Prueba de chi-cuadrado de Pearson

Prueba de chi-cuadrado de Pearson o prueba de Pearson $\chi ^{2}$ La prueba es una prueba estadística aplicada a conjuntos de datos categóricos para evaluar la probabilidad de que cualquier diferencia observada entre los conjuntos haya surgido por casualidad. Es la más utilizada de muchas pruebas de chi-cuadrado (por ejemplo, Yates , razón de verosimilitud , prueba portmanteau en series temporales , etc.), procedimientos estadísticos cuyos resultados se evalúan en referencia a la distribución chi-cuadrado . Sus propiedades fueron investigadas por primera vez por Karl Pearson en 1900. ^{[ 1 ]} En contextos donde es importante mejorar la distinción entre el estadístico de prueba y su distribución, se utilizan nombres similares a prueba o estadístico χ-cuadrado de Pearson . Es una prueba de valor p .

Un ejemplo sencillo es probar la hipótesis de que un dado ordinario de seis caras es "justo" (es decir, que los seis resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir). En este caso, los datos observados son: $(O_{1},O_{2},...,O_{6})$ , el número de veces que el dado ha caído en cada número. La hipótesis nula es $\mathrm {Multinomial} (N;1/6,...,1/6)$ , y ${\textstyle \chi ^{2}:=\sum \limits _{i=1}^{6}{\frac {{\left(O_{i}-N/6\right)}^{2}}{N/6}}}$ . Como se detalla a continuación, si $\chi ^{2}>11.07$ , entonces la imparcialidad del dado puede rechazarse al nivel de $p<0,05$ .

Procedimiento

La configuración es la siguiente: ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Antes del experimento, el experimentador fija un número determinado $N$ de muestras para tomar.
Los datos observados son $(O_{1},O_{2},...,O_{n})$ , el número de muestras de un conjunto finito de categorías dadas. Satisfacen ${\textstyle \sum _{i}O_{i}=N}$ .
La hipótesis nula es que los números de conteo se muestrean de una distribución multinomial. $\mathrm {Multinomial} (N;p_{1},...,p_{n})$ Es decir, los datos subyacentes son muestras independientes e idénticamente distribuidas (IID) de una distribución categórica. $\mathrm {Categórico} (p_{1},...,p_{n})$ sobre las categorías dadas.
El estadístico de prueba chi-cuadrado de Pearson se define como ${\textstyle \chi ^{2}:=\sum _{i}{\frac {{\left(O_{i}-Np_{i}\right)}^{2}}{Np_{i}}}}$ El valor p del estadístico de prueba se calcula numéricamente o consultándolo en una tabla.
Si el valor p es lo suficientemente pequeño (normalmente p < 0,05 por convención), entonces se rechaza la hipótesis nula y concluimos que los datos observados no siguen la distribución multinomial.

Uso

La prueba de chi-cuadrado de Pearson se utiliza para evaluar tres tipos de comparación: bondad de ajuste , homogeneidad e independencia .

Una prueba de bondad de ajuste determina si una distribución de frecuencia observada difiere de una distribución teórica.
Una prueba de homogeneidad compara la distribución de recuentos para dos o más grupos utilizando la misma variable categórica (por ejemplo, la elección de actividad —universidad, servicio militar, empleo, viajes— de los graduados de una escuela secundaria reportada un año después de la graduación, ordenados por año de graduación, para ver si el número de graduados que eligen una actividad determinada ha cambiado de una generación a otra, o de una década a otra). ^{[ 4 ]}
Una prueba de independencia evalúa si las observaciones que consisten en mediciones de dos variables, expresadas en una tabla de contingencia , son independientes entre sí (por ejemplo, las respuestas de encuestas de personas de diferentes nacionalidades para ver si la nacionalidad de una persona está relacionada con la respuesta).

Para las tres pruebas, el procedimiento computacional incluye los siguientes pasos:

Calcular el estadístico de prueba chi-cuadrado , $\chi ^{2}$ , que se asemeja a una suma normalizada de las desviaciones cuadráticas entre las frecuencias observadas y teóricas (véase más abajo).
Determina los grados de libertad , gl , de esa estadística.
1. Para una prueba de bondad de ajuste, df = Cats − Params , donde Cats es el número de categorías de observación reconocidas por el modelo, y Params es el número de parámetros en el modelo ajustados para que el modelo se ajuste mejor a las observaciones: El número de categorías reducido por el número de parámetros ajustados en la distribución.
2. Para una prueba de homogeneidad, df = (Filas − 1)×(Columnas − 1) , donde Filas corresponde al número de categorías (es decir, filas en la tabla de contingencia asociada) y Columnas corresponde al número de grupos independientes (es decir, columnas en la tabla de contingencia asociada). ^{[ 4 ]}
3. Para una prueba de independencia, df = (Filas − 1)×(Coles − 1) , donde en este caso, Filas corresponde al número de categorías en una variable y Coles corresponde al número de categorías en la segunda variable. ^{[ 4 ]}
Seleccione el nivel de confianza deseado ( nivel de significancia , valor p o el nivel alfa correspondiente ) para el resultado de la prueba.
Comparar $\chi ^{2}$ al valor crítico de la distribución chi-cuadrado con df grados de libertad y el nivel de confianza seleccionado (unilateral, ya que la prueba es solo en una dirección, es decir, ¿el valor de prueba es mayor que el valor crítico?), que en muchos casos da una buena aproximación de la distribución de $\chi ^{2}$ .
Sostenga o rechace la hipótesis nula de que la distribución de frecuencia observada es la misma que la distribución teórica en función de si el estadístico de prueba excede el valor crítico de $\chi ^{2}$ . Si el estadístico de prueba supera el valor crítico de $\chi ^{2}$ , la hipótesis nula ( $H_{0}$ = no hay diferencia entre las distribuciones) puede rechazarse, y la hipótesis alternativa ( $H_{1}$ = existe una diferencia entre las distribuciones) puede aceptarse, ambas con el nivel de confianza seleccionado. Si el estadístico de prueba cae por debajo del umbral $\chi ^{2}$ valor, entonces no se puede llegar a una conclusión clara, y la hipótesis nula se mantiene (no rechazamos la hipótesis nula), aunque no necesariamente se acepta.

Prueba de ajuste de una distribución

Distribución uniforme discreta

En este caso $N$ Las observaciones se dividen entre $n$ células. Una aplicación sencilla consiste en probar la hipótesis de que, en la población general, los valores se presentarían en cada célula con igual frecuencia. La "frecuencia teórica" para cualquier célula (bajo la hipótesis nula de una distribución uniforme discreta ) se calcula así como $E_{i}={\frac {N}{n}}\,,$ y la reducción en los grados de libertad es $p=1$ , conceptualmente porque las frecuencias observadas $O_{i}$ están obligados a sumar $N$ .

Un ejemplo específico de su aplicación sería su uso en la prueba de log-rank.

Otras distribuciones

Al comprobar si las observaciones son variables aleatorias cuya distribución pertenece a una familia de distribuciones determinada, las "frecuencias teóricas" se calculan utilizando una distribución de esa familia ajustada de alguna manera estándar. La reducción en los grados de libertad se calcula como $p=s+1$ , dónde $s$ es el número de parámetros utilizados para ajustar la distribución. Por ejemplo, al comprobar una distribución gamma generalizada de tres parámetros , $p=4$ y al comprobar una distribución normal (donde los parámetros son la media y la desviación estándar), $p=3$ y al comprobar una distribución de Poisson (donde el parámetro es el valor esperado), $p=2$ Por lo tanto, habrá $np$ grados de libertad, donde $n$ es el número de categorías.

Los grados de libertad no se basan en el número de observaciones, como ocurre con la distribución t de Student o la distribución F. Por ejemplo, si se prueba la imparcialidad de un dado de seis caras, habría cinco grados de libertad, ya que existen seis categorías o parámetros (cada uno numérico); el número de veces que se lanza el dado no influye en el número de grados de libertad.

Cálculo del estadístico de prueba

El valor del estadístico de prueba es

$\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\left(O_{i}-E_{i}\right)}^{2}}{E_{i}}}=N\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(O_{i}/N-p_{i}\right)^{2}}{p_{i}}}$

dónde

$\chi ^{2}$ = Estadístico de prueba acumulativo de Pearson, que se aproxima asintóticamente a un $\chi ^{2}$ distribución .
$O_{i}$ = el número de observaciones de tipo i .
$N$ = número total de observaciones
$E_{i}=Np_{i}$ = el recuento esperado (teórico) del tipo i , afirmado por la hipótesis nula de que la fracción del tipo i en la población es $p_{i}$
$n$ = el número de celdas en la tabla.

El estadístico chi-cuadrado se puede utilizar para calcular un valor p comparando el valor del estadístico con una distribución chi-cuadrado . El número de grados de libertad es igual al número de celdas. $n$ , menos la reducción de grados de libertad, $p$ .

El estadístico chi-cuadrado también se puede calcular como

$\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {O_{i}^{2}}{E_{i}}}-N.$

Este resultado es consecuencia del teorema del binomio.

El resultado sobre el número de grados de libertad es válido cuando los datos originales son multinomiales y, por lo tanto, los parámetros estimados son eficientes para minimizar el estadístico chi-cuadrado. Sin embargo, de forma más general, cuando la estimación de máxima verosimilitud no coincide con la estimación mínima de chi-cuadrado, la distribución se situará en algún punto entre una distribución chi-cuadrado con $n-1-p$ y $n-1$ grados de libertad (Véase, por ejemplo, Chernoff y Lehmann, 1954).

La prueba de chi-cuadrado indica una asociación estadísticamente significativa entre el nivel de educación completado y la asistencia a chequeos médicos de rutina (chi²(3) = 14,6090, p = 0,002). Las proporciones sugieren que, a medida que aumenta el nivel de educación, también aumenta la proporción de personas que asisten a chequeos médicos de rutina. Específicamente, las personas que se han graduado de la universidad asisten a chequeos médicos de rutina en una proporción mayor (31,52%) en comparación con quienes no se han graduado de la escuela secundaria (8,44%). Este hallazgo podría indicar que un mayor nivel educativo se asocia con una mayor probabilidad de participar en comportamientos que promueven la salud, como los chequeos médicos de rutina.

método bayesiano

En estadística bayesiana , se utilizaría una distribución de Dirichlet como distribución a priori conjugada . Si se adoptara una distribución a priori uniforme, la estimación de máxima verosimilitud para la probabilidad poblacional sería la probabilidad observada, y se podría calcular una región de credibilidad alrededor de esta u otra estimación.

Pruebas de independencia estadística

En este caso, una "observación" consiste en los valores de dos resultados y la hipótesis nula es que la ocurrencia de estos resultados es estadísticamente independiente . Cada observación se asigna a una celda de una matriz bidimensional de celdas (llamada tabla de contingencia ) según los valores de los dos resultados. Si hay r filas y c columnas en la tabla, la "frecuencia teórica" para una celda, dada la hipótesis de independencia, es

$E_{i,j}=Np_{i\cdot }p_{\cdot j},$

dónde $N$ es el tamaño total de la muestra (la suma de todas las celdas de la tabla), y

$p_{i\cdot }={\frac {O_{i\cdot }}{N}}=\sum _{j=1}^{c}{\frac {O_{i,j}}{N}},$

es la fracción de observaciones de tipo i ignorando el atributo de columna (fracción de totales de fila), y $p_{\cdot j}={\frac {O_{\cdot j}}{N}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {O_{i,j}}{N}}$

es la fracción de observaciones de tipo j sin tener en cuenta el atributo de fila (fracción de los totales de columna). El término " frecuencias " se refiere a números absolutos en lugar de valores ya normalizados.

El valor del estadístico de prueba es

${\begin{aligned}\chi ^{2}&=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{c}{\frac {{\left(O_{i,j}-E_{i,j}\right)}^{2}}{E_{i,j}}}\\[1ex]&=N\sum _{i,j}p_{i\cdot }p_{\cdot j}{\left({\frac {\left(O_{i,j}/N\right)-p_{i\cdot }p_{\cdot j}}{p_{i\cdot }p_{\cdot j}}}\right)}^{2}\end{aligned}}$

Tenga en cuenta que $\chi ^{2}$ es 0 si y solo si $O_{i,j}=E_{i,j}\forall i,j$ , es decir, solo si el número esperado y el número real de observaciones son iguales en todas las celdas.

Ajustar el modelo de "independencia" reduce el número de grados de libertad en $p = r + c - 1.$ El número de grados de libertad es igual al número de celdas rc , menos la reducción en los grados de libertad, p , que se reduce a $($ $r$ $- 1)($ $c$ $- 1)$ .

Para la prueba de independencia, también conocida como prueba de homogeneidad, una probabilidad chi-cuadrado menor o igual a 0,05 (o que el estadístico chi-cuadrado sea igual o mayor que el punto crítico de 0,05) es comúnmente interpretada por los investigadores aplicados como justificación para rechazar la hipótesis nula de que la variable de fila es independiente de la variable de columna. ^{[ 6 ]} La hipótesis alternativa corresponde a que las variables tengan una asociación o relación cuya estructura no esté especificada.

Supuestos

La prueba chi-cuadrado, cuando se utiliza con la aproximación estándar de que es aplicable una distribución chi-cuadrado, tiene los siguientes supuestos: ^{[ 7 ]}

muestra aleatoria simple: Los datos de la muestra son un muestreo aleatorio de una distribución o población fija, donde cada conjunto de miembros de la población del tamaño de muestra dado tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. Se han desarrollado variantes de la prueba para muestras complejas, como aquellas en las que los datos están ponderados. También se pueden utilizar otras formas, como el muestreo intencional . ^{[ 8 ]}
Tamaño de la muestra (tabla completa): Se asume una muestra de tamaño suficientemente grande. Si se realiza una prueba de chi cuadrado en una muestra de menor tamaño, la prueba arrojará una inferencia inexacta. Al utilizar la prueba de chi cuadrado en muestras pequeñas, el investigador podría cometer un error de tipo II . Para tamaños de muestra pequeños, se prefiere la prueba de Cash . ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}
Recuento celular esperado: Recuentos esperados de celdas adecuados. Algunos requieren 5 o más, y otros 10 o más. Una regla común es que todas las celdas de una tabla de 2x2 tengan 5 o más, y el 80% de las celdas de tablas más grandes tengan 5 o más, pero ninguna celda con recuento esperado cero. Cuando no se cumple este supuesto, se aplica la corrección de Yates .
Independencia: Siempre se asume que las observaciones son independientes entre sí. Esto significa que la prueba chi-cuadrado no se puede utilizar para analizar datos correlacionados (como pares emparejados o datos de panel). En esos casos, la prueba de McNemar puede ser más apropiada.

Una prueba que se basa en supuestos diferentes es la prueba exacta de Fisher ; si se cumple su supuesto de distribuciones marginales fijas, es sustancialmente más precisa para obtener un nivel de significancia, especialmente con pocas observaciones. En la gran mayoría de las aplicaciones, este supuesto no se cumplirá, y la prueba exacta de Fisher será demasiado conservadora y no tendrá la cobertura correcta. ^{[ 11 ]}

Derivación

Derivación mediante el teorema del límite central

La distribución nula del estadístico de Pearson con j filas y k columnas se aproxima mediante la distribución chi-cuadrado con ( k − 1)( j − 1) grados de libertad. ^{[ 12 ]}

Esta aproximación surge como la distribución verdadera, bajo la hipótesis nula, si el valor esperado viene dado por una distribución multinomial . Para tamaños de muestra grandes, el teorema del límite central dice que esta distribución tiende hacia una cierta distribución normal multivariada .

Dos células

En el caso especial en que solo hay dos celdas en la tabla, los valores esperados siguen una distribución binomial , $O\sim \operatorname {Bin} (n,p),$ dónde

p = probabilidad, bajo la hipótesis nula,

n = número de observaciones en la muestra.

En el ejemplo anterior, la probabilidad hipotética de observar un macho es de 0,5, con 100 muestras. Por lo tanto, esperamos observar 50 machos.

Si n es suficientemente grande, la distribución binomial anterior puede aproximarse mediante una distribución gaussiana (normal) y, por lo tanto, el estadístico de prueba de Pearson se aproxima a una distribución chi-cuadrado. $\operatorname {Bin} (n,p)\approx {\mathcal {N}}{\big (}np,np(1-p){\big )}.$

Sea O ₁ el número de observaciones de la muestra que se encuentran en la primera celda. El estadístico de prueba de Pearson se puede expresar como ${\frac {(O_{1}-np)^{2}}{np}}+{\frac {{\big (}n-O_{1}-n(1-p){\big )}^{2}}{n(1-p)}},$ que a su vez puede expresarse como $\left({\frac {O_{1}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)^{2}.$

Mediante la aproximación normal a una distribución binomial, esto es el cuadrado de una variable aleatoria normal estándar y, por lo tanto, se distribuye como una distribución chi-cuadrado con 1 grado de libertad. Nótese que el denominador es una desviación estándar de la aproximación gaussiana, por lo que se puede escribir ${\frac {(O_{1}-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}.$

Así pues, de acuerdo con el significado de la distribución chi-cuadrado, estamos midiendo cuán probable es que el número observado de desviaciones estándar con respecto a la media se encuentre bajo la aproximación gaussiana (que es una buena aproximación para valores grandes de n ).

La distribución chi-cuadrado se integra a la derecha del valor estadístico para obtener el valor p , que es igual a la probabilidad de obtener un estadístico igual o mayor que el observado, suponiendo la hipótesis nula.

Tablas de contingencia de dos por dos

Cuando la prueba se aplica a una tabla de contingencia que contiene dos filas y dos columnas, la prueba es equivalente a una prueba Z de proporciones.

Muchas células

Argumentos similares a los anteriores conducen al resultado deseado, aunque los detalles son más complejos. Se puede aplicar un cambio ortogonal de variables para convertir los sumandos límite en el estadístico de prueba en un cuadrado menos de variables aleatorias normales estándar i.i.d. ^{[ 13 ]}

Demostremos ahora que la distribución efectivamente se aproxima asintóticamente a la $\chi ^{2}$ distribución a medida que el número de observaciones tiende al infinito.

Dejar $n$ sea el número de observaciones, $m$ el número de células y $p_{i}$ la probabilidad de que una observación caiga en la celda i , para $1\leq i\leq m$ . Lo denotamos por $\{k_{i}\}$ la configuración donde para cada i hay $k_{i}$ observaciones en la i -ésima celda. Tenga en cuenta que $\sum _{i=1}^{m}k_{i}=n\quad {\text{y}}\quad \sum _{i=1}^{m}p_{i}=1.$

Dejar $\chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})$ sea el estadístico de prueba acumulativo de Pearson para dicha configuración, y dejemos $\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})$ sea la distribución de esta estadística. Mostraremos que esta última probabilidad se aproxima a la $\chi ^{2}$ distribución con $m-1$ grados de libertad, como $n\to \infty .$

Para cualquier valor arbitrario T: $P{\big (}\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T{\big )}=\sum _{\{k_{i}\mid \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})>T\}}{\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}{p_{i}}^{k_{i}}.$

Utilizaremos un procedimiento similar a la aproximación del teorema de De Moivre-Laplace . Contribuciones de pequeñas $k_{i}$ son de orden subprincipal en $n$ y por lo tanto para grandes $n$ Podemos utilizar la fórmula de Stirling para ambos $n!$ y $k_{i}!$ para obtener lo siguiente: $P{\big (}\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T{\big )}\sim \sum _{\{k_{i}\mid \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})>T\}}\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {np_{i}}{k_{i}}}\right)^{k_{i}}{\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}2\pi k_{i}}}}.$

Sustituyendo por $x_{i}={\frac {k_{i}-np_{i}}{\sqrt {n}}},\quad i=1,\cdots ,m-1,$ podemos aproximar para grandes $n$ la suma sobre el $k_{i}$ mediante una integral sobre la $x_{i}$ . Observando que $k_{m}=np_{m}-{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i},$ llegamos a ${\begin{aligned}P{\big (}\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\}{\big )}>T)&\sim {\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}2\pi k_{i}}}}\int _{\Omega }\left[\prod _{i=1}^{m-1}{\sqrt {n}}dx_{i}\right]\times \\&\qquad \times \left\{\prod _{i=1}^{m-1}\left(1+{\frac {x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{i}}}\right)^{-(np_{i}+{\sqrt {n}}x_{i})}\left(1-{\frac {\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{m}}}\right)^{-\left(np_{m}-{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}\right)}\right\}\\&={\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}\left(2\pi np_{i}+2\pi {\sqrt {n}}x_{i}\right)}}}\int _{\Omega }\left\{\prod _{i=1}^{m-1}{{\sqrt {n}}dx_{i}}\right\}\times \\&\qquad \times \left\{\prod _{i=1}^{m-1}\exp \left[-\left(np_{i}+{\sqrt {n}}x_{i}\right)\ln \left(1+{\frac {x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{i}}}\right)\right]\exp \left[-\left(np_{m}-{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}\right)\ln \left(1-{\frac {\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{m}}}\right)\right]\right\},\end{aligned}}$ dónde $\Omega$ es el conjunto definido a través de $\chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})=\chi _{P}^{2}(\{{\sqrt {n}}x_{i}+np_{i}\},\{p_{i}\})>T$ .

Al expandir el logaritmo y tomar los términos principales en $n$ , obtenemos $P{\big (}\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T{\big )}\sim {\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{m-1}\prod _{i=1}^{m}p_{i}}}}\int _{\Omega }\left[\prod _{i=1}^{m-1}dx_{i}\right]\prod _{i=1}^{m-1}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{m-1}{\frac {x_{i}^{2}}{p_{i}}}-{\frac {1}{2p_{m}}}\left(\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}\right)^{2}\right].$

chi de Pearson, $\chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})=\chi _{P}^{2}(\{{\sqrt {n}}x_{i}+np_{i}\},\{p_{i}\})$ , es precisamente el argumento del exponente (excepto por el −1/2; tenga en cuenta que el último término del argumento del exponente es igual a $(k_{m}-np_{m})^{2}/(np_{m})$ ).

Este argumento se puede escribir como $-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{m-1}x_{i}A_{ij}x_{j},\quad A_{ij}={\frac {\delta _{ij}}{p_{i}}}+{\frac {1}{p_{m}}},\quad i,j=1,\cdots ,m-1.$

$A$ es una simetría regular $(m-1)\times (m-1)$ matriz, y por lo tanto diagonalizable . Por consiguiente, es posible realizar un cambio lineal de variables en $\{x_{i}\}$ para obtener $m-1$ nuevas variables $\{y_{i}\}$ de modo que $\sum _{i,j=1}^{m-1}x_{i}A_{ij}x_{j}=\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}.$

Este cambio lineal de variables simplemente multiplica la integral por un jacobiano constante , por lo que obtenemos $P{\big (}\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T{\big )}\sim C\int _{\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}>T}\left\{\prod _{i=1}^{m-1}dy_{i}\right\}\prod _{i=1}^{m-1}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}\right)\right],$ donde C es una constante.

Esta es la probabilidad de que la suma al cuadrado de $m-1$ Las variables independientes con distribución normal, media cero y varianza unitaria serán mayores que T , es decir, que $\chi ^{2}$ con $m-1$ grados de libertad es mayor que T.

Hemos demostrado así que en el límite donde $n\to \infty ,$ La distribución de chi de Pearson se aproxima a la distribución chi con $m-1$ grados de libertad.

En la página de distribución multinomial se encuentra una derivación alternativa .

Ejemplos

Equidad de los dados

Se lanza un dado de 6 caras 60 veces. El número de veces que cae con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 hacia arriba es 5, 8, 9, 8, 10 y 20, respectivamente. ¿Está el dado sesgado, según la prueba de chi-cuadrado de Pearson con un nivel de significancia del 95% y/o 99%?

La hipótesis nula es que el dado no está sesgado, por lo tanto , se espera que cada número aparezca la misma cantidad de veces, en este caso, 60 / n = 10. Los resultados se pueden tabular de la siguiente manera:

Luego consultamos una tabla de valores críticos de la cola superior de la distribución chi-cuadrado ; el valor tabular se refiere a la suma de las variables al cuadrado dividida por los resultados esperados. Para el presente ejemplo, esto significa $\chi ^{2}={\frac {25}{10}}+{\frac {4}{10}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {4}{10}}+{\frac {0}{10}}+{\frac {100}{10}}=13.4.$

Este es el resultado experimental cuya improbabilidad (con un dado justo) deseamos estimar.

La suma experimental de 13,4 se encuentra entre los valores críticos de significancia o confianza del 97,5 % y el 99 % ( valor p ). Específicamente, obtener 20 tiradas de 6, cuando la expectativa es de solo 10 valores de este tipo, es improbable con un dado justo.

Prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado

En este contexto, las frecuencias de las distribuciones teóricas y empíricas son recuentos no normalizados, y para una prueba de chi-cuadrado los tamaños totales de la muestra. $N$ Las sumas de todas las celdas de las tablas de contingencia correspondientes a ambas distribuciones tienen que ser iguales.

Por ejemplo, para probar la hipótesis de que se ha extraído una muestra aleatoria de 100 personas de una población en la que hombres y mujeres tienen la misma frecuencia, el número observado de hombres y mujeres se compararía con las frecuencias teóricas de 50 hombres y 50 mujeres. Si hubiera 44 hombres en la muestra y 56 mujeres, entonces

$\chi ^{2}={\frac {{\left(44-50\right)}^{2}}{50}}+{\frac {{\left(56-50\right)}^{2}}{50}}=1.44.$

Si la hipótesis nula es verdadera (es decir, hombres y mujeres son elegidos con igual probabilidad), el estadístico de prueba se extraerá de una distribución chi-cuadrado con un grado de libertad (porque si se conoce la frecuencia masculina, entonces se determina la frecuencia femenina).

La consulta de la distribución chi-cuadrado para 1 grado de libertad muestra que la probabilidad de observar esta diferencia (o una diferencia aún más extrema) si el número de hombres y mujeres en la población es igual es aproximadamente 0,23. Esta probabilidad es superior a los criterios convencionales de significación estadística (0,01 o 0,05), por lo que normalmente no rechazaríamos la hipótesis nula de que el número de hombres en la población es igual al de mujeres (es decir, consideraríamos que nuestra muestra se encuentra dentro del rango esperado para una proporción hombre-mujer de 50/50).

Prueba de chi-cuadrado para homogeneidad

La prueba de chi-cuadrado para la homogeneidad de proporciones (es decir, comparar proporciones entre grupos en una tabla de contingencia) se utiliza con frecuencia para verificar si las filas de una tabla de contingencia dada no son negativas. $m\times n$ matriz de contingencia $A$ son proporcionales.

Considerar $T$ resultados de ensayos multinomiales clasificados según dos criterios: pertenencia a uno de $n$ grupos y asignación a uno de $m$ categorías. Los resultados pueden organizarse en una $m\times n$ tabla de contingencia, donde $O_{ij}$ denota la frecuencia observada en la fila $i$ y columna $j$ , con totales de fila $O_{i\cdot }$ , totales de columna $O_{\cdot j}$ y total general $T$ .

Dejar $O_{ij}$ denota la frecuencia observada en la celda correspondiente a la fila $i$ y columna $j$ , para $i=1,2,\dots ,m$ y $j=1,2,\dots ,n$ Definir las sumas de las filas

$R_{i}=\sum _{j=1}^{n}O_{ij},\quad i=1,\dots ,m,$

las sumas de las columnas

$C_{j}=\sum _{i=1}^{m}O_{ij},\quad j=1,\dots ,n,$

y el gran total

$T=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}O_{ij}.$

La hipótesis nula es

$H_{0}:\pi _{1j}=\pi _{2j}=\cdots =\pi _{mj},\quad \forall j\in {1,\dots ,n},$

dónde $\pi _{ij}\in [0,1]$ denota la proporción de individuos en el grupo $i$ entrando en la categoría $j$ , con $\sum _{j=1}^{n}\pi _{ij}=1$ para cada $i$ .

Bajo $H_{0}$ , la frecuencia esperada en la célula $(i,j)$ es

$E_{ij}={\tfrac {R_{i}C_{j}}{T}},\quad i=1,\dots ,m;;j=1,\dots ,n.$

El estadístico de prueba chi-cuadrado de Pearson es entonces

$\chi _{\text{stat}}^{2}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\frac {(O_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}}}.$

Por ejemplo, supongamos que hay dos grupos de estudiantes (Grupo 1 y Grupo 2) y tres preferencias de estudio (Solo, Con compañeros, Tutoría). Sea $O_{ij}$ denota la frecuencia observada en la fila $i$ (preferencia) y columna $j$ (grupo).

Las frecuencias observadas son las siguientes:

Bajo la hipótesis nula $H_{0}$ Las filas son proporcionales entre los grupos.

Las frecuencias esperadas se calculan utilizando:

$E_{ij}={\frac {R_{i}\cdot C_{j}}{T}},$

dónde $R_{i}$ es el total de la fila, $C_{j}$ es el total de la columna y $T$ es el total general.

Por ejemplo, para la primera fila y la primera columna:

$E_{11}={\frac {20\cdot 40}{100}}=8.$

Las frecuencias esperadas son:

El estadístico chi-cuadrado de Pearson es entonces:

$\chi _{\text{stat}}^{2}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{2}{\frac {(O_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}}}=7.5.$

Con $(3-1)(2-1)=2$ grados de libertad, este valor se puede comparar con la distribución chi-cuadrado para probar la hipótesis nula.

Escollos de la prueba

La aproximación a la distribución chi-cuadrado falla si las frecuencias esperadas son demasiado bajas. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}

Normalmente será aceptable siempre que no más del 20% de los eventos tengan frecuencias esperadas inferiores a 5. ^{[ 7 ]} Cuando solo hay 1 grado de libertad, la aproximación no es fiable si las frecuencias esperadas son inferiores a 10. En este caso, se puede obtener una mejor aproximación reduciendo el valor absoluto de cada diferencia entre las frecuencias observadas y esperadas en 0,5 antes de elevar al cuadrado; esto se denomina corrección de Yates para la continuidad .

En los casos en que el valor esperado, E, es pequeño (lo que indica una probabilidad poblacional subyacente pequeña y/o un número pequeño de observaciones), la aproximación normal de la distribución multinomial puede fallar, y en tales casos se encuentra que es más apropiado usar la prueba G , un estadístico de prueba basado en la razón de verosimilitud . Cuando el tamaño total de la muestra es pequeño, es necesario usar una prueba exacta apropiada, generalmente ya sea la prueba binomial o, para tablas de contingencia , la prueba exacta de Fisher . Esta prueba usa la distribución condicional del estadístico de prueba dados los totales marginales, y por lo tanto asume que los márgenes fueron determinados antes del estudio; alternativas como la prueba de Boschloo que no hacen esta suposición son uniformemente más potentes .

En la prueba de homogeneidad de Pearson, si todas las entradas de una matriz $A$ se multiplican por una constante positiva $c$ , el estadístico chi-cuadrado de Pearson también se multiplica por $c$ :

$\chi _{\text{stat}}^{2}(cA)=c\chi _{\text{stat}}^{2}(A).$

Por lo tanto, si todas las filas de $A$ son exactamente proporcionales,

$\chi _{\text{stat}}^{2}(cA)=c\chi _{\text{stat}}^{2}(A)=0$

para cualquier $c$ y cualquier nivel de significancia $\alpha$ . De lo contrario, $\chi _{\text{stat}}^{2}(cA)$ puede volverse arbitrariamente grande o pequeño como $c$ aumenta o disminuye. Por lo tanto, a un nivel de significancia fijo $\alpha$ la hipótesis nula $H_{0}$ será rechazado con confianza $1-\alpha$ cuando $c$ es suficientemente grande y no se rechaza cuando $c$ es suficientemente pequeño. ^{[ 15 ]} Es decir, el estadístico chi-cuadrado aumenta linealmente cuando toda la tabla de contingencia se multiplica por un factor constante, lo que refleja la escala proporcional de las frecuencias observadas y esperadas.

Se puede demostrar que el $\chi ^{2}$ La prueba es una aproximación de bajo orden de la $\Psi$ prueba. ^{[ 16 ]} Las razones anteriores para los problemas anteriores se hacen evidentes cuando se investigan los términos de orden superior.

Véase también

nomograma de chi-cuadrado
V de Cramér : una medida de correlación para la prueba chi-cuadrado
Grados de libertad (estadística)
Desviación (estadística) , otra medida de la calidad del ajuste
Prueba exacta de Fisher
Prueba G , prueba a la que la prueba chi-cuadrado es una aproximación.
El índice de Lexis , una estadística anterior, fue reemplazado por la prueba de chi-cuadrado.
Prueba U de Mann-Whitney
Prueba de la mediana
Estimación de chi cuadrado mínimo
Estadístico chi-cuadrado reducido
Prueba Z para dos proporciones

Notas

↑ Pearson, Karl (1900). "Sobre el criterio de que un sistema dado de desviaciones de lo probable en el caso de un sistema de variables correlacionadas es tal que se puede suponer razonablemente que surgió de un muestreo aleatorio" . Philosophical Magazine . Serie 5. 50 (302): 157– 175. doi : 10.1080/14786440009463897 .
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Referencias

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[ocw-12] Estadística para aplicaciones. MIT OpenCourseWare . Lección 23. Teorema de Pearson. Consultado el 21 de marzo de 2007.

[13] Benhamou, Eric; Melot, Valentin (3 de septiembre de 2018). "Siete pruebas de la prueba de independencia chi-cuadrado de Pearson y su interpretación gráfica". pp. 5– 6. arXiv : 1808.09171 [ math.ST ].

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[Gurvich-15] 1 2 Gurvich, V.; Naumova, M. (2025). "Problemas críticos con la prueba chi-cuadrado de Pearson" . Métodos matemáticos modernos . 3 (2): 101– 109. doi : 10.64700/mmm.75 .

[16] Jaynes, ET (2003). Teoría de la probabilidad: La lógica de la ciencia . C. University Press. pág. 298. ISBN 978-0-521-59271-0.( El enlace lleva a una edición fragmentaria de marzo de 1996 ).

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