Circunvalación

Un método alternativo para determinar el circuncentro consiste en trazar dos líneas cualesquiera que partan de uno de los vértices formando un ángulo con el lado común. Este ángulo común es igual a 90° menos el ángulo del vértice opuesto. (Si el ángulo opuesto es obtuso, trazar una línea con un ángulo negativo significa salir del triángulo).

En la navegación costera , la circunferencia circunscrita a un triángulo se utiliza a veces para obtener una línea de posición con un sextante cuando no se dispone de brújula . El ángulo horizontal entre dos puntos de referencia define la circunferencia circunscrita sobre la que se encuentra el observador.

En el plano euclidiano , es posible dar explícitamente una ecuación de la circunferencia circunscrita en términos de las coordenadas cartesianas de los vértices del triángulo inscrito. Supongamos que $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{x},A_{y})\\\mathbf {B} &=(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} &=(C_{x},C_{y})\end{aligned}}}$$ son las coordenadas de los puntos A, B, C. La circunferencia circunscrita es entonces el lugar geométrico de los puntos${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$en el plano cartesiano que satisface las ecuaciones $${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\end{aligned}}}$$ garantizando que los puntos A , B , C , V estén todos a la misma distancia r del centro común.${\displaystyle \mathbf {u} }$del círculo. Usando la identidad de polarización , estas ecuaciones se reducen a la condición de que la matriz$${\displaystyle {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}}$$ tiene un núcleo distinto de cero . Por lo tanto, el círculo circunscrito puede describirse alternativamente como el lugar geométrico de los ceros del determinante de esta matriz: $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.}$$

Utilizando la expansión de cofactores , dejemos $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$ Entonces tenemos${\displaystyle a|\mathbf {v} |^{2}-2\mathbf {Sv} -b=0}$dónde${\displaystyle \mathbf {S} =(S_{x},S_{y}),}$y – suponiendo que los tres puntos no estuvieran en línea (de lo contrario, la circunferencia circunscrita es aquella línea que también puede verse como una circunferencia generalizada con S en el infinito) –${\displaystyle \left|\mathbf {v} -{\tfrac {\mathbf {S} }{a}}\right|^{2}={\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}},}$dando el circuncentro${\displaystyle {\tfrac {\mathbf {S} }{a}}}$y el radio circunscrito${\displaystyle {\sqrt {{\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}}}}.}$Un enfoque similar permite deducir la ecuación de la esfera circunscrita de un tetraedro .

Un vector unitario perpendicular al plano que contiene el círculo viene dado por $${\displaystyle {\widehat {n}}={\frac {(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})|}}.}$$

Por lo tanto, dado el radio, r , el centro, P _c , un punto en el círculo, P ₀ y un vector normal unitario del plano que contiene el círculo ,${\displaystyle {\widehat {n}},}$una ecuación paramétrica del círculo que comienza en el punto P ₀ y procede en unsentido orientado positivamente ( es decir, dextrógiro ) alrededor de${\displaystyle {\widehat {n}}}$es lo siguiente: $${\displaystyle \mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].}$$

Una ecuación para la circunferencia circunscrita en coordenadas trilineales x  : y  : z es ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\tfrac {a}{x}}+{\tfrac {b}{y}}+{\tfrac {c}{z}}=0.}$Una ecuación para la circunferencia circunscrita en coordenadas baricéntricas x  : y  : z es${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{y}}+{\tfrac {c^{2}}{z}}=0.}$

La isogonal conjugada de la circunferencia circunscrita es la recta en el infinito , dada en coordenadas trilineales por${\displaystyle ax+by+cz=0}$y en coordenadas baricéntricas por${\displaystyle x+y+z=0.}$

Además, la circunferencia circunscrita a un triángulo incrustado en tres dimensiones se puede encontrar utilizando un método generalizado. Sean A , B y C puntos tridimensionales que forman los vértices de un triángulo. Comenzamos transponiendo el sistema para colocar C en el origen: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}$$

El radio circunscrito r es entonces $${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}}={\frac {\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\sin \theta }}={\frac {\left\|\mathbf {A} -\mathbf {B} \right\|}{2\sin \theta }},}$$ donde θ es el ángulo interior entre a y b . El circuncentro, p ₀ , viene dado por $${\displaystyle p_{0}={\frac {\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} \right)\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}}}+\mathbf {C} .}$$

Esta fórmula solo funciona en tres dimensiones, ya que el producto vectorial no está definido en otras dimensiones, pero se puede generalizar a las demás dimensiones reemplazando los productos vectoriales con las siguientes identidades: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} ,\\\left\|\mathbf {u} \times \mathbf {v} \right\|^{2}&=\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}.\end{aligned}}}$$

Esto nos da la siguiente ecuación para el radio de la circunferencia circunscrita r : $${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2{\sqrt {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}}}}$$ y la siguiente ecuación para el circuncentro p ₀ : $${\displaystyle p_{0}={\frac {\left(\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} \right)\mathbf {a} -\left(\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {a} \right)\mathbf {b} }{2\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}\right)}}+\mathbf {C} }$$ que se puede simplificar a: $${\displaystyle p_{0}={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} +\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} \right)}{2\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}\right)}}+\mathbf {C} }$$

Las coordenadas cartesianas del circuncentro${\displaystyle U=\left(U_{x},U_{y}\right)}$son $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{x}&={\frac {1}{D}}\left[\left(A_{x}^{2}+A_{y}^{2}\right)(B_{y}-C_{y})+\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}\right)(C_{y}-A_{y})+\left(C_{x}^{2}+C_{y}^{2}\right)(A_{y}-B_{y})\right]\\[5pt]U_{y}&={\frac {1}{D}}\left[\left(A_{x}^{2}+A_{y}^{2}\right)(C_{x}-B_{x})+\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}\right)(A_{x}-C_{x})+\left(C_{x}^{2}+C_{y}^{2}\right)(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}}$$ con $${\displaystyle D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,}$$

Sin pérdida de generalidad, esto puede expresarse de forma simplificada tras la traslación del vértice A al origen de los sistemas de coordenadas cartesianas, es decir, cuando${\displaystyle A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).}$En este caso, las coordenadas de los vértices${\displaystyle B'=B-A}$y${\displaystyle C'=C-A}$representamos los vectores desde el vértice A' hasta estos vértices. Observe que esta traslación trivial es posible para todos los triángulos, y las coordenadas del circuncentro${\displaystyle U'=(U'_{x},U'_{y})}$del triángulo △ A'B'C' sigue como $${\displaystyle {\begin{aligned}U'_{x}&={\frac {1}{D'}}\left[C'_{y}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})-B'_{y}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})\right],\\[5pt]U'_{y}&={\frac {1}{D'}}\left[B'_{x}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})-C'_{x}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})\right]\end{aligned}}}$$ con $${\displaystyle D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,}$$

Debido a la traslación del vértice A al origen, el radio de la circunferencia circunscrita r se puede calcular como $${\displaystyle r=\|U'\|={\sqrt {{U'_{x}}^{2}+{U'_{y}}^{2}}}}$$ y el circuncentro real de △ ABC se deduce de lo siguiente: $${\displaystyle U=U'+A}$$

El circuncentro tiene coordenadas trilineales ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \cos \alpha$$ :\cos \beta  :\cos \gamma } donde α, β, γ son los ángulos del triángulo.

En términos de las longitudes de los lados a, b, c , los trilineales son ^{[ 3 ]}$${\displaystyle a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right).}$$

El circuncentro tiene coordenadas baricéntricas ^{[ 4 ]}$${\displaystyle a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,}$$ donde a, b, c son las longitudes de los lados BC , CA , AB respectivamente) del triángulo.

En términos de los ángulos del triángulo α, β, γ , las coordenadas baricéntricas del circuncentro son ^{[ 3 ].}$${\displaystyle \sin 2\alpha$$ :\sin 2\beta  :\sin 2\gamma .}

Dado que las coordenadas cartesianas de cualquier punto son un promedio ponderado de las de los vértices, donde los pesos son las coordenadas baricéntricas del punto normalizadas para que sumen la unidad, el vector circuncentro se puede escribir como $${\displaystyle U={\frac {a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)A+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)B+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)C}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}.}$$

Aquí U es el vector del circuncentro y A, B, C son los vectores de los vértices. El divisor es igual a ^16S², donde S es el área del triángulo.

En el espacio euclidiano , existe un único círculo que pasa por tres puntos no colineales cualesquiera _P₁ , P₂ , P₃ . Utilizando coordenadas cartesianas para representar estos puntos como vectores espaciales , es posible usar el _producto escalar y _el producto vectorial para calcular el radio y el centro del círculo. $${\displaystyle \mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}}$$

Entonces el radio del círculo viene dado por $${\displaystyle \mathrm {r} ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|\left|P_{2}-P_{3}\right|\left|P_{3}-P_{1}\right|}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|}}}$$

El centro del círculo viene dado por la combinación lineal.$${\displaystyle \mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\left|P_{2}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\beta ={\frac {\left|P_{1}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\gamma ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\end{aligned}}}$$