(x)}$

También se les denomina a veces partes escalares y vectoriales.

Definimos el vector unitario u correspondiente a x como

${\displaystyle u={\frac {{\mathfrak {I}}(x)}{\|{\mathfrak {I}}(x)\|}}}$Es un octonio puro de norma 1.

Se puede demostrar ^{[ 13 ]} que cualquier octonio distinto de cero se puede escribir como:

${\displaystyle o=\|o\|(\cos \theta +u\sin \theta )=\|o\|e^{u\theta }}$

proporcionando así una forma polar.

El conmutador de dos octoniones x e y viene dado por

${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$.

Esto es antisimétrico e imaginario. Si se considera solo como un producto en el subespacio imaginario${\displaystyle \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\mathbb {O} {\bigr ]}}$define un producto en ese espacio, el producto vectorial de siete dimensiones , dado por

${\displaystyle x\times y={\tfrac {1}{2}}(xy-yx)}$.

Al igual que el producto vectorial en tres dimensiones, este es un vector ortogonal a x e y con magnitud

${\displaystyle \|x\times y\|=\|x\|\|y\|\sin \theta }$.

Pero al igual que el producto octoniónico, no está definido de forma única. En cambio, existen muchos productos cruzados diferentes, cada uno de los cuales depende de la elección del producto octoniónico. ^{[ 14 ]}

Un automorfismo , A , de los octoniones es una transformación lineal invertible de${\displaystyle \mathbb {O} }$que satisface

${\displaystyle A(xy)=A(x)A(y)}$.

El conjunto de todos los automorfismos de${\displaystyle \mathbb {O} }$forma un grupo llamado G ₂ . ^{[ 15 ]} El grupo G ₂ es un grupo de Lie real , compacto y simplemente conexo de dimensión 14. Este grupo es el más pequeño de los grupos de Lie excepcionales y es isomorfo al subgrupo de Spin(7) que conserva cualquier vector particular elegido en su representación espinorial real de 8 dimensiones. El grupo Spin(7) es a su vez un subgrupo del grupo de isotopías que se describe a continuación. 

Véase también : PSL(2,7) – el grupo de automorfismos del plano de Fano.

Una isotopía de un álgebra es una terna de aplicaciones lineales biyectivas a , b , c tales que si xy = z , entonces a ( x ) b ( y ) = c ( z ) . Para a = b = c , esto es equivalente a un automorfismo. El grupo de isotopías de un álgebra es el grupo de todas las isotopías, que contiene al grupo de automorfismos como subgrupo.

El grupo de isotopía de los octoniones es el grupo Spin ₈ (ℝ) , con a , b , c actuando como las tres representaciones de 8 dimensiones. ^{[ 16 ]} El subgrupo de elementos donde c fija la identidad es el subgrupo Spin ₇ (ℝ) , y el subgrupo donde a , b , c fijan la identidad es el grupo de automorfismos G ₂ .

Así como los cuaterniones pueden representarse como matrices , los octoniones pueden representarse como tablas de cuaterniones. Específicamente, debido a que cualquier octonio puede definirse como un par de cuaterniones, representamos el octonio${\displaystyle (q_{0},q_{1})}$como: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{0}&q_{1}\\-q_{1}^{*}&q_{0}^{*}\end{bmatrix}}}$$

Utilizando una multiplicación de matrices cuaterniónicas ligeramente modificada (no asociativa): $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha _{0}&\alpha _{1}\\\alpha _{2}&\alpha _{3}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}\beta _{0}&\beta _{1}\\\beta _{2}&\beta _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha _{0}\beta _{0}+\beta _{2}\alpha _{1}&\beta _{1}\alpha _{0}+\alpha _{1}\beta _{3}\\\beta _{0}\alpha _{2}+\alpha _{3}\beta _{2}&\alpha _{2}\beta _{1}+\alpha _{3}\beta _{3}\end{bmatrix}}}$$ Podemos traducir la suma y multiplicación de octoniones a las operaciones respectivas en matrices cuaterniónicas. ^{[ 6 ]}