Geometría sintética

La geometría sintética (a veces denominada geometría axiomática o incluso geometría pura ) es la geometría que no utiliza coordenadas . Se basa en el método axiomático para demostrar todos los resultados a partir de unas pocas propiedades básicas, inicialmente llamadas postulados y actualmente axiomas .

Tras la introducción en el siglo XVII por René Descartes del método de coordenadas, que se denominó geometría analítica , se acuñó el término "geometría sintética" para referirse a los métodos más antiguos que, antes de Descartes, eran los únicos conocidos.

Según Felix Klein ,

La geometría sintética es aquella que estudia las figuras como tales, sin recurrir a fórmulas, mientras que la geometría analítica utiliza sistemáticamente fórmulas que pueden escribirse tras la adopción de un sistema de coordenadas adecuado.

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El primer enfoque sistemático de la geometría sintética son los Elementos de Euclides . Sin embargo, a finales del siglo XIX se hizo evidente que los postulados euclidianos no eran suficientes para caracterizar la geometría. El primer sistema axiomático completo para la geometría fue presentado recién a finales del siglo XIX por David Hilbert . Al mismo tiempo, se demostró que tanto los métodos sintéticos como los analíticos podían utilizarse para construir geometría. La equivalencia de ambos enfoques fue demostrada por Emil Artin en su libro Álgebra Geométrica .

Debido a esta equivalencia, la distinción entre geometría sintética y analítica ya no se utiliza, excepto a nivel elemental o para geometrías que no están relacionadas con ningún tipo de números, como algunas geometrías finitas y la geometría no desarguesiana .

El proceso de síntesis lógica comienza con un punto de partida arbitrario pero definido. Este punto de partida es la introducción de nociones primitivas o primitivos y axiomas sobre estos primitivos:

• Los conceptos primitivos son las ideas más básicas. Generalmente incluyen tanto objetos como relaciones. En geometría, los objetos son cosas como puntos , líneas y planos , mientras que una relación fundamental es la de incidencia : la de un objeto que se encuentra o se une con otro. Los términos en sí mismos no están definidos. Hilbert comentó en una ocasión que, en lugar de puntos, líneas y planos, bien se podría hablar de mesas, sillas y jarras de cerveza, ^{[ 2 ]} lo que significa que los términos primitivos son simplemente marcadores de posición vacíos y carecen de propiedades intrínsecas.
• Los axiomas son enunciados sobre estas primitivas; por ejemplo, dos puntos cualesquiera son incidentes entre sí por una sola recta (es decir, para dos puntos cualesquiera, existe una única recta que pasa por ambos). Los axiomas se consideran verdaderos, no se demuestran. Son los pilares de los conceptos geométricos, ya que especifican las propiedades de las primitivas.

A partir de un conjunto dado de axiomas, la síntesis se desarrolla como un argumento lógico cuidadosamente construido. Cuando se demuestra rigurosamente un resultado significativo, este se convierte en un teorema .

El tratamiento original de Euclides permaneció indiscutido durante más de dos mil años, hasta que los descubrimientos simultáneos de las geometrías no euclidianas por Gauss , Bolyai , Lobachevsky y Riemann en el siglo XIX llevaron a los matemáticos a cuestionar los supuestos subyacentes de Euclides. ^{[ 3 ]}

El analista francés Sylvestre François Lacroix (1816) resumió la geometría sintética de esta manera:

Los Elementos de Euclides se tratan mediante el método sintético. Este autor, tras haber planteado los axiomas y formulado los requisitos, estableció las proposiciones que demuestra sucesivamente, apoyándose en lo anterior, procediendo siempre de lo simple a lo compuesto , que es el carácter esencial de la síntesis. ^{[ 4 ]}

Se considera que el apogeo de la geometría sintética fue el siglo XIX, cuando algunos geómetras, como Jakob Steiner , ignoraron los métodos analíticos basados ​​en coordenadas y cálculo , en favor de un desarrollo puramente sintético de la geometría proyectiva . Por ejemplo, el tratamiento del plano proyectivo a partir de axiomas de incidencia constituye una teoría más amplia (con más modelos ) que la que se obtiene partiendo de un espacio vectorial tridimensional . De hecho, la geometría proyectiva posee la expresión sintética más simple y elegante de todas las geometrías. ^{[ 5 ]}

En su programa de Erlangen , Felix Klein restó importancia a la tensión entre los métodos sintéticos y analíticos:

La distinción entre la síntesis moderna y la geometría analítica moderna ya no debe considerarse esencial, puesto que tanto el objeto de estudio como los métodos de razonamiento han adoptado gradualmente una forma similar en ambas. Por lo tanto, en este texto elegimos como designación común para ambas el término geometría proyectiva. Si bien el método sintético se relaciona más con la percepción espacial y, por consiguiente, confiere un encanto singular a sus primeros desarrollos sencillos, el ámbito de la percepción espacial no está, no obstante, cerrado al método analítico, y las fórmulas de la geometría analítica pueden considerarse una declaración precisa y clara de las relaciones geométricas. Por otro lado, no debe subestimarse la ventaja que un análisis bien formulado aporta a la investigación original, una ventaja que se debe a que, por así decirlo, se adelanta al pensamiento. Sin embargo, siempre debe insistirse en que un tema matemático no debe considerarse agotado hasta que se haya vuelto intuitivamente evidente, y el progreso logrado con la ayuda del análisis es solo un primer paso, aunque muy importante. ^{[ 6 ]}

El estudio axiomático detallado de la geometría euclidiana condujo a la construcción del cuadrilátero de Lambert y del cuadrilátero de Saccheri . Estas estructuras introdujeron el campo de la geometría no euclidiana, donde se niega el axioma de paralelismo de Euclides. Gauss , Bolyai y Lobachevski construyeron independientemente la geometría hiperbólica , donde las líneas paralelas tienen un ángulo de paralelismo que depende de su separación. Este estudio se hizo ampliamente accesible a través del modelo del disco de Poincaré, donde los movimientos se describen mediante transformaciones de Möbius . De manera similar, Riemann , discípulo de Gauss, construyó la geometría riemanniana , de la cual la geometría elíptica es un caso particular.

Otro ejemplo se refiere a la geometría inversiva propuesta por Ludwig Immanuel Magnus , que puede considerarse sintética en esencia. La operación de reciprocidad, estrechamente relacionada , expresa el análisis del plano.

Karl von Staudt demostró que los axiomas algebraicos, como la conmutatividad y la asociatividad de la suma y la multiplicación, eran en realidad consecuencias de la incidencia de líneas en configuraciones geométricas . David Hilbert demostró ^{[ 7 ]} que la configuración de Desargues desempeñaba un papel especial. Ruth Moufang y sus estudiantes realizaron trabajos adicionales al respecto . Estos conceptos han sido uno de los motores de la geometría de incidencia .

Cuando se toman las líneas paralelas como referencia principal, la síntesis produce geometría afín . Si bien la geometría euclidiana es tanto una geometría afín como métrica , en general los espacios afines pueden carecer de métrica. La flexibilidad adicional que esto proporciona hace que la geometría afín sea apropiada para el estudio del espaciotiempo , como se analiza en la historia de la geometría afín .

En 1955, Herbert Busemann y Paul J. Kelley hicieron sonar una nota nostálgica a favor de la geometría sintética:

Aunque a regañadientes, los geómetras deben admitir que la belleza de la geometría sintética ha perdido su atractivo para la nueva generación. Las razones son claras: no hace mucho, la geometría sintética era el único campo en el que el razonamiento se basaba estrictamente en axiomas, mientras que este atractivo —tan fundamental para muchos interesados ​​en las matemáticas— ahora se encuentra en muchos otros campos. ^{[ 5 ]}

Por ejemplo, los estudios universitarios ahora incluyen álgebra lineal , topología y teoría de grafos, donde la materia se desarrolla a partir de principios fundamentales y las proposiciones se deducen mediante demostraciones elementales . Pretender reemplazar la geometría sintética por la analítica conlleva una pérdida de contenido geométrico. ^{[ 8 ]}

El estudiante de geometría de hoy en día dispone de otros axiomas además de los de Euclides.

Ernst Kötter publicó en 1901 un informe en alemán sobre El desarrollo de la geometría sintética desde Monge hasta Staudt (1847) . ^{[ 9 ]}

Las demostraciones sintéticas de teoremas geométricos utilizan construcciones auxiliares (como líneas de ayuda ) y conceptos como la igualdad de lados o ángulos, y la semejanza y congruencia de triángulos. Algunos ejemplos son el teorema de la mariposa , el teorema de la bisectriz del ángulo , el teorema de Apolonio , el teorema de la bandera británica , el teorema de Ceva , el teorema de los círculos inscritos iguales , el teorema de la media geométrica , la fórmula de Herón , el teorema del triángulo isósceles y la ley de los cosenos .

En conjunción con la geometría computacional , se ha fundado una geometría sintética computacional , estrechamente relacionada, por ejemplo, con la teoría de matroides . La geometría diferencial sintética es una aplicación de la teoría de topos a los fundamentos de la teoría de variedades diferenciables .

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• Greenberg, Marvin Jay (1974), Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia , San Francisco: WH Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
• Klein, Felix (1948), Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado/Geometría , Nueva York: Dover
• Mlodinow, Leonard (2001), La ventana de Euclides/La historia de la geometría desde las líneas paralelas hasta el hiperespacio , Nueva York: The Free Press, ISBN 0-684-86523-8

• Boyer, Carl B. (2004) [1956]. Historia de la geometría analítica . Dover Publications. ISBN 978-0-486-43832-0.
• Halsted, GB (1896). Geometría sintética elemental , vía Internet Archive .
• Halsted, George Bruce (1906). Geometría proyectiva sintética , vía Internet Archive.
• Hilbert y Cohn-Vossen. Geometría y la imaginación .