Christopher Deninger

Christopher Deninger (nacido el 8 de abril de 1958) es un matemático alemán de la Universidad de Münster . La investigación de Deninger se centra en la geometría aritmética , incluidas las aplicaciones a las funciones L.

Deninger obtuvo su doctorado en la Universidad de Colonia en 1982, bajo la supervisión de Curt Meyer . En 1992 compartió el Premio Gottfried Wilhelm Leibniz con Michael Rapoport , Peter Schneider y Thomas Zink . En 1998 fue ponente plenario en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1998 en Berlín. ^[2] En 2012 se convirtió en miembro de la American Mathematical Society . ^[3]

En una serie de artículos entre 1984 y 1987, Deninger estudió extensiones de la dualidad de Artin-Verdier . En términos generales, la dualidad de Artin-Verdier, una consecuencia de la teoría de campos de clases , es un análogo aritmético de la dualidad de Poincaré , una dualidad para la cohomología de haces en una variedad compacta. En este paralelo, el ( espectro del) anillo de números enteros en un cuerpo de números corresponde a una 3-variedad . Siguiendo el trabajo de Mazur , Deninger (1984) extendió la dualidad de Artin-Verdier a los cuerpos de funciones . Luego, Deninger extendió estos resultados en varias direcciones, como haces sin torsión (1986), superficies aritméticas (1987), así como campos locales de dimensiones superiores (con Wingberg, 1986). La aparición de los complejos motívicos de Bloch considerados en los últimos artículos influyó en el trabajo de varios autores, incluido Geisser (2010), quien identificó los complejos de Bloch como complejos dualizantes sobre esquemas de dimensiones superiores.

Otro grupo de trabajos de Deninger estudia las funciones L y sus valores especiales. Un ejemplo clásico de una función L es la función zeta de Riemann ζ( s ), para la que se utilizan fórmulas como

ζ(2) = π ² / 6

se conocen desde Euler. En un artículo de referencia, Beilinson (1984) había propuesto un conjunto de conjeturas de largo alcance que describen los valores especiales de las funciones L , es decir, los valores de las funciones L en números enteros. En términos muy generales, las conjeturas de Beilinson afirman que para una variedad algebraica proyectiva suave X sobre Q , la cohomología motívica de X debería estar estrechamente relacionada con la cohomología de Deligne de X . Además, la relación entre estas dos teorías de cohomología debería explicar, según la conjetura de Beilinson, los órdenes de los polos y los valores de

L ( h ⁿ ( X ), s )

en números enteros s . Bloch y Beilinson demostraron partes esenciales de esta conjetura para h ¹ ( X ) en el caso donde X es una curva elíptica con multiplicación compleja y s = 2. En 1988, Deninger y Wingberg dieron una exposición de ese resultado. En 1989 y 1990, Deninger extendió este resultado a ciertas curvas elípticas consideradas por Shimura, en todos los s ≥2. Deninger y Nart (1995) expresaron el emparejamiento de alturas , un ingrediente clave de la conjetura de Beilinson, como un emparejamiento natural de grupos Ext en una cierta categoría de motivos. En 1995, Deninger estudió los productos de Massey en la cohomología de Deligne y conjeturó a partir de allí una fórmula para el valor especial para la función L de una curva elíptica en s = 3, que fue posteriormente confirmada por Goncharov (1996). En 2018, la conjetura de Beilinson sigue abierta y las contribuciones de Deninger siguen siendo algunos de los pocos casos en los que la conjetura de Beilinson ha sido atacada con éxito (entre los estudios sobre el tema se incluyen Deninger y Scholl (1991), Nekovář (1994)).

La función ζ de Riemann se define utilizando un producto de factores de Euler

${\displaystyle \zeta _{p}(s):={\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

Para cada número primo p . Para obtener una ecuación funcional para ζ( s ), es necesario multiplicarlos por un término adicional que involucre la función Gamma :

${\displaystyle \zeta _{\infty }(s):=2^{-1/2}\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2).}$

Las funciones L más generales también se definen mediante productos de Euler, que involucran, en cada lugar finito, el determinante del endomorfismo de Frobenius que actúa sobre la cohomología l-ádica de alguna variedad X / Q , mientras que el factor de Euler para el lugar infinito son, según Serre , productos de funciones Gamma que dependen de las estructuras de Hodge asociadas a X / Q . Deninger (1991) expresó estos Γ-factores en términos de determinantes regularizados y avanzó, en 1992 y con mayor generalidad en 1994, para unificar los factores de Euler de las funciones L en lugares finitos e infinitos utilizando determinantes regularizados. Por ejemplo, para los factores de Euler de la función zeta de Riemann esta descripción uniforme se lee

${\displaystyle \zeta _{p}(s)=\det {}_{\infty }\left({\frac {1}{2\pi }}(s-\Theta )|R_{p})\ derecha)^{-1}.}$

Aquí p es un número primo o infinito, correspondiente a los factores de Euler no arquimedianos y al factor de Euler arquimediano respectivamente, y R _p es el espacio de series de Fourier finitas de valor real en R /log( p ) Z para un número primo p , y R _∞ = R [exp(−2 y )]. Finalmente, Θ es la derivada de la R -acción dada al desplazar dichas funciones. Deninger (1994) también exhibió un enfoque unificador similar para los factores ε (que expresan la relación entre las L -funciones completadas en s y en 1− s ).

Estos resultados llevaron a Deninger a proponer un programa relativo a la existencia de un "sitio aritmético" Y asociado a la compactificación de Spec Z . Entre otras propiedades, este sitio estaría dotado de una acción de R , y cada número primo p correspondería a una órbita cerrada de la R -acción de longitud log( p ). Además, las analogías entre fórmulas en la teoría analítica de números y la dinámica en espacios foliados llevaron a Deninger a conjeturar la existencia de una foliación en este sitio. Además, se supone que este sitio está dotado de una teoría de cohomología de dimensión infinita tal que la L -función de un motivo M está dada por

${\displaystyle L(M,s)=\prod _{i=0}^{2}\det {}_{\infty }\left({\frac {1}{2\pi }}(s-\Theta )|H_{c}^{i}(Y,F(M))\right).}$

Aquí M es un motivo , como los motivos h ⁿ ( X ) que aparecen en la conjetura de Beilinson, y F ( M ) se concibe como el haz en Y unido al motivo M . El operador Θ es el generador infinitesimal del flujo dado por la R -acción. La hipótesis de Riemann sería, según este programa, una consecuencia de propiedades paralelas a la positividad del apareamiento de intersección en la teoría de Hodge . Una versión de la fórmula de traza de Lefschetz en este sitio, que sería parte de esta configuración conjetural, ha sido probada por otros medios por Deninger (1993). En 2010, Deninger demostró que las conjeturas clásicas de Beilinson y Bloch relativas a la teoría de intersección de ciclos algebraicos serían consecuencias adicionales de su programa.

Este programa fue examinado por Deninger en sus charlas en el Congreso Europeo de Matemáticos en 1992, en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1998, y también por Leichtnam (2005). En 2002, Deninger construyó un espacio foliado que corresponde a una curva elíptica sobre un cuerpo finito , y Hesselholt (2016) mostró que la función zeta de Hasse-Weil de una variedad propia suave sobre F _p puede expresarse utilizando determinantes regularizados que involucran homología topológica de Hochschild . Además, la analogía entre nudos y primos se ha estudiado fructíferamente en topología aritmética . Sin embargo, a partir de 2018, la construcción de un espacio foliado correspondiente a Spec Z sigue siendo esquiva.

Una serie de artículos conjuntos con Annette Werner examina los fibrados vectoriales en curvas p -ádicas. Un resultado clásico que motiva este estudio es el teorema de Narasimhan-Seshadri , una piedra angular de la correspondencia de Simpson . Afirma que un fibrado vectorial en una superficie compacta de Riemann X es estable si surge de una representación unitaria del grupo fundamental π ₁ ( X ).

En Deninger y Werner (2005) establecieron un análogo p -ádico de la misma: para una curva algebraica proyectiva suave sobre C _p , obtenida por cambio de base de , construyeron una acción del grupo fundamental étale π ₁ (X) sobre las fibras en ciertos fibrados vectoriales, incluyendo aquellos de grado 0 y que tienen potencialmente una reducción fuertemente semiestable. En otro artículo de 2005, relacionaron las representaciones resultantes del grupo fundamental de la curva X con representaciones del módulo de Tate de la variedad jacobiana de X . En 2007 y 2010 continuaron este trabajo mostrando que tales fibrados vectoriales forman una categoría tannakiana que equivale a identificar esta clase de fibrados vectoriales como una categoría de representaciones de un cierto grupo. ${\displaystyle X/{\overline {\mathbf {Q}}}_{p}}$

En varios artículos conjuntos, Deninger y Wilhelm Singhof estudiaron los cocientes del grupo de Heisenberg n -dimensional H mediante la red estándar que consiste en matrices de valores enteros,

X = H / Γ,

desde varios puntos de vista. En 1984, calcularon el e-invariante de X en términos de ζ(− n ), lo que conduce a una construcción de elementos en los grupos de homotopía estable de esferas de orden arbitrariamente grande. En 1988, utilizaron métodos de teoría analítica de números para dar estimaciones sobre la dimensión de la cohomología de las álgebras de Lie nilpotentes .

El hecho clásico de la teoría de Hodge de que cualquier clase de cohomología en una variedad de Kähler admite un armónico único había sido generalizado por Álvarez López y Kordyukov (2001) a las foliaciones de Riemann . Deninger y Singhof (2001) muestran que las foliaciones en el espacio X anterior , que satisfacen solo condiciones ligeramente más débiles, no admiten tales propiedades teóricas de Hodge. En otro artículo conjunto de 2001, establecieron una fórmula de traza dinámica de Lefschetz: relaciona la traza de un operador en formas armónicas con las trazas locales que aparecen en las órbitas cerradas (en ciertos espacios foliados con una R -acción). Este resultado sirve como una corroboración del programa de Deninger mencionado anteriormente en el sentido de que verifica una predicción hecha por este programa en el lado analítico, es decir, la que concierne a la dinámica en espacios foliados.

Otro grupo de trabajos de Deninger gira en torno al espacio

${\displaystyle X_{f}:=(\mathbf {Z} \Gamma /\mathbf {Z} \Gamma f){\widehat {\ }}\ ,}$

donde Γ es un grupo discreto, f es un elemento de su anillo de grupo Z Γ, y el sombrero denota el dual de Pontryagin . Para Γ = Z ⁿ y , Lind, Schmidt y Ward (1990) habían demostrado que la entropía de la Γ-acción sobre X _f está dada por la medida de Mahler${\displaystyle f\in \mathbb {Z} [x_{1}^{\pm 1},\puntos ,x_{n}^{\pm n}]}$

${\displaystyle m(f):=(2\pi i)^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}/\Gamma }\log |f(z_{1},\dots, z_{n})|{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\dots {\frac {dz_{n}}{z_{n}}}.}$

Además, se sabía que las medidas de Mahler de ciertos polinomios se podían expresar en términos de valores especiales de ciertas funciones L. En 1997, Deninger observó que el integrando en la definición de la medida de Mahler tiene una explicación natural en términos de la cohomología de Deligne. Utilizando casos conocidos de la conjetura de Beilinson, dedujo que m ( f ) es la imagen del símbolo { f , t ₁ , ..., t _n } bajo el regulador de Beilinson, donde la variedad es el complemento en el toro n -dimensional del conjunto cero de f . Esto condujo a una explicación conceptual de las fórmulas antes mencionadas para las medidas de Mahler. Besser y Deninger (1999) y Deninger más tarde en 2009 trasladaron estas ideas al mundo p -ádico, reemplazando el mapa regulador de Beilinson a la cohomología de Deligne por un mapa regulador a la cohomología sintómica , y el logaritmo que aparece en la definición de la entropía por un logaritmo p -ádico .

En 2006 y 2007, Deninger y Klaus Schmidt llevaron el paralelismo entre la entropía y las medidas de Mahler más allá de los grupos abelianos, es decir, los grupos Γ discretos contables, residualmente finitos y susceptibles de ser regulados. Demostraron que la acción Γ sobre X _f es expansiva si y solo si f es invertible en el álgebra de convolución L 1 ^de Γ. Además, el logaritmo del determinante de Fuglede-Kadison sobre el álgebra de von Neumann NΓ asociada a Γ (que reemplaza la medida de Mahler para Z ⁿ ) concuerda con la entropía de la acción anterior.

Joachim Cuntz y Deninger trabajaron juntos en los vectores de Witt . En dos artículos publicados en 2014, simplificaron la teoría presentando el anillo de vectores de Witt en términos de una terminación del álgebra monoide Z R . Este enfoque evita los polinomios universales utilizados en la definición clásica de la adición de vectores de Witt.

• Deninger, Christopher (1984), "Sobre la dualidad Artin-Verdier para campos funcionales", Mathematische Zeitschrift , 188 (1): 91– 100, doi :10.1007/BF01163876, MR  0767366, S2CID  123090400
• Deninger, Christopher (1986), "Una extensión de la dualidad Artin-Verdier a haces sin torsión", J. Reine Angew. Math. , 1986 (366): 18– 31, doi :10.1515/crll.1986.366.18, MR  0833011, S2CID  116275426
• Deninger, Christopher; Wingberg, Kay (1986), "Dualidad Artin-Verdier para campos locales n -dimensionales que involucran haces K algebraicos superiores ", Journal of Pure and Applied Algebra , 43 (3): 243– 255, doi : 10.1016/0022-4049(86)90066-6 , MR  0868985
• Deninger, Christopher (1987), "Dualidad en la cohomología étale de esquemas propios y generalizaciones unidimensionales", Mathematische Annalen , 277 (3): 529– 541, doi :10.1007/BF01458330, MR  0891590, S2CID  120941469

• Deninger, Christopher; Wingberg, Kay (1988), "Sobre las conjeturas de Beilinson para curvas elípticas con multiplicación compleja", Conjeturas de Beilinson sobre valores especiales de funciones L , Perspect. Math., vol. 4, Boston, MA: Academic Press, MR  0944996
• Deninger, Christopher (1989), "Reguladores superiores y series L de Hecke de campos cuadráticos imaginarios. I", Inventiones Mathematicae , 96 (1): 1– 69, Bibcode :1989InMat..96....1D, doi :10.1007/BF01393970, MR  0981737, S2CID  122586535
• Deninger, Christopher (1990), "Reguladores superiores y series L de Hecke de campos cuadráticos imaginarios. II", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 132 (1): 131– 158, doi :10.2307/1971502, JSTOR  1971502, MR  1059937
• Deninger, Christopher; Scholl, Anthony J. (1991), "Las conjeturas de Beĭlinson",Funciones L y aritmética (Durham, 1989) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 153, Cambridge Univ. Press, págs.  173– 209, doi :10.1017/CBO9780511526053.007, ISBN 9780521386197, Sr.  1110393

• Deninger, Christopher (1991), "Sobre los factores Γ asociados a los motivos", Inventiones Mathematicae , 104 (2): 245– 261, Bibcode :1991InMat.104..245D, doi :10.1007/BF01245075, MR  1098609, S2CID  123206613
• Deninger, Christopher (1992), " Factores L locales de motivos y determinantes regularizados", Inventiones Mathematicae , 107 (1): 135– 150, Bibcode :1992InMat.107..135D, doi :10.1007/BF01231885, MR  1135468, S2CID  120740473
• Deninger, Christopher (1993), "Fórmulas de trazas de Lefschetz y fórmulas explícitas en la teoría analítica de números", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1993 (441): 1– 15, doi :10.1515/crll.1993.441.1, S2CID  116031228, Zbl  0782.11034
• Deninger, Christopher (1994a), "Factores ε motívicos en el infinito y dimensiones regularizadas", Indag. Math. , New Series, 5 (4): 403– 409, doi : 10.1016/0019-3577(94)90015-9 , MR  1307961
• Deninger, Christopher (1994b), " Funciones L motívicas y determinantes regularizados", Motives (Seattle, WA, 1991) , Proc. Sympos. Pure Math., vol. 55, Providence, RI: Amer. Math. Soc., MR  1265547
• Deninger, Christopher (1994c), "Evidencia de un enfoque cohomológico de la teoría analítica de números", Primer Congreso Europeo de Matemáticas, vol. I (París, 1992) , Progr. Math., vol. 119, Birkhäuser, Basilea, págs.  491– 510, MR  1341834
• Deninger, Christopher; Nart, Enric (1995), "Sobre la extensión ² de los motivos sobre curvas aritméticas", Amer. J. Math. , 117 (3): 601– 625, doi :10.2307/2375082, JSTOR  2375082, MR  1333938
• Deninger, Christopher (1995), "Operaciones de orden superior en la cohomología de Deligne", Invent. Math. , 120 (2): 289– 315, Bibcode :1995InMat.120..289D, doi :10.1007/BF01241130, MR  1329043, S2CID  121481341
• Deninger, Christopher (1998), "Algunas analogías entre la teoría de números y los sistemas dinámicos en espacios foliados", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. I (Berlín, 1998) , Documenta Mathematica (Extra Vol. I), págs.  163– 186, MR  1648030
• Deninger, Christopher (2002), "Sobre la naturaleza de las "fórmulas explícitas" en la teoría analítica de números: un ejemplo sencillo", Métodos teóricos de números (Iizuka, 2001) , Dev. Math., vol. 8, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., págs.  97– 118, arXiv : math/0204194 , doi :10.1007/978-1-4757-3675-5_7, ISBN 978-1-4419-5239-4, MR  1974137, S2CID  17829739
• Deninger, Christopher (2010), "La estrategia de Hilbert-Polya y los emparejamientos de alturas", Fuerza de Casimir, operadores de Casimir y la hipótesis de Riemann , Walter de Gruyter, Berlín, págs.  275– 283, MR  2777722

• Deninger, Christopher; Werner, Annette (2005), "Conjuntos de vectores sobre curvas p-ádicas y transporte paralelo", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Quatrième Série, 38 (4): 553– 597, arXiv : math/0403516 , doi :10.1016 /j.ansens.2005.05.002, SEÑOR  2172951, S2CID  8884837
• Deninger, Christopher; Werner, Annette (2005), "Herramientas lineales y caracteres p -ádicos", Campos numéricos y campos de funciones: dos mundos paralelos , Progr. Math., vol. 239, págs.  101– 131, arXiv : math/0407511 , doi :10.1007/0-8176-4447-4_7, ISBN 978-0-8176-4397-3, MR  2176589, S2CID  119669442
• Deninger, Christopher; Werner, Annette (2007), "Sobre la dualidad de Tannaka para fibrados vectoriales en curvas p -ádicas", Ciclos algebraicos y motivos. Vol. 2 , London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 344, págs.  94–111 , MR  2187151
• Deninger, Christopher; Werner, Annette (2010), "Fibrados vectoriales en curvas p -ádicas y transporte paralelo II", Estructuras algebraicas y aritméticas de espacios de módulos (Sapporo 2007) , Adv. Stud. Pure Math., vol. 58, págs.  1– 26, doi : 10.2969/aspm/05810001 , ISBN 978-4-86497-008-2, Sr.  2676155

• Deninger, Christopher; Singhof, Wilhelm (1984), "El e -invariante y el espectro del laplaciano para nilvariedades compactas cubiertas por grupos de Heisenberg", Inventiones Mathematicae , 78 (1): 101– 112, Bibcode :1984InMat..78..101D, doi :10.1007/BF01388716, MR  0762355, S2CID  119465585
• Deninger, Christopher; Singhof, Wilhelm (1988), "Sobre la cohomología de las álgebras de Lie nilpotentes", Bull. Soc. Math. France , 116 (1): 3– 14, doi : 10.24033/bsmf.2087 , MR  0946276
• Deninger, Christopher; Singhof, Wilhelm (2001), "Un contraejemplo de la descomposición de Hodge a lo largo de las hojas para foliaciones generales y un tipo de fórmulas de trazas dinámicas", Ann. Inst. Fourier (Grenoble) , 51 (1): 209– 219, doi : 10.5802/aif.1821 , MR  1821074
• Deninger, Christopher; Singhof, Wilhelm (2001b), "Una nota sobre fórmulas de trazas dinámicas", Funciones zeta dinámicas, espectrales y aritméticas (San Antonio, TX, 1999) , Contemp. Matemáticas, vol. 290, AMS, págs.  41 a 55, doi : 10.1090/conm/290/04572 , ISBN 9780821820797, Sr.  1868467

• Deninger, Christopher (1997), "Períodos de Deligne de motivos mixtos, teoría K y la entropía de ciertas acciones Z ⁿ ", Journal of the American Mathematical Society , 10 (2): 259– 281, doi : 10.1090/S0894-0347-97-00228-2 , MR  1415320
• Deninger, Christopher (2006), "Determinantes de Fuglede-Kadison y entropía para acciones de grupos discretos susceptibles", Journal of the American Mathematical Society , 19 (3): 737– 758, arXiv : math/0502233 , doi :10.1090/S0894-0347-06-00519-4, MR  2220105, S2CID  7741105

• Deninger, Christopher; Schmidt, Klaus (2007), "Acciones algebraicas expansivas de grupos amenables finitos residuales discretos y su entropía", Teoría ergódica y sistemas dinámicos , 27 (3): 769– 786, arXiv : math/0605723 , doi :10.1017/S0143385706000939, MR  2322178, S2CID  12803685

• Besser, Amnón; Deninger, Christopher (1999), " medidas p -adic Mahler", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1999 (517): 19– 50, doi :10.1515/crll.1999.093, MR  1728549
• Deninger, Christopher (2009), " Entropía p -ádica y determinante p -ádico de Fuglede-Kadison", Álgebra, aritmética y geometría: en honor a Yu. I. Manin. Vol. I , Progr. Math., vol. 269, Birkhäuser, págs.  423– 442, arXiv : math/0608539 , doi :10.1007/978-0-8176-4745-2_10, ISBN 978-0-8176-4744-5, MR  2641178, S2CID  6186513

• Cuntz, Joachim; Deninger, Christopher (2015), "Anillos vectoriales de Witt y el complejo relativo de De Rham Witt", Journal of Algebra , 440 : 545– 593, arXiv : 1410.5249 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2015.05.029, MR  3373405, S2CID  119171724
• Cuntz, Joachim; Deninger, Christopher (2014), "Una alternativa a los vectores de Witt", Münster Journal of Mathematics , 7 (1): 105– 114, arXiv : 1311.2774 , Bibcode :2013arXiv1311.2774C, doi :10.1080/18756891.2013.858905, MR  3271241

• Álvarez López, Jesús; Kordyukov, Yuri A. (2001), "Comportamiento prolongado del flujo de calor en las hojas para foliaciones riemannianas", Compositio Mathematica , 125 (2): 129– 153, doi : 10.1023/A:1002492700960 , MR  1815391
• Beilinson, AA (1984), "Reguladores superiores y valores de funciones L ", Problemas actuales en matemáticas, vol. 24 , Itogi Nauki i Tekhniki, Moscú: Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. Yo Techn. Informar., SEÑOR  0760999
• Geisser, Thomas (2010), "Dualidad a través de complejos cíclicos", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 172 (2): 1095– 1127, arXiv : math/0608456 , doi : 10.4007/annals.2010.172.1095 , MR  2680487
• Goncharov, AB (1996), "Conjetura de Deninger de funciones L de curvas elípticas en s = 3", Journal of Mathematical Sciences , 81 (3): 2631– 2656, doi : 10.1007/BF02362333 , MR  1420221, S2CID  15570808
• Hesselholt, Lars (2016), Homología topológica de Hochschild y función zeta de Hasse-Weil , Matemáticas contemporáneas, vol. 708, págs.  157–180 , arXiv : 1602.01980 , Bibcode : 2016arXiv160201980H, doi : 10.1090/conm/708/14264, ISBN 9781470429119, Identificador único  119145574
• Leichtnam, Eric (2005), "Una invitación al trabajo de Deninger sobre funciones zeta aritméticas", Geometría, teoría espectral, grupos y dinámica , Contemp. Math., vol. 387, Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs.  201– 236, doi :10.1090/conm/387/07243, ISBN 9780821837108, Sr.  2180209
• Lind, Douglas; Schmidt, Klaus; Ward, Tom (1990), "Medida de Mahler y entropía para automorfismos conmutativos de grupos compactos" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 101 (3): 593– 629, Bibcode :1990InMat.101..593L, doi :10.1007/BF01231517, MR  1062797, S2CID  17077751
• Nekovář, Jan (1994), "Las conjeturas de Beĭlinson", Motives (Seattle, WA, 1991) , Proc. Sympos. Pure Math., vol. 55, Providence, RI: Amer. Math. Soc., MR  1265544

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