Coeficientes de Clebsch-Gordan

En física , los coeficientes de Clebsch-Gordan ( CG ) son números que surgen en el acoplamiento del momento angular en mecánica cuántica . Aparecen como los coeficientes de expansión de los autoestados del momento angular total en una base de producto tensorial desacoplada . En términos más matemáticos, los coeficientes CG se utilizan en la teoría de representaciones , particularmente de grupos de Lie compactos , para realizar la descomposición explícita en suma directa del producto tensorial de dos representaciones irreducibles (es decir, una representación reducible en representaciones irreducibles, en casos donde el número y el tipo de componentes irreducibles ya se conocen abstractamente). El nombre deriva de los matemáticos alemanes Alfred Clebsch y Paul Gordan , quienes se encontraron con un problema equivalente en la teoría de invariantes .

Desde la perspectiva del cálculo vectorial , los coeficientes CG asociados al grupo SO(3) pueden definirse simplemente en términos de integrales de productos de armónicos esféricos y sus conjugados complejos. La suma de espines en términos cuántico-mecánicos puede leerse directamente a partir de este enfoque, ya que los armónicos esféricos son autofunciones del momento angular total y su proyección sobre un eje, y las integrales corresponden al producto interno del espacio de Hilbert . ^{[ 1 ]} A partir de la definición formal del momento angular, se pueden encontrar relaciones de recurrencia para los coeficientes de Clebsch-Gordan. También existen fórmulas explícitas complejas para su cálculo directo. ^{[ 2 ]}

Las fórmulas que aparecen a continuación utilizan la notación bra-ket de Dirac y se adopta la convención de fase de Condon-Shortley ^{[ 3 ] .}

Los operadores de momento angular son operadores autoadjuntos j _x , j _y , y j _z que satisfacen las relaciones de conmutación.$${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathrm {j} _{k},\mathrm {j} _{l}]\equiv \mathrm {j} _{k}\mathrm {j} _{l}-\mathrm {j} _{l}\mathrm {j} _{k}=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {j} _{m}&k,l,m&\in \{\mathrm {x,y,z} \},\end{alineado}}}$$ donde ε _klm es el símbolo de Levi-Civita . Juntos, los tres operadores definen un operador vectorial , un operador tensorial cartesiano de rango uno , $${\displaystyle \mathbf {j} =(\mathrm {j_ {x}} ,\mathrm {j_ {y}} ,\mathrm {j_ {z}} ).}$$ También se le conoce como vector esférico , ya que es un operador tensorial esférico. Los operadores tensoriales esféricos coinciden con los operadores tensoriales cartesianos únicamente para rango uno.

Al desarrollar aún más este concepto, se puede definir otro operador j ² como el producto interno de j consigo mismo: $${\displaystyle \mathbf {j} ^{2}=\mathrm {j_{x}^{2}} +\mathrm {j_{y}^{2}} +\mathrm {j_{z}^{2}} .}$$ Este es un ejemplo de un operador de Casimir . Es diagonal y su valor propio caracteriza la representación irreducible particular del álgebra del momento angular.${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)}$Esto se interpreta físicamente como el cuadrado del momento angular total de los estados sobre los que actúa la representación.

También se pueden definir _operadores de elevación ( j ₊ ) y descenso ( j− ), los llamados operadores de escalera . $${\displaystyle \mathrm {j_{\pm }} =\mathrm {j_{x}} \pm i\mathrm {j_{y}} .}$$

Se puede demostrar a partir de las definiciones anteriores que j ² conmuta con j _x , j _y , y j _z : $${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathbf {j} ^{2},\mathrm {j} _{k}]=0&k&\in \{\mathrm {x} ,\mathrm {y} ,\mathrm {z} \}.\end{aligned}}}$$

Cuando dos operadores hermíticos conmutan, existe un conjunto común de autoestados. Por convención, se eligen j₂ y j₃ _{. A partir de las relaciones de conmutación, se pueden hallar los posibles autovalores. Estos autoestados se denotan como} | j₁ , | m₂⟩ ^, donde j es el número cuántico de momento angular y m es la proyección del momento angular sobre el eje z.

Constituyen la base esférica , son completas y satisfacen las siguientes ecuaciones de valores propios: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}|j\,m\rangle &=\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle ,&j&\in \{0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots \}\\\mathrm {j_{z}} |j\,m\rangle &=\hbar m|j\,m\rangle ,&m&\in \{-j,-j+1,\ldots ,j\}.\end{aligned}}}$$

Los operadores de aumento y disminución se pueden utilizar para alterar el valor de m , $${\displaystyle \mathrm {j} _{\pm }|j\,m\rangle =\hbar C_{\pm }(j,m)|j\,(m\pm 1)\rangle ,}$$ donde el coeficiente de escalera viene dado por:

En principio, también se puede introducir un factor de fase (posiblemente complejo) en la definición de${\displaystyle C_{\pm }(j,m)}$La elección realizada en este artículo está de acuerdo con la convención de fase de Condon-Shortley . Los estados de momento angular son ortogonales (porque sus valores propios con respecto a un operador hermitiano son distintos) y se supone que están normalizados. $${\displaystyle \langle j\,m|j'\,m'\rangle =\delta _{j,j'}\delta _{m,m'}.}$$

Aquí, las letras j y m en cursiva denotan números cuánticos de momento angular enteros o semi-enteros de una partícula o de un sistema. Por otro lado, las letras romanas j _x , j _y , j _z , j ₊ , j ₋ , y j ² denotan operadores.${\displaystyle \delta }$Los símbolos son deltas de Kronecker .

Ahora consideramos sistemas con dos momentos angulares físicamente diferentes j ₁ y j _2. Algunos ejemplos incluyen el espín y el momento angular orbital de un solo electrón, o los espines de dos electrones, o los momentos angulares orbitales de dos electrones. Matemáticamente, esto significa que los operadores de momento angular actúan sobre un espacio${\displaystyle V_{1}}$de dimensión${\displaystyle 2j_{1}+1}$y también en un espacio${\displaystyle V_{2}}$de dimensión${\displaystyle 2j_{2}+1}$A continuación, definiremos una familia de operadores de "momento angular total" que actúan sobre el espacio del producto tensorial .${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$, que tiene dimensión${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$La acción del operador de momento angular total sobre este espacio constituye una representación del álgebra de Lie SU(2) , pero reducible. La reducción de esta representación reducible a partes irreducibles es el objetivo de la teoría de Clebsch-Gordan.

Sea V ₁ el espacio vectorial de dimensión (2 j ₁ + 1) generado por los estados $${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{1}\,m_{1}\rangle ,&m_{1}&\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\}\end{aligned}},}$$ y V ₂ el espacio vectorial de (2 j ₂ + 1) dimensiones generado por los estados $${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{2}\,m_{2}\rangle ,&m_{2}&\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}\end{aligned}}.}$$

El producto tensorial de estos espacios, V ₃ ≡ V ₁ ⊗ V ₂ , tiene una base desacoplada de (2 j ₁ + 1) (2 j ₂ + 1) dimensiones.$${\displaystyle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle ,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\},\quad m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}.}$$ Los operadores de momento angular se definen para actuar sobre los estados en V ₃ de la siguiente manera: $${\displaystyle (\mathbf {j} _{1}\otimes 1)|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \mathbf {j} _{1}|j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle }$$ y $${\displaystyle (1\otimes \mathrm {\mathbf {j} } _{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} _{2}|j_{2}\,m_{2}\rangle ,}$$ donde 1 denota el operador identidad.

Los operadores de momento angular totales ^{[ nb 1 ]} se definen por el coproducto (o producto tensorial ) de las dos representaciones que actúan sobre V ₁ ⊗ V ₂ ,

Se puede demostrar que los operadores de momento angular total satisfacen las mismas relaciones de conmutación . $${\displaystyle [\mathrm {J} _{k},\mathrm {J} _{l}]=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {J} _{m}~,}$$ donde k , l , m ∈ { x , y , z } . De hecho, la construcción anterior es el método estándar ^{[ 4 ]} para construir una acción de un álgebra de Lie sobre una representación de producto tensorial.

Por lo tanto, también existe un conjunto de autoestados acoplados para el operador de momento angular total.$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar ^{2}J(J+1)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \\\mathrm {J_{z}} |[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar M|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \end{aligned}}}$$ para M ∈ {− J , − J + 1, ..., J } . Nótese que es común omitir la parte [ j ₁ j ₂ ] .

El número cuántico de momento angular total J debe satisfacer la condición triangular que $${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2},}$$ de tal manera que los tres valores enteros o semi-enteros no negativos pudieran corresponder a los tres lados de un triángulo. ^{[ 5 ]}

El número total de autoestados de momento angular total es necesariamente igual a la dimensión de V ₃ : $${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)~.}$$ Como sugiere este cálculo, la representación del producto tensorial se descompone como la suma directa de una copia de cada una de las representaciones irreducibles de dimensión${\displaystyle 2J+1}$, dónde${\displaystyle J}$abarca desde${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|}$a${\displaystyle j_{1}+j_{2}}$en incrementos de 1. ^{[ 6 ]} Como ejemplo, considérese el producto tensorial de la representación tridimensional correspondiente a${\displaystyle j_{1}=1}$con la representación bidimensional con${\displaystyle j_{2}=1/2}$. Los posibles valores de${\displaystyle J}$son entonces${\displaystyle J=1/2}$y${\displaystyle J=3/2}$De este modo, la representación del producto tensorial de seis dimensiones se descompone como la suma directa de una representación bidimensional y una representación cuatridimensional.

El objetivo ahora es describir explícitamente la descomposición precedente, es decir, describir explícitamente los elementos base en el espacio del producto tensorial para cada una de las representaciones componentes que surgen.

Los estados de momento angular total forman una base ortonormal de V ₃ : $${\displaystyle \left\langle J\,M|J'\,M'\right\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}~.}$$

Estas reglas pueden iterarse para, por ejemplo, combinar n dobletes ( s = 1/2) para obtener la serie de descomposición de Clebsch-Gordan ( triángulo de Catalan ). $${\displaystyle \mathbf {2} ^{\otimes n}=\bigoplus _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }~\left({\frac {n+1-2k}{n+1}}{n+1 \choose k}\right)~(\mathbf {n} +\mathbf {1} -\mathbf {2} \mathbf {k} )~,}$$ dónde${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$es la función piso entera ; y el número que precede a la etiqueta de dimensionalidad de representación irreducible en negrita ( 2j + 1 ) indica la multiplicidad de esa representación en la reducción de representación. ^{[ 7 ]} Por ejemplo, a partir de esta fórmula, la suma de tres espines 1/2 produce un espín 3/2 y dos espines 1/2,${\displaystyle {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }={\mathbf {4} }\oplus {\mathbf {2} }\oplus {\mathbf {2} }}$.

Los estados acoplados pueden expandirse mediante la relación de completitud (resolución de identidad) en la base desacoplada.

Los coeficientes de expansión

$${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

are the Clebsch–Gordan coefficients. Note that some authors write them in a different order such as ⟨j₁j₂; m₁m₂|JM⟩. Another common notation is ⟨j₁m₁j₂m₂|JM⟩ = C^JM_j1m1j2m2.

Applying the operators

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} &=\mathrm {j} \otimes 1+1\otimes \mathrm {j} \\\mathrm {J} _{\mathrm {z} }&=\mathrm {j} _{\mathrm {z} }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\mathrm {z} }\end{aligned}}}$$

to both sides of the defining equation shows that the Clebsch–Gordan coefficients can only be nonzero when

$${\displaystyle {\begin{aligned}|j_{1}-j_{2}|\leq J&\leq j_{1}+j_{2}\\M&=m_{1}+m_{2}.\end{aligned}}}$$

The recursion relations were discovered by physicist Giulio Racah from the Hebrew University of Jerusalem in 1941.

Applying the total angular momentum raising and lowering operators$${\displaystyle \mathrm {J} _{\pm }=\mathrm {j} _{\pm }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\pm }}$$ to the left hand side of the defining equation gives$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar C_{\pm }(J,M)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,(M\pm 1)\rangle \\&=\hbar C_{\pm }(J,M)\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle \end{aligned}}}$$ Applying the same operators to the right hand side gives$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }&\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}{\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}\,(m_{1}\pm 1)\,j_{2}\,m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\pm 1)\rangle {\Bigr )}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle {\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle {\Bigr )}.\end{aligned}}}$$

Combining these results gives recursion relations for the Clebsch–Gordan coefficients, where C_± was defined in 1: $${\displaystyle C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle .}$$

Taking the upper sign with the condition that M = J gives initial recursion relation:$${\displaystyle 0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}\,(m_{1}-1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,J\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}-1)|J\,J\rangle .}$$In the Condon–Shortley phase convention, one adds the constraint that

${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,(J-j_{1})|J\,J\rangle >0}$

(and is therefore also real). The Clebsch–Gordan coefficients ⟨j₁m₁j₂m₂ | JM⟩ can then be found from these recursion relations. The normalization is fixed by the requirement that the sum of the squares, which equivalent to the requirement that the norm of the state |[j₁j₂] JJ⟩ must be one.

The lower sign in the recursion relation can be used to find all the Clebsch–Gordan coefficients with M = J − 1. Repeated use of that equation gives all coefficients.

This procedure to find the Clebsch–Gordan coefficients shows that they are all real in the Condon–Shortley phase convention.

These are most clearly written down by introducing the alternative notation $${\displaystyle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

The first orthogonality relation is $${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}$$ (derived from the fact that ${\textstyle \mathbf {1} =\sum _{x}|x\rangle \langle x|}$) and the second one is $${\displaystyle \sum _{m_{1},m_{2}}\langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J'\,M'\rangle =\langle J\,M|J'\,M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}.}$$

For J = 0 the Clebsch–Gordan coefficients are given by $${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|0\,0\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{1}+1}}}.}$$

Para J = j ₁ + j ₂ y M = J tenemos $${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,j_{2}|(j_{1}+j_{2})\,(j_{1}+j_{2})\rangle =1.}$$

Para j ₁ = j ₂ = J / 2 y m ₁ = − m ₂ tenemos $${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{1}\,(-m_{1})|(2j_{1})\,0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}.}$$

Para j ₁ = j ₂ = m ₁ = − m ₂ tenemos $${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{1}\,(-j_{1})|J\,0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}.}$$

Para j ₂ = 1 , m ₂ = 0 tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}+1)\,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|j_{1}\,m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}-1)\,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}\end{aligned}}}$$

Para j ₂ = 1/2 tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j_{1}\,\left(M-{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{2}}{\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\\\left\langle j_{1}\,\left(M+{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,\left(-{\frac {1}{2}}\right){\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\mp {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,(-m_{1})\,j_{2}\,(-m_{2})|J\,(-M)\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}\,m_{2}\,j_{1}\,m_{1}|J\,M\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,J\,(-M)|j_{2}\,(-m_{2})\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,(-M)\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,(-m_{1})\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle J\,M\,j_{1}\,(-m_{1})|j_{2}\,m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,(-m_{2})\,J\,M|j_{1}\,m_{1}\rangle \end{aligned}}}$$

Una forma conveniente de derivar estas relaciones es convirtiendo los coeficientes de Clebsch-Gordan a símbolos Wigner 3-j usando 3 . Las propiedades de simetría de los símbolos Wigner 3-j son mucho más simples.

Los coeficientes de Clebsch-Gordan están relacionados con los símbolos Wigner 3-j , que poseen relaciones de simetría más convenientes.

El factor (−1) ^{2 j ₂} se debe a la restricción de Condon–Shortley de que ⟨ j ₁ j ₁ j ₂ ( J − j ₁ )| JJ ⟩ > 0 , mientras que (−1) ^{J − M} se debe a la naturaleza de inversión temporal de | JM ⟩ .

Esto permite llegar a la expresión general:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &\equiv \delta (m_{1}+m_{2},M){\sqrt {\frac {(2J+1)(j_{1}+j_{2}-J)!(j_{1}-j_{2}+J)!(-j_{1}+j_{2}+J)!}{(j_{1}+j_{2}+J+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(J-M)!(J+M)!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-J-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(J-j_{2}+m_{1}+k)!(J-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}.}$

La suma se realiza sobre aquellos valores enteros k para los cuales el argumento de cada factorial en el denominador es no negativo, es decir, los límites de la suma K y N se toman iguales: el menor${\displaystyle K=\max(0,j_{2}-J-m_{1},j_{1}-J+m_{2}),}$el de arriba${\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-J,j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}$Los factoriales de números negativos se toman convencionalmente iguales a cero, de modo que los valores del símbolo 3j en , por ejemplo,${\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}$o${\displaystyle j_{1}<m_{1}}$se establecen automáticamente a cero.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,D_{M,K}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{m_{1},k_{1}}^{j_{1}}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m_{2},k_{2}}^{j_{2}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\\{}={}&{\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle j_{1}\,k_{1}\,j_{2}\,k_{2}|J\,K\rangle \end{aligned}}}$$

En el caso de que intervengan números enteros, los coeficientes pueden relacionarse con integrales de armónicos esféricos : $${\displaystyle \int _{4\pi }Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}{}^{*}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}{}^{*}(\Omega )Y_{L}^{M}(\Omega )\,d\Omega ={\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle }$$

De esto se deduce, junto con la ortonormalidad de los armónicos esféricos, que los coeficientes CG son, de hecho, los coeficientes de expansión de un producto de dos armónicos esféricos en términos de un único armónico esférico: $${\displaystyle Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L,M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )}$$

$${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}\langle j\,m\,j\,(-m)|J\,0\rangle =\delta _{J,0}{\sqrt {2j+1}}}$$

Para grupos arbitrarios y sus representaciones, los coeficientes de Clebsch-Gordan no se conocen en general. Sin embargo, se conocen algoritmos para producir coeficientes de Clebsch-Gordan para el grupo unitario especial SU( n ). ^{[ 8 ] [ 9 ]} En particular, los coeficientes de Clebsch-Gordan SU(3) se han calculado y tabulado debido a su utilidad en la caracterización de desintegraciones hadrónicas, donde existe una simetría de sabor -SU(3) que relaciona los quarks up , down y strange . ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} Una interfaz web para tabular coeficientes de Clebsch-Gordan SU(N) está fácilmente disponible.

• Alex, A.; Kalus, M.; Huckleberry, A.; von Delft, J. (2011). "Un algoritmo numérico para el cálculo explícito de los coeficientes de Clebsch-Gordan SU(N) y SL(N,C)". J. Math. Phys . 82 (2): 023507. arXiv : 1009.0437 . Bibcode : 2011JMP....52b3507A . doi : 10.1063/1.3521562 . S2CID 55572438 . 
• Condon, Edward U.; Shortley, GH (1970). «Cap. 3». La teoría de los espectros atómicos . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-09209-8.
• Edmonds, AR (1957). Momento angular en mecánica cuántica . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07912-7.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Greiner, Walter ; Müller, Berndt (1994). Mecánica cuántica: simetrías (2ª  ed.). Springer Verlag . ISBN 978-3540580805.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  222 (2.ª  ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Kaplan, LM; Resnikoff, M. (1967). "Productos matriciales y coeficientes explícitos 3, 6, 9 y 12j de la representación regular de SU(n)". J. Math. Phys . 8 (11): 2194. Bibcode : 1967JMP.....8.2194K . doi : 10.1063/1.1705141 .
• Kaeding, Thomas (1995). "Tablas de factores isoescalares SU(3)". Atomic Data and Nuclear Data Tables . 61 (2): 233– 288. arXiv : nucl-th/9502037 . Bibcode : 1995ADNDT..61..233K . doi : 10.1006/adnd.1995.1011 .
• Merzbacher, Eugen (1998). Mecánica cuántica (3.ª  ed.). John Wiley. págs. 428-429 . ISBN  978-0-471-88702-7.
• Albert Messiah (1966). Mecánica cuántica (Vols. I y II), traducción al inglés del francés por GM Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
• de Swart, JJ (1963). "El modelo Octeto y sus coeficientes de Clebsch-Gordan" . Rev. Mod. Phys. (Manuscrito enviado). 35 (4): 916. Bibcode : 1963RvMP...35..916D . doi : 10.1103/RevModPhys.35.916 .

• Nakamura, Kenzo; et  al. (2010). "Revisión de física de partículas: coeficientes de Clebsch-Gordan, armónicos esféricos y funciones d " (PDF) . Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics . 37 (75021): 368. Bibcode : 2010JPhG...37g5021N . doi : 10.1088/0954-3899/37/7A/075021 . Actualización parcial para la edición de 2012.
• Calculadora web de coeficientes Clebsch-Gordan, 3-j y 6-j
• Calculadora de coeficientes de Clebsch-Gordan descargable para Mac y Windows
• Interfaz web para tabular los coeficientes de Clebsch-Gordan SU(N)