cobordismo complejo

En matemáticas, el cobordismo complejo es una teoría de cohomología generalizada relacionada con el cobordismo de variedades . Su espectro se denota por MU. Es una teoría de cohomología excepcionalmente potente , pero su cálculo puede ser bastante complejo, por lo que a menudo, en lugar de usarla directamente, se recurre a teorías ligeramente más débiles derivadas de ella, como la cohomología de Brown-Peterson o la teoría K de Morava , que son más fáciles de calcular.

Las teorías generalizadas de cobordismo complejo de homología y cohomología fueron introducidas por Michael Atiyah ( 1961 ) utilizando el espectro de Thom . 

El complejo borde${\displaystyle MU^{*}(X)}$de un espacio${\displaystyle X}$es aproximadamente el grupo de clases de bordismo de variedades sobre${\displaystyle X}$con una estructura lineal compleja en el fibrado normal estable. El bordismo complejo es una teoría de homología generalizada , que corresponde a una MU espectral que puede describirse explícitamente en términos de espacios de Thom como sigue.

El espacio${\displaystyle MU(n)}$es el espacio Thom de lo universal${\displaystyle n}$-haz plano sobre el espacio de clasificación${\displaystyle BU(n)}$del grupo unitario${\displaystyle U(n)}$. La inclusión natural de${\displaystyle U(n)}$en${\displaystyle U(n+1)}$induce un mapa de la doble suspensión${\displaystyle \Sigma ^{2}MU(n)}$a${\displaystyle MU(n+1)}$. Juntos estos mapas dan el espectro${\displaystyle MU}$; es decir, es el colímite de homotopía de${\displaystyle MU(n)}$.

Ejemplos:${\displaystyle MU(0)}$es el espectro de la esfera.${\displaystyle MU(1)}$es la desuspensión${\displaystyle \Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }}$de${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$.

El teorema de la nilpotencia establece que, para cualquier espectro de anillo${\displaystyle R}$, el núcleo de${\displaystyle \pi _{*}R\to \operatorname {MU} _{*}(R)}$consta de elementos nilpotentes. ^{[ 1 ]} El teorema implica en particular que, si${\displaystyle \mathbb {S} }$es el espectro de la esfera, entonces para cualquier${\displaystyle n>0}$, cada elemento de${\displaystyle \pi _{n}\mathbb {S} }$es nilpotente (un teorema de Goro Nishida ). (Demostración: si${\displaystyle x}$está en${\displaystyle \pi _{n}S}$, entonces${\displaystyle x}$es una torsión pero su imagen en${\displaystyle \operatorname {MU} _{*}(\mathbb {S} )\simeq L}$, el anillo de Lazard , no puede ser de torsión ya que${\displaystyle L}$es un anillo de polinomios. Por lo tanto,${\displaystyle x}$debe estar en el núcleo.)

John Milnor ( 1960 ) y Sergei Novikov ( 1960 , 1962 ) demostraron que el anillo de coeficientes  ${\displaystyle \pi _{*}(\operatorname {MU} )}$(igual al cobordismo complejo de un punto, o equivalentemente el anillo de clases de cobordismo de variedades establemente complejas) es un anillo polinomial${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]}$en infinitos generadores${\displaystyle x_{i}\in \pi _{2i}(\operatorname {MU} )}$de grados pares positivos.

Escribir${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$para un espacio proyectivo complejo de dimensión infinita , que es el espacio clasificador para haces de líneas complejos, de modo que el producto tensorial de haces de líneas induce una aplicación${\displaystyle \mu$ :\mathbb {CP} ^{\infty }\times \mathbb {CP} ^{\infty }\to \mathbb {CP} ^{\infty }.} Una orientación compleja en un espectro de anillo asociativo conmutativo E es un elemento x en${\displaystyle E^{2}(\mathbb {CP} ^{\infty })}$cuya restricción a${\displaystyle E^{2}(\mathbb {CP} ^{1})}$ es 1, si el último anillo se identifica con el anillo de coeficientes de E. Un espectro E con tal elemento x se llama espectro de anillo orientado complejo .

Si E es un espectro de anillo orientado complejo, entonces

${\displaystyle E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{punto}})[[x]]}$

${\displaystyle E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })\times E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{punto}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]}$

y${\displaystyle \mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{punto}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]}$es una ley de grupo formal sobre el anillo${\displaystyle E^{*}({\text{punto}})=\pi ^{*}(E)}$.

El cobordismo complejo posee una orientación compleja natural. Daniel Quillen ( 1969 ) demostró que existe un isomorfismo natural de su anillo de coeficientes al anillo universal de Lazard , convirtiendo la ley de grupo formal del cobordismo complejo en la ley de grupo formal universal. En otras palabras, para cualquier ley de grupo formal F sobre cualquier anillo conmutativo R , existe un homomorfismo de anillos único de MU ^* (punto) a R tal que F es la imagen inversa de la ley de grupo formal del cobordismo complejo. 

El cobordismo complejo sobre los racionales se puede reducir a la cohomología ordinaria sobre los racionales, por lo que el principal interés reside en la torsión del cobordismo complejo. A menudo es más fácil estudiar la torsión primo por primo localizando MU en un primo p ; en términos generales, esto significa eliminar la torsión prima de p . La localización MU _p de MU en un primo p se divide como una suma de suspensiones de una teoría de cohomología más simple llamada cohomología de Brown-Peterson , descrita por primera vez por Brown y Peterson (1966) . En la práctica, a menudo se realizan cálculos con la cohomología de Brown - Peterson en lugar de con el cobordismo complejo. El conocimiento de las cohomologías de Brown - Peterson de un espacio para todos los primos p es aproximadamente equivalente al conocimiento de su cobordismo complejo.

El anillo${\displaystyle \operatorname {MU} ^{*}(BU)}$es isomorfo al anillo de series de potencias formales${\displaystyle \operatorname {MU} ^{*}({\text{punto}})[[cf_{1},cf_{2},\ldots ]]}$donde los elementos cf se denominan clases de Conner-Floyd. Son los análogos de las clases de Chern para el cobordismo complejo. Fueron introducidas por Conner y Floyd (1966) .

Similarmente${\displaystyle \operatorname {MU} _ {*}(BU)}$es isomorfo al anillo de polinomios${\displaystyle \operatorname {MU} _{*}({\text{punto}})[[\beta _{1},\beta _{2},\ldots ]]}$

El álgebra de Hopf MU _* (MU) es isomorfa al álgebra de polinomios R[b ₁ , b ₂ , ...], donde R es el anillo de bordismo reducido de una 0-esfera.

El coproducto viene dado por

${\displaystyle \psi (b_{k})=\sum _{i+j=k}(b)_{2i}^{j+1}\otimes b_{j}}$

donde la notación () _{2 i} significa tomar la pieza de grado 2 i . Esto se puede interpretar de la siguiente manera. El mapa

${\displaystyle x\to x+b_{1}x^{2}+b_{2}x^{3}+\cdots }$

es un automorfismo continuo del anillo de series de potencias formales en x , y el coproducto de MU _* (MU) da la composición de dos de esos automorfismos.

• Secuencia espectral de Adams-Novikov
• Lista de teorías de cohomología
• cobordismo algebraico

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• Bordismo complejo en el atlas múltiple
• teoría de la cohomología del cobordismo en el Laboratorio n