Espacio vectorial topológico completo

La diagonal de${\displaystyle X}$es el conjunto ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}}$$ y para cualquier${\displaystyle N\subseteq X,}$elséquito canónico /alrededores​${\displaystyle N}$es el conjunto $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,y)\in X\times X~:~x-y\in N\}\\&=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]\\&=\Delta _{X}+(N\times \{0\})\end{alignedat}}}$$ donde si${\displaystyle 0\in N}$entonces${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$contiene la diagonal${\displaystyle \Delta _{X}(\{0\})=\Delta _{X}.}$

Si${\displaystyle N}$es un conjunto simétrico (es decir, si${\displaystyle -N=N}$), entonces${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$es simétrico , lo que por definición significa que${\displaystyle \Delta _{X}(N)=\left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }}$sostiene donde${\displaystyle \left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(y,x):(x,y)\in \Delta _{X}(N)\right\},}$y además, la composición de este conjunto simétrico consigo mismo es: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z)\in X\times X~:~{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\right\}\\&=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]\\&=\Delta _{X}+(N\times N).\end{alignedat}}}$$

Si${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es cualquier base vecinal en el origen en${\displaystyle (X,\tau )}$entonces la familia de subconjuntos de${\displaystyle X\times X:}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\Delta _{X}(N):N\in {\mathcal {L}}\right\}}$ es un prefiltro en${\displaystyle X\times X.}$ Si${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(0)}$es el filtro de vecindario en el origen en${\displaystyle (X,\tau )}$entonces${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$forma una base de séquitos para una estructura uniforme en${\displaystyle X}$que se considera canónico . ^{[ 2 ]} Explícitamente, por definición, eluniformidad canónica en${\displaystyle X}$inducido por${\displaystyle (X,\tau )}$^{[ 2 ]} es elfiltro${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$en${\displaystyle X\times X}$generado por el prefiltro anterior : $${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{S\subseteq X\times X~:~{\text{there exists }}N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(0){\text{ such that }}\Delta _{X}(N)\subseteq S\right\}}$$ dónde${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }}$denota el cierre ascendente de${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$en${\displaystyle X\times X.}$ La misma uniformidad canónica resultaría al utilizar una base de vecindad del origen en lugar del filtro de todas las vecindades del origen. Si${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es cualquier base vecinal en el origen en${\displaystyle (X,\tau )}$luego el filtro en${\displaystyle X\times X}$generado por el prefiltro${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}}$es igual a la uniformidad canónica${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$inducido por${\displaystyle (X,\tau ).}$

La teoría general de espacios uniformes tiene su propia definición de "prefiltro de Cauchy" y "red de Cauchy". Para la uniformidad canónica en${\displaystyle X,}$Estas definiciones se reducen a las que se indican a continuación.

Suponer${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$es una red en${\displaystyle X}$y${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$es una red en${\displaystyle Y.}$ El producto${\displaystyle I\times J}$se convierte en un conjunto dirigido al declarar${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$si y solo si${\displaystyle i\leq i_{2}}$y${\displaystyle j\leq j_{2}.}$ Entonces $${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$ denota el ( cartesiano )producto neto , donde en particular${\textstyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}.}$Si${\displaystyle X=Y}$Luego, la imagen de esta red bajo el mapa de suma de vectores${\displaystyle X\times X\to X}$denota elsuma de estas dos redes: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$ y de manera similar susLa diferencia se define como la imagen de la red del producto bajo la aplicación de sustracción vectorial.${\displaystyle (x,y)\mapsto x-y}$: $${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$ En particular, la notación${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}-\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$denota el${\displaystyle I^{2}}$-red indexada${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}}$y no el${\displaystyle I}$-red indexada${\displaystyle \left(x_{i}-x_{i}\right)_{i\in I}=(0)_{i\in I}}$ya que usar esto último como definición haría que la notación fuera inútil.

Una red${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$en un TVS${\displaystyle X}$se denomina red de Cauchy ^{[ 4 ]} si $${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0\quad {\text{ in }}X.}$$ Explícitamente, esto significa que para cada vecindario${\displaystyle N}$de${\displaystyle 0}$en${\displaystyle X,}$existe algún índice${\displaystyle i_{0}\in I}$de tal manera que${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$para todos los índices${\displaystyle i,j\in I}$que satisfacen${\displaystyle i\geq i_{0}}$y${\displaystyle j\geq i_{0}.}$ Basta con comprobar cualquiera de estas condiciones definitorias para cualquier base de vecindario dada de${\displaystyle 0}$en${\displaystyle X.}$ Una sucesión de Cauchy es una sucesión que también es una red de Cauchy.

Si${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$entonces${\displaystyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }\to (x,x)}$en${\displaystyle X\times X}$y así la continuidad del mapa de sustracción vectorial${\displaystyle S:X\times X\to X,}$que se define por${\displaystyle S(x,y)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~x-y,}$garantiza que${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)\to S(x,x)}$en${\displaystyle X,}$dónde${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)=\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}=x_{\bullet }-x_{\bullet }}$y${\displaystyle S(x,x)=x-x=0.}$ Esto demuestra que toda red convergente es una red de Cauchy. Por definición, un espacio se llama completo si la recíproca también es siempre cierta. Es decir,${\displaystyle X}$está completa si y solo si se cumple lo siguiente:

cuando sea${\displaystyle x_{\bullet }}$es una red en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle x_{\bullet }}$converge (hasta cierto punto) en${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }\to 0}$en${\displaystyle X.}$

Una caracterización similar de la completitud se mantiene si se utilizan filtros y prefiltros en lugar de redes.

Una serie${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$se llama unSerie de Cauchy (respectivamente, unaseries convergentes ) si la sucesión desumas parciales${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$es una sucesión de Cauchy (respectivamente, una sucesión convergente ). ^{[ 5 ]} Toda serie convergente es necesariamente una serie de Cauchy. En una TVS completa, toda serie de Cauchy es necesariamente una serie convergente.

Un prefiltro${\displaystyle {\mathcal {B}}}$en un espacio vectorial topológico${\displaystyle X}$Se denomina prefiltro de Cauchy ^{[ 6 ]} si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$en${\displaystyle X.}$
   • La familia${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$es un prefiltro.
   • Explícitamente,${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$significa que para cada vecindario${\displaystyle N}$del origen en${\displaystyle X,}$existen${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}}}$de tal manera que${\displaystyle B-C\subseteq N.}$
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$en${\displaystyle X.}$
   • La familia${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$es un prefiltro equivalente a${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}}$( equivalencia significa que estos prefiltros generan el mismo filtro en${\displaystyle X}$).
   • Explícitamente,${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$significa que para cada vecindario${\displaystyle N}$del origen en${\displaystyle X,}$existe algo${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$de tal manera que${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
3. Para cada vecindario${\displaystyle N}$del origen en${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$contiene algunos${\displaystyle N}$-conjunto pequeño (es decir, existe algún${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$de tal manera que${\displaystyle B-B\subseteq N}$). ^{[ 6 ]}
   • Un subconjunto${\displaystyle B\subseteq X}$se llama${\displaystyle N}$-pequeño opequeño de orden${\displaystyle N}$^{[ 6 ]} si${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
4. Para cada vecindario${\displaystyle N}$del origen en${\displaystyle X,}$existe algo${\displaystyle x\in X}$y algunos${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$de tal manera que${\displaystyle B\subseteq x+N.}$^{[ 6 ]}
   • Esta afirmación sigue siendo cierta si "${\displaystyle B\subseteq x+N}$" se reemplaza por "${\displaystyle x+B\subseteq N.}$"
5. Cada barrio del origen en${\displaystyle X}$contiene algún subconjunto de la forma${\displaystyle x+B}$dónde${\displaystyle x\in X}$y${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

Basta con comprobar cualquiera de las condiciones anteriores para cualquier vecindario determinado .${\displaystyle 0}$en${\displaystyle X.}$ Un filtro Cauchy es un prefiltro Cauchy que también es un filtro en${\displaystyle X.}$

Si${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un prefiltro en un espacio vectorial topológico${\displaystyle X}$y si${\displaystyle x\in X,}$entonces${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$en${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es Cauchy. ^{[ 3 ]}

Para cualquier${\displaystyle S\subseteq X,}$un prefiltro${\displaystyle {\mathcal {C}}}$en${\displaystyle S}$es necesariamente un subconjunto de${\displaystyle \wp (S)}$; eso es,${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

Un subconjunto${\displaystyle S}$de un televisor${\displaystyle (X,\tau )}$se llama unsubconjunto completo si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada prefiltro Cauchy${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$en${\displaystyle S}$converge a al menos un punto de${\displaystyle S.}$
   • Si${\displaystyle X}$es Hausdorff entonces cada prefiltro en${\displaystyle S}$convergerá a lo sumo a un punto de${\displaystyle X.}$Pero si${\displaystyle X}$si no es Hausdorff entonces un prefiltro puede converger a múltiples puntos en${\displaystyle X.}$Lo mismo ocurre con las redes.
2. Cada red Cauchy en${\displaystyle S}$converge a al menos un punto de${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle S}$es un espacio uniforme completo (según la definición de topología de conjunto de puntos de " espacio uniforme completo ") cuando${\displaystyle S}$está dotada de la uniformidad inducida en ella por la uniformidad canónica de${\displaystyle X.}$

El subconjunto${\displaystyle S}$se llama unsubconjunto secuencialmente completo si cada secuencia de Cauchy en${\displaystyle S}$(o equivalentemente, cada filtro/prefiltro de Cauchy elemental en${\displaystyle S}$) converge a al menos un punto de${\displaystyle S.}$

Es importante destacar que la convergencia a puntos fuera de${\displaystyle S}$no impide que un conjunto sea completo : Si${\displaystyle X}$no es Hausdorff y si cada prefiltro Cauchy en${\displaystyle S}$converge a algún punto de${\displaystyle S,}$entonces${\displaystyle S}$estará completo incluso si algunos o todos los prefiltros Cauchy están en${\displaystyle S}$también convergen a puntos en${\displaystyle X\setminus S.}$En resumen, no hay ningún requisito de que estos prefiltros Cauchy estén en${\displaystyle S}$convergen únicamente a puntos en${\displaystyle S.}$Lo mismo puede decirse de la convergencia de las redes de Cauchy en${\displaystyle S.}$

En consecuencia, si un TVS${\displaystyle X}$si no es Hausdorff entonces cada subconjunto del cierre de${\displaystyle \{0\}}$en${\displaystyle X}$es completo porque es compacto y todo conjunto compacto es necesariamente completo. En particular, si${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$es un subconjunto propio, como por ejemplo${\displaystyle S=\{0\}}$por ejemplo, entonces${\displaystyle S}$estaría completo aunque cada red de Cauchy en${\displaystyle S}$(y también todos los prefiltros Cauchy en${\displaystyle S}$) converge a cada punto en${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\},}$incluyendo esos puntos en${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$que no pertenecen a${\displaystyle S.}$ Este ejemplo también muestra que los subconjuntos completos (e incluso los subconjuntos compactos) de un TVS que no es de Hausdorff pueden no ser cerrados. Por ejemplo, si${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$entonces${\displaystyle S=\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$si y solo si${\displaystyle S}$está cerrado en${\displaystyle X.}$

Un espacio vectorial topológico${\displaystyle X}$se llama unEspacio vectorial topológico completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$es un espacio uniforme completo cuando está dotado de su uniformidad canónica.
   • En la teoría general de espacios uniformes , un espacio uniforme se denomina espacio uniforme completo si cada filtro de Cauchy en${\displaystyle X}$converge a algún punto de${\displaystyle X}$ en la topología inducida por la uniformidad. Cuando${\displaystyle X}$es un TVS, la topología inducida por la uniformidad canónica es igual a${\displaystyle X}$topología dada (por lo que la convergencia en esta topología inducida es simplemente la convergencia usual en${\displaystyle X}$).
2. ${\displaystyle X}$es un subconjunto completo de sí mismo.
3. Existe un vecindario del origen en${\displaystyle X}$que también es un subconjunto completo de${\displaystyle X.}$^{[ 6 ]}
   • Esto implica que todo TVS localmente compacto es completo (incluso si el TVS no es de Hausdorff).
4. Cada prefiltro Cauchy${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (X)}$en${\displaystyle X}$converge en${\displaystyle X}$al menos en un punto de${\displaystyle X.}$
   • Si${\displaystyle X}$es Hausdorff entonces cada prefiltro en${\displaystyle X}$convergerá a lo sumo a un punto de${\displaystyle X.}$Pero si${\displaystyle X}$si no es Hausdorff entonces un prefiltro puede converger a múltiples puntos en${\displaystyle X.}$Lo mismo ocurre con las redes.
5. Cada filtro Cauchy en${\displaystyle X}$converge en${\displaystyle X}$al menos en un punto de${\displaystyle X.}$
6. Cada red Cauchy en${\displaystyle X}$converge en${\displaystyle X}$al menos en un punto de${\displaystyle X.}$

donde si además${\displaystyle X}$Si es pseudometrizable o metrizable (por ejemplo, un espacio normado ), entonces esta lista se puede ampliar para incluir:

7. ${\displaystyle X}$está completa secuencialmente.

Un espacio vectorial topológico${\displaystyle X}$esSe considerará completa secuencialmente si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$es un subconjunto secuencialmente completo de sí mismo.
2. Cada secuencia de Cauchy en${\displaystyle X}$converge en${\displaystyle X}$al menos en un punto de${\displaystyle X.}$
3. Cada prefiltro de Cauchy elemental en${\displaystyle X}$converge en${\displaystyle X}$al menos en un punto de${\displaystyle X.}$
4. Cada filtro de Cauchy elemental en${\displaystyle X}$converge en${\displaystyle X}$al menos en un punto de${\displaystyle X.}$

Para cualquier subconjunto${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X,}$sea ^{​​[ 1 ]}$${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x)~:~(x,y)\in \Phi \}}$$ y dejar $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi \circ \Psi ~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \right\}\\&=~\bigcup _{y\in X}\{(x,z)~:~(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \}\end{alignedat}}}$$ Una familia no vacía${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$se llama unbase de séquitos o unasistema fundamental de séquitos si${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un prefiltro en${\displaystyle X\times X}$que cumpla todas las siguientes condiciones:

1. Cada conjunto en${\displaystyle {\mathcal {B}}}$contiene la diagonal de${\displaystyle X}$como un subconjunto; es decir,${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}\subseteq \Phi }$por cada${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}.}$Dicho de otro modo, el prefiltro${\displaystyle {\mathcal {B}}}$está fijo en${\displaystyle \Delta _{X}.}$
2. Por cada${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$existe algo${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$de tal manera que${\displaystyle \Phi \circ \Phi \subseteq \Omega .}$
3. Por cada${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$existe algo${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$de tal manera que${\displaystyle \Phi \subseteq \Omega ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x):(x,y)\in \Omega \}.}$

Auniformidad oestructura uniforme en${\displaystyle X}$es un filtro${\displaystyle {\mathcal {U}}}$en${\displaystyle X\times X}$que es generado por una base de séquitos${\displaystyle {\mathcal {B}},}$en cuyo caso decimos que${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una base de séquitos para${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Para un grupo aditivo conmutativo${\displaystyle X,}$aEl sistema fundamental de séquitos invariante a la traslación ^{[ 7 ]} es un sistema fundamental de séquitos.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$de tal manera que para cada${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}},}$${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$si y solo si${\displaystyle (x+z,y+z)\in \Phi }$a pesar de${\displaystyle x,y,z\in X.}$Una uniformidad${\displaystyle {\mathcal {B}}}$se llama ununiformidad invariante a la traslación ^{[ 7 ]} si tiene una base de entornos que es invariante a la traslación. La uniformidad canónica en cualquier TVS es invariante a la traslación. ^{[ 7 ]}

El operador binario${\displaystyle \;\circ \;}$Satisface todos los siguientes requisitos:

• ${\displaystyle (\Phi \circ \Psi )^{\operatorname {op} }=\Psi ^{\operatorname {op} }\circ \Phi ^{\operatorname {op} }.}$
• Si${\displaystyle \Phi \subseteq \Phi _{2}}$y${\displaystyle \Psi \subseteq \Psi _{2}}$entonces${\displaystyle \Phi \circ \Psi \subseteq \Phi _{2}\circ \Psi _{2}.}$
• Asociatividad:${\displaystyle \Phi \circ (\Psi \circ \Omega )=(\Phi \circ \Psi )\circ \Omega .}$
• Identidad:${\displaystyle \Phi \circ \Delta _{X}=\Phi =\Delta _{X}\circ \Phi .}$
• Cero:${\displaystyle \Phi \circ \varnothing =\varnothing =\varnothing \circ \Phi }$

séquitos simétricos

Llamar subconjunto${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$simétrico si${\displaystyle \Phi =\Phi ^{\operatorname {op} },}$lo cual es equivalente a${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Phi .}$ Esta equivalencia se deduce de la identidad.${\displaystyle \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)^{\operatorname {op} }=\Phi }$y el hecho de que si${\displaystyle \Psi \subseteq X\times X,}$entonces${\displaystyle \Phi \subseteq \Psi }$si y solo si${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Psi ^{\operatorname {op} }.}$ Por ejemplo, el conjunto${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Phi }$siempre es simétrico para cada${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X.}$ Y porque${\displaystyle (\Phi \cap \Psi )^{\operatorname {op} }=\Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Psi ^{\operatorname {op} },}$si${\displaystyle \Phi }$y${\displaystyle \Psi }$son simétricos entonces también lo es${\displaystyle \Phi \cap \Psi .}$

Parientes

Dejar${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$ser arbitrario y dejar${\displaystyle \operatorname {Pr} _{1},\operatorname {Pr} _{2}:X\times X\to X}$sean las proyecciones canónicas sobre la primera y la segunda coordenada, respectivamente.

Para cualquier${\displaystyle S\subseteq X,}$definir $${\displaystyle S\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{y\in X:\Phi \cap (S\times \{x\})\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{2}(\Phi \cap (S\times X))}$$$${\displaystyle \Phi \cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:\Phi \cap (\{x\}\times S)\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{1}(\Phi \cap (X\times S))=S\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$$ dónde${\displaystyle \Phi \cdot S}$(respectivamente,${\displaystyle S\cdot \Phi }$) se denomina el conjunto de izquierda (respectivamente, derecha )${\displaystyle \Phi }$-parientes de (puntos en)${\displaystyle S.}$ Denotemos el caso especial donde${\displaystyle S=\{p\}}$es un conjunto unitario para algunos${\displaystyle p\in X}$por: $${\displaystyle p\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p\}\cdot \Phi ~=~\{y\in X:(p,y)\in \Phi \}}$$$${\displaystyle \Phi \cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\Phi \cdot \{p\}~=~\{x\in X:(x,p)\in \Phi \}~=~p\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$$ Si${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X}$entonces ${\textstyle (\Phi \circ \Psi )\cdot S=\Phi \cdot (\Psi \cdot S).}$ Además,${\displaystyle \,\cdot \,}$La derecha se distribuye sobre uniones e intersecciones, lo que significa que si${\displaystyle R,S\subseteq X}$entonces${\displaystyle (R\cup S)\cdot \Phi ~=~(R\cdot \Phi )\cup (S\cdot \Phi )}$y${\displaystyle (R\cap S)\cdot \Phi ~\subseteq ~(R\cdot \Phi )\cap (S\cdot \Phi ).}$

Barrios y conjuntos abiertos

Dos puntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son${\displaystyle \Phi }$-cerrar si${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$y un subconjunto${\displaystyle S\subseteq X}$se llama${\displaystyle \Phi }$-pequeño si${\displaystyle S\times S\subseteq \Phi .}$

Dejar${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$ser una base de séquitos en${\displaystyle X.}$Elprefiltro de vecindario en un punto${\displaystyle p\in X}$y, respectivamente, en un subconjunto${\displaystyle S\subseteq X}$son las familias de conjuntos : $${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}\cdot \{p\}=\{\Phi \cdot p:\Phi \in {\mathcal {B}}\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {B}}\cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot S:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$$ y los filtros en${\displaystyle X}$que cada uno genera se conoce como elfiltro de vecindario de${\displaystyle p}$(respectivamente, de${\displaystyle S}$). Asignar a cada${\displaystyle x\in X}$el prefiltro del vecindario $${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot x~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot x:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$$ y utilizar la definición de vecindario de "conjunto abierto" para obtener una topología en${\displaystyle X}$llamada la topología inducida por${\displaystyle {\mathcal {B}}}$o eltopología inducida . Explícitamente, un subconjunto${\displaystyle U\subseteq X}$está abierto en esta topología si y solo si para cada${\displaystyle u\in U}$existe algo${\displaystyle N\in {\mathcal {B}}\cdot u}$de tal manera que${\displaystyle N\subseteq U;}$eso es,${\displaystyle U}$está abierto si y solo si para cada${\displaystyle u\in U}$existe algo${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$de tal manera que${\displaystyle \Phi \cdot u~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:(x,u)\in \Phi \}\subseteq U.}$

El cierre de un subconjunto${\displaystyle S\subseteq X}$En esta topología es: $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(\Phi \cdot S)=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(S\cdot \Phi ).}$$

Prefiltros Cauchy y uniformidad completa

Un prefiltro${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$en un espacio uniforme${\displaystyle X}$con uniformidad${\displaystyle {\mathcal {U}}}$se denomina prefiltro de Cauchy si para cada séquito${\displaystyle N\in {\mathcal {U}},}$existe algo${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$de tal manera que${\displaystyle F\times F\subseteq N.}$

Un espacio uniforme${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$se llama unespacio uniforme completo (respectivamente, unespacio uniforme secuencialmente completo ) si cada prefiltro de Cauchy (respectivamente, cada prefiltro de Cauchy elemental) en${\displaystyle X}$converge a al menos un punto de${\displaystyle X}$cuando${\displaystyle X}$está dotado de la topología inducida por${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Caso de un espacio vectorial topológico

Si${\displaystyle (X,\tau )}$es un espacio vectorial topológico entonces para cualquier${\displaystyle S\subseteq X}$y${\displaystyle x\in X,}$$${\displaystyle \Delta _{X}(N)\cdot S=S+N\qquad {\text{ and }}\qquad \Delta _{X}(N)\cdot x=x+N,}$$ y la topología inducida en${\displaystyle X}$por la uniformidad canónica es la misma que la topología que${\displaystyle X}$comenzó con (es decir, es${\displaystyle \tau }$).

Repasamos las nociones básicas relacionadas con la teoría general de espacios pseudométricos completos. Recordemos que toda métrica es una pseudométrica y que una pseudométrica${\displaystyle p}$es una métrica si y solo si${\displaystyle p(x,y)=0}$implica${\displaystyle x=y.}$Por lo tanto, todo espacio métrico es un espacio pseudométrico y un espacio pseudométrico.${\displaystyle (X,p)}$es un espacio métrico si y solo si${\displaystyle p}$es una métrica.

Si${\displaystyle S}$es un subconjunto de un espacio pseudométrico${\displaystyle (X,d)}$entonces el diámetro de${\displaystyle S}$se define como $${\displaystyle \operatorname {diam} (S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{}\{d(s,t):s,t\in S\}.}$$

Un prefiltro${\displaystyle {\mathcal {B}}}$en un espacio pseudométrico${\displaystyle (X,d)}$se llama un${\displaystyle d}$-Prefiltro Cauchy o simplemente un prefiltro Cauchy si para cada real${\displaystyle r>0,}$hay algo${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$de tal manera que el diámetro de${\displaystyle B}$es menor que${\displaystyle r.}$

Suponer${\displaystyle (X,d)}$es un espacio pseudométrico. Una red${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$en${\displaystyle X}$se llama un${\displaystyle d}$-Red de Cauchy o simplemente una red de Cauchy si${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$es un prefiltro de Cauchy, lo cual ocurre si y solo si

por cada${\displaystyle r>0}$hay algo${\displaystyle i\in I}$de tal manera que si${\displaystyle j,k\in I}$con${\displaystyle j\geq i}$y${\displaystyle k\geq i}$entonces${\displaystyle d\left(x_{j},x_{k}\right)<r}$

o equivalentemente, si y solo si${\displaystyle \left(d\left(x_{j},x_{k}\right)\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0}$en${\displaystyle \mathbb {R} .}$Esto es análogo a la siguiente caracterización de la convergencia de${\displaystyle x_{\bullet }}$hasta cierto punto: si${\displaystyle x\in X,}$entonces${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$en${\displaystyle (X,d)}$si y solo si${\displaystyle \left(x_{i},x\right)_{i\in I}\to 0}$en${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Una sucesión de Cauchy es una sucesión que también es una red de Cauchy. ^{[ nota 3 ]}

Cada pseudométrico${\displaystyle p}$en un plató${\displaystyle X}$induce la topología canónica usual en${\displaystyle X,}$que denotaremos por${\displaystyle \tau _{p}}$; también induce una uniformidad canónica en${\displaystyle X,}$que denotaremos por${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$La topología en${\displaystyle X}$inducido por la uniformidad${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}}$es igual a${\displaystyle \tau _{p}.}$Una red${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$en${\displaystyle X}$es Cauchy con respecto a${\displaystyle p}$si y solo si es Cauchy con respecto a la uniformidad${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$ El espacio pseudométrico${\displaystyle (X,p)}$es un espacio pseudométrico completo (respectivamente, secuencialmente completo) si y solo si${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$es un espacio uniforme completo (respectivamente, un espacio secuencialmente completo). Además, el espacio pseudométrico${\displaystyle (X,p)}$(respectivamente, el espacio uniforme)${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$) está completo si y solo si está completo secuencialmente.

Un espacio pseudométrico${\displaystyle (X,d)}$(por ejemplo, un espacio métrico ) se denomina completo y${\displaystyle d}$Se denomina pseudométrica completa si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada prefiltro Cauchy en${\displaystyle X}$converge a al menos un punto de${\displaystyle X.}$
2. La afirmación anterior, pero sustituyendo la palabra "prefiltro" por "filtro".
3. Cada red Cauchy en${\displaystyle X}$converge a al menos un punto de${\displaystyle X.}$
   • Si${\displaystyle d}$es una métrica en${\displaystyle X}$entonces cualquier punto límite es necesariamente único y lo mismo es cierto para los límites de los prefiltros de Cauchy en${\displaystyle X.}$
4. Cada secuencia de Cauchy en${\displaystyle X}$converge a al menos un punto de${\displaystyle X.}$
   • Por lo tanto, para demostrar que${\displaystyle (X,d)}$es completo, basta con considerar únicamente las secuencias de Cauchy en${\displaystyle X}$(y no es necesario considerar las redes de Cauchy más generales).
5. La uniformidad canónica en${\displaystyle X}$inducido por el pseudométrico${\displaystyle d}$es una uniformidad completa.

Y si la adición${\displaystyle d}$Si es una métrica, podemos añadirla a esta lista:

6. Cada secuencia decreciente de bolas cerradas cuyos diámetros se reducen a${\displaystyle 0}$tiene intersección no vacía. ^{[ 8 ]}

Todo espacio F , y por lo tanto también todo espacio de Fréchet , espacio de Banach y espacio de Hilbert , es un espacio TVS completo. Nótese que todo espacio F es un espacio de Baire , pero existen espacios normados que son de Baire pero no de Banach. ^{[ 9 ]}

Un pseudométrico${\displaystyle d}$en un espacio vectorial${\displaystyle X}$Se dice que es unpseudométrica invariante a la traslación si${\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$para todos los vectores${\displaystyle x,y,z\in X.}$

Suponer${\displaystyle (X,\tau )}$es un TVS pseudometrizable (por ejemplo, un TVS metrizable) y que${\displaystyle p}$¿Existe alguna pseudométrica en?${\displaystyle X}$de tal manera que la topología en${\displaystyle X}$inducido por${\displaystyle p}$es igual a${\displaystyle \tau .}$ Si${\displaystyle p}$es invariante a la traslación, entonces${\displaystyle (X,\tau )}$es un TVS completo si y solo si${\displaystyle (X,p)}$es un espacio pseudométrico completo. ^{[ 10 ]} Si${\displaystyle p}$si no es invariante a la traslación, entonces puede ser posible que${\displaystyle (X,\tau )}$ser un TVS completo pero${\displaystyle (X,p)}$no ser un espacio pseudométrico completo ^{[ 10 ]} (véase esta nota al pie ^{[ nota 4 ]} para un ejemplo). ^{[ 10 ]}

Dos normas en un espacio vectorial se denominan equivalentes si y solo si inducen la misma topología. ^{[ 13 ]} Si${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$son dos normas equivalentes en un espacio vectorial${\displaystyle X}$entonces el espacio normalizado${\displaystyle (X,p)}$es un espacio de Banach si y solo si${\displaystyle (X,q)}$es un espacio de Banach. Véase esta nota al pie para un ejemplo de una norma continua en un espacio de Banach que no es equivalente a la norma dada de ese espacio de Banach. ^{[ nota 6 ] [ 13 ]} Todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes y todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach. ^{[ 14 ]} Todo espacio de Banach es un TVS completo. Un espacio normado es un espacio de Banach (es decir, su métrica inducida por la norma canónica es completa) si y solo si es completo como un espacio vectorial topológico.