Teorema de Chern-Gauss-Bonnet

En matemáticas , el teorema de Chern (o el teorema de Chern-Gauss-Bonnet ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} en honor a Shiing-Shen Chern , Carl Friedrich Gauss y Pierre Ossian Bonnet ) establece que la característica de Euler-Poincaré (un invariante topológico definido como la suma alternada de los números de Betti de un espacio topológico ) de una variedad riemanniana cerrada de dimensión par es igual a la integral de un cierto polinomio (la clase de Euler ) de su forma de curvatura (un invariante analítico ).

Se trata de una generalización muy no trivial del teorema clásico de Gauss-Bonnet (para variedades/ superficies bidimensionales ) a variedades riemannianas de dimensión par superior. En 1943, Carl B. Allendoerfer y André Weil demostraron un caso especial para variedades extrínsecas. En un artículo clásico publicado en 1944, Shiing-Shen Chern demostró el teorema en toda su generalidad, conectando la topología global con la geometría local . ^{[ 4 ]}

El teorema de Riemann-Roch y el teorema del índice de Atiyah-Singer son otras generalizaciones del teorema de Gauss-Bonnet.

Una forma útil del teorema de Chern es que ^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle \chi (M)=\int _{M}e(\Omega )}$

dónde${\displaystyle \chi (M)}$denota la característica de Euler de${\displaystyle M}$. La clase de Euler se define como

${\displaystyle e(\Omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\operatorname {Pf} (\Omega ).}$

donde tenemos el Pfaffian${\displaystyle \operatorname {Pf} (\Omega )}$. Aquí${\displaystyle M}$es una variedad riemanniana compacta orientable de 2n dimensiones sin frontera , y${\displaystyle \Omega }$es la forma de curvatura asociada de la conexión Levi-Civita . De hecho, la afirmación se cumple con${\displaystyle \Omega }$la forma de curvatura de cualquier conexión métrica en el fibrado tangente, así como para otros fibrados vectoriales sobre${\displaystyle M}$. ^{[ 7 ]}

Dado que la dimensión es 2 n , tenemos que${\displaystyle \Omega }$es un${\displaystyle {\mathfrak {s}}{\mathfrak {o}}(2n)}$-forma diferencial de 2 valores en${\displaystyle M}$(véase grupo ortogonal especial ). Por lo tanto${\displaystyle \Omega }$puede considerarse como una matriz antisimétrica de 2 n × 2 n cuyas entradas son 2-formas, por lo que es una matriz sobre el anillo conmutativo${\textstyle {\bigwedge }^{\text{even}}\,T^{*}M}$. Por lo tanto, el pfaffiano es una 2 n -forma. También es un polinomio invariante .

Sin embargo, el teorema de Chern en general establece que para cualquier conjunto cerrado${\displaystyle C^{\infty }}$n -dimensional orientable${\displaystyle M}$, ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \chi (M)=(e(TM),[M])}$

donde el emparejamiento anterior (,) denota el producto cap con la clase de Euler del fibrado tangente${\displaystyle TM}$.

El teorema de Chern-Gauss-Bonnet puede considerarse un caso particular en la teoría de clases características . El integrando de Chern es la clase de Euler . Al ser una forma diferencial de dimensión superior, es cerrada. La naturalidad de la clase de Euler implica que, al cambiar la métrica riemanniana , se permanece en la misma clase de cohomología . Esto significa que la integral de la clase de Euler permanece constante al variar la métrica y, por lo tanto, es un invariante global de la estructura suave. ^{[ 6 ]}

El teorema también ha encontrado numerosas aplicaciones en física , entre ellas: ^{[ 6 ]}

• fase adiabática o fase de Berry ,
• teoría de cuerdas ,
• física de la materia condensada ,
• teoría cuántica de campos topológica ,
• fases topológicas de la materia (véase el Premio Nobel de Física de 2016 otorgado a Duncan Haldane y otros).

Shiing-Shen Chern publicó su demostración del teorema en 1944 mientras trabajaba en el Instituto de Estudios Avanzados . Históricamente, esta fue la primera vez que se demostró la fórmula sin asumir que la variedad estuviera incrustada en un espacio euclidiano, que es lo que significa "intrínseco". El caso especial para una hipersuperficie (una subvariedad (n-1)-dimensional en un espacio euclidiano n-dimensional) fue demostrado por H. Hopf, en el que el integrando es la curvatura de Gauss-Kronecker (el producto de todas las curvaturas principales en un punto de la hipersuperficie). Esto fue generalizado independientemente por Allendoerfer en 1939 y Fenchel en 1940 a una subvariedad riemanniana de un espacio euclidiano de cualquier codimensión, para la cual utilizaron la curvatura de Lipschitz-Killing (el promedio de la curvatura de Gauss-Kronecker a lo largo de cada vector normal unitario sobre la esfera unitaria en el espacio normal; para una subvariedad de dimensión par, este es un invariante que solo depende de la métrica de Riemann de la subvariedad). Su resultado sería válido para el caso general si se puede asumir el teorema de incrustación de Nash . Sin embargo, este teorema no estaba disponible entonces, ya que John Nash publicó su famoso teorema de incrustación para variedades riemannianas en 1956. En 1943, Allendoerfer y Weil publicaron su demostración para el caso general, en la que primero utilizaron un teorema de aproximación de H. Whitney para reducir el caso a variedades riemannianas analíticas, luego incrustaron "pequeños" vecindarios de la variedad isométricamente en un espacio euclidiano con la ayuda del teorema de incrustación local de Cartan-Janet, de modo que pudieron unir estos vecindarios incrustados y aplicar el teorema de Allendoerfer y Fenchel mencionado anteriormente para establecer el resultado global. Esto es, por supuesto, insatisfactorio porque el teorema solo involucra invariantes intrínsecos de la variedad, por lo que la validez del teorema no debería depender de su incrustación en un espacio euclidiano. Weil conoció a Chern en Princeton tras la llegada de este último en agosto de 1943. Le comentó que creía que debía existir una demostración intrínseca, la cual Chern logró obtener en dos semanas. El resultado fue el artículo clásico de Chern, «Una demostración intrínseca simple de la fórmula de Gauss-Bonnet para variedades riemannianas cerradas», publicado en los Annals of Mathematics al año siguiente. Chern citó en este artículo los trabajos previos de Allendoerfer, Fenchel, Allendoerfer y Weil. Asimismo, Chern citó los trabajos de Allendoerfer y Weil en su segundo artículo sobre el mismo tema. ^{[ 4 ]}