Distribución de Poisson compuesta

En teoría de la probabilidad , una distribución de Poisson compuesta es la distribución de probabilidad de la suma de varias variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , donde el número de términos a sumar es a su vez una variable con distribución de Poisson . El resultado puede ser una distribución continua o discreta .

Supongamos que

${\displaystyle N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),}$

es decir, N es una variable aleatoria cuya distribución es una distribución de Poisson con valor esperado λ, y que

${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$

son variables aleatorias idénticamente distribuidas que son mutuamente independientes y también independientes de N. Entonces, la distribución de probabilidad de la suma de${\displaystyle N}$variables aleatorias i.i.d.

${\displaystyle Y=\sum _ {n=1}^{N}X_ {n}}$

es una distribución de Poisson compuesta.

En el caso N = 0, entonces se trata de una suma de 0 términos, por lo que el valor de Y es 0. Por lo tanto, la distribución condicional de Y dado que N  =  0 es una distribución degenerada .

La distribución de Poisson compuesta se obtiene marginalizando la distribución conjunta de ( Y , N ) sobre N , y esta distribución conjunta se puede obtener combinando la distribución condicional Y  | N con la distribución marginal de N . 

El valor esperado y la varianza de la distribución compuesta se pueden derivar de forma sencilla a partir de la ley de la esperanza total y la ley de la varianza total . Por lo tanto,

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {E} (X)\right]=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (Y)&=\operatorname {E} \left[\operatorname {Var} (Y\mid N)\right]+\operatorname {Var} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {Var} (X)\right]+\operatorname {Var} \left[N\operatorname {E} (X)\right],\\[6pt]&=\operatorname {E} (N)\operatorname {Var} (X)+\left(\operatorname {E} (X)\right)^{2}\operatorname {Var} (N).\end{aligned}}}$

Entonces, dado que E( N )  =  Var( N ) si N tiene una distribución de Poisson, estas fórmulas se pueden reducir a

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X)=\lambda \operatorname {E} (X),}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {E} (N)(\operatorname {Var} (X)+(\operatorname {E} (X))^{2})=\operatorname {E} (N){\operatorname {E} (X^{2})}=\lambda {\operatorname {E} (X^{2})}.}$

La distribución de probabilidad de Y se puede determinar en términos de funciones características :

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} (e^{itY})=\operatorname {E} \left(\left(\operatorname {E} (e^{itX}\mid N)\right)^{N}\right)=\operatorname {E} \left((\varphi _{X}(t))^{N}\right),\,}$

y por lo tanto, utilizando la función generadora de probabilidad de la distribución de Poisson, tenemos

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)={\textrm {e}}^{\lambda (\varphi _{X}(t)-1)}.\,}$

Un enfoque alternativo es mediante funciones generadoras de cumulantes :

${\displaystyle K_{Y}(t)=\ln \operatorname {E} [e^{tY}]=\ln \operatorname {E} [\operatorname {E} [e^{tY}\mid N]]=\ln \operatorname {E} [e^{NK_{X}(t)}]=K_{N}(K_{X}(t)).\,}$

Mediante la ley de la cumulancia total se puede demostrar que, si la media de la distribución de Poisson λ  =  1, los cumulantes de Y son los mismos que los momentos de X ₁ .

Toda distribución de probabilidad infinitamente divisible es un límite de distribuciones de Poisson compuestas. ^{[ 1 ]} Y las distribuciones de Poisson compuestas son infinitamente divisibles por definición.

Cuando${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$son variables aleatorias i.i.d. de valor entero positivo con${\displaystyle P(X_{1}=k)=\alpha _{k},\ (k=1,2,\ldots )}$, entonces esta distribución de Poisson compuesta se denomina distribución de Poisson compuesta discreta ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} (o distribución de Poisson tartamudeante ^{[ 5 ]} ). Decimos que la variable aleatoria discreta${\displaystyle Y}$Caracterización satisfactoria de la función generadora de probabilidad

${\displaystyle P_{Y}(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)}$

tiene una distribución de Poisson compuesta discreta (DCP) con parámetros${\displaystyle (\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }}$(dónde${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}=1}$, con${\textstyle \alpha _{i}\geq 0,\lambda >0}$), que se denota por

${\displaystyle X\sim {\text{DCP}}(\lambda {\alpha _{1}},\lambda {\alpha _{2}},\ldots )}$

Además, si${\displaystyle X\sim {\operatorname {DCP} }(\lambda {\alpha _{1}},\ldots ,\lambda {\alpha _{r}})}$, decimos${\displaystyle X}$tiene una distribución de Poisson compuesta discreta de orden${\displaystyle r}$. Cuando ${\displaystyle r=1,2}$, DCP se convierte en distribución de Poisson y distribución de Hermite , respectivamente. Cuando ${\displaystyle r=3,4}$La DCP se convierte en una distribución de Poisson con tartamudeo triple y una distribución de Poisson con tartamudeo cuádruple, respectivamente. ^{[ 6 ]} Otros casos especiales incluyen: distribución geométrica desplazada , distribución binomial negativa , distribución de Poisson geométrica , distribución de Neyman tipo A , distribución de Luria-Delbrück en el experimento de Luria-Delbrück . Para más casos especiales de DCP, consulte el artículo de revisión ^{[ 7 ]} y las referencias allí citadas.

La caracterización de Feller de la distribución de Poisson compuesta establece que una variable aleatoria con valor entero no negativo...${\displaystyle X}$es infinitamente divisible si y solo si su distribución es una distribución de Poisson compuesta discreta. ^{[ 8 ]} La distribución binomial negativa es discreta infinitamente divisible , es decir, si X tiene una distribución binomial negativa, entonces para cualquier entero positivo n , existen variables aleatorias i.i.d. discretas X ₁ ,  ..., X _n cuya suma tiene la misma distribución que X. La distribución geométrica desplazada es una distribución de Poisson compuesta discreta ya que es un caso trivial de distribución binomial negativa . 

Esta distribución puede modelar llegadas por lotes (como en una cola masiva ^{[ 5 ] [ 9 ]} ). La distribución de Poisson compuesta discreta también se utiliza ampliamente en ciencias actuariales para modelar la distribución del monto total de la reclamación. ^{[ 3 ]}

Cuando algunos${\displaystyle \alpha _{k}}$son negativos, es la distribución de Poisson pseudocompuesta discreta. ^{[ 3 ]} Definimos que cualquier variable aleatoria discreta${\displaystyle Y}$Caracterización satisfactoria de la función generadora de probabilidad

${\displaystyle G_{Y}(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)}$

tiene una distribución de Poisson pseudocompuesta discreta con parámetros${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )=:(\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }}$dónde${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }{\alpha _{i}}=1}$y${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }{\left|{\alpha _{i}}\right|}<\infty }$, con${\displaystyle {\alpha _{i}}\in \mathbb {R} ,\lambda >0}$.

Si X tiene una distribución gamma , de la cual la distribución exponencial es un caso especial, entonces la distribución condicional de Y  | N es nuevamente una distribución gamma. La distribución marginal de Y es una distribución de Tweedie con potencia de varianza 1 < p < 2 (prueba mediante comparación de la función característica ). ^{[ 10 ]} Para ser más explícito, si     

${\displaystyle N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),}$

y

${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {\Gamma } (\alpha ,\beta )}$

iid, entonces la distribución de

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

es un modelo de dispersión exponencial reproductiva${\displaystyle ED(\mu ,\sigma ^{2})}$con

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha }{\beta }}=:\mu ,\\[4pt]\operatorname {Var} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha (1+\alpha )}{\beta ^{2}}}=:\sigma ^{2}\mu ^{p}.\end{aligned}}}$

El mapeo de parámetros Parámetro de Tweedie${\displaystyle \mu ,\sigma ^{2},p}$a los parámetros de Poisson y Gamma${\displaystyle \lambda ,\alpha ,\beta }$es lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &={\frac {\mu ^{2-p}}{(2-p)\sigma ^{2}}},\\[4pt]\alpha &={\frac {2-p}{p-1}},\\[4pt]\beta &={\frac {\mu ^{1-p}}{(p-1)\sigma ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Un proceso de Poisson compuesto con tasa${\displaystyle \lambda >0}$y la distribución del tamaño de los saltos G es un proceso estocástico de tiempo continuo.${\displaystyle \{\,Y(t):t\geq 0\,\}}$dado por

${\displaystyle Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}D_{i},}$

donde la suma es por convención igual a cero siempre que N ( t )  =  0. Aquí,${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}}$es un proceso de Poisson con tasa${\displaystyle \lambda }$, y${\displaystyle \{\,D_{i}:i\geq 1\,\}}$son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con función de distribución G , que también son independientes de${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}.\,}$^{[ 11 ]}

Para la versión discreta del proceso de Poisson compuesto, se puede utilizar en el análisis de supervivencia para los modelos de fragilidad. ^{[ 12 ]}

Revfeim utilizó una distribución de Poisson compuesta, en la que los sumandos tienen una distribución exponencial , para modelar la distribución de la precipitación total en un día, donde cada día contiene un número de eventos distribuidos según Poisson, cada uno de los cuales proporciona una cantidad de precipitación que tiene una distribución exponencial. ^{[ 13 ]} Thompson aplicó el mismo modelo a las precipitaciones totales mensuales. ^{[ 14 ]}

Se han dado aplicaciones a reclamaciones de seguros ^{[ 15 ] [ 16 ]} y a tomografía computarizada de rayos X. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}