Compound of three octahedra

In mathematics, the compound of three octahedra or octahedron 3-compound is a polyhedral compound formed from three regular octahedra, all sharing a common center but rotated with respect to each other. Although appearing earlier in the mathematical literature, it was rediscovered and popularized by M. C. Escher, who used it in the central image of his 1948 woodcut Stars.

A regular octahedron can be circumscribed around a cube in such a way that the eight edges of two opposite squares of the cube lie on the eight faces of the octahedron. The three octahedra formed in this way from the three pairs of opposite cube squares form the compound of three octahedra.^[1] The eight cube vertices are the same as the eight points in the compound where three edges cross each other.^[2] Each of the octahedron edges that participates in these triple crossings is divided by the crossing point in the ratio 1:√2.^[2] The remaining octahedron edges cross each other in pairs, within the interior of the compound; their crossings are at their midpoints and form right angles.

The compound of three octahedra can also be formed from three copies of a single octahedron by rotating each copy by an angle of π/4 around one of the three symmetry axes that pass through two opposite vertices of the starting octahedron.^[3] A third construction for the same compound of three octahedra is as the dual polyhedron of the compound of three cubes, one of the uniform polyhedron compounds.

The six vertices of one of the three octahedra may be given by the coordinates (0, 0, ±2) and (±√2, ±√2, 0). The other two octahedra have coordinates that may be obtained from these coordinates by exchanging the z coordinate for the x or y coordinate.^[1][2]

El compuesto de tres octaedros tiene el mismo grupo de simetría que un octaedro simple. Es un deltaedro isoédrico , lo que significa que sus caras son triángulos equiláteros y que tiene una simetría que une cada cara con todas las demás. Existe una familia infinita conocida de deltaedros isoédricos y 36 más que no pertenecen a esta familia; el compuesto de tres octaedros es uno de los 36 ejemplos esporádicos. ^{[ 4 ]} Sin embargo, su grupo de simetría no une cada vértice con todos los demás, por lo que no es en sí mismo un compuesto poliédrico uniforme.

La intersección de los tres octaedros es un poliedro convexo con 14 vértices y 24 caras, un tetrakis hexaedro , formado al adjuntar una pirámide cuadrada baja a cada cara del cubo central. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, el compuesto puede verse como una estelación del tetrakis hexaedro. Una forma diferente del tetrakis hexaedro, formada al usar pirámides más altas en cada cara del cubo, no es convexa pero tiene caras triangulares equiláteras que nuevamente se encuentran en los mismos planos que las caras de los tres octaedros; es otro de los deltaedros isoédricos conocidos. Un tercer deltaedro isoédrico que comparte los mismos planos de caras, el compuesto de seis tetraedros , puede formarse al estelar cada cara del compuesto de tres octaedros para formar tres stellae octangulae . Un cuarto deltaedro isoédrico con los mismos planos de caras, también una estelación del compuesto de tres octaedros, tiene la misma estructura combinatoria que el tetrakis hexaedro pero con las caras del cubo abolladas hacia adentro formando pirámides que se intersecan en lugar de unir las pirámides al exterior del cubo. ^{[ 4 ]}

El cubo alrededor del cual se pueden circunscribir los tres octaedros tiene nueve planos de simetría de reflexión . Tres de estos planos de reflexión pasan paralelos a los lados del cubo, a medio camino entre dos lados opuestos; los otros seis pasan diagonalmente a través del cubo, pasando por cuatro de sus vértices. Estos nueve planos coinciden con los nueve planos ecuatoriales de los tres octaedros. ^{[ 2 ]}

En el manuscrito del siglo XV De quinque corporibus regularibus de Piero della Francesca , este ya incluye un dibujo de un octaedro circunscrito a un cubo, con ocho de las aristas del cubo situadas en las ocho caras del octaedro. Tres octaedros circunscritos de esta forma a un solo cubo formarían el compuesto de tres octaedros, pero della Francesca no representa dicho compuesto. ^{[ 5 ]}

La siguiente aparición del compuesto de tres octaedros en la literatura matemática parece ser una obra de Max Brückner de 1900 , que lo menciona e incluye una fotografía de un modelo del mismo. ^{[ 2 ] [ 6 ]}

El artista holandés MC Escher , en su xilografía de 1948, Estrellas , utilizó como figura central una jaula con esta forma, que contenía dos camaleones y flotaba en el espacio. ^{[ 7 ]} HSM Coxeter , asumiendo que Escher redescubrió esta forma de forma independiente, escribe que "Es notable que Escher, sin ningún conocimiento de álgebra o geometría analítica, fuera capaz de redescubrir esta figura altamente simétrica". ^{[ 2 ]} Sin embargo, George W. Hart ha documentado que Escher estaba familiarizado con la obra de Brückner y la utilizó como base para muchos de los poliedros estrellados y compuestos poliédricos que dibujó. ^{[ 8 ]} A principios de 1948, Escher había realizado un grabado preliminar en madera con un tema similar, Estudio para estrellas , pero en lugar de usar el compuesto de tres octaedros regulares en el estudio, usó una forma diferente pero relacionada, un dodecaedro rómbico estrellado (a veces llamado sólido de Escher), que puede formarse como un compuesto de tres octaedros aplanados. ^{[ 9 ]} Esta forma como poliedro es topológicamente idéntica al dodecaedro disdiakis , que puede verse como un dodecaedro rómbico con pirámides más cortas en las caras rómbicas. La figura dual del compuesto octaédrico, el compuesto de tres cubos, también se muestra en un grabado posterior de Escher, Cascada , junto al mismo dodecaedro rómbico estrellado. ^{[ 7 ]}

El compuesto de tres octaedros volvió a figurar en la literatura matemática de forma más formal con el trabajo de Bakos y Johnson (1959) , quienes observaron su existencia y proporcionaron coordenadas para sus vértices. Fue estudiado con mayor detalle por Wenninger (1968) y Coxeter (1985) .

Al considerar los octaedros como antiprismas triangulares , existe otro compuesto prismático uniforme de antiprismas con simetría D3d _, orden 12. Cada antiprisma está rotado 40 grados. Se puede observar que los planos superior e inferior contienen el eneagrama compuesto {9/3} o 3{3}.

• Compuesto de cuatro octaedros
• Compuesto de cinco octaedros
• Compuesto de diez octaedros
• Compuesto de veinte octaedros

• Weisstein, Eric W. , "Octaedro 3-compuesto" , MathWorld