homomorfismo de Chern-Weil

En matemáticas , el homomorfismo de Chern-Weil es una construcción básica de la teoría de Chern-Weil que calcula invariantes topológicos de fibrados vectoriales y fibrados principales en una variedad diferenciable M en términos de conexiones y curvatura que representan clases en los anillos de cohomología de De Rham de M. Es decir, la teoría establece un puente entre las áreas de la topología algebraica y la geometría diferencial . Fue desarrollada a finales de la década de 1940 por Shiing-Shen Chern y André Weil , a raíz de las demostraciones del teorema generalizado de Gauss-Bonnet . Esta teoría constituyó un paso importante en la teoría de las clases características .

Sea G un grupo de Lie real o complejo con álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y dejar${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$denotamos el álgebra de${\displaystyle \mathbb {C} }$polinomios con valores en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(exactamente el mismo argumento funciona si usamos${\displaystyle \mathbb {R} }$en lugar de${\displaystyle \mathbb {C} }$). Dejar${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$sea ​​la subálgebra de puntos fijos en${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$bajo la acción adjunta de G ; es decir, la subálgebra que consta de todos los polinomios f tales que ${\displaystyle f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)}$, para todo g en G y x en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$,

Dado un fibrado principal G-fibrado P sobre M , existe un homomorfismo asociado de${\displaystyle \mathbb {C} }$-álgebras,

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )}$,

llamado homomorfismo de Chern-Weil , donde en la cohomología derecha es la cohomología de de Rham . Este homomorfismo se obtiene tomando polinomios invariantes en la curvatura de cualquier conexión en el fibrado dado. Si G es compacto o semisimple, entonces el anillo de cohomología del espacio clasificador para fibrados G ,${\displaystyle BG}$, es isomorfo al álgebra${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$de polinomios invariantes:

${\displaystyle H^{*}(BG;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}.}$

(El anillo de cohomología de BG todavía se puede dar en el sentido de De Rham:

${\displaystyle H^{k}(BG;\mathbb {C} )=\varinjlim \operatorname {ker} (d\colon \Omega ^{k}(B_{j}G)\to \Omega ^{k+1}(B_{j}G))/\operatorname {im} d.}$

cuando${\displaystyle BG=\varinjlim B_{j}G}$y${\displaystyle B_{j}G}$son colectores.)

Elija cualquier forma de conexión ω en P , y sea Ω la forma de curvatura asociada ; es decir,${\displaystyle \Omega =D\omega }$, la derivada covariante exterior de ω. Si${\displaystyle f\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$es una función polinómica homogénea de grado k ; es decir, ${\displaystyle f(ax)=a^{k}f(x)}$para cualquier número complejo a y x en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, entonces, considerando f como un funcional multilineal simétrico en${\textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}$(véase el anillo de funciones polinómicas ), sea

${\displaystyle f(\Omega )}$

sea ​​la 2 k -forma (con valores escalares) en P dada por

${\displaystyle f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (v_{\sigma (2k-1)},v_{\sigma (2k)}))}$

donde v _i son vectores tangentes a P ,${\displaystyle \epsilon _{\sigma }}$es el signo de la permutación${\displaystyle \sigma }$en el grupo simétrico en 2k números${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}}$(véase Formas con valores en álgebra de Lie#Operaciones , así como Pfaffiano ).

Si, además, f es invariante; es decir,${\displaystyle f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)}$, entonces se puede demostrar que${\displaystyle f(\Omega )}$es una forma cerrada , desciende a una forma única en M y la clase de cohomología de de Rham de la forma es independiente de${\displaystyle \omega }$. Primero, que${\displaystyle f(\Omega )}$es una forma cerrada que se deduce de los dos lemas siguientes: ^{[ 1 ]}

Lema 1: La forma${\displaystyle f(\Omega )}$en P desciende a una forma (única)${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$en M ; es decir, hay una forma en M que retrocede a${\displaystyle f(\Omega )}$.

Lema 2: Si una forma de${\displaystyle \varphi }$en P desciende a una forma en M , luego${\displaystyle d\varphi =D\varphi}$.

De hecho, la segunda identidad de Bianchi dice${\displaystyle D\Omega =0}$y, puesto que D es una derivación graduada,${\displaystyle Df(\Omega )=0.}$Finalmente, el Lema 1 dice:${\displaystyle f(\Omega )}$satisface la hipótesis del Lema 2.

Para ver el Lema 2, dejemos${\displaystyle \pi \colon P\to M}$sea ​​la proyección y h sea la proyección de${\displaystyle T_{u}P}$sobre el subespacio horizontal. Entonces el Lema 2 es una consecuencia del hecho de que${\displaystyle d\pi (hv)=d\pi (v)}$(el núcleo de${\displaystyle d\pi }$es precisamente el subespacio vertical.) En cuanto al Lema 1, la primera observación es:

${\displaystyle f(\Omega )(dR_{g}(v_{1}),\dots ,dR_{g}(v_{2k}))=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k}),\,R_{g}(u)=ug;}$

lo cual se debe a que${\displaystyle R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} _{g^{-1}}\Omega }$y f es invariante. Por lo tanto, se puede definir${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$mediante la fórmula:

${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )({\overline {v_{1}}},\dots ,{\overline {v_{2k}}})=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k}),}$

dónde${\displaystyle v_{i}}$¿Hay algún ascensor de${\displaystyle {\overline {v_{i}}}}$:${\displaystyle d\pi (v_{i})={\overline {v}}_{i}}$.

A continuación, mostramos que la clase de cohomología de de Rham de${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$en M es independiente de la elección de conexión. ^{[ 2 ]} Sea${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1}}$sean formas de conexión arbitrarias en P y sea${\displaystyle p\colon P\times \mathbb {R} \to P}$ser la proyección. Poner

${\displaystyle \omega '=t\,p^{*}\omega _{1}+(1-t)\,p^{*}\omega _{0}}$

donde t es una función suave en${\displaystyle P\times \mathbb {R} }$dado por${\displaystyle (x,s)\mapsto s}$. Dejar${\displaystyle \Omega ',\Omega _{0},\Omega _{1}}$sean las formas de curvatura de${\displaystyle \omega ',\omega _{0},\omega _{1}}$. Dejar${\displaystyle i_{s}:M\to M\times \mathbb {R} ,\,x\mapsto (x,s)}$sean las inclusiones. Entonces${\displaystyle i_{0}}$es homotópico a${\displaystyle i_{1}}$. De este modo,${\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}$y${\displaystyle i_{1}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}$pertenecen a la misma clase de cohomología de de Rham por la invariancia homotópica de la cohomología de de Rham . Finalmente, por naturalidad y por unicidad de descenso,

${\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')={\overline {f}}(\Omega _{0})}$

y lo mismo para${\displaystyle \Omega _{1}}$. Por eso,${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega _{0}),{\overline {f}}(\Omega _{1})}$pertenecen a la misma clase de cohomología.

La construcción da como resultado la aplicación lineal: (véase el Lema 1)

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}^{G}\to H^{2k}(M;\mathbb {C} ),\,f\mapsto \left[{\overline {f}}(\Omega )\right].}$

De hecho, se puede comprobar que el mapa así obtenido:

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )}$

es un homomorfismo de álgebra .

Dejar${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$y${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$su álgebra de Lie. Para cada x en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, podemos considerar su polinomio característico en t : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \det \left(I-t{x \over 2\pi i}\right)=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)t^{k},}$

donde i es la raíz cuadrada de -1. Entonces${\displaystyle f_{k}}$son polinomios invariantes en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ya que el lado izquierdo de la ecuación es. La k -ésima clase de Chern de un fibrado vectorial complejo suave E de rango n en una variedad M :

${\displaystyle c_{k}(E)\in H^{2k}(M,\mathbb {Z} )}$

se da como la imagen de${\displaystyle f_{k}}$bajo el homomorfismo de Chern-Weil definido por E (o más precisamente el fibrado de marcos de E ). Si t = 1, entonces${\displaystyle \det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)}$es un polinomio invariante. La clase de Chern total de E es la imagen de este polinomio; es decir,

${\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E).}$

Directamente a partir de la definición, se puede demostrar que${\displaystyle c_{j}}$y c dado anteriormente satisfacen los axiomas de las clases de Chern. Por ejemplo, para la fórmula de la suma de Whitney, consideramos

${\displaystyle c_{t}(E)=[\det \left(I-t{\Omega /2\pi i}\right)],}$

donde escribimos${\displaystyle \Omega }$para la 2-forma de curvatura en M del fibrado vectorial E (por lo que es descendiente de la forma de curvatura en el fibrado de marcos de E ). El homomorfismo de Chern-Weil es el mismo si se utiliza esto${\displaystyle \Omega }$Ahora bien, supongamos que E es una suma directa de haces vectoriales.${\displaystyle E_{i}}$'arena${\displaystyle \Omega _{i}}$la forma de curvatura de${\displaystyle E_{i}}$de modo que, en el término de la matriz,${\displaystyle \Omega }$es la matriz diagonal por bloques con Ω _I en la diagonal. Entonces, dado que${\textstyle \det(I-t{\frac {\Omega }{2\pi i}})=\det(I-t{\frac {\Omega _{1}}{2\pi i}})\wedge \dots \wedge \det(I-t{\frac {\Omega _{m}}{2\pi i}})}$, tenemos:

${\displaystyle c_{t}(E)=c_{t}(E_{1})\cdots c_{t}(E_{m})}$

donde a la derecha la multiplicación es la de un anillo de cohomología: producto de copa . Para la propiedad de normalización, se calcula la primera clase de Chern de la recta proyectiva compleja ; véase Clase de Chern#Ejemplo: el fibrado tangente complejo de la esfera de Riemann .

Desde${\displaystyle \Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}}$, ^{[ 4 ]} también tenemos:

${\displaystyle c_{1}(E\otimes E')=c_{1}(E)\operatorname {rank} (E')+\operatorname {rank} (E)c_{1}(E').}$

Finalmente, el carácter de Chern de E viene dado por

${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=[\operatorname {tr} (e^{-\Omega /2\pi i})]\in H^{*}(M,\mathbb {Q} )}$

dónde${\displaystyle \Omega }$es la forma de curvatura de alguna conexión en E (ya que${\displaystyle \Omega }$es nilpotente, es un polinomio en${\displaystyle \Omega }$.) Entonces ch es un homomorfismo de anillos :

${\displaystyle \operatorname {ch} (E\oplus F)=\operatorname {ch} (E)+\operatorname {ch} (F),\,\operatorname {ch} (E\otimes F)=\operatorname {ch} (E)\operatorname {ch} (F).}$

Ahora supongamos que en algún anillo R que contiene el anillo de cohomología${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {C} )}$, existe la factorización del polinomio en t :

${\displaystyle c_{t}(E)=\prod _{j=0}^{n}(1+\lambda _{j}t)}$

dónde${\displaystyle \lambda _{j}}$están en R (a veces se les llama raíces de Chern).${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{\lambda _{j}}}$.

Si E es un fibrado vectorial real suave sobre una variedad M , entonces la k - ésima clase de Pontrjagin de E viene dada por:

${\displaystyle p_{k}(E)=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M;\mathbb {Z} )}$

donde escribimos${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} }$para la complejización de E. Equivalentemente, es la imagen bajo el homomorfismo de Chern-Weil del polinomio invariante.${\displaystyle g_{2k}}$en${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}$dado por:

${\displaystyle \operatorname {det} \left(I-t{x \over 2\pi }\right)=\sum _{k=0}^{n}g_{k}(x)t^{k}.}$

Sea E un fibrado vectorial (complejo) holomorfo sobre una variedad compleja M. La forma de curvatura${\displaystyle \Omega }$de E , con respecto a alguna métrica hermitiana, no es solo una 2-forma, sino que de hecho es una (1, 1)-forma (véase fibrado vectorial holomorfo#Métricas hermitianas en un fibrado vectorial holomorfo ). Por lo tanto, el homomorfismo de Chern-Weil asume la forma: con${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$,

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}\to H^{k,k}(M;\mathbb {C} ),f\mapsto [f(\Omega )].}$

• Teoría de Chern-Weil infinita

• Bott, Raoul (1973), "Sobre el homomorfismo de Chern-Weil y la cohomología continua de los grupos de Lie", Advances in Mathematics , 11 (3): 289–303 , doi : 10.1016/0001-8708(73)90012-1.
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• Chern, Shiing-Shen (1995), Variedades complejas sin teoría del potencial , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0(El apéndice de este libro, "Geometría de las clases características", es una introducción muy clara y profunda al desarrollo de las ideas de las clases características).
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