Medida del riesgo de distorsión

En matemáticas y economía financiera , una medida de riesgo de distorsión es un tipo de medida de riesgo que está relacionada con la función de distribución acumulativa del rendimiento de una cartera financiera .

La función asociada a la función de distorsión es una medida de riesgo de distorsión si para cualquier variable aleatoria de ganancias (donde es el espacio L ^p ) entonces ${\displaystyle \rho _{g}:L^{p}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g:[0,1]\to [0,1]}$${\displaystyle X\en L^{p}}$$Estilo de visualización L^{p}}$

${\displaystyle \rho _{g}(X)=-\int _{0}^{1}F_{-X}^{-1}(p)d{\tilde {g}}(p)=\int _{-\infty }^{0}{\tilde {g}}(F_{-X}(x))dx-\int _{0}^{\infty }g(1-F_{-X}(x))dx}$

donde es la función de distribución acumulativa para y es la función de distorsión dual . ^[1]$Estilo de visualización F_{-X}}$${\estilo de visualización -X}$${\displaystyle {\tilde {g}}}$${\displaystyle {\tilde {g}}(u)=1-g(1-u)}$

Si casi con seguridad entonces se da por la integral de Choquet , es decir, ^{[1] [2]} Equivalentemente, ^[2] tal que es la medida de probabilidad generada por , es decir, para cualquier álgebra sigma entonces . ^[3]${\displaystyle X\leq 0}$ ${\displaystyle \rho_{g}}$${\displaystyle \rho_{g}(X)=-\int_{0}^{\infty}g(1-F_{-X}(x))dx.}$${\displaystyle \rho_{g}(X)=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q}}[-X]}$${\displaystyle \mathbb {Q}}$${\estilo de visualización g}$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (A)=g(\mathbb {P} (A))}$

Además de las propiedades de las medidas de riesgo general, las medidas de riesgo de distorsión también tienen:

1. Invariante de ley : Si la distribución de y son la misma entonces .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \rho _{g}(X)=\rho _{g}(Y)}$
2. Monótono con respecto al dominio estocástico de primer orden .
   1. Si es una función de distorsión cóncava , entonces es monótona con respecto al dominio estocástico de segundo orden.${\displaystyle g}$${\displaystyle \rho _{g}}$
3. ${\displaystyle g}$es una función de distorsión cóncava si y sólo si es una medida de riesgo coherente . ^{[1] [2]}${\displaystyle \rho _{g}}$

• El valor en riesgo es una medida de riesgo de distorsión con una función de distorsión asociada ^{[2] [3]}${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha \\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1\end{cases}}.}$
• El valor condicional en riesgo es una medida de riesgo de distorsión con una función de distorsión asociada ^{[2] [3]}${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha \\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1\end{cases}}.}$
• La expectativa negativa es una medida de riesgo de distorsión con una función de distorsión asociada . ^[1]${\displaystyle g(x)=x}$

• Medida de riesgo
• Medida de riesgo coherente
• Medida del riesgo de desviación
• Medida de riesgo espectral

• Wu, Xianyi; Xian Zhou (7 de abril de 2006). "Una nueva caracterización de las primas de distorsión mediante la aditividad contable para riesgos comonotónicos". Seguros: Matemáticas y Economía . 38 (2): 324–334. doi :10.1016/j.insmatheco.2005.09.002.