Polinomios de Chebyshev

Los polinomios de Chebyshev son dos secuencias de polinomios ortogonales relacionados con las funciones coseno y seno , denotados como $T_{n}(x)$ y $U_{n}(x)$ Se pueden definir de varias maneras equivalentes, una de las cuales comienza con funciones trigonométricas :

Los polinomios de Chebyshev de primera especie $T_{n}$ se definen por

$T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ).$

De manera similar, los polinomios de Chebyshev de segundo tipo $U_{n}$ se definen por

$U_{n}(\cos \theta )\sin \theta ={\sin }{\big (}(n+1)\theta {\big )}.$

Que estas expresiones definen polinomios en $\cos \theta$ No es obvio a primera vista, pero se puede demostrar utilizando la fórmula de De Moivre (ver más abajo ).

Los polinomios de Chebyshev $T$ $n$ son polinomios con el mayor coeficiente principal posible cuyo valor absoluto en el intervalo $[$ $-1, 1$ $]$ está acotado por 1. También son los polinomios "extremos" para muchas otras propiedades. ^[¹^]

En 1952, Cornelius Lanczos demostró que los polinomios de Chebyshev son importantes en la teoría de aproximación para la solución de sistemas lineales; ^{[ 2 ]} las raíces de $T n (x)$ , que también se denominan nodos de Chebyshev , se utilizan como puntos de coincidencia para optimizar la interpolación polinómica . El polinomio de interpolación resultante minimiza el problema del fenómeno de Runge y proporciona una aproximación que está cerca de la mejor aproximación polinómica a una función continua bajo la norma máxima , también llamada criterio " minimax ". Esta aproximación conduce directamente al método de cuadratura de Clenshaw-Curtis .

Estos polinomios recibieron su nombre en honor a Pafnuty Chebyshev . ^{[ 3 ]} La letra $T$ se utiliza debido a las transliteraciones alternativas del nombre Chebyshev como Tchebycheff , Tchebyshev (francés) o Tschebyschow (alemán).

Definiciones

Definición de recurrencia

Los polinomios de Chebyshev de primera especie se pueden definir mediante la relación de recurrencia.

${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1,\\T_{1}(x)&=x,\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}$

Los polinomios de Chebyshev de segundo tipo se pueden definir mediante la relación de recurrencia.

${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1,\\U_{1}(x)&=2x,\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x),\end{aligned}}$ que difiere de la anterior únicamente por la regla para n=1 .

Definición trigonométrica

Los polinomios de Chebyshev de primera y segunda especie pueden definirse como los polinomios únicos que satisfacen $T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )\quad$ y $U_{n}(\cos \theta )={\frac {{\sin }{\big (}(n+1)\theta {\big )}}{\sin \theta }},$ para $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ .

Una forma equivalente de expresar esto es mediante la exponenciación de un número complejo : dado un número complejo $z = a + bi$ con valor absoluto de uno, $z^{n}=T_{n}(a)+ib\,U_{n-1}(a).$

Los polinomios de Chebyshev también pueden definirse de esta forma al estudiar polinomios trigonométricos . ^{[ 4 ]}

Eso $\cos(nx)$ es un $n$ polinomio de grado n en $\cos(x)$ se puede ver al observar que $\cos(nx)$ es la parte real de un lado de la fórmula de De Moivre : $\cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.$

La parte real del otro lado es un polinomio en $\cos x$ y $\sin x$ , en el que todos los poderes de $\sin x$ son uniformes y, por lo tanto, reemplazables a través de la identidad $\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1$ . Por el mismo razonamiento, $\sin nx$ es la parte imaginaria del polinomio, en la que todas las potencias de $\sin x$ son impares y por lo tanto, si un factor de $\sin x$ una vez factorizado, los factores restantes pueden reemplazarse para crear un polinomio de grado $n-1$ en $\cos x$ .

Para $x$ fuera del intervalo [-1,1], la definición anterior implica $T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos x)&{\text{ si }}|x|\leq 1,\\\cosh(n\operatorname {arccosh} x)&{\text{ si }}x\geq 1,\\{(-1)^{n}\cosh }(n\operatorname {arccosh} (-x))&{\text{ si }}x\leq -1.\end{cases}}$

Definición de polinomios conmutativos

Los polinomios de Chebyshev también pueden caracterizarse mediante el siguiente teorema: ^{[ 5 ]}

Si $F_{n}(x)$ es una familia de polinomios mónicos con coeficientes en un campo de característica $0$ de tal manera que $\deg F_{n}(x)=n$ y $F_{m}{\bigl (}F_{n}(x){\bigr )}=F_{n}{\bigl (}F_{m}(x){\bigr )}$ a pesar de $m$ y $n$ , entonces, salvo un simple cambio de variables, $F_{n}(x)=x^{n}$ a pesar de $n$ o $F_{n}(x)=2\cdot T_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}x{\bigr )}$ a pesar de $n$ .

definición de la ecuación de Pell

Los polinomios de Chebyshev también pueden definirse como las soluciones de la ecuación de Pell : $T_{n}(x)^{2}-(x^{2}-1)\,U_{n-1}(x)^{2}=1$

en un anillo $R[x]$ ⁠ .^{[ 6 ]} Por lo tanto, pueden generarse mediante la técnica estándar para ecuaciones de Pell de tomar potencias de una solución fundamental : $T_{n}(x)+U_{n-1}(x){\textstyle {\sqrt {x^{2}-1}}}={\bigl (}{\textstyle x+{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}^{n}.$

Funciones generadoras

La función generadora ordinaria para $T_{n}$ es $\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.$

Existen varias otras funciones generadoras para los polinomios de Chebyshev; la función generadora exponencial es ${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}&={\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}{\exp }{\Bigl (}t{\bigl (}{\textstyle x-{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}{\Bigr )}+{\exp }{\Bigl (}t{\bigl (}{\textstyle x+{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}{\Bigr )}{\Bigr )}\\&={e^{tx}\cosh }{\bigl (}{\textstyle t{\sqrt {x^{2}-1}}}~\!{\bigr )}.\end{aligned}}$

La función generadora relevante para la teoría del potencial bidimensional y la expansión multipolar es $\sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n}}=\ln \left({\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}\right).$

La función generadora ordinaria para $U n$ es $\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}},$ y la función generadora exponencial es $\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{tx}{\biggl (}{\cosh }{\bigl (}{\textstyle t{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}+{{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\sinh }{\bigl (}{\textstyle t{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}{\biggr )}.$

Relaciones entre los dos tipos de polinomios de Chebyshev

Los polinomios de Chebyshev de primera y segunda especie corresponden a un par complementario de secuencias de Lucas. ${\tilde {V}}_{n}(P,Q)$ y ${\tilde {U}}_{n}(P,Q)$ con parámetros $P=2x$ y $Q=1$ :

${\begin{aligned}{\tilde {U}}_{n}(2x,1)&=U_{n-1}(x),\\{\tilde {V}}_{n}(2x,1)&=2\,T_{n}(x).\end{aligned}}$

De ello se deduce que también satisfacen un par de ecuaciones de recurrencia mutua: ^{[ 7 ]}

${\begin{aligned}T_{n+1}(x)&=x\,T_{n}(x)-(1-x^{2})\,U_{n-1}(x),\\U_{n+1}(x)&=x\,U_{n}(x)+T_{n+1}(x).\end{aligned}}$

El segundo de estos se puede reordenar utilizando la definición de recurrencia para los polinomios de Chebyshev de segundo tipo para obtener: $T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}{\big (}U_{n}(x)-U_{n-2}(x){\big )}.$

Utilizando esta fórmula de forma iterativa se obtiene la fórmula de la suma: $U_{n}(x)={\begin{cases}2\sum _{{\text{ odd }}j>0}^{n}T_{j}(x)&{\text{ for odd }}n.\\2\sum _{{\text{ even }}j\geq 0}^{n}T_{j}(x)-1&{\text{ for even }}n,\end{cases}}$

mientras se reemplaza $U_{n}(x)$ y $U_{n-2}(x)$ utilizando la fórmula de la derivada para $T_{n}(x)$ proporciona la relación de recurrencia para la derivada de $T_{n}$ : $2T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}},{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n-1}(x),$ para $n=2,3,\ldots$ .

Esta relación se utiliza en el método espectral de Chebyshev para resolver ecuaciones diferenciales.

Las desigualdades de Turán para los polinomios de Chebyshev son: ^{[ 8 ]} ${\begin{aligned}T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&=1-x^{2}>0&&{\text{ for }}-1<x<1&&{\text{ and }}\\U_{n}(x)^{2}-U_{n-1}(x)\,U_{n+1}(x)&=1>0.\end{aligned}}$

Las relaciones integrales son ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} ${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {T_{n}(y)}{y-x}}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\sqrt {1-y^{2}}}}&=\pi \,U_{n-1}(x),\\[3mu]\int _{-1}^{1}{\frac {U_{n-1}(y)}{y-x}}\,{\textstyle {\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y&=-\pi \,T_{n}(x)\end{aligned}}$

donde las integrales se consideran como valor principal.

Expresiones explícitas

Utilizando la definición de exponenciación de números complejos del polinomio de Chebyshev, se pueden derivar las siguientes expresiones, válidas para cualquier número real . $x$ : ${\begin{aligned}T_{n}(x)&={\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}{\bigl (}{\textstyle x-{\sqrt {x^{2}-1}}\!~}{\bigr )}^{n}+{\bigl (}{\textstyle x+{\sqrt {x^{2}-1}}\!~}{\bigr )}^{n}{\Bigr )}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}{\bigl (}{\textstyle x-{\sqrt {x^{2}-1}}\!~}{\bigr )}^{n}+{\bigl (}{\textstyle x-{\sqrt {x^{2}-1}}\!~}{\bigr )}^{-n}{\Bigr )}.\end{aligned}}$ Los dos son equivalentes porque $\textstyle {\bigl (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}\!~{\bigr )}^{\pm 1}={\bigl (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}\!~{\bigr )}^{\mp 1}.$

Una forma explícita del polinomio de Chebyshev en términos de monomios. $\textstyle x^{k}$ se puede obtener de la siguiente manera. Dejando ${\mathfrak {R}}$ denotamos la parte real de un número complejo, las siguientes igualdades, en orden, siguen a la definición de $T_{n}$ , la definición de ${\mathfrak {R}}$ , la fórmula de De Moivre y el teorema del binomio : ${\begin{aligned}T_{n}{\bigl (}\cos(\theta ){\bigr )}&=\cos(n\theta )\\&={\mathfrak {R}}{\bigl (}\cos(n\theta )+i\sin(n\theta ){\bigr )}\\&={\mathfrak {R}}{\bigl (}(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))^{n}{\bigr )}\\&={\mathfrak {R}}\left(\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}\,i^{j}\sin ^{j}(\theta )\,\cos ^{n-j}(\theta )\right).\end{aligned}}$ Debido al factor de $i^{j}$ , los términos con índice par son puramente reales, mientras que los términos con índice impar son puramente imaginarios; además, $\sin ^{2j}\theta =\left(1-\cos ^{2}\theta \right)^{j},$ entonces $T_{n}{\bigl (}\cos(\theta ){\bigr )}=\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}\,(-1)^{j}(1-\cos ^{2}(\theta ))^{j}\cos ^{n-2j}(\theta ).$ Finalmente, sustituyendo $x=\cos(\theta )$ rendimientos $T_{n}(x)=\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}\left(x^{2}-1\right)^{j}x^{n-2j}.$ Esto se puede escribir como un ⁠ ${}_{2}F_{1}$ Función hipergeométrica : ${\begin{aligned}T_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(1-x^{-2})^{k}\\&={\tfrac {1}{2}}n\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}(2x)^{n-2k}\qquad {\text{ for }}n>0\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\qquad {\text{ for }}n>0\\&={}_{2}F_{1}{\bigl (}{-n},n;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x){\bigr )}\\\end{aligned}}$ con inversa ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} $x^{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}\mathop {{\sum }'} _{{j=0} \atop {j\equiv n{\pmod {2}}}}^{n}{\binom {n}{\tfrac {n-j}{2}}}T_{j}(x),$ donde la prima en el símbolo de sumatoria indica que la contribución de $j=0$ Debe reducirse a la mitad si aparece.

Una expresión relacionada para $T_{n}$ como suma de monomios con coeficientes binomiales y potencias de dos es $T_{n}(x)=\sum \limits _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{m}{\Biggl (}{\binom {n-m}{m}}+{\binom {n-m-1}{n-2m}}{\Biggr )}\cdot 2^{n-2m-1}\cdot x^{n-2m}.$ Similarmente, $U_{n}$ se puede expresar en términos de funciones hipergeométricas: ${\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {{\bigl (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}~\!{\bigr )}^{n+1}-{\bigl (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}~\!{\bigr )}^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}{\bigl (}x^{2}-1{\bigr )}^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}{\bigl (}1-x^{-2}{\bigr )}^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}n>0\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}n>0\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}&{\text{ for }}n>0\\&=(n+1)\cdot {}_{2}F_{1}{\bigl (}{-n},n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x){\bigr )}.\end{aligned}}$

Propiedades

Simetría

${\begin{aligned}T_{n}(-x)&=(-1)^{n}T_{n}(x),\\[1ex]U_{n}(-x)&=(-1)^{n}U_{n}(x).\end{aligned}}$ Es decir, los polinomios de Chebyshev de orden par tienen simetría par y, por lo tanto, contienen solo potencias pares de $x$ Los polinomios de Chebyshev de orden impar tienen simetría impar y, por lo tanto, contienen solo potencias impares de $x$ .

Raíces y extremos

Un polinomio de Chebyshev de cualquier tipo con grado $n$ tiene $n$ raíces simples diferentes , llamadas raíces de Chebyshev , en el intervalo $[-1, 1]$ . Las raíces del polinomio de Chebyshev de primer tipo a veces se llaman nodos de Chebyshev porque se utilizan como nodos en la interpolación polinómica. Usando la definición trigonométrica y el hecho de que $\cos \left((2k+1){\frac {\pi }{2}}\right)=0,$ uno puede demostrar que las raíces de $T_{n}$ son $x_{k}=\cos \left({\frac {2k+1}{2n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n-1.$ De manera similar, las raíces de $U_{n}$ son: $x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.$ Los extremos de $T_{n}$ en el intervalo $-1\leq x\leq 1$ están ubicados en: $x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n.$ Una propiedad única de los polinomios de Chebyshev de primera especie es que en el intervalo $-1\leq x\leq 1$ Todos los extremos tienen valores que son −1 o 1. Por lo tanto, estos polinomios tienen solo dos valores críticos finitos , la propiedad definitoria de los polinomios de Shabat . Tanto el primer como el segundo tipo de polinomio de Chebyshev tienen extremos en los puntos finales, dados por: ${\begin{aligned}T_{n}(1)&=1\\T_{n}(-1)&=(-1)^{n}\\U_{n}(1)&=n+1\\U_{n}(-1)&=(-1)^{n}(n+1).\end{aligned}}$ Los extremos de $T_{n}(x)$ en el intervalo $-1\leq x\leq 1$ dónde $n>0$ están ubicados en $n+1$ valores de $x$ . Ellos son $\pm 1$ , o $\cos(2\pi k/d)$ dónde $d>2$ , $d\mid 2n$ , $0<k<{\tfrac {1}{2}}d$ y $(k,d)=1$ , es decir, $k$ y $d$ son relativamente importantes .

Específicamente ( polinomio mínimo de 2cos(2pi/n) ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} ) cuando $n$ es par:

$T_{n}(x)=1$ si $x=\pm 1$ , o $d>2$ y $2n/d$ es par. Hay ${\tfrac {1}{2}}n+1$ tales valores de $x$ .
$T_{n}(x)=-1$ si $d>2$ y $2n/d$ es extraño. Hay ${\tfrac {1}{2}}n$ tales valores de $x$ .

Cuando $n$ es extraño:

$T_{n}(x)=1$ si $x=1$ , o $d>2$ y $2n/d$ es par. Hay ${\tfrac {1}{2}}(n+1)$ tales valores de $x$ .
$T_{n}(x)=-1$ si $x=-1$ , o $d>2$ y $2n/d$ es extraño. Hay ${\tfrac {1}{2}}(n+1)$ tales valores de $x$ .

Diferenciación e integración

Las derivadas de los polinomios pueden ser menos que sencillas. Al derivar los polinomios en sus formas trigonométricas, se puede demostrar que: ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}&=nU_{n-1}\\{\frac {\mathrm {d} U_{n}}{\mathrm {d} x}}&={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\end{aligned}}$ Las dos últimas fórmulas pueden ser numéricamente problemáticas debido a la división por cero ( forma indeterminada 0 / 0 , específicamente ) en $x=1$ y $x=-1$ Según las normas del Hospital : ${\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=1}\!\!&={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}},\\\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=-1}\!\!&=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.\end{aligned}}$ En términos más generales, $\left.{\frac {\mathrm {d} ^{p}T_{n}}{\mathrm {d} x^{p}}}\right|_{x=\pm 1}\!\!=(\pm 1)^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}{\frac {n^{2}-k^{2}}{2k+1}},$ lo cual resulta de gran utilidad en la solución numérica de problemas de valores propios .

Además, tenemos: ${\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} x^{p}}}T_{n}(x)=2^{p}n\mathop {{\sum }'} _{0\leq k\leq n-p \atop k\equiv n-p{\pmod {2}}}{\binom {{\frac {n+p-k}{2}}-1}{\frac {n-p-k}{2}}}{\frac {\left({\frac {n+p+k}{2}}-1\right)!}{\left({\frac {n-p+k}{2}}\right)!}}T_{k}(x),\qquad p\geq 1,$ donde la prima en los símbolos de sumatoria significa que el término aportado por $k = 0$ debe dividirse por la mitad, si aparece.

En lo que respecta a la integración, la primera derivada de $T n$ implica que: $\int U_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {T_{n+1}}{n+1}}$ y la relación de recurrencia para los polinomios de primera especie que involucran derivadas establece que para $n\geq 2$ : $\int T_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {n\,T_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {xT_{n}}{n-1}}.$ La última fórmula se puede manipular aún más para expresar la integral de $T_{n}$ como función de polinomios de Chebyshev de primera especie solamente: ${\begin{aligned}\int T_{n}\,\mathrm {d} x&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{n-1}}T_{1}T_{n}\\&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}(T_{n+1}+T_{n-1})\\&={\frac {1}{2(n+1)}}T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}T_{n-1}.\end{aligned}}$ Además, tenemos: $\int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\dfrac {(-1)^{n}+1}{1-n^{2}}}&{\text{ if }}n\neq 1\\[3mu]0&{\text{ if }}n=1.\end{cases}}$

Productos de polinomios de Chebyshev

Los polinomios de Chebyshev de primera especie satisfacen la relación $T_{m}(x)\,T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}{\left(T_{m+n}(x)+T_{|m-n|}(x)\right)},$ para todos los valores no negativos de ⁠ $m$ y $n$ ⁠ , lo cual se demuestra fácilmente a partir de la fórmula de producto a suma para el coseno: $2\cos \alpha \,\cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ).$ Para $n=1$ esto da como resultado la fórmula de recurrencia ya conocida, solo que dispuesta de manera diferente, y con $n=2$ Esta relación de recurrencia se forma para todos los polinomios de Chebyshev con índice par o impar (dependiendo de la paridad del $m$ más bajo ), lo que implica la paridad o imparidad de estos polinomios. A partir de esta expansión en producto, se pueden deducir tres fórmulas más útiles para evaluar polinomios de Chebyshev: ${\begin{aligned}T_{2n}(x)&=2T_{n}^{2}(x)-T_{0}(x)&&=2T_{n}^{2}(x)-1,\\[3mu]T_{2n+1}(x)&=2T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-x,\\[3mu]T_{2n-1}(x)&=2T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-x.\end{aligned}}$ Los polinomios de segundo tipo satisfacen la siguiente relación: $T_{m}(x)U_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}{\bigl (}U_{m+n}(x)+U_{n-m}(x){\bigr )},&{\text{ if }}n\geq m-1,\\[5mu]{\frac {1}{2}}{\bigl (}U_{m+n}(x)-U_{m-n-2}(x){\bigr )},&{\text{ if }}n\leq m-2.\end{cases}}$ (con la definición $U_{-1}\equiv 0$ por convención). También satisfacen: $U_{m}(x)\,U_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}U_{m-n+2k}(x)=\sum _{\underset {\text{ step 2 }}{p=m-n}}^{m+n}U_{p}(x).$ para $m\geq n$ . Para $n=2$ Esta recurrencia se reduce a: ${\begin{aligned}U_{m+2}(x)&=U_{2}(x)\,U_{m}(x)-U_{m}(x)-U_{m-2}(x)\\&=U_{m}(x){\big (}U_{2}(x)-1{\big )}-U_{m-2}(x),\end{aligned}}$ que establece la paridad o imparidad de los polinomios de Chebyshev de segundo tipo con índice par o impar, dependiendo de si $m$ comienza con 2 o 3.

Propiedades de composición y divisibilidad

Las definiciones trigonométricas de $T_{n}$ y $U_{n}$ implican las propiedades de composición o anidamiento: ^{[ 15 ]} ${\begin{aligned}T_{mn}(x)&=T_{m}{\bigl (}T_{n}(x){\bigr )},\\[3mu]U_{mn-1}(x)&=U_{m-1}{\bigl (}T_{n}(x){\bigr )}\,U_{n-1}(x).\end{aligned}}$ Para $T_{mn}$ El orden de composición puede invertirse, lo que da como resultado una familia de funciones polinómicas. $T_{n}$ un semigrupo conmutativo bajo composición.

Desde $T_{m}(x)$ es divisible por $x$ si $m$ es extraño, de ello se deduce que $T_{mn}(x)$ es divisible por $T_{n}(x)$ si $m$ es extraño. Además, $U_{mn-1}(x)$ es divisible por $U_{n-1}(x)$ y en el caso de que $m$ es par, divisible por $T_{n}(x)\,U_{n-1}(x)$ .

Ortogonalidad

Ambos $T_{n}$ y $U_{n}$ forman una secuencia de polinomios ortogonales . Los polinomios de primera clase $T_{n}$ son ortogonales con respecto al peso: ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},$ en el intervalo $[-1, 1]$ , es decir tenemos $\int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,T_{m}(x){\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&{\text{ if }}n\neq m,\\[5mu]\pi &{\text{ if }}n=m=0,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&{\text{ if }}n=m\neq 0.\end{cases}}$ Esto se puede demostrar dejando $x=\cos(\theta )$ y utilizando la identidad definitoria $T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )$ .

De manera similar, los polinomios de segundo tipo $U n$ son ortogonales con respecto al peso. ${\sqrt {1-x^{2}}}$ en el intervalo $[-1, 1]$ , es decir tenemos $\int _{-1}^{1}U_{n}(x)\,U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0&{\text{ if }}n\neq m,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&{\text{ if }}n=m.\end{cases}}$ (La medida ${\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x$ es, salvo una constante de normalización , la distribución semicircular de Wigner .

Estas propiedades de ortogonalidad se derivan del hecho de que los polinomios de Chebyshev resuelven las ecuaciones diferenciales de Chebyshev. ${\begin{aligned}(1-x^{2})T_{n}''-xT_{n}'+n^{2}T_{n}&=0,\\[1ex](1-x^{2})U_{n}''-3xU_{n}'+n(n+2)U_{n}&=0,\end{aligned}}$ que son ecuaciones diferenciales de Sturm-Liouville . Una característica general de estas ecuaciones diferenciales es que poseen un conjunto ortonormal distinguido de soluciones. (Otra forma de definir los polinomios de Chebyshev es como las soluciones de dichas ecuaciones ).

El $T_{n}$ Además, satisfacen una condición de ortogonalidad discreta: $\sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})\,T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]N&{\text{ if }}i=j=0,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}i=j\neq 0,\end{cases}}$ dónde $N$ ¿Es algún número entero mayor que...? $\max(i,j)$ , ^{[ 10 ]} y el $x_{k}$ son los $N$ Nodos de Chebyshev (ver arriba) de $T_{N}(x)$ : $x_{k}=\cos \left(\pi {\frac {2k+1}{2N}}\right)\quad {\text{ for }}k=0,1,\dots ,N-1.$ Para los polinomios de segunda especie y cualquier entero $N>i+j$ con los mismos nodos de Chebyshev $x_{k}$ , existen sumas similares: $\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})\left(1-x_{k}^{2}\right)}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}i=j,\end{cases}}$ y sin la función de peso : $\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]N\cdot (1+\min\{i,j\})&{\text{ if }}i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}$ Para cualquier número entero $N>i+j$ , basado en el $N$ } ceros de $U_{N}(x)$ : $y_{k}=\cos \left(\pi {\frac {k+1}{N+1}}\right)\quad {\text{ for }}k=0,1,\dots ,N-1,$ uno puede obtener la suma: $\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})(1-y_{k}^{2})}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]{\frac {N+1}{2}}&{\text{ if }}i=j,\end{cases}}$ y de nuevo sin la función de peso: $\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]{\bigl (}\min\{i,j\}+1{\bigr )}{\bigl (}N-\max\{i,j\}{\bigr )}&{\text{ if }}i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}$

Norma $\infty$ mínima

Para cualquier dado $n\geq 1$ , entre los polinomios de grado $n$ con coeficiente principal 1 ( polinomios mónicos ): $f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)$ es aquel cuyo valor absoluto máximo en el intervalo $[-1, 1]$ es mínimo.

Este valor absoluto máximo es: ${\frac {1}{2^{n-1}}}$ y $|f(x)|$ alcanza este máximo exactamente $n+1$ horarios en: $x=\cos {\frac {k\pi }{n}}\quad {\text{for }}0\leq k\leq n.$

Prueba

Supongamos que $w_{n}(x)$ es un polinomio de grado $n$ con coeficiente principal 1 con valor absoluto máximo en el intervalo $[-1, 1]$ menor que $1 / 2 n - 1$ .

Definir $f_{n}(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)-w_{n}(x)$

Porque en los puntos extremos de $T n$ tenemos ${\begin{aligned}|w_{n}(x)|&<\left|{\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)\right|\\f_{n}(x)&>0\qquad {\text{ for }}x=\cos {\frac {2k\pi }{n}}&&{\text{ where }}0\leq 2k\leq n\\f_{n}(x)&<0\qquad {\text{ for }}x=\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}&&{\text{ where }}0\leq 2k+1\leq n\end{aligned}}$

Según el teorema del valor intermedio , $f n (x)$ tiene al menos $n$ raíces. Sin embargo, esto es imposible, ya que $f n (x)$ es un polinomio de grado $n - 1$ , por lo que el teorema fundamental del álgebra implica que tiene como máximo $n - 1$ raíces.

Observación

Por el teorema de equioscilación , entre todos los polinomios de grado $\leq n$ , el polinomio $f$ minimiza $‖ f ‖ \infty$ en $[-1, 1]$ si y solo si hay $n + 2$ puntos $-1 \leq x 0 < x 1 < \dots < x n + 1 \leq 1$ tales que $| f (x i) | = ‖ f ‖ \infty$ .

Por supuesto, el polinomio nulo en el intervalo $[-1, 1]$ puede aproximarse por sí mismo y minimiza la norma $\infty$ .

Sin embargo, arriba, $| f |$ alcanza su máximo solo $n + 1$ veces porque estamos buscando el mejor polinomio de grado $n \geq 1$ (por lo tanto, el teorema mencionado anteriormente no se puede utilizar).

Polinomios de Chebyshev como casos especiales de familias de polinomios más generales.

Los polinomios de Chebyshev son un caso especial de los polinomios ultraesféricos o de Gegenbauer. $C_{n}^{(\lambda )}(x)$ , que a su vez son un caso especial de los polinomios de Jacobi $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)$ : ${\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {n}{2}}\lim _{q\to 0}{\frac {1}{q}}C_{n}^{(q)}(x)\qquad {\text{ if }}n\geq 1,\\&={\frac {1}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n}}{\binom {2n}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x),\\[2ex]U_{n}(x)&=C_{n}^{(1)}(x)\\&={\frac {n+1}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n+1}}{\binom {2n+2}{n+1}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x).\end{aligned}}$

Los polinomios de Chebyshev son también un caso especial de los polinomios de Dickson : ${\begin{aligned}D_{n}(2x\alpha ,\alpha ^{2})&=2\alpha ^{n}T_{n}(x),\\E_{n}(2x\alpha ,\alpha ^{2})&=\alpha ^{n}U_{n}(x).\end{aligned}}$ En particular, cuando $\alpha ={\tfrac {1}{2}}$ , están relacionados por $D_{n}{\bigl (}x,{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}=2^{1-n}T_{n}(x)$ y $E_{n}{\bigl (}x,{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}=2^{-n}U_{n}(x)$ .

Otras propiedades

Las curvas dadas por $y = T n (x)$ , o equivalentemente, por las ecuaciones paramétricas $y = T n (cos θ) = cos nθ$ , $x = cos θ$ , son un caso especial de curvas de Lissajous con una relación de frecuencia igual a $n$ .

Similar a la fórmula: $T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ),$ Tenemos la fórmula análoga: $T_{2n+1}(\sin \theta )={(-1)^{n}\sin }{\bigl (}(2n+1)\theta {\bigr )}.$

Para $x \neq 0$ : $T_{n}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)={\frac {x^{n}+x^{-n}}{2}}$ y: $x^{n}=T_{n}\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)+{\frac {x-x^{-1}}{2}}U_{n-1}\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right),$ lo cual se deduce del hecho de que esto se cumple por definición para $x = e iθ$ .

Existen relaciones entre los polinomios de Legendre y los polinomios de Chebyshev. ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}P_{k}(x)\,T_{n-k}(x)&=\left(n+1\right)P_{n}(x),\\\sum _{k=0}^{n}P_{k}(x)\,P_{n-k}(x)&=U_{n}(x).\end{aligned}}$ Estas identidades pueden demostrarse utilizando funciones generadoras y convolución discreta.

Polinomios de Chebyshev como determinantes

De su definición por recurrencia se deduce que los polinomios de Chebyshev pueden obtenerse como determinantes de matrices tridiagonales especiales de tamaño $k\times k$ :

$T_{k}(x)=\det {\begin{bmatrix}x&1&0&\cdots &0\\1&2x&1&\ddots &\vdots \\0&1&2x&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&1&2x\end{bmatrix}},$ y de manera similar para $U_{k}$ .

Ejemplos

Primer tipo

Los primeros polinomios de Chebyshev de primera especie son OEIS : A028297 ${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\T_{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\T_{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\T_{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\T_{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\end{aligned}}$

Segundo tipo

Los primeros polinomios de Chebyshev de segundo tipo son OEIS : A053117 ${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\\U_{8}(x)&=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\\U_{9}(x)&=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x\\U_{10}(x)&=1024x^{10}-2304x^{8}+1792x^{6}-560x^{4}+60x^{2}-1\end{aligned}}$

Como conjunto de base

La función no suave (arriba) $y = - x 3 H (- x)$ , donde $H$ es la función escalón de Heaviside , y (abajo) la quinta suma parcial de su expansión de Chebyshev. La séptima suma es indistinguible de la función original en la resolución de la gráfica.

En el espacio de Sobolev apropiado , el conjunto de polinomios de Chebyshev forma una base ortonormal , de modo que una función en el mismo espacio puede, en $-1 \leq x \leq 1$ , expresarse mediante la expansión: ^{[ 16 ]} $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x).$ Además, como se mencionó anteriormente, los polinomios de Chebyshev forman una base ortogonal que (entre otras cosas) implica que los coeficientes $a n$ se pueden determinar fácilmente mediante la aplicación de un producto interno . Esta suma se denomina serie de Chebyshev o desarrollo de Chebyshev .

Dado que una serie de Chebyshev está relacionada con una serie de cosenos de Fourier mediante un cambio de variables, todos los teoremas, identidades, etc. que se aplican a las series de Fourier tienen una contraparte de Chebyshev. ^{[ 16 ]} Estos atributos incluyen:

Los polinomios de Chebyshev forman un sistema ortogonal completo .
La serie de Chebyshev converge a $f (x)$ si la función es continua y suave a trozos . El requisito de suavidad puede relajarse en la mayoría de los casos , siempre que haya un número finito de discontinuidades en $f$ $($ $x$ $)$ y sus derivadas.
En una discontinuidad, la serie convergerá al promedio de los límites derecho e izquierdo.

La abundancia de teoremas e identidades heredadas de las series de Fourier hacen de los polinomios de Chebyshev herramientas importantes en el análisis numérico ; por ejemplo, son las funciones base de propósito general más populares utilizadas en el método espectral , ^{[ 16 ]} a menudo en favor de las series trigonométricas debido a una convergencia generalmente más rápida para funciones continuas ( el fenómeno de Gibbs sigue siendo un problema).

El paquete de software Chebfun admite la manipulación de funciones basándose en su expansión en la base de Chebyshev.

Ejemplo 1

Consideremos el desarrollo de Chebyshev de $log(1 + x)$ . Se puede expresar: $\log(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x).$

$Los coeficientes a y n$ se pueden hallar mediante la aplicación de un producto interno o mediante la condición de ortogonalidad discreta. Para el producto interno: $\int _{-1}^{+1}{\frac {T_{m}(x)\log(1+x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\int _{-1}^{+1}{\frac {T_{m}(x)T_{n}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x,$ lo que da como resultado: $a_{n}={\begin{cases}-\log 2&{\text{ for }}n=0,\\[3mu]{\dfrac {-2(-1)^{n}}{n}}&{\text{ for }}n>0.\end{cases}}$

Alternativamente, cuando no se puede evaluar el producto interno de la función que se está aproximando, la condición de ortogonalidad discreta proporciona un resultado a menudo útil para coeficientes aproximados : $a_{n}\approx {\frac {2-\delta _{0n}}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}T_{n}(x_{k})\log(1+x_{k}),$

donde $δ ij$ es la función delta de Kronecker y los $x k$ son los $N$ ceros de Gauss-Chebyshev de $T N (x)$ : $x_{k}=\cos \left({\frac {\pi {\bigl (}k+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}{N}}\right).$

Para cualquier $N$ , estos coeficientes aproximados proporcionan una aproximación exacta de la función en $x k$ con un error controlado entre esos puntos. Los coeficientes exactos se obtienen con $N = \infty$ , representando así la función con exactitud en todos los puntos de $[-1,1]$ . La tasa de convergencia depende de la función y su suavidad.

Esto nos permite calcular los coeficientes aproximados $a y n$ de manera muy eficiente mediante la transformada discreta del coseno :

$a_{n}\approx {\frac {2-\delta _{0n}}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\cos \left({\frac {n\pi {\bigl (}k+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}{N}}\right)\log(1+x_{k}).$

Ejemplo 2

Para dar otro ejemplo:

${\begin{aligned}\left(1-x^{2}\right)^{\alpha }&=-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+\alpha \right)}{\Gamma (\alpha +1)}}+2^{1-2\alpha }\,\sum _{n=0}\left(-1\right)^{n}\,{2\alpha \choose \alpha -n}\,T_{2n}(x)\\[1ex]&=2^{-2\alpha }\,\sum _{n=0}\left(-1\right)^{n}\,{2\alpha +1 \choose \alpha -n}\,U_{2n}(x).\end{aligned}}$

Sumas parciales

Las sumas parciales de: $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)$ son muy útiles en la aproximación de varias funciones y en la solución de ecuaciones diferenciales (véase el método espectral ). Dos métodos comunes para determinar los coeficientes $a n$ son mediante el uso del producto interno como en el método de Galerkin y mediante el uso de la colocación que está relacionada con la interpolación .

Como interpolante, los $N$ coeficientes de la suma parcial $(N - 1)$ se obtienen generalmente en los puntos de Chebyshev–Gauss–Lobatto ^{[ 17 ]} (o cuadrícula de Lobatto), lo que resulta en un error mínimo y evita el fenómeno de Runge asociado con una cuadrícula uniforme. Esta colección de puntos corresponde a los extremos del polinomio de mayor orden en la suma, más los puntos finales, y viene dada por: $x_{k}=-\cos \left({\frac {k\pi }{N-1}}\right);\qquad k=0,1,\dots ,N-1.$

Polinomio en forma de Chebyshev

Un polinomio arbitrario de grado $N$ puede escribirse en términos de los polinomios de Chebyshev de primera especie. ^{[ 10 ]} Dicho polinomio $p (x)$ tiene la forma: $p(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x).$

Los polinomios en forma de Chebyshev se pueden evaluar utilizando el algoritmo de Clenshaw .

Familias de polinomios relacionados con los polinomios de Chebyshev

Polinomios denotados $C_{n}(x)$ y $S_{n}(x)$ A veces se utilizan polinomios estrechamente relacionados con los de Chebyshev. Se definen mediante: ^{[ 18 ]}

$C_{n}(x)=2T_{n}\left({\frac {x}{2}}\right),\qquad S_{n}(x)=U_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)$

y satisfacer:

$C_{n}(x)=S_{n}(x)-S_{n-2}(x).$

AF Horadam llamó a los polinomios $C_{n}(x)$ polinomios de Vieta-Lucas y los denotamos $v_{n}(x)$ Él llamó a los polinomios $S_{n}(x)$ polinomios de Vieta-Fibonacci y los denotamos $V_{n}(x)$ [ ¹⁹^] Todos estos polinomios tienen 1 como coeficiente principal. Las listas de ambos conjuntos de polinomios se dan en ^la Opera Mathematica de Viète , Capítulo IX, Teoremas VI y VII. ^[²⁰^] Los polinomios de Vieta-Lucas y Vieta-Fibonacci de argumento real son, hasta una potencia de $i$ y un cambio de índice en el caso de este último, igual a los polinomios de Lucas y Fibonacci $L n$ y $F n$ de argumento imaginario.

Los polinomios de Chebyshev desplazados de primer y segundo tipo están relacionados con los polinomios de Chebyshev mediante: ^{[ 18 ]}

${T}_{n}^{*}(x)=T_{n}(2x-1),\qquad {U}_{n}^{*}(x)=U_{n}(2x-1).$

Cuando el argumento del polinomio de Chebyshev satisface $2 x - 1 \in [-1, 1],$ el argumento del polinomio de Chebyshev desplazado satisface $x \in [0, 1]$ . De manera similar, se pueden definir polinomios desplazados para intervalos genéricos $[a, b]$ .

Hacia 1990, los términos "tercer tipo" y "cuarto tipo" comenzaron a usarse en relación con los polinomios de Chebyshev, aunque los polinomios denotados por estos términos tuvieron un desarrollo anterior bajo el nombre de polinomios de perfil aerodinámico . Según JC Mason y GH Elliott, la terminología "tercer tipo" y "cuarto tipo" se debe a Walter Gautschi , "en consulta con colegas en el campo de los polinomios ortogonales". ^{[ 21 ]} Los polinomios de Chebyshev de tercer tipo se definen como:

$V_{n}(x)={\frac {\cos \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}={\sqrt {\frac {2}{1+x}}}T_{2n+1}\left({\sqrt {\frac {x+1}{2}}}\right)$ y los polinomios de Chebyshev de cuarta especie se definen como: $W_{n}(x)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{{\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}}}=U_{2n}\left({\sqrt {\frac {x+1}{2}}}\right),$

dónde $\theta =\arccos x$ . ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]} Coinciden con el núcleo de Dirichlet .

En la literatura sobre perfiles aerodinámicos $V_{n}(x)$ y $W_{n}(x)$ se denotan $t_{n}(x)$ y $u_{n}(x)$ Las familias de polinomios $T_{n}(x)$ , $U_{n}(x)$ , $V_{n}(x)$ , y $W_{n}(x)$ son ortogonales con respecto a los pesos: $\left(1-x^{2}\right)^{-1/2},\quad \left(1-x^{2}\right)^{1/2},\quad (1-x)^{-1/2}(1+x)^{1/2},\quad (1+x)^{-1/2}(1-x)^{1/2}$

y son proporcionales a los polinomios de Jacobi $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)$ con: ^{[ 22 ]} $(\alpha ,\beta )={\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}},{-{\tfrac {1}{2}}}{\bigr )},\quad (\alpha ,\beta )={\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )},\quad (\alpha ,\beta )={\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )},\quad (\alpha ,\beta )={\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{-{\tfrac {1}{2}}}{\bigr )}.$

Las cuatro familias satisfacen la recurrencia. $p_{n}(x)=2xp_{n-1}(x)-p_{n-2}(x)$ con $p_{0}(x)=1$ , dónde $p_{n}=T_{n}$ , $U_{n}$ , $V_{n}$ , o $W_{n}$ , pero difieren según si $p_{1}(x)$ igual $x$ , $2x$ , $2x-1$ , o $2x+1$ . ^{[ 21 ]}

Factorización irreducible de polinomios de Chebyshev

Es más fácil analizar este detalle examinando primero la factorización de los polinomios de Vieta-Lucas y Vieta-Fibonacci.

Dadas las raíces de los polinomios de Chebyshev, es fácil ver —comparando sus conjuntos de raíces— que $x^{n}C_{n}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)=x^{2n}+1$ y $x^{n}S_{n}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)=\sum _{k=0}^{n}x^{2k}.$

Al expresar las expresiones del lado derecho en forma $x^{2n}+1={\frac {x^{4n}-1}{x^{2n}-1}},$ y $\sum _{k=0}^{n}x^{2k}={\frac {x^{2n+2}-1}{x^{2}-1}},$ Los numeradores y denominadores de estas fracciones —y, por consiguiente, las fracciones mismas— pueden escribirse como productos de expresiones como $x-g_{i}$ donde cada $g_{i}$ es una raíz primitiva de la unidad . Por lo tanto, obtenemos: $x^{n}C_{n}{\left(x+{\frac {1}{x}}\right)}=\prod _{d\geq 3,\;d\mid 4n,\;d\nmid 2n}\Phi _{d}(x)$ y $x^{n}S_{n}{\left(x+{\frac {1}{x}}\right)}=\prod _{d\geq 3,\;d\mid 2n+2}\Phi _{d}(x),$ dónde $\Phi _{d}(x)$ es el ⁠ $d$ polinomio ciclotómico n.º .

Se puede demostrar que, para cada $n\geq 3$ , correspondiente al polinomio ciclotómico $\Phi _{n}(x)$ de grado $\varphi (n)$ existe un polinomio único $\Psi _{n}(x)$ de grado $\varphi (n)/2$ de tal manera que $x^{\varphi (n)/2}\Psi _{n}{\left(x+{\frac {1}{x}}\right)}=\Phi _{n}(x),$ dónde $\varphi (n)$ es la conocida función totiente de Euler .

Los polinomios $\Psi _{n}(x)$ Se les puede denominar prepolinomios ciclotómicos, ya que los polinomios ciclotómicos se pueden obtener a partir de ellos mediante una correspondencia bien definida.

Una propiedad obvia del mapeo $P_{n}(x)\rightarrow x^{n}P_{n}{\left(x+{\frac {1}{x}}\right)}$ aplicable a cualquier polinomio $P_{n}(x)$ de grado $n$ Consiste en que relaciona el producto de dos o más polinomios con el producto de las imágenes de los polinomios individuales.

De todo lo anterior se deduce que $C_{n}(x)=\prod _{d\geq 3,\;d\mid 4n,\;d\nmid 2n}\Psi _{d}(x)$ y $S_{n}(x)=\prod _{d\geq 3,\;d\mid 2n+2}\Psi _{d}(x).$

Ahora bien, se deduce directamente que los polinomios de Chebyshev $T_{n}(x)$ y $U_{n}(x)$ se puede factorizar de la siguiente manera: $T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}\prod _{d\geq 3,\;d\mid 4n,\;d\nmid 2n}\Psi _{d}(2x)$ y $U_{n}(x)=\prod _{d\geq 3,\;d\mid 2n+2}\Psi _{d}(2x).$

De la irreducibilidad de los polinomios $\Phi _{n}(x)$ De ello se deduce que los polinomios $\Psi _{n}(x)$ también son irreductibles.

Para más detalles, véase . ^{[ 23 ]}

Polinomios de Chebyshev modificados de orden par

Algunas aplicaciones se basan en polinomios de Chebyshev, pero pueden no ser capaces de adaptarse a la falta de una raíz en cero, lo que descarta el uso de polinomios de Chebyshev estándar para este tipo de aplicaciones. Los diseños de filtros de Chebyshev de orden par que utilizan redes pasivas con terminación igual son un ejemplo de esto. ^{[ 24 ]} Sin embargo, los polinomios de Chebyshev de orden par pueden modificarse para desplazar las raíces más bajas a cero manteniendo el deseable efecto de ondulación uniforme de Chebyshev. Dichos polinomios modificados contienen dos raíces en cero y pueden denominarse polinomios de Chebyshev modificados de orden par. Los polinomios de Chebyshev modificados de orden par pueden crearse a partir de los nodos de Chebyshev de la misma manera que los polinomios de Chebyshev estándar.

$P_{N}=\prod _{i=1}^{N}(x-C_{i})$ dónde

$P_{N}$ es un polinomio de Chebyshev de orden N
$C_{i}$ es el i -ésimo nodo de Chebyshev

En el caso de los polinomios de Chebyshev modificados de orden par, los nodos de Chebyshev modificados de orden par se utilizan para construir los polinomios de Chebyshev modificados de orden par.

$Pe_{N}=\prod _{i=1}^{N}(x-Ce_{i})$ dónde

$Pe_{N}$ es un polinomio de Chebyshev modificado de orden par N
$Ce_{i}$ es el i -ésimo nodo de Chebyshev modificado de orden par

Por ejemplo, el polinomio de Chebyshev de cuarto orden del ejemplo anterior es $X^{4}-X^{2}+.125$ , que por inspección no contiene raíces de cero. La creación del polinomio a partir de los nodos de Chebyshev modificados de orden par crea un polinomio de Chebyshev modificado de orden par de cuarto orden de $X^{4}-.828427X^{2}$ , que, según se puede observar, contiene dos raíces en cero y puede utilizarse en aplicaciones que requieran raíces en cero.

Véase también

Referencias

↑ Rivlin, Theodore J. (1974). «Capítulo 2, Propiedades extremales». Los polinomios de Chebyshev . Matemáticas puras y aplicadas (1.ª ed.). Nueva York-Londres-Sídney: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons]. págs. 56–123 . ISBN 978-047172470-4.
↑ Lanczos, C. (1952). "Solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante iteraciones minimizadas" . Journal of Research of the National Bureau of Standards . 49 (1): 33. doi : 10.6028/jres.049.006 .
↑ Chebyshev presentó por primera vez sus polinomios homónimos en un trabajo leído ante la Academia de San Petersburgo en 1853:
Chebyshev, PL (1854). "Teoría de los mecanismos connus bajo el nombre de paralelogramos" . Mémoires des Savants étrangers présentés à l'Académie de Saint-Pétersbourg (en francés). 7 : 539–586 .También publicado por separado como Chebyshev, PL (1853). Teoría de los mecanismos connus bajo el nombre de paralelogramos . San Petersburgo: Imprimerie de l'Académie Impériale des Sciences. doi : 10.3931/E-RARA-120037 .
↑ Schaeffer, AC (1941). "Desigualdades de A. Markoff y S. Bernstein para polinomios y funciones relacionadas" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 47 (8): 565– 579. doi : 10.1090/S0002-9904-1941-07510-5 . ISSN 0002-9904 .
↑ Ritt, JF (1922). "Prime and Composite Polynomials" . Trans. Amer. Math. Soc . 23 : 51–66 . doi : 10.1090/S0002-9947-1922-1501189-9 .
↑ Demeyer, Jeroen (2007). Conjuntos diofánticos sobre anillos de polinomios y el décimo problema de Hilbert para cuerpos de funciones (PDF) (tesis doctoral). pág. 70. Archivado del original (PDF) el 2 de julio de 2007.
↑ Bateman & Bateman Manuscript Project 1953 , p. 184, ecs. 3–4 .
↑ Beckenbach, EF; Seidel, W.; Szász, Otto (1951), "Determinantes recurrentes de Legendre y de polinomios ultraesféricos", Duke Math. J. , 18 : 1– 10, doi : 10.1215/S0012-7094-51-01801-7 , MR 0040487
↑ Bateman & Bateman Manuscript Project 1953 , p. 187, eqs. 47–48 .
1 2 3 Mason y Handscomb 2002 .
↑ Cody, WJ (1970). "Un estudio de la aproximación racional y polinomial práctica de funciones". SIAM Review . 12 (3): 400– 423. doi : 10.1137/1012082 .
↑ Mathar, Richard J. (2006). "Desarrollo en serie de Chebyshev de polinomios inversos" . Journal of Computational and Applied Mathematics . 196 (2): 596– 607. arXiv : math/0403344 . doi : 10.1016/j.cam.2005.10.013 .
↑ Gürtaş, YZ (2017). "Polinomios de Chebyshev y el polinomio mínimo de $\cos(2\pi /n)$ ". American Mathematical Monthly . 124 (1): 74– 78. doi : 10.4169/amer.math.monthly.124.1.74 . S2CID 125797961 .
↑ Wolfram, DA (2022). "Factorización de polinomios de Chebyshev de primera y segunda especie con polinomios mínimos de $\cos(2\pi /d)$ ". American Mathematical Monthly . 129 (2): 172– 176. doi : 10.1080/00029890.2022.2005391 . S2CID 245808448 .
↑ Rayes, MO; Trevisan, V.; Wang, PS (2005), "Propiedades de factorización de los polinomios de Chebyshev", Computers & Mathematics with Applications , 50 ( 8–9 ): 1231–1240 , doi : 10.1016/j.camwa.2005.07.003
1 2 3 Boyd, John P. (2001). Métodos espectrales de Chebyshev y Fourier (PDF) (segunda ed.). Dover. ISBN 0-486-41183-4Archivado del original (PDF) el 31 de marzo de 2010. Consultado el 19 de marzo de 2009 .
↑ "Interpolación de Chebyshev: Un recorrido interactivo" . Archivado del original el 18 de marzo de 2017. Consultado el 2 de junio de 2016 .
1 2 Hochstrasser 1972 , pág. 778.
↑ Horadam, AF (2002), "Polinomios de Vieta" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 40 ( 3): 223–232
^ Viète, François (1646). Francisci Vietae Opera mathematica : in unum volumen congesta ac recognita / opera atque studio Francisci a Schooten (PDF) . Biblioteca Nacional de Francia.
1 2 3 Mason, JC; Elliott, GH (1993), "Aproximación compleja casi minimax mediante cuatro tipos de expansión polinómica de Chebyshev", J. Comput. Appl. Math. , 46 ( 1– 2): 291– 300, doi : 10.1016/0377-0427(93)90303-S
1 2 Desmarais, Robert N.; Bland, Samuel R. (1995), "Tablas de propiedades de polinomios de perfiles aerodinámicos" , Publicación de referencia 1343 de la NASA , Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio
↑ Kéri, Gerzson (2021): Polinomios de Chebyshev comprimidos y fórmulas de ángulos múltiples, Omniscriptum Publishing Company, ISBN 978-620-0-62498-7.
^ Saal, Rudolf (enero de 1979). Manual de diseño de filtros (en inglés y alemán) (1ª ed.). Múnich, Alemania: Allgemeine Elektricitais-Gesellschaft. págs.25 , 26, 56–61 , 116, 117. ISBN 3-87087-070-2.

Fuentes

Hochstrasser, Urs W. (1972) [1964]. "Polinomios ortogonales" . En Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene (eds.). Manual de funciones matemáticas (10.ª impresión, con correcciones; primera ed.). Washington DC: Oficina Nacional de Estándares. Cap. 22, págs. 771–792. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . Reimpresión: 1983. Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
Bateman, Harry ; Proyecto de Manuscritos de Bateman (1953). "Polinomios de Tchebichef" . En Erdélyi, Arthur (ed.). Funciones trascendentales superiores . Vol. 2. Investigadores asociados: W. Magnus , F. Oberhettinger , F. Tricomi (1.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. § 10.11, págs. 183–187. LCCN 53-5555 . Caltech eprint 43491 . Reimpresión: 1981. Melbourne, FL: Krieger. ISBN 0-89874-069-X.
Mason, JC; Handscomb, DC (2002). Polinomios de Chebyshev . Chapman and Hall/CRC. doi : 10.1201/9781420036114 . ISBN 978-1-4200-3611-4.

Lecturas adicionales

Dette, Holger (1995). "Una nota sobre algunos fenómenos extremos no lineales peculiares de los polinomios de Chebyshev". Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 38 (2): 343– 355. arXiv : math/9406222 . doi : 10.1017/S001309150001912X .
Elliott, David (1964). "La evaluación y estimación de los coeficientes en la expansión en serie de Chebyshev de una función" . Math. Comp . 18 (86): 274– 284. doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0166903-7 . MR 0166903 .
Eremenko, A.; Lempert, L. (1994). "Un problema extremal para polinomios" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 122 (1): 191– 193. doi : 10.1090/S0002-9939-1994-1207536-1 . MR 1207536 .
Hernandez, MA (2001). "Algoritmos de aproximación de Chebyshev y aplicaciones" . Computers & Mathematics with Applications . 41 ( 3–4 ): 433–445 . doi : 10.1016/s0898-1221(00)00286-8 .
Mason, JC (1984). «Algunas propiedades y aplicaciones de la aproximación racional y polinómica de Chebyshev». Aproximación e interpolación racional . Notas de clase en matemáticas. Vol. 1105. pp. 27–48 . doi : 10.1007/BFb0072398 . ISBN 978-3-540-13899-0.
Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Polinomios ortogonales" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
Remes, Eugene. "Sobre una propiedad extremal de los polinomios de Chebyshev" (PDF) .
Salzer, Herbert E. (1976). "Conversión de series de interpolación en series de Chebyshev mediante fórmulas de recurrencia" . Matemáticas de la Computación . 30 (134): 295– 302. doi : 10.1090/S0025-5718-1976-0395159-3 . MR 0395159 .
Scraton, RE (1969). "La solución de ecuaciones integrales en series de Chebyshev" . Matemáticas de la Computación . 23 (108): 837– 844. doi : 10.1090/S0025-5718-1969-0260224-4 . MR 0260224 .
Smith, Lyle B. (1966). "Cálculo de coeficientes de series de Chebyshev" . Comm. ACM . 9 (2): 86– 87. doi : 10.1145/365170.365195 . S2CID 8876563. Algoritmo 277.
Suetin, PK (2001) [1994], "Polinomios de Chebyshev" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Enlaces externos

Contenido multimedia relacionado con los polinomios de Chebyshev en Wikimedia Commons.
Weisstein, Eric W. "Polinomio [ s ] de Chebyshev de primera especie" . MathWorld .
Mathews, John H. (2003). "Módulo para polinomios de Chebyshev" . Departamento de Matemáticas. Apuntes del curso Análisis Numérico ( Matemáticas 340) y Análisis Numérico Avanzado (Matemáticas 440) . Fullerton, CA: Universidad Estatal de California. Archivado del original el 29 de mayo de 2007. Consultado el 17 de agosto de 2020 .
"Computación numérica con funciones" . El proyecto Chebfun .
¿Existe una explicación intuitiva para una propiedad extremal de los polinomios de Chebyshev? Math Overflow . Pregunta 25534.
"Evaluación de polinomios de Chebyshev y la transformada de Chebyshev" . Boost.Math .

[1] Rivlin, Theodore J. (1974). «Capítulo 2, Propiedades extremales». Los polinomios de Chebyshev . Matemáticas puras y aplicadas (1.ª ed.). Nueva York-Londres-Sídney: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons]. págs. 56–123 . ISBN 978-047172470-4.

[2] Lanczos, C. (1952). "Solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante iteraciones minimizadas" . Journal of Research of the National Bureau of Standards . 49 (1): 33. doi : 10.6028/jres.049.006 .

[3] Chebyshev presentó por primera vez sus polinomios homónimos en un trabajo leído ante la Academia de San Petersburgo en 1853:
Chebyshev, PL (1854). "Teoría de los mecanismos connus bajo el nombre de paralelogramos" . Mémoires des Savants étrangers présentés à l'Académie de Saint-Pétersbourg (en francés). 7 : 539–586 .También publicado por separado como Chebyshev, PL (1853). Teoría de los mecanismos connus bajo el nombre de paralelogramos . San Petersburgo: Imprimerie de l'Académie Impériale des Sciences. doi : 10.3931/E-RARA-120037 .

[4] Schaeffer, AC (1941). "Desigualdades de A. Markoff y S. Bernstein para polinomios y funciones relacionadas" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 47 (8): 565– 579. doi : 10.1090/S0002-9904-1941-07510-5 . ISSN 0002-9904 .

[5] Ritt, JF (1922). "Prime and Composite Polynomials" . Trans. Amer. Math. Soc . 23 : 51–66 . doi : 10.1090/S0002-9947-1922-1501189-9 .

[6] Demeyer, Jeroen (2007). Conjuntos diofánticos sobre anillos de polinomios y el décimo problema de Hilbert para cuerpos de funciones (PDF) (tesis doctoral). pág. 70. Archivado del original (PDF) el 2 de julio de 2007.

[FOOTNOTEBatemanBateman_Manuscript_Project1953[httpsarchiveorgdetailshighertranscende02batepage184_p.&nbsp;184,_eqs._3–4]-7] Bateman & Bateman Manuscript Project 1953 , p. 184, ecs. 3–4 .

[8] Beckenbach, EF; Seidel, W.; Szász, Otto (1951), "Determinantes recurrentes de Legendre y de polinomios ultraesféricos", Duke Math. J. , 18 : 1– 10, doi : 10.1215/S0012-7094-51-01801-7 , MR 0040487

[FOOTNOTEBatemanBateman_Manuscript_Project1953[httpsarchiveorgdetailshighertranscende02batepage187_p.&nbsp;_187,_eqs._47–48]-9] Bateman & Bateman Manuscript Project 1953 , p. 187, eqs. 47–48 .

[FOOTNOTEMasonHandscomb2002-10] 1 2 3 Mason y Handscomb 2002 .

[Cody-11] Cody, WJ (1970). "Un estudio de la aproximación racional y polinomial práctica de funciones". SIAM Review . 12 (3): 400– 423. doi : 10.1137/1012082 .

[Mathar-12] Mathar, Richard J. (2006). "Desarrollo en serie de Chebyshev de polinomios inversos" . Journal of Computational and Applied Mathematics . 196 (2): 596– 607. arXiv : math/0403344 . doi : 10.1016/j.cam.2005.10.013 .

[Gurtas-13] Gürtaş, YZ (2017). "Polinomios de Chebyshev y el polinomio mínimo de $\cos(2\pi /n)$ ". American Mathematical Monthly . 124 (1): 74– 78. doi : 10.4169/amer.math.monthly.124.1.74 . S2CID 125797961 .

[Wolfram0-14] Wolfram, DA (2022). "Factorización de polinomios de Chebyshev de primera y segunda especie con polinomios mínimos de $\cos(2\pi /d)$ ". American Mathematical Monthly . 129 (2): 172– 176. doi : 10.1080/00029890.2022.2005391 . S2CID 245808448 .

[15] Rayes, MO; Trevisan, V.; Wang, PS (2005), "Propiedades de factorización de los polinomios de Chebyshev", Computers & Mathematics with Applications , 50 ( 8–9 ): 1231–1240 , doi : 10.1016/j.camwa.2005.07.003

[boyd-16] 1 2 3 Boyd, John P. (2001). Métodos espectrales de Chebyshev y Fourier (PDF) (segunda ed.). Dover. ISBN 0-486-41183-4Archivado del original (PDF) el 31 de marzo de 2010. Consultado el 19 de marzo de 2009 .

[17] "Interpolación de Chebyshev: Un recorrido interactivo" . Archivado del original el 18 de marzo de 2017. Consultado el 2 de junio de 2016 .

[FOOTNOTEHochstrasser1972778-18] 1 2 Hochstrasser 1972 , pág. 778.

[19] Horadam, AF (2002), "Polinomios de Vieta" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 40 ( 3): 223–232

[20] Viète, François (1646). Francisci Vietae Opera mathematica : in unum volumen congesta ac recognita / opera atque studio Francisci a Schooten (PDF) . Biblioteca Nacional de Francia.

[MasonElliott1993-21] 1 2 3 Mason, JC; Elliott, GH (1993), "Aproximación compleja casi minimax mediante cuatro tipos de expansión polinómica de Chebyshev", J. Comput. Appl. Math. , 46 ( 1– 2): 291– 300, doi : 10.1016/0377-0427(93)90303-S

[DesmaraisBland1995-22] 1 2 Desmarais, Robert N.; Bland, Samuel R. (1995), "Tablas de propiedades de polinomios de perfiles aerodinámicos" , Publicación de referencia 1343 de la NASA , Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio

[23] Kéri, Gerzson (2021): Polinomios de Chebyshev comprimidos y fórmulas de ángulos múltiples, Omniscriptum Publishing Company, ISBN 978-620-0-62498-7.

[:022-24] Saal, Rudolf (enero de 1979). Manual de diseño de filtros (en inglés y alemán) (1ª ed.). Múnich, Alemania: Allgemeine Elektricitais-Gesellschaft. págs.25 , 26, 56–61 , 116, 117. ISBN 3-87087-070-2.

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