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Articulo de referencia

Órbita elíptica

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Animación de la órbita por excentricidad 0.0 · 0.2 · 0.4 · 0.6 · 0.8              
Dos cuerpos con masa similar orbitando alrededor de un baricentro común con órbitas elípticas.
Dos cuerpos con masas desiguales que orbitan alrededor de un baricentro común con órbitas circulares.
Dos cuerpos con masas muy desiguales que orbitan un baricentro común con órbitas circulares.
En el cuadrante superior derecho de este diagrama se representa una órbita elíptica, donde el pozo de potencial gravitatorio de la masa central muestra la energía potencial, y la energía cinética de la velocidad orbital se muestra en rojo. Según las leyes de Kepler, la altura de la energía cinética disminuye a medida que disminuye la velocidad del cuerpo en órbita y aumenta la distancia.

En astrodinámica o mecánica celeste , una órbita elíptica o excéntrica es aquella con una excentricidad menor que 1; esto incluye el caso especial de una órbita circular , con excentricidad igual a 0. Algunas órbitas con alta excentricidad se describen como "alargadas", pero este término no es del todo descriptivo. Para el problema simple de dos cuerpos, todas las órbitas son elipses.

En un problema gravitacional de dos cuerpos , ambos cuerpos siguen órbitas elípticas similares con el mismo período orbital alrededor de su baricentro común . La posición relativa de un cuerpo con respecto al otro también sigue una órbita elíptica.

En el Sistema Solar, la masa dominante del Sol garantiza que cada planeta siga órbitas elípticas casi circulares ( e cercana a 0) con el Sol en el foco principal, mientras que los cometas como Halley tienen órbitas muy excéntricas o alargadas ( e cercana a 1). Ejemplos de órbitas o trayectorias elípticas para satélites incluyen las órbitas de transferencia de Hohmann , las órbitas de Molniya y las órbitas de tundra .

Velocidad

Bajo supuestos estándar, no actúan otras fuerzas excepto dos cuerpos con simetría esférica.(metro1){\displaystyle (m_{1})}y(metro2){\displaystyle (m_{2})}, [ 1 ] la velocidad orbital (v{\displaystyle v\,}) de un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita elíptica se puede calcular a partir de la ecuación vis-viva como: [ 2 ]

v=μ(2r−1a){\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}

dónde:

  • μ{\displaystyle \mu \,}es el parámetro gravitacional estándar ,GRAMO(metro1+metro2){\displaystyle G(m_{1}+m_{2})}, a menudo expresado comoGRAMOMETRO{\displaystyle GM}cuando un cuerpo es mucho más grande que el otro.
  • r{\displaystyle r\,}es la distancia entre los centros de masa de ambos cuerpos.
  • a{\displaystyle a\,\!}es la longitud del semieje mayor .

La ecuación de velocidad para una trayectoria hiperbólica tiene o bien(+1a){\displaystyle (+{1 \over {a}})}, o es lo mismo con la convención de que en ese caso(a){\displaystyle (a)}es negativo.

Período orbital

Bajo supuestos estándar, el período orbital (T{\displaystyle T\,\!}) de un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita elíptica se puede calcular como: [ 3 ]

T=2πa3μ{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}

dónde:

Conclusiones:

  • El período orbital es igual al de una órbita circular con un radio orbital igual al semieje mayor (a{\displaystyle a\,\!}),
  • Para un semieje mayor dado, el período orbital no depende de la excentricidad (véase también: tercera ley de Kepler ).

Energía

Bajo supuestos estándar, la energía orbital específica (ϵ{\displaystyle \epsilon }) de una órbita elíptica es negativa y la ecuación de conservación de la energía orbital (la ecuación de Vis-viva ) para esta órbita puede tomar la forma: [ 4 ]

v22−μr=−μ2a=ϵ<0{\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}

dónde:

Conclusiones:

  • Para un semieje mayor dado, la energía orbital específica es independiente de la excentricidad.

Utilizando el teorema del virial para hallar:

  • El promedio temporal de la energía potencial específica es igual a −2ε
    • el promedio temporal de r −1 es a −1
  • El promedio temporal de la energía cinética específica es igual a ε

Energía en términos de semieje mayor

Puede ser útil conocer la energía en términos del semieje mayor (y las masas involucradas). La energía total de la órbita viene dada por

mi=−GRAMOMETROmetro2a{\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{2a}}},

donde a es el semieje mayor.

Derivación

Dado que la gravedad es una fuerza central, el momento angular es constante:

L˙=r×F=r×F(r)r^=0{\displaystyle {\dot {\mathbf {L} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times F(r)\mathbf {\hat {r}} =0}

En las aproximaciones más cercanas y más lejanas, el momento angular es perpendicular a la distancia desde la masa orbitada, por lo tanto:

L=rpag=rmetrov{\displaystyle L=rp=rmv}.

La energía total de la órbita viene dada por [ 5 ]

mi=12metrov2−GRAMOMETROmetror{\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}}.

Sustituyendo v, la ecuación se convierte en:

mi=12L2metror2−GRAMOMETROmetror{\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}-G{\frac {Mm}{r}}}.

Esto es cierto para r siendo la distancia más cercana/más lejana, por lo que se forman dos ecuaciones simultáneas que, al resolverlas para E:

mi=−GRAMOMETROmetror1+r2{\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{r_{1}+r_{2}}}}

Desder1=a+aϵ{\textstyle r_{1}=a+a\epsilon }yr2=a−aϵ{\displaystyle r_{2}=aa\epsilon }donde épsilon es la excentricidad de la órbita, se alcanza el resultado indicado.

Ángulo de trayectoria de vuelo

El ángulo de trayectoria de vuelo es el ángulo entre el vector de velocidad del cuerpo en órbita (igual al vector tangente a la órbita instantánea) y la horizontal local. Bajo las suposiciones estándar de conservación del momento angular, el ángulo de trayectoria de vueloϕ{\displaystyle \phi }satisface la ecuación: [ 6 ]

h=rvporque⁡ϕ{\displaystyle h\,=r\,v\,\cos \phi }

dónde:

ψ{\displaystyle \psi }es el ángulo entre el vector de velocidad orbital y el semieje mayor.ν{\displaystyle \nu }es la verdadera anomalía local .ϕ=ν+π2−ψ{\displaystyle \phi =\nu +{\frac {\pi }{2}}-\psi }, por lo tanto,

porque⁡ϕ=pecado⁡(ψ−ν)=pecado⁡ψporque⁡ν−porque⁡ψpecado⁡ν=1+miporque⁡ν1+mi2+2miporque⁡ν{\displaystyle \cos \phi =\sin(\psi -\nu )=\sin \psi \cos \nu -\cos \psi \sin \nu ={\frac {1+e\cos \nu }{\sqrt {1+e^{2}+2e\cos \nu }}}}
broncearse⁡ϕ=mipecado⁡ν1+miporque⁡ν{\displaystyle \tan \phi ={\frac {e\sin \nu }{1+e\cos \nu }}}

dóndemi{\displaystyle e}es la excentricidad.

El momento angular está relacionado con el producto vectorial de la posición y la velocidad, que es proporcional al seno del ángulo entre estos dos vectores. Aquíϕ{\displaystyle \phi }se define como el ángulo que difiere en 90 grados de este, por lo que el coseno aparece en lugar del seno.

Ecuación de movimiento

Desde la posición y velocidad iniciales

Una ecuación orbital define la trayectoria de un cuerpo en órbita.metro2{\displaystyle m_{2}\,\!}alrededor del cuerpo centralmetro1{\displaystyle m_{1}\,\!}relativo ametro1{\displaystyle m_{1}\,\!}, sin especificar la posición en función del tiempo. Si la excentricidad es menor que 1, entonces la ecuación de movimiento describe una órbita elíptica. Debido a la ecuación de KeplerMETRO=mi−mipecado⁡mi{\displaystyle M=Ee\sin E}No existe una solución general en forma cerrada para la anomalía excéntrica (E) en términos de la anomalía media (M), y las ecuaciones de movimiento en función del tiempo tampoco tienen una solución en forma cerrada (aunque existen soluciones numéricas para ambas).

Sin embargo, las ecuaciones de trayectoria independientes del tiempo en forma cerrada de una órbita elíptica con respecto a un cuerpo central se pueden determinar a partir de una posición inicial (r{\displaystyle \mathbf {r} }) y velocidad (v{\displaystyle \mathbf {v} }).

Para este caso, resulta conveniente utilizar las siguientes suposiciones, que difieren ligeramente de las suposiciones estándar mencionadas anteriormente:

  1. La posición del cuerpo central está en el origen y es el foco principal (F1{\displaystyle \mathbf {F1} }) de la elipse (alternativamente, se puede utilizar el centro de masas si el cuerpo en órbita tiene una masa significativa)
  2. Se conoce la masa del cuerpo central (m1).
  3. La posición inicial del cuerpo en órbita (r{\displaystyle \mathbf {r} }) y velocidad(v{\displaystyle \mathbf {v} }) son conocidos
  4. La elipse se encuentra dentro del plano XY.

La cuarta suposición puede hacerse sin pérdida de generalidad porque cualesquiera tres puntos (o vectores) deben estar dentro de un plano común. Bajo estas suposiciones, el segundo foco (a veces llamado foco "vacío") también debe estar dentro del plano XY:F2=(Fincógnita,Fy){\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}.

Utilizando vectores

La ecuación general de una elipse bajo estas suposiciones utilizando vectores es:

|F2−pag|+|pag|=2a∣z=0{\displaystyle |\mathbf {F2} -\mathbf {p} |+|\mathbf {p} |=2a\qquad \mid z=0}

dónde:

  • a{\displaystyle a\,\!}es la longitud del semieje mayor .
  • F2=(Fincógnita,Fy){\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}es el segundo foco ("vacío").
  • pag=(incógnita,y){\displaystyle \mathbf {p} =\left(x,y\right)}es cualquier valor (x,y) que satisface la ecuación.

La longitud del semieje mayor (a) se puede calcular de la siguiente manera:

a=μ|r|2μ−|r|v2{\displaystyle a={\frac {\mu |\mathbf {r} |}{2\mu -|\mathbf {r} |\mathbf {v} ^{2}}}}

dóndeμ =GRAMOmetro1{\displaystyle \mu \ =Gm_{1}}es el parámetro gravitacional estándar .

El foco vacío (F2=(Fincógnita,Fy){\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}) se puede encontrar determinando primero el vector de excentricidad :

mi=r|r|−v×hμ{\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}}

Dóndeh{\displaystyle \mathbf {h} }es el momento angular específico del cuerpo en órbita: [ 7 ]

h=r×v{\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }

Entonces

F2=−2ami{\displaystyle \mathbf {F2} =-2a\mathbf {e} }

Utilizando coordenadas XY

Esto se puede hacer en coordenadas cartesianas utilizando el siguiente procedimiento:

La ecuación general de una elipse bajo las suposiciones anteriores es:

(Fincógnita−incógnita)2+(Fy−y)2+incógnita2+y2=2a∣z=0{\displaystyle {\sqrt {\left(f_{x}-x\right)^{2}+\left(f_{y}-y\right)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=2a\qquad \mid z=0}

Dado:

rincógnita,ry{\displaystyle r_{x},r_{y}\quad }las coordenadas de posición inicial
vincógnita,vy{\displaystyle v_{x},v_{y}\quad }las coordenadas de velocidad inicial

y

μ=GRAMOmetro1{\displaystyle \mu =Gm_{1}\quad }el parámetro gravitacional

Entonces:

h=rincógnitavy−ryvincógnita{\displaystyle h=r_{x}v_{y}-r_{y}v_{x}\quad }momento angular específico
r=rincógnita2+ry2{\displaystyle r={\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}}}\quad }distancia inicial desde F1 (en el origen)
a=μr2μ−r(vincógnita2+vy2){\displaystyle a={\frac {\mu r}{2\mu -r\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)}}\quad }la longitud del semieje mayor

miincógnita=rincógnitar−hvyμ{\displaystyle e_{x}={\frac {r_{x}}{r}}-{\frac {hv_{y}}{\mu }}\quad }las coordenadas del vector de excentricidad
miy=ryr+hvincógnitaμ{\displaystyle e_{y}={\frac {r_{y}}{r}}+{\frac {hv_{x}}{\mu }}\quad }

Finalmente, las coordenadas de enfoque vacías

Fincógnita=−2amiincógnita{\displaystyle f_{x}=-2ae_{x}\quad }
Fy=−2amiy{\displaystyle f_{y}=-2ae_{y}\quad }

Ahora, los valores resultantes fx, fy y a se pueden aplicar a la ecuación general de la elipse anterior.

Parámetros orbitales

El estado de un cuerpo en órbita en un momento dado se define por su posición y velocidad con respecto al cuerpo central, que se representan mediante coordenadas cartesianas tridimensionales (posición del cuerpo en órbita representada por x, y, z) y las componentes cartesianas correspondientes de su velocidad. Este conjunto de seis variables, junto con el tiempo, se denomina vectores de estado orbital . Dadas las masas de ambos cuerpos, estos vectores determinan la órbita completa. Los dos casos más generales con estos seis grados de libertad son la órbita elíptica y la hiperbólica. Casos especiales con menos grados de libertad son la órbita circular y la parabólica.

Dado que se requieren al menos seis variables para representar completamente una órbita elíptica con este conjunto de parámetros, entonces se requieren seis variables para representar una órbita con cualquier conjunto de parámetros. Otro conjunto de seis parámetros que se utilizan comúnmente son los elementos orbitales .

Sistema solar

En el Sistema Solar , los planetas , asteroides , la mayoría de los cometas y algunos fragmentos de basura espacial tienen órbitas aproximadamente elípticas alrededor del Sol. Estrictamente hablando, ambos cuerpos giran alrededor del mismo foco de la elipse, el más cercano al cuerpo de mayor masa, pero cuando un cuerpo es significativamente más masivo, como el Sol en relación con la Tierra, el foco puede estar contenido dentro del cuerpo de mayor masa, y por lo tanto se dice que el más pequeño gira a su alrededor. El siguiente gráfico del perihelio y afelio de los planetas , planetas enanos y el cometa Halley muestra la variación de la excentricidad de sus órbitas elípticas. Para distancias similares al Sol, las barras más anchas indican una mayor excentricidad. Nótese la excentricidad casi nula de la Tierra y Venus en comparación con la enorme excentricidad del cometa Halley y Eris .

Astronomical unitAstronomical unitAstronomical unitAstronomical unitAstronomical unitAstronomical unitAstronomical unitAstronomical unitAstronomical unitAstronomical unitHalley's CometSunEris (dwarf planet)Makemake (dwarf planet)Haumea (dwarf planet)PlutoCeres (dwarf planet)NeptuneUranusSaturnJupiterMarsEarthVenusMercury (planet)Astronomical unitAstronomical unitDwarf planetDwarf planetCometPlanet

Distancias de algunos cuerpos del Sistema Solar al Sol. Los bordes izquierdo y derecho de cada barra corresponden al perihelio y al afelio del cuerpo, respectivamente; por lo tanto, las barras largas indican una alta excentricidad orbital . El radio del Sol es de 0,7 millones de km, y el de Júpiter (el planeta más grande) es de 0,07 millones de km, ambos demasiado pequeños para ser representados en esta imagen.

Trayectoria elíptica radial

Una trayectoria radial puede ser un segmento de línea doble , que es una elipse degenerada con semieje menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad es 1, no se trata de una órbita parabólica. La mayoría de las propiedades y fórmulas de las órbitas elípticas son aplicables. Sin embargo, la órbita no puede ser cerrada. Es una órbita abierta que corresponde a la parte de la elipse degenerada desde el momento en que los cuerpos se tocan y se separan hasta que vuelven a tocarse. En el caso de masas puntuales, es posible una órbita completa, que comienza y termina con una singularidad. Las velocidades al inicio y al final son infinitas en direcciones opuestas y la energía potencial es igual a menos infinito.

La trayectoria elíptica radial es la solución de un problema de dos cuerpos con velocidad cero en algún instante, como en el caso de dejar caer un objeto (despreciando la resistencia del aire).

Historia

Los babilonios fueron los primeros en darse cuenta de que el movimiento del Sol a lo largo de la eclíptica no era uniforme, aunque desconocían la razón; hoy se sabe que esto se debe a que la Tierra se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol, moviéndose más rápido cuando está más cerca del Sol en el perihelio y más lento cuando está más lejos en el afelio . [ 8 ]

En el siglo XVII, Johannes Kepler descubrió que las órbitas que describen los planetas alrededor del Sol son elipses con el Sol en uno de sus focos, y lo describió en su primera ley del movimiento planetario . Posteriormente, Isaac Newton explicó esto como un corolario de su ley de gravitación universal .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de astrodinámica (Primera  ed.). Nueva York: Dover. págs. 11–12 . ISBN  0-486-60061-0.
  2. ↑ Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Ciencias planetarias fundamentales: física, química y habitabilidad . Nueva York, NY, EE. UU.: Cambridge University Press. págs. 29–31 . ISBN  9781108411981.
  3. ↑ Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de astrodinámica (Primera ed.). Nueva York: Dover. pág. 33. ISBN   0-486-60061-0.
  4. ↑ Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de astrodinámica (Primera ed.). Nueva York: Dover. págs. 27–28 . ISBN   0-486-60061-0.
  5. ↑ Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de astrodinámica (Primera ed.). Nueva York: Dover. pág. 15. ISBN   0-486-60061-0.
  6. ↑ Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de astrodinámica (Primera ed.). Nueva York: Dover. pág. 18. ISBN   0-486-60061-0.
  7. ↑ Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de astrodinámica (Primera ed.). Nueva York: Dover. pág. 17. ISBN   0-486-60061-0.
  8. ↑ David Leverington (2003), Babylon to Voyager and beyond: a history of planetary astronomy , Cambridge University Press , pp. 6–7 , ISBN  0-521-80840-5

Fuentes

  • D'Eliseo, Maurizio M. (2007). "La ecuación orbital de primer orden". American Journal of Physics . 75 (4): 352– 355. Bibcode : 2007AmJPh..75..352D . doi : 10.1119/1.2432126 .
  • D'Eliseo, Maurizio M.; Mironov, Sergey V. (2009). "La elipse gravitacional". Journal of Mathematical Physics . 50 (2): 022901. arXiv : 0802.2435 . Bibcode : 2009JMP....50a2901M . doi : 10.1063/1.3078419 .
  • Curtis, Howard D. (2019). Mecánica orbital para estudiantes de ingeniería (4.ª  ed.). Butterworth-Heinemann . ISBN 978-0-08-102133-0.
  • Comparación fotográfica lunar entre apogeo y perigeo
  • Comparación fotográfica solar entre afelio y perihelio
  • Investigación Óptica y de Seguimiento de Satélites de Canadá (CASTOR)