grupo clásico

Para${\displaystyle F=\mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$, el grupo lineal especial es

${\displaystyle \mathrm {SL} (n,F)=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(F)\mid \det g=1\}.}$

Su álgebra de Lie es

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)=\{X\in M_{n}(F)\mid \operatorname {tr} (X)=0\}.}$

De este modo${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} )}$consta de todos los rastros reales${\displaystyle n\times n}$matrices y${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$consta de todos los complejos sin rastro${\displaystyle n\times n}$matrices.

Una forma bilineal${\displaystyle \varphi }$es:

• simétrico si${\displaystyle \varphi (v,w)=\varphi (w,v)}$;
• alternante (o asimétrica, cuando${\displaystyle \operatorname {char} F\neq 2}$) si${\displaystyle \varphi (v,v)=0}$a pesar de${\displaystyle v}$, equivalentemente${\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v)}$. ^{[ 20 ]}

Una forma sesquilineal${\displaystyle h}$es:

• Hermitiano si${\displaystyle h(v,w)={\overline {h(w,v)}}}$;
• antihermítico si${\displaystyle h(v,w)=-{\overline {h(w,v)}}}$. ^{[ 21 ]}

Encima${\displaystyle \mathbb {R} }$Las formas bilineales simétricas no degeneradas se clasifican por su signatura.${\displaystyle (p,q)}$. Encima${\displaystyle \mathbb {C} }$, todas las formas bilineales simétricas no degeneradas de una dimensión dada son equivalentes. Las formas alternas no degeneradas existen solo en dimensión par, y sobre ambas${\displaystyle \mathbb {R} }$y${\displaystyle \mathbb {C} }$Todas esas formas son equivalentes. ^{[ 22 ]}

En un espacio vectorial complejo, multiplicar una forma antihermítica por${\displaystyle i}$produce una forma hermitiana, por lo que los dos casos conducen a los mismos grupos de isometría salvo un cambio de convención inofensivo. ^{[ 23 ]} En un espacio vectorial cuaterniónico, por el contrario, no hay formas bilineales no nulas, por lo que solo se dan los casos hermitiano y antihermitiano. ^{[ 24 ]}

Dejar${\displaystyle \varphi }$sea ​​una forma bilineal simétrica no degenerada.

Encima${\displaystyle \mathbb {R} }$, uno puede elegir una base en la que

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }I_{p,q}y,\qquad I_{p,q}=\operatorname {diag} (I_{p},-I_{q}),}$

dónde${\displaystyle p+q=n}$Su grupo de automorfismos es el grupo ortogonal indefinido

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )\mid g^{\mathrm {T} }I_{p,q}g=I_{p,q}\}.}$

El subgrupo determinante${\displaystyle 1}$es el grupo ortogonal especial

${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)=\mathrm {O} (p,q)\cap \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} ).}$^{[ 25 ]}

Cuando${\displaystyle q=0}$Este es el grupo ortogonal compacto${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$, con determinante-${\displaystyle 1}$subgrupo${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$. ^{[ 26 ]}

Encima${\displaystyle \mathbb {C} }$, toda forma bilineal simétrica no degenerada es equivalente a la forma estándar

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }y.}$

Su grupo de automorfismos es el grupo ortogonal complejo.

${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )\mid g^{\mathrm {T} }g=I_{n}\},}$

con determinante-${\displaystyle 1}$subgrupo${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )}$. ^{[ 27 ]}

Las álgebras de Lie correspondientes son

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\mid X^{\mathrm {T} }I_{p,q}+I_{p,q}X=0\},}$

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathrm {T} }+X=0\}.}$^{[ 28 ]}

Si

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

con tamaños de bloque${\displaystyle p\times p}$,${\displaystyle p\times q}$,${\displaystyle q\times p}$, y${\displaystyle q\times q}$, entonces la relación definitoria para${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$es equivalente a

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }A-C^{\mathrm {T} }C=I_{p},\qquad D^{\mathrm {T} }D-B^{\mathrm {T} }B=I_{q},\qquad A^{\mathrm {T} }B=C^{\mathrm {T} }D.}$

Escribiendo

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}P&Q\\R&S\end{pmatrix}},}$

se obtiene la forma de bloque

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\left\{{\begin{pmatrix}P&Q\\Q^{\mathrm {T} }&S\end{pmatrix}}\;|\;P^{\mathrm {T} }=-P,\ S^{\mathrm {T} }=-S\right\}.}$

De este modo${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )}$es el espacio de simetría antisimétrica compleja${\displaystyle n\times n}$matrices.

Dejar${\displaystyle \omega }$sea ​​una forma bilineal alternante no degenerada en un espacio vectorial de dimensión${\displaystyle 2n}$. Sobre cualquiera${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$, uno puede elegir una base en la que

${\displaystyle \omega (x,y)=x^{\mathrm {T} }J_{n}y,\qquad J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}$

Su grupo de automorfismos es el grupo simpléctico.

${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)=\{g\in \mathrm {GL} _{2n}(F)\mid g^{\mathrm {T} }J_{n}g=J_{n}\},\qquad F=\mathbb {R} ,\mathbb {C} .}$

Muchos autores escriben${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,\mathbb {R} )}$y${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,\mathbb {C} )}$para estos grupos. ^{[ 29 ]}

Su álgebra de Lie es

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n}(F)\mid X^{\mathrm {T} }J_{n}+J_{n}X=0\}.}$

De forma equivalente, cada elemento tiene forma de bloque.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}}$

con${\displaystyle B}$y${\displaystyle C}$simétrico. ^{[ 30 ]}

Dejar${\displaystyle h}$sea ​​una forma hermitiana no degenerada en un espacio vectorial complejo${\displaystyle V}$de dimensión${\displaystyle n}$. Uno puede elegir una base en la que

${\displaystyle h(z,w)=z^{*}I_{p,q}w,\qquad I_{p,q}=\operatorname {diag} (I_{p},-I_{q}),}$

dónde${\displaystyle p+q=n}$. ^{[ 31 ]}

Su grupo de automorfismos es el grupo unitario.

${\displaystyle \mathrm {U} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )\mid g^{*}I_{p,q}g=I_{p,q}\}.}$

El subgrupo determinante${\displaystyle 1}$es el grupo unitario especial

${\displaystyle \mathrm {SU} (p,q)=\mathrm {U} (p,q)\cap \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {C} ).}$^{[ 32 ]}

Cuando${\displaystyle q=0}$Este es el grupo unitario compacto${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$, con determinante-${\displaystyle 1}$subgrupo${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$. ^{[ 33 ]}

Su álgebra de Lie es

${\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} )\mid X^{*}I_{p,q}+I_{p,q}X=0\}.}$^{[ 34 ]}

Si

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}$

entonces la relación definitoria es equivalente a

${\displaystyle A^{*}A-C^{*}C=I_{p},\qquad D^{*}D-B^{*}B=I_{q},\qquad A^{*}B=C^{*}D.}$

En forma de bloque,

${\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\left\{{\begin{pmatrix}P&Q\\Q^{*}&R\end{pmatrix}}\;|\;P^{*}=-P,\ R^{*}=-R\right\}.}$

El álgebra de Lie unitaria especial es la subálgebra sin traza.

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(p,q)=\{X\in {\mathfrak {u}}(p,q)\mid \operatorname {tr} (X)=0\}.}$

El grupo${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )}$consiste en los endomorfismos cuaterniónicos-lineales invertibles del espacio vectorial derecho${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$. Mediante la incrustación compleja anterior, se realiza como un subgrupo de Lie real de${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )}$que consiste en matrices de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&-{\overline {B}}\\B&{\overline {A}}\end{pmatrix}},\qquad A,B\in M_{n}(\mathbb {C} ).}$^{[ 36 ]}

Su álgebra de Lie es, por lo tanto,

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{{\begin{pmatrix}A&-{\overline {B}}\\B&{\overline {A}}\end{pmatrix}}\;|\;A,B\in M_{n}(\mathbb {C} )\right\}.}$

La forma real correspondiente de${\displaystyle \mathrm {SL} (2n,\mathbb {C} )}$se denota${\displaystyle \mathrm {SU} ^{*}(2n)}$y como grupo de Lie es isomorfo al grupo tradicionalmente escrito${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )}$y es el subgrupo de${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )}$de elementos de norma reducida 1. ^{[ 37 ]}

Su álgebra de Lie es

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {su}}^{*}(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&-{\overline {B}}\\B&{\overline {A}}\end{pmatrix}}\;|\;\operatorname {Re} \operatorname {tr} (A)=0\right\}.}$

Dejar${\displaystyle V=\mathbb {H} ^{p+q}}$y dejar

${\displaystyle B(w,z)=w^{*}I_{p,q}z,\qquad I_{p,q}=\operatorname {diag} (I_{p},-I_{q}),}$

es una forma hermitiana cuaterniónica no degenerada. Su grupo de isometría es el grupo unitario cuaterniónico.

${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (p+q,\mathbb {H} )\mid g^{*}I_{p,q}g=I_{p,q}\}.}$^{[ 38 ]}

Cuando${\displaystyle q=0}$Este es el grupo compacto que se suele escribir${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$. ^{[ 39 ]}

Considerado como un subgrupo de${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )}$, el grupo${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)}$conserva una forma hermitiana compleja de firma${\displaystyle (2p,2q)}$y una forma alternante compleja no degenerada. ^{[ 40 ]} Su álgebra de Lie es

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\{X\in M_{p+q}(\mathbb {H} )\mid X^{*}I_{p,q}+I_{p,q}X=0\}.}$^{[ 41 ]}

Si

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

con bloques cuaterniónicos, entonces la relación definitoria es equivalente a

${\displaystyle A^{*}A-C^{*}C=I_{p},\qquad D^{*}D-B^{*}B=I_{q},\qquad A^{*}B=C^{*}D.}$

En forma de bloque,

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\left\{{\begin{pmatrix}P&Q\\Q^{*}&R\end{pmatrix}}\;|\;P^{*}=-P,\ R^{*}=-R\right\}.}$

Dejar${\displaystyle V=\mathbb {H} ^{n}}$y consideremos la forma antihermítica cuaterniónica

${\displaystyle C(x,y)=x^{*}jy.}$

Su grupo de isometría es el grupo de Lie real.

${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n),}$

que es una forma real de${\displaystyle \mathrm {SO} (2n,\mathbb {C} )}$. ^{[ 42 ]}

De forma equivalente, si

${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}},}$

entonces${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)}$puede realizarse como subgrupo

${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)=\{g\in \mathrm {SO} (2n,\mathbb {C} )\mid \theta (g)=g\},}$

dónde${\displaystyle \theta (g)=-J_{n}{\overline {g}}J_{n}}$es la involución que define esta forma real. ^{[ 43 ]}

Su álgebra de Lie se denota${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(2n)}$. ^{[ 44 ]}

Una realización compleja estándar de${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)}$es como el subgrupo de${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )}$preservando tanto la forma bilineal simétrica como la matriz de Gram

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\I_{n}&0\end{pmatrix}}}$

y la forma hermitiana con matriz de Gram

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}I_{n}&0\\0&-I_{n}\end{pmatrix}}.}$

De forma equivalente,

${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid g^{\mathrm {T} }Sg=S,\ g^{*}Hg=H\}.}$

Su álgebra de Lie es

${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\-{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}\;|\;A^{*}=-A,\ B^{\mathrm {T} }=-B\right\}.}$

Dejar${\displaystyle V}$frijol${\displaystyle n}$espacio vectorial de dimensión sobre${\displaystyle k}$. El grupo lineal general de${\displaystyle V}$es

${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\operatorname {Aut} _{k}(V),}$

y el grupo lineal especial es

${\displaystyle \mathrm {SL} (V)=\ker(\det \colon \mathrm {GL} (V)\to k^{\times }).}$

Tras elegir una base, estos se convierten en los grupos de matrices.${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$y${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(k)}$Sus cocientes proyectivos son el grupo lineal general proyectivo .${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$y el grupo lineal especial proyectivo${\displaystyle \mathrm {PSL} (V)}$. ^{[ 3 ]}

Los otros grupos clásicos surgen como grupos de automorfismos de formas no degeneradas. ^{[ 5 ] [ 12 ]}

Si${\displaystyle \omega }$es una forma bilineal alternante no degenerada en${\displaystyle V}$, su grupo de isometría es el grupo simpléctico

${\displaystyle \mathrm {Sp} (V,\omega )=\{g\in \mathrm {GL} (V)\mid \omega (gv,gw)=\omega (v,w)\ \forall v,w\in V\}.}$

Para${\displaystyle \dim V=2n}$, esto está escrito${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2n}(k)}$después de elegir una base.

Si${\displaystyle q}$es una forma cuadrática no degenerada en${\displaystyle V}$, su grupo de isometría es el grupo ortogonal

${\displaystyle \mathrm {O} (V,q)=\{g\in \mathrm {GL} (V)\mid q(gv)=q(v)\ \forall v\in V\}.}$

Cuando${\displaystyle \operatorname {char} (k)\neq 2}$, esto es equivalente al grupo que preserva la forma bilineal simétrica asociada. En característica  2, los grupos ortogonales todavía se definen a partir de formas cuadráticas, pero la relación con la forma bilineal asociada es más sutil. ^{[ 12 ]} Para grupos ortogonales sobre cuerpos generales, a menudo también se considera el subgrupo${\displaystyle \Omega (V,q)}$. En el caso isotrópico y en característica no 2, puede describirse como el núcleo de la norma espinorial , un homomorfismo de${\displaystyle \mathrm {SO} (V,q)}$(o más generalmente del subgrupo índice-2 apropiado de${\displaystyle \mathrm {O} (V,q)}$) a${\displaystyle k^{\times }/(k^{\times })^{2}}$En la teoría de grupos clásicos finitos, el grupo simple suele ser${\displaystyle \mathrm {P} \Omega (V,q)}$en vez de${\displaystyle \mathrm {PSO} (V,q)}$. ^{[ 45 ]}

Si${\displaystyle K/k}$es una extensión de campo cuadrática , o más generalmente si${\displaystyle K}$está equipado con una involución${\displaystyle \sigma }$, y${\displaystyle h}$es un no degenerado${\displaystyle \sigma }$-forma hermitiana en una dimensión finita${\displaystyle K}$-espacio vectorial${\displaystyle V}$, su grupo de isometría es un grupo unitario

${\displaystyle \mathrm {U} (V,h)=\{g\in \mathrm {GL} _{K}(V)\mid h(gv,gw)=h(v,w)\ \forall v,w\in V\}.}$

Su subgrupo derivado es el grupo unitario especial.${\displaystyle \mathrm {SU} (V,h)}$. ^{[ 12 ]}

También se tienen los grupos de similitud correspondientes.${\displaystyle \mathrm {GSp} }$,${\displaystyle \mathrm {GO} }$, y${\displaystyle \mathrm {GU} }$, cuyos elementos conservan la forma relevante salvo por la multiplicación por un escalar. Las versiones proyectivas se obtienen mediante el cociente por el centro. ^{[ 4 ]}

En el lenguaje de la geometría algebraica , un grupo algebraico lineal sobre${\displaystyle k}$es una afinidad suave${\displaystyle k}$-esquema de grupo, equivalente a un grupo cerrado suave${\displaystyle k}$-subgrupo de algunos${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$. ^{[ 4 ] [ 3 ]} Desde este punto de vista, los grupos clásicos conexos son los grupos reductivos conexos de tipos de Dynkin${\displaystyle A_{n}}$,${\displaystyle B_{n}}$,${\displaystyle C_{n}}$, y${\displaystyle D_{n}}$, junto con sus formas sobre cuerpos que no son algebraicamente cerrados. ^{[ 4 ]}

Los grupos clásicos divididos están representados por los siguientes ejemplos estándar:

• tipo${\displaystyle A_{n}}$:${\displaystyle \mathrm {SL} _{n+1}}$y${\displaystyle \mathrm {PGL} _{n+1}}$;
• tipo${\displaystyle B_{n}}$:${\displaystyle \mathrm {SO} _{2n+1}}$y su cubierta de conexión sencilla${\displaystyle \mathrm {Spin} _{2n+1}}$;
• tipo${\displaystyle C_{n}}$:${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2n}}$y${\displaystyle \mathrm {PSp} _{2n}}$;
• tipo${\displaystyle D_{n}}$:${\displaystyle \mathrm {SO} _{2n}}$y${\displaystyle \mathrm {Spin} _{2n}}$. ^{[ 4 ] [ 3 ]}

Sobre un campo general, se obtienen grupos clásicos adicionales como formas internas o externas de estos grupos divididos. Por ejemplo, los grupos unitarios son formas externas de tipo${\displaystyle A_{n}}$y muchos grupos ortogonales o simplécticos se clasifican mediante formas cuadráticas o hermíticas. ^{[ 12 ] [ 4 ]}

Cuando${\displaystyle k=\mathbb {F} _{q}}$es un campo finito, los grupos de${\displaystyle k}$Los puntos racionales de estos grupos algebraicos dan lugar a los grupos finitos de tipo Lie. Las familias clásicas incluyen grupos como${\displaystyle \mathrm {PSL} _{n}(q)}$,${\displaystyle \mathrm {PSU} _{n}(q)}$,${\displaystyle \mathrm {PSp} _{2n}(q)}$y los grupos ortogonales finitos. ^{[ 6 ]}

Dejar${\displaystyle A}$ser un álgebra simple central sobre${\displaystyle k}$y dejar${\displaystyle \tau \colon A\to A}$ser una involución. Hay dos casos básicos. ^{[ 48 ]}

Si${\displaystyle \tau }$actúa trivialmente en el centro de${\displaystyle A}$, entonces${\displaystyle \tau }$Se dice que es de primera clase . En características diferentes de dos, las involuciones de primera clase se dividen en dos tipos, dependiendo de si se convierten en adjuntas de formas simétricas o alternas después de tensorizar.${\displaystyle A}$con un cierre separable de${\displaystyle k}$, respectivamente:

• involuciones ortogonales ;
• involuciones simplécticas . ^{[ 48 ]}

Si el centro de${\displaystyle A}$es un étale cuadrático${\displaystyle k}$-álgebra${\displaystyle K}$y${\displaystyle \tau }$induce lo no trivial${\displaystyle k}$-automorfismo de${\displaystyle K}$, entonces${\displaystyle \tau }$Se dice que es unitario o de segundo tipo . ^{[ 48 ]}

Esta tricotomía corresponde a las tres familias clásicas más allá del grupo lineal general:

• Tipo ortogonal para tipos Dynkin${\displaystyle B_{n}}$y${\displaystyle D_{n}}$;
• tipo simpléctico para el tipo Dynkin${\displaystyle C_{n}}$;
• tipo unitario para formas externas del tipo Dynkin${\displaystyle A_{n}}$. ^{[ 48 ] [ 49 ]}

Para cualquier álgebra simple central${\displaystyle A}$, escribimos

${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(A)=A^{\times }}$

para el grupo de elementos invertibles, y

${\displaystyle \operatorname {SL} _{1}(A)=\ker(\operatorname {Nrd} \colon A^{\times }\to k^{\times })}$

para el núcleo de la norma reducida . Estas dan las formas internas de tipo${\displaystyle A}$. ^{[ 49 ]}

Si${\displaystyle (A,\tau )}$es del primer tipo, entonces

${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,\tau )=\{a\in A^{\times }\mid \tau (a)a=1\}}$

es el grupo de isometrías y

${\displaystyle \operatorname {Sim} (A,\tau )=\{a\in A^{\times }\mid \tau (a)a\in k^{\times }\}}$

es el grupo de similitudes . El escalar${\displaystyle \mu (a)=\tau (a)a}$se denomina multiplicador de la similitud. ^{[ 48 ]} (De forma más general, se pueden definir primero mediante sus esquemas de grupo asociados . ^{[ 48 ]} )

Según el tipo de${\displaystyle \tau }$, escribimos:

• ${\displaystyle \mathrm {O} (A,\tau )=\operatorname {Iso} (A,\tau )}$,${\displaystyle \mathrm {GO} (A,\tau )=\operatorname {Sim} (A,\tau )}$, y${\displaystyle \mathrm {PGO} (A,\tau )=\operatorname {Aut} (A,\tau )}$en el caso ortogonal;
• ${\displaystyle \mathrm {Sp} (A,\tau )=\operatorname {Iso} (A,\tau )}$,${\displaystyle \mathrm {GSp} (A,\tau )=\operatorname {Sim} (A,\tau )}$, y${\displaystyle \mathrm {PGSp} (A,\tau )=\operatorname {Aut} (A,\tau )}$en el caso simpléctico. ^{[ 48 ]}

Si${\displaystyle (B,\tau )}$es unitaria, con centro un álgebra étale cuadrática${\displaystyle K/k}$, entonces

${\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )=\{b\in B^{\times }\mid \tau (b)b=1\}}$,

${\displaystyle \mathrm {GU} (B,\tau )=\{b\in B^{\times }\mid \tau (b)b\in k^{\times }\}}$,

y

${\displaystyle \mathrm {PGU} (B,\tau )=\operatorname {Aut} _{K}(B,\tau ).}$

El núcleo de la norma reducida en${\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )}$se denota

${\displaystyle \mathrm {SU} (B,\tau )=\ker(\operatorname {Nrd} \colon \mathrm {U} (B,\tau )\to K^{\times }),}$

y da el grupo semisimple simplemente conexo de tipo unitario. ^{[ 48 ]}

En el caso simpléctico,${\displaystyle \mathrm {Sp} (A,\tau )}$es el grupo simplemente conectado y${\displaystyle \mathrm {PGSp} (A,\tau )}$su cociente adjunto; en el caso unitario,${\displaystyle \mathrm {SU} (B,\tau )}$es la forma simplemente conectada y${\displaystyle \mathrm {PGU} (B,\tau )}$la forma adjunta correspondiente. ^{[ 48 ] [ 49 ]}

Los grupos con valores en cuerpos discutidos anteriormente se recuperan cuando se divide el álgebra. ^{[ 48 ]}

Si${\displaystyle A=\operatorname {End} _{k}(V)}$y${\displaystyle \tau }$es la involución adjunta de una forma bilineal alternada no degenerada${\displaystyle h}$en${\displaystyle V}$, entonces

${\displaystyle \mathrm {Sp} (A,\tau )=\mathrm {Sp} (V,h)}$,

y se recupera el grupo simpléctico ordinario. ^{[ 48 ]}

Si${\displaystyle A=\operatorname {End} _{k}(V)}$y${\displaystyle \tau }$es la involución adjunta de una forma bilineal simétrica no degenerada, equivalentemente de una forma cuadrática no degenerada.${\displaystyle q}$, entonces

${\displaystyle \mathrm {O} (A,\tau )=\mathrm {O} (V,q)}$,

y se recupera el grupo ortogonal ordinario. ^{[ 48 ]}

Si${\displaystyle K/k}$es una extensión de campo cuadrática,${\displaystyle B=\operatorname {End} _{K}(V)}$, y${\displaystyle \tau }$es adjunto a una forma hermitiana no degenerada en el${\displaystyle K}$-espacio${\displaystyle V}$, entonces

${\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )=\mathrm {U} (V,h)}$

y

${\displaystyle \mathrm {SU} (B,\tau )=\mathrm {SU} (V,h)}$,

de este modo se recuperan los grupos unitarios usuales y los grupos unitarios especiales. ^{[ 48 ]}

También hay una descripción dividida de las formas internas del tipo${\displaystyle A}$. Si el álgebra étale cuadrática se divide,

${\displaystyle K\cong k\times k,}$

entonces${\displaystyle B}$es isomorfo a${\displaystyle A\times A^{\mathrm {op} }}$con la involución de intercambio. En ese caso

${\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )\cong \operatorname {GL} _{1}(A),\qquad \mathrm {SU} (B,\tau )\cong \operatorname {SL} _{1}(A),\qquad \mathrm {PGU} (B,\tau )\cong \mathrm {PGL} _{1}(A).}$

Así, el mismo formalismo incluye tanto las formas internas como externas del tipo${\displaystyle A}$. ^{[ 48 ]}

En el lado ortogonal, la estructura del grupo está regida por el álgebra de Clifford asociada . Para una involución ortogonal${\displaystyle (A,\tau )}$, se tiene un discriminante y un álgebra de Clifford; en grado par, el centro del álgebra de Clifford par determina el análogo del usual${\displaystyle +}$-componente, y la cubierta simplemente conexa correspondiente es el grupo de espín . En el caso dividido, esto recupera los grupos ordinarios

${\displaystyle \mathrm {PGO} ^{+}(V,q)}$

y

${\displaystyle \mathrm {Spin} (V,q)}$. ^{[ 50 ]}

En la clasificación de grupos clásicos reales (y locales ), los datos ortogonales requieren conocer tanto el álgebra como el álgebra.${\displaystyle A}$y la involución. (Y, si se desean los grupos simplemente conexos, el álgebra de Clifford correspondiente). En característica diferente de${\displaystyle 2}$, esto rige el paso habitual de una forma cuadrática a su álgebra de Clifford par y grupo de espín. ^{[ 50 ]}

Encima${\displaystyle \mathbb {R} }$, el marco de álgebra con involución recupera todos los grupos de Lie reales clásicos. En particular, las familias cuaterniónicas surgen solo después de permitir el álgebra simple central no conmutativa${\displaystyle \mathbb {H} }$. ^{[ 51 ] [ 49 ]}

En la siguiente tabla, las etiquetas split y quaterniónico se refieren al álgebra simple central subyacente, no necesariamente al grupo algebraico real resultante. Por lo tanto, split significa que el álgebra es un álgebra matricial completa sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$, mientras que cuaterniónico significa que el álgebra es un álgebra matricial sobre${\displaystyle \mathbb {H} }$Las etiquetas interior y exterior se utilizan únicamente en tipografía${\displaystyle A}$: interior significa una forma interior del grupo dividido de tipo${\displaystyle A}$, que surge de un elemento central simple${\displaystyle \mathbb {R} }$-álgebra con centro${\displaystyle \mathbb {R} }$, mientras que exterior significa una forma unitaria que surge de la extensión cuadrática${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$.

Combinado con la clasificación de formas cuadráticas, hermíticas y antihermíticas sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$, esto proporciona la lista estándar de formas reales de los grupos clásicos. En Los grupos${\displaystyle \mathrm {SL} _{m}(\mathbb {H} )\cong \mathrm {SU} ^{*}(2m)}$,${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)}$, y${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)}$son grupos clásicos sobre el terreno${\displaystyle \mathbb {R} }$aunque no se definen en términos ordinarios${\displaystyle \mathbb {R} }$-espacios vectoriales solamente. ^{[ 51 ] [ 49 ]}

Para el campo real, para extensiones finitas de${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$y para varios otros cuerpos locales estándar, las únicas álgebras de división central que admiten involución de primer tipo son el propio cuerpo y las álgebras de cuaterniones. ^{[ 52 ]} Así, sobre un cuerpo local, los primeros grupos clásicos no obtenidos a partir de formas ordinarias con valores en el cuerpo ya requieren el punto de vista del álgebra simple central, pero al menos en líneas generales la clasificación es similar a la del cuerpo real.

Algunos ejemplos típicos son:

• si${\displaystyle F}$es una extensión finita de${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$y${\displaystyle D}$es el álgebra de división de cuaterniones sobre${\displaystyle F}$, entonces${\displaystyle \mathrm {SL} _{1}(D)}$es la forma interna de${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}}$y, en general,${\displaystyle \mathrm {SL} _{m}(D)}$es una forma interna de${\displaystyle \mathrm {SL} _{2m}}$; ^{[ 49 ]}
• si${\displaystyle h}$es una forma hermitiana no degenerada en una derecha${\displaystyle D}$-espacio vectorial${\displaystyle V}$, y${\displaystyle \tau _{h}}$es la involución adjunta en${\displaystyle \operatorname {End} _{D}(V)}$, entonces${\displaystyle \mathrm {Sp} (\operatorname {End} _{D}(V),\tau _{h})}$es un grupo clásico de tipo${\displaystyle C_{n}}$; encima${\displaystyle \mathbb {R} }$con${\displaystyle D=\mathbb {H} }$esta construcción da a los grupos${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)}$; ^{[ 49 ] [ 51 ]}
• si${\displaystyle s}$es una forma antihermítica no degenerada sobre${\displaystyle D}$, la involución adjunta en${\displaystyle \operatorname {End} _{D}(V)}$es de tipo ortogonal, y los grupos ortogonales y de espín asociados son formas no escindidas de tipos${\displaystyle B_{n}}$o${\displaystyle D_{n}}$; encima${\displaystyle \mathbb {R} }$con${\displaystyle D=\mathbb {H} }$, el caso de dimensión par produce${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)}$. ^{[ 49 ] [ 51 ]}