Déficit previsto

El déficit esperado ( ES ) es una medida de riesgo , un concepto utilizado en el campo de la medición del riesgo financiero para evaluar el riesgo de mercado o el riesgo crediticio de una cartera. El "déficit esperado al nivel q%" es el rendimiento esperado de la cartera en el peor escenario. $q\%$ de casos. ES es una alternativa al valor en riesgo que es más sensible a la forma de la cola de la distribución de pérdidas.

El déficit esperado también se denomina valor condicional en riesgo ( CVaR ), valor promedio en riesgo ( AVaR ), valor de cola en riesgo ( TVaR ), expectativa de cola condicional ( CTE ), pérdida de cola esperada ( ETL ) y supercuantil . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Estos nombres se utilizan a menudo indistintamente, aunque existen varias definiciones en la literatura. Estas definiciones coinciden en muchos casos, pero pueden diferir para ciertos tipos de distribuciones de pérdida. ^{[ 3 ]}

Fondo

Las medidas de riesgo se utilizan tanto en finanzas matemáticas como en ciencias actuariales , y las medidas de valor en riesgo y déficit esperado suelen expresarse con diferentes convenciones de signos y de cola en estas disciplinas. El análisis que sigue adopta la perspectiva de las finanzas matemáticas.

En finanzas matemáticas, las medidas de riesgo surgen al considerar la distribución de ganancias/pérdidas, es decir, el rendimiento, de una cartera financiera, modelada como una variable aleatoria. $X$ . Esto puede tomar valores positivos o negativos, y el riesgo a la baja corresponde a los cuantiles con $\alpha$ cercano a 0. Un umbral de riesgo $\alpha \in [0,1]$ se selecciona y $\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)$ se define como el valor absoluto de la $\alpha$ cuantil de $X$ (ignorando algunos tecnicismos). Esto también es el $1-\alpha$ cuantil de $-X$ . El déficit previsto a nivel $\alpha$ entonces se define como el valor promedio de $\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)$ para $\gamma$ en el intervalo $[0,\alpha ]$ , es decir, es el VaR promedio en todos los niveles inferiores $\alpha$ .

El déficit esperado a menudo se considera preferible al VaR porque tiene en cuenta la gravedad del fallo, no solo la probabilidad de fallo. Además, es una medida espectral coherente del riesgo de la cartera financiera, mientras que el VaR no lo es. Se trata de un conjunto de propiedades matemáticas, una de las cuales garantiza que la diversificación de una cartera nunca conduzca a una mayor medida de riesgo. Al considerar el valor producido por una medida de riesgo como un requisito de reserva de capital, el ES en el nivel $\alpha$ siempre es más conservador que VaR al mismo nivel, es decir, ES siempre es al menos tan grande como VaR al mismo nivel.

Definición formal

Si $X$ es una variable aleatoria integrable que representa el rendimiento de una cartera en algún momento futuro y $0<\alpha \leq 1$ entonces el déficit esperado de $X$ en el nivel $\alpha$ es

\operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma

dónde $\operatorname {VaR} _ {\gamma }$ es el valor en riesgo .

En la literatura aparecen otras definiciones bajo los nombres ES, TVaR, AVaR, CTE y CVaR. La formulación anterior, como integral de los valores de VaR, es coherente y está bien definida en el caso general. Otras definiciones suelen coincidir bajo supuestos comunes, como la continuidad de la distribución de pérdidas, pero pueden diferir para distribuciones con átomos.

La definición anterior es equivalente a

\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\left(\operatorname {E} [X\ 1_{\{X\leq x_{\alpha }\}}]+x_{\alpha }(\alpha -P[X\leq x_{\alpha }])\right)

dónde $x_{\alpha }=\inf\{x\in \mathbb {R} :P(X\leq x)\geq \alpha \}=-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)$ es el menor $\alpha$ - cuantil y $1_{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{si }}x\in A\\0&{\text{en otro caso}}\end{cases}}$ es la función indicadora . ^{[ 3 ]}

Algunos autores definen el déficit esperado, la expectativa condicional de cola o cantidades relacionadas directamente como una expectativa condicional más allá del cuantil relevante, ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

$\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-E[X|X<x_{\alpha }]$

Esta formulación concuerda con la definición general anterior cuando la distribución es continua en $x_{\alpha }$ , pero puede diferir para distribuciones que tengan átomos en el cuantil. De hecho, el segundo término de la fórmula que precede a este se anula para variables aleatorias con funciones de distribución continuas, y de ahí se deduce esta fórmula de esperanza condicional.

Algunas variaciones en las definiciones surgen de las diferentes convenciones utilizadas entre, por ejemplo, las matemáticas financieras y la ciencia actuarial, donde lo escrito con un conjunto de convenciones puede traducirse a un contexto con otras diferentes. Pero existe una inconsistencia adicional, con algunos casos en los que se utilizan definiciones sustancialmente diferentes para el mismo término. Por ejemplo, Sweeting define TVaR como la expectativa condicional de cola, mientras que define el déficit esperado como la versión escalada. $\alpha \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)$ . ^{[ 8 ]}

En la literatura existen varias formulaciones relacionadas, pero sutilmente diferentes, para TVaR. Un caso común en la literatura es definir TVaR y el valor promedio en riesgo como la misma medida. ^{[ 9 ]} Bajo algunas formulaciones, solo es equivalente al déficit esperado cuando la función de distribución subyacente es continua en $\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)$ , el valor en riesgo de nivel $\alpha$ .

La representación dual es

\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=\inf _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }}E^{Q}[X]

dónde ${\mathcal {Q}}_{\alpha }$ es el conjunto de medidas de probabilidad que son absolutamente continuas a la medida física. $P$ de tal manera que ${\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha ^{-1}$ casi con seguridad . ^{[ 10 ]} Nótese que ${\frac {dQ}{dP}}$ es el derivado de Radon-Nikodym de $Q$ con respecto a $P$ .

El déficit esperado puede generalizarse a una clase general de medidas de riesgo coherentes en $L^{p}$ espacios ( espacio Lp ) con una caracterización dual correspondiente en el espacio correspondiente $L^{q}$ espacio dual . El dominio puede extenderse para corazones de Orlicz más generales. ^{[ 11 ]}

Si la distribución subyacente para $X$ es una distribución continua entonces el déficit esperado es equivalente a la esperanza condicional de la cola definida por $\operatorname {TCE} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]$ . ^{[ 12 ]}

De manera informal y no rigurosa, esta ecuación equivale a decir: "en caso de pérdidas tan graves que ocurren solo en un alfa por ciento de las ocasiones, ¿cuál es nuestra pérdida promedio?".

El déficit esperado también puede escribirse como una medida de riesgo de distorsión dada por la función de distorsión.

g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{si }}0\leq x<1-\alpha ,\\1&{\text{si }}1-\alpha \leq x\leq 1.\end{cases}}\quad

^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

Ejemplos

Ejemplo 1. Si creemos que nuestra pérdida promedio en el 5% peor de los resultados posibles para nuestra cartera es de 1000 EUR, entonces podríamos decir que nuestro déficit esperado es de 1000 EUR para el 5% restante.

Ejemplo 2. Considere una cartera que tendrá los siguientes valores posibles al final del período:

Ahora supongamos que pagamos 100 al comienzo del período por esta cartera. Entonces, la ganancia en cada caso es ( valor final −100) o:

A partir de esta tabla, calculemos el déficit previsto. $\operatorname {ES} _{q}$ para algunos valores de $q$ :

Para ver cómo se calcularon estos valores, considere el cálculo de $\operatorname {ES} _{0.05}$ , la expectativa en el 5% de los peores casos. Estos casos pertenecen a (son un subconjunto de) la fila 1 en la tabla de ganancias, que tiene una ganancia de −100 (pérdida total de los 100 invertidos). La ganancia esperada para estos casos es −100.

Ahora consideremos el cálculo de $\operatorname {ES} _{0.20}$ , la expectativa en los 20 peores casos de 100. Estos casos son los siguientes: 10 casos de la fila uno y 10 casos de la fila dos (nótese que 10+10 es igual a los 20 casos deseados). Para la fila 1 hay una ganancia de −100, mientras que para la fila 2 una ganancia de −20. Usando la fórmula del valor esperado obtenemos

{\frac {{\frac {10}{100}}(-100)+{\frac {10}{100}}(-20)}{\frac {20}{100}}}=-60.

De manera similar para cualquier valor de $q$ Seleccionamos tantas filas comenzando desde arriba como sean necesarias para dar una probabilidad acumulada de $q$ y luego calcular una esperanza sobre esos casos. En general, la última fila seleccionada puede no utilizarse completamente (por ejemplo, al calcular $-\operatorname {ES} _{0.20}$ Utilizamos solo 10 de los 30 casos por cada 100 proporcionados por la fila 2).

Como ejemplo final, calcule $-\operatorname {ES} _{1}$ . Esta es la expectativa en todos los casos, o

0.1(-100)+0.3(-20)+0.4\cdot 0+0.2\cdot 50=-6.\,

El valor en riesgo (VaR) se muestra a continuación para fines comparativos.

Propiedades

El déficit previsto $\operatorname {ES} _{q}$ aumenta a medida que $q$ disminuye.

El déficit esperado del cuartil del 100% $\operatorname {ES} _{1}$ es igual al negativo del valor esperado de la cartera.

Para una cartera determinada, el déficit esperado $\operatorname {ES} _{q}$ es mayor o igual que el Valor en Riesgo $\operatorname {VaR} _{q}$ al mismo tiempo $q$ nivel.

Optimización del déficit previsto

Se sabe que el déficit esperado, en su forma estándar, conduce a un problema de optimización generalmente no convexo . Sin embargo, es posible transformar el problema en un programa lineal y encontrar la solución global. ^{[ 15 ]} Esta propiedad convierte al déficit esperado en una piedra angular de las alternativas a la optimización de cartera media-varianza , que tienen en cuenta los momentos de orden superior (por ejemplo, asimetría y curtosis ) de una distribución de rendimientos.

Supongamos que queremos minimizar el déficit esperado de una cartera. La contribución clave de Rockafellar y Uryasev en su artículo de 2000 es introducir la función auxiliar. $F_{\alpha }(w,\gamma )$ para el déficit previsto: $F_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {1-\alpha }}\int _{\ell (w,x)\geq \gamma }\left[\ell (w,x)-\gamma \right]_{+}p(x)\,dx$ Dónde $\gamma =\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)$ y $\ell (w,x)$ es una función de pérdida para un conjunto de ponderaciones de cartera $w\in \mathbb {R} ^{p}$ que se aplicará a los rendimientos. Rockafellar/Uryasev demostraron que $F_{\alpha }(w,\gamma )$ es convexa con respecto a $\gamma$ y es equivalente al déficit esperado en el punto mínimo. Para calcular numéricamente el déficit esperado para un conjunto de rendimientos de cartera, es necesario generar $J$ simulaciones de los componentes de la cartera; esto se suele hacer utilizando cópulas . Con estas simulaciones, la función auxiliar puede aproximarse mediante: ${\widetilde {F}}_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}[\ell (w,x_{j})-\gamma ]_{+}$ Esto es equivalente a la siguiente formulación: $\min _{\gamma ,z,w}\;\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}z_{j},\quad {\text{s.t. }}z_{j}\geq \ell (w,x_{j})-\gamma ,\;z_{j}\geq 0$ Finalmente, elegir una función de pérdida lineal. $\ell (w,x_{j})=-w^{T}x_{j}$ Convierte el problema de optimización en un programa lineal. Utilizando métodos estándar, resulta sencillo encontrar la cartera que minimiza el déficit esperado.

Fórmulas para distribuciones de probabilidad continuas

Existen fórmulas analíticas para calcular el déficit esperado cuando el rendimiento de una cartera $X$ o una pérdida correspondiente $L=-X$ sigue una distribución continua específica. En el primer caso, el déficit esperado corresponde al número opuesto de la esperanza condicional de la cola izquierda que se muestra a continuación. $-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)$ :

\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma =-{\frac {1}{\alpha }}\int _{-\infty }^{-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}xf(x)\,dx.

Valores típicos de ${\textstyle \alpha }$ En este caso son el 5% y el 1%.

Para aplicaciones de ingeniería o actuariales, es más común considerar la distribución de pérdidas. $L=-X$ , el déficit esperado en este caso corresponde a la expectativa condicional de la cola derecha anterior $\operatorname {VaR} _{\alpha }(L)$ y los valores típicos de $\alpha$ son 95% y 99%:

\operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\operatorname {E} [L\mid L\geq \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)]={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}\operatorname {VaR} _{\gamma }(L)\,d\gamma ={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}^{+\infty }yf(y)\,dy.

Dado que algunas de las fórmulas que aparecen a continuación se derivaron para el caso de la cola izquierda y otras para el caso de la cola derecha, las siguientes conciliaciones pueden resultar útiles:

\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\operatorname {E} [X]+{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L){\text{ and }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {E} [L]+{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(X).

Distribución normal

Si el rendimiento de una cartera $X$ sigue la distribución normal (gaussiana) con pdf $f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ entonces el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}$ , dónde $\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$ es el PDF normal estándar, $\Phi (x)$ es la función de distribución acumulada normal estándar, por lo tanto $\Phi ^{-1}(\alpha )$ es el cuantil normal estándar. ^{[ 16 ]}

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue la distribución normal, el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}$ . ^{[ 17 ]}

Distribución t de Student generalizada

Si el rendimiento de una cartera $X$ sigue la distribución t de Student generalizada con pdf $f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}$ entonces el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}$ , dónde $\tau (x)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu +1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu }{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi \nu }}}}{\Bigl (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\Bigr )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}$ es la función de densidad de probabilidad de la distribución t estándar, $\mathrm {T} (x)$ es la función de distribución acumulada estándar de la distribución t, por lo que $\mathrm {T} ^{-1}(\alpha )$ es el cuantil estándar de la distribución t. ^{[ 16 ]}

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue la distribución t de Student generalizada, el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}$ . ^{[ 17 ]}

Distribución de Laplace

Si el rendimiento de una cartera $X$ sigue la distribución de Laplace con la pdf

f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-|x-\mu |/b}

y la función de distribución acumulada (cdf)

F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-(x-\mu )/b}&{\text{if }}x\geq \mu ,\\[4pt]{\frac {1}{2}}e^{(x-\mu )/b}&{\text{if }}x<\mu .\end{cases}}

entonces el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +b(1-\ln 2\alpha )$ para $\alpha \leq 0.5$ . ^{[ 16 ]}

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue la distribución de Laplace, el déficit esperado es igual a ^{[ 17 ]}

\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha )&{\text{if }}\alpha <0.5,\\[4pt]\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha ))]&{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{cases}}

Distribución logística

Si el rendimiento de una cartera $X$ sigue la distribución logística con pdf $f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}$ y la función de distribución acumulada (cdf) $F(x)=\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-1}$ entonces el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +s\ln {\frac {(1-\alpha )^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}{\alpha }}$ . ^{[ 16 ]}

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue la distribución logística , el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +s{\frac {-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha )}{1-\alpha }}$ . ^{[ 17 ]}

Distribución exponencial

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue la distribución exponencial con pdf $f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$ y la función de distribución acumulada (cdf) $F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$ entonces el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}$ . ^{[ 17 ]}

distribución de Pareto

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue la distribución de Pareto con pdf $f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}$ y la función de distribución acumulada (cdf) $F(x)={\begin{cases}1-(x_{m}/x)^{a}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}$ entonces el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {x_{m}a}{(1-\alpha )^{1/a}(a-1)}}$ . ^{[ 17 ]}

Distribución de Pareto generalizada (GPD)

Si la pérdida de una cartera $L$ Sigue el GPD con pdf

f(x)={\frac {1}{s}}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}

y la función de distribución acumulada (cdf)

F(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{-1/\xi }&{\text{if }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{s}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}

entonces el déficit esperado es igual a

\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s\left[{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +s\left[1-\ln(1-\alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0,\end{cases}}

y el VaR es igual a ^{[ 17 ]}

\operatorname {VaR} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu -s\ln(1-\alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}

Distribución de Weibull

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue la distribución de Weibull con pdf $f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$ y la función de distribución acumulada (cdf) $F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$ entonces el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {\lambda }{1-\alpha }}\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}},-\ln(1-\alpha )\right)$ , dónde $\Gamma (s,x)$ es la función gamma incompleta superior . ^{[ 17 ]}

Distribución generalizada de valores extremos (GEV)

Si el rendimiento de una cartera $X$ Sigue el GEV con pdf $f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}\exp \left[-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$ y cdf $F(x)={\begin{cases}\exp \left(-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right)&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\exp \left(-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$ entonces el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha \xi }}{\big [}\Gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-\alpha {\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha }}{\big [}{\text{li}}(\alpha )-\alpha \ln(-\ln \alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$ y el VaR es igual a $\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\xi }}\left[(-\ln \alpha )^{-\xi }-1\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu +\sigma \ln(-\ln \alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$ , dónde $\Gamma (s,x)$ es la función gamma incompleta superior , $\mathrm {li} (x)=\int {\frac {dx}{\ln x}}$ es la función integral logarítmica . ^{[ 18 ]}

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue el GEV , entonces el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{(1-\alpha )\xi }}{\bigl [}\gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-(1-\alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +{\frac {\sigma }{1-\alpha }}{\bigl [}y-{\text{li}}(\alpha )+\alpha \ln(-\ln \alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$ , dónde $\gamma (s,x)$ es la función gamma incompleta inferior , $y$ es la constante de Euler-Mascheroni . ^{[ 17 ]}

Distribución de la secante hiperbólica generalizada (GHS)

Si el rendimiento de una cartera $X$ Sigue la distribución GHS con pdf $f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$ y la función de distribución acumulada (cdf) $F(x)={\frac {2}{\pi }}\arctan \left[\exp \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]$ entonces el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu -{\frac {2\sigma }{\pi }}\ln \left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\frac {2\sigma }{\pi ^{2}\alpha }}i\left[\operatorname {Li} _{2}\left(-i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right]$ , dónde $\operatorname {Li} _{2}$ es el dilogaritmo y $i={\sqrt {-1}}$ es la unidad imaginaria . ^{[ 18 ]}

Distribución de SU de Johnson

Si el rendimiento de una cartera $X$ sigue la distribución SU de Johnson con la función de distribución acumulada $F(x)=\Phi \left[\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right]$ entonces el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\xi -{\frac {\lambda }{2\alpha }}\left[\exp \left({\frac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-{\frac {1}{\delta }}\right)-\exp \left({\frac {1+2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )+{\frac {1}{\delta }}\right)\right]$ , dónde $\Phi$ es la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar. ^{[ 19 ]}

Distribución del tipo XII de Burr

Si el rendimiento de una cartera $X$ sigue la distribución de Burr tipo XII el pdf $f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}$ y la función de distribución acumulada (cdf) $F(x)=1-\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k}$ , el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1/c}\left[\alpha -1+{_{2}F_{1}}\left({\frac {1}{c}},k;1+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)\right]$ , dónde $_{2}F_{1}$ es la función hipergeométrica . Alternativamente, $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{c+1}}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1+{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(1+{\frac {1}{c}},k+1;2+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)$ . ^{[ 18 ]}

Distribución de Dagum

Si el rendimiento de una cartera $X$ sigue la distribución de Dagum con pdf $f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{ck-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}$ y la función de distribución acumulada (cdf) $F(x)=\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{-c}\right]^{-k}$ , el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{ck+1}}\left(\alpha ^{-1/k}-1\right)^{-k-{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(k+1,k+{\frac {1}{c}};k+1+{\frac {1}{c}};-{\frac {1}{\alpha ^{-1/k}-1}}\right)$ , dónde $_{2}F_{1}$ es la función hipergeométrica . ^{[ 18 ]}

Distribución lognormal

Si el rendimiento de una cartera $X$ sigue una distribución lognormal , es decir, la variable aleatoria $\ln(1+X)$ sigue la distribución normal con pdf $f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ , entonces el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\frac {\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-\sigma \right)}{\alpha }}$ , dónde $\Phi (x)$ es la función de distribución acumulada normal estándar, por lo tanto $\Phi ^{-1}(\alpha )$ es el cuantil normal estándar. ^{[ 20 ]}

Distribución logístico-logística

Si el rendimiento de una cartera $X$ sigue una distribución log-logística , es decir, la variable aleatoria $\ln(1+X)$ sigue la distribución logística con pdf $f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}$ , entonces el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}}$ , dónde $I_{\alpha }$ es la función beta incompleta regularizada , $I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}$ .

Como la función beta incompleta se define solo para argumentos positivos, para un caso más genérico el déficit esperado se puede expresar con la función hipergeométrica : $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}}{s+1}}{_{2}F_{1}}(s,s+1;s+2;\alpha )$ . ^{[ 20 ]}

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue una distribución log-logística con pdf $f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}$ y cdf $F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}}$ , entonces el déficit esperado es igual a $\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {a}{1-\alpha }}\left[{\frac {\pi }{b}}\csc \left({\frac {\pi }{b}}\right)-\mathrm {B} _{\alpha }\left({\frac {1}{b}}+1,1-{\frac {1}{b}}\right)\right]$ , dónde $B_{\alpha }$ es la función beta incompleta . ^{[ 17 ]}

Distribución Log-Laplace

Si el rendimiento de una cartera $X$ sigue la distribución log-Laplace , es decir, la variable aleatoria $\ln(1+X)$ sigue la distribución de Laplace el pdf $f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}$ , entonces el déficit esperado es igual a

\operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}1-{\frac {e^{\mu }(2\alpha )^{b}}{b+1}}&{\text{if }}\alpha \leq 0.5,\\1-{\frac {e^{\mu }2^{-b}}{\alpha (b-1)}}\left[(1-\alpha )^{(1-b)}-1\right]&{\text{if }}\alpha >0.5.\end{cases}}

^{[ 20 ]}

Distribución de la secante hiperbólica generalizada logarítmica (log-GHS)

Si el rendimiento de una cartera $X$ sigue la distribución log-GHS, es decir, la variable aleatoria $\ln(1+X)$ Sigue la distribución GHS con pdf $f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$ , entonces el déficit esperado es igual a

\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}\left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}\right)^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}\left(1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{2}\right),

dónde $_{2}F_{1}$ es la función hipergeométrica . ^{[ 20 ]}

déficit esperado dinámico

La versión condicional del déficit esperado en el momento t se define por

\operatorname {ES} _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]

dónde ${\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q=P\,\vert _{{\mathcal {F}}_{t}}:{\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha _{t}^{-1}{\text{ a.s.}}\right\}$ . ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}

Esta no es una medida de riesgo consistente en el tiempo . La versión consistente en el tiempo viene dada por

\rho _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]

de tal manera que ^{[ 23 ]}

{\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q\ll P:\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau +1}\right]\leq \alpha _{t}^{-1}\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau }\right]\;\forall \tau \geq t{\text{ a.s.}}\right\}.

Véase también

Medida de riesgo coherente
EMP para programación estocástica : tecnología de solución para problemas de optimización que involucran ES y VaR.
Valor entrópico en riesgo
Valor en riesgo

Los métodos de estimación estadística de VaR y ES se pueden encontrar en Embrechts et al. ^{[ 24 ]} y Novak. ^{[ 25 ]} Al pronosticar VaR y ES, u optimizar carteras para minimizar el riesgo de cola, es importante tener en cuenta la dependencia asimétrica y las no normalidades en la distribución de los rendimientos de las acciones, tales como la autorregresión, la volatilidad asimétrica, la asimetría y la curtosis. ^{[ 26 ]}

Referencias

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Enlaces externos

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