Triángulo circular

En geometría , un triángulo circular es un triángulo con arcos circulares en lugar de segmentos de línea como lados .

Intersección de tres discos

Triángulo de cuernos circular

Triángulo de Reuleaux

Árboles

La intersección de tres discos circulares forma un triángulo circular convexo. Por ejemplo, un triángulo de Reuleaux es un caso particular de esta construcción, donde los tres discos están centrados en los vértices de un triángulo equilátero , cuyo radio es igual a la longitud de su lado. Sin embargo, no todos los triángulos circulares convexos se forman mediante la intersección de discos de esta manera.

Un triángulo cuerno circular tiene todos sus ángulos internos iguales a cero. ^{[ 1 ]} Una forma de formar algunos de estos triángulos es colocar tres círculos, tangentes externamente entre sí en pares; entonces la región triangular central rodeada por estos círculos es un triángulo cuerno. Sin embargo, otros triángulos cuerno, como el arbelos (con tres vértices colineales y tres semicírculos como lados), son interiores a uno de los tres círculos tangentes que lo forman, en lugar de exteriores a los tres. ^{[ 2 ]}

Un triángulo circular con forma de cardioide , hallado por Roger Joseph Boscovich, tiene tres vértices equidistantes en una línea, dos semicírculos iguales a un lado de la línea y un tercer semicírculo con el doble de radio al otro lado de la línea. Los dos vértices exteriores tienen el ángulo interior${\displaystyle \pi }$y el vértice central tiene ángulo interior${\displaystyle 2\pi }$. Tiene la curiosa propiedad de que todas las líneas que pasan por el vértice central bisecan su perímetro. ^{[ 3 ]}

Otros triángulos circulares pueden tener una mezcla de bordes de arco circular convexos y cóncavos.

Tres ángulos dados${\displaystyle \theta _{1}}$,${\displaystyle \theta _{2}}$, y${\displaystyle \theta _{3}}$en el intervalo${\displaystyle [0,2\pi ]}$forman los ángulos interiores de un triángulo circular (sin autointersecciones) si y solo si obedecen el sistema de desigualdades $${\displaystyle {\begin{aligned}-2\pi &<\theta _{1}+\theta _{2}-\theta _{3}<2\pi \\-2\pi &<\theta _{1}+\theta _{3}-\theta _{2}<2\pi \\-2\pi &<\theta _{2}+\theta _{3}-\theta _{1}<2\pi .\end{aligned}}}$$ Todos los triángulos circulares con los mismos ángulos interiores son equivalentes entre sí bajo transformaciones de Möbius . ^{[ 4 ]}

Los triángulos circulares proporcionan la solución a un problema isoperimétrico en el que se busca una curva de longitud mínima que encierre tres puntos dados y tenga un área prescrita. Cuando el área es al menos tan grande como la circunferencia circunscrita a los puntos, la solución es cualquier círculo de esa área que los rodee. Para áreas más pequeñas, la curva óptima será un triángulo circular con los tres puntos como vértices y con arcos circulares de radio igual como lados, hasta el área en la que uno de los tres ángulos interiores de dicho triángulo tiende a cero. Por debajo de esa área, la curva degenera en un triángulo circular con "antenas", segmentos rectos que se extienden desde sus vértices hasta uno o más de los puntos especificados. En el límite cuando el área tiende a cero, el triángulo circular se contrae hacia el punto de Fermat de los tres puntos dados. ^{[ 5 ]}

• Teorema de empaquetamiento de círculos , según el cual los espacios entre círculos suelen ser triángulos circulares.
• Círculo de Hart , un círculo asociado con ciertos triángulos circulares.
• Triángulo hiperbólico , un triángulo que tiene lados rectos en geometría hiperbólica, pero que se dibuja como circular en algunos modelos de geometría hiperbólica.
• Luna y Lente , figuras de dos caras delimitadas por arcos circulares.
• Círculo de seno triple
• Trébol , un triángulo circular que se abomba hacia afuera desde sus tres vértices, utilizado en arquitectura.