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Articulo de referencia

Reciprocidad de Artin

La ley de reciprocidad de Artin , establecida por Emil Artin en una serie de artículos (1924; 1927; 1930), es un teorema general en teoría de números que constituye una parte ce...

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La ley de reciprocidad de Artin , establecida por Emil Artin en una serie de artículos (1924; 1927; 1930), es un teorema general en teoría de números que constituye una parte central de la teoría global de cuerpos de clases . [ 1 ] El término " ley de reciprocidad " se refiere a una larga línea de enunciados más concretos de la teoría de números que generalizó, desde la ley de reciprocidad cuadrática y las leyes de reciprocidad de Eisenstein y Kummer hasta la fórmula del producto de Hilbert para el símbolo de norma . El resultado de Artin proporcionó una solución parcial al noveno problema de Hilbert .

Declaración

DejarL/K{\displaystyle L/K}ser una extensión de Galois de campos globales ,Galón(L/K){\displaystyle {\text{Gal}}(L/K)}ser grupo de Galois de esta extensión ydoK,doL{\displaystyle C_{K},C_{L}}denotan los grupos de clases idélicas de respectivamenteK{\displaystyle K}yL{\displaystyle L}. Dejar:

norteL/K:doL→doK{\displaystyle N_{L/K}:C_{L}\rightarrow C_{K}}

denota el mapa de norma idélica. La ley de reciprocidad de Artin establece que existe un isomorfismo canónico entre el grupo cociente y la abelianización del grupo de Galois: [ 2 ] [ 3 ]

θ:doK/norteL/K(doL)→Galón⁡(L/K)ab,{\displaystyle \theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/K)^{\text{ab}},}

que se define mediante el ensamblaje de los mapas locales:

θv:Kv×/norteLv/Kv(Lv×)→Galón(L/K)ab,{\displaystyle \theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\to {\text{Gal}}(L/K)^{\text{ab}},}

para diferentes lugaresv{\displaystyle v}deK{\displaystyle K}.

Observaciones

  • El mapaθ{\displaystyle \theta }se denomina mapa de símbolos globales o símbolo de Artin .
  • Para cada lugarv{\displaystyle v}el mapa localθv{\displaystyle \theta _{v}}se denomina símbolo de Artin local , mapa de reciprocidad local o símbolo de residuo de norma .
  • Los mapas localesθv{\displaystyle \theta _{v}}son isomorfismos en sí mismos, este es el contenido de la ley de reciprocidad local, resultado clave en la teoría de campos de clases locales .

Prueba

Una prueba cohomológica de la ley de reciprocidad global se puede lograr estableciendo primero que

(Galón⁡(Ksep/K),límite→⁡doL){\displaystyle (\operatorname {Gal} (K^{\text{sep}}/K),\varinjlim C_{L})}

constituye una formación de clase en el sentido de Artin y Tate. [ 4 ] Entonces se demuestra que

H^0(Galón⁡(L/K),doL)≃H^−2(Galón⁡(L/K),Z),{\displaystyle {\hat {H}}^{0}(\operatorname {Gal} (L/K),C_{L})\simeq {\hat {H}}^{-2}(\operatorname {Gal} (L/K),\mathbb {Z} ),}

dóndeH^i{\displaystyle {\sombrero {H}}^{i}}denotamos los grupos de cohomología de Tate . El cálculo de los grupos de cohomología establece queθ{\displaystyle \theta }es un isomorfismo.

Significado

La ley de reciprocidad de Artin implica una descripción de la abelianización del grupo de Galois absoluto de un cuerpo global K , basada en el principio local-global de Hasse y el uso de los elementos de Frobenius . Junto con el teorema de existencia de Takagi , se utiliza para describir las extensiones abelianas de K en términos de la aritmética de K y para comprender el comportamiento de los lugares no arquimedianos en ellas. Por lo tanto, la ley de reciprocidad de Artin puede interpretarse como uno de los teoremas principales de la teoría de cuerpos de clases globales. Puede utilizarse para demostrar que las funciones L de Artin son meromorfas y también para demostrar el teorema de densidad de Chebotarev . [ 5 ]

Dos años después de la publicación de su ley general de reciprocidad en 1927, Artin redescubrió el homomorfismo de transferencia de I. Schur y utilizó la ley de reciprocidad para traducir el problema de principalización para clases ideales de cuerpos numéricos algebraicos en la tarea de teoría de grupos de determinar los núcleos de transferencias de grupos finitos no abelianos. [ 6 ]

Extensiones finitas de campos globales

( Para obtener una explicación de algunos de los términos utilizados aquí, consulte math.stackexchange.com ).

La definición del mapa de Artin para una extensión abeliana finita L / K de campos globales (como una extensión abeliana finita deQ{\displaystyle \mathbb {Q} }) tiene una descripción concreta en términos de ideales primos y elementos de Frobenius .

Sipag{\displaystyle {\mathfrak {p}}}es un primo de K entonces los grupos de descomposición de primosPAG{\displaystyle {\mathfrak {P}}}arribapag{\displaystyle {\mathfrak {p}}}son iguales en Gal( L / K ) ya que este último grupo es abeliano . Sipag{\displaystyle {\mathfrak {p}}}no está ramificado en L , entonces el grupo de descomposiciónDpag{\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}es canónicamente isomorfo al grupo de Galois de la extensión de campos residualesOL,PAG/PAG{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L,{\mathfrak {P}}}/{\mathfrak {P}}}encimaOK,pag/pag{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}}Por lo tanto, existe un elemento de Frobenius definido canónicamente en Gal( L / K ) denotado porFrobpag{\displaystyle \mathrm {Frob} _ {\mathfrak {p}}}o(L/Kpag){\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)}. Si Δ denota el discriminante relativo de L / K , el símbolo de Artin (o mapa de Artin , o mapa de reciprocidad (global) ) de L / K se define en el grupo de ideales fraccionarios primos a Δ ,IKΔ{\displaystyle I_{K}^{\Delta }}, por linealidad:

{(L/K⋅):IKΔ⟶Galón⁡(L/K)∏i=1metropaginortei⟼∏i=1metro(L/Kpagi)nortei{\displaystyle {\begin{cases}\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right):I_{K}^{\Delta }\longrightarrow \operatorname {Gal} (L/K)\\\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}\longmapsto \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}\end{cases}}}

La ley de reciprocidad de Artin (o ley de reciprocidad global ) establece que existe un módulo c de K tal que el mapa de Artin induce un isomorfismo.

IKdo/i(Kdo,1)norteL/K(ILdo)⟶∼GRAMOal(L/K){\displaystyle I_{K}^{\mathbf {c} }/i(K_{\mathbf {c} ,1})\mathrm {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathbf {c} }){\overset {\sim }{\longrightarrow }}\mathrm {Gal} (L/K)}

donde K c ,1 es el rayo módulo c , N L / K es la aplicación de norma asociada a L / K yILdo{\displaystyle I_{L}^{\mathbf {c} }}son los ideales fraccionarios de L primo a c . Dicho módulo c se llama módulo definitorio para L / K. El módulo definitorio más pequeño se llama conductor de L / K y se denota típicamenteF(L/K).{\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K).}

Ejemplos

Campos cuadráticos

Sid≠1{\displaystyle d\neq 1}es un número entero libre de cuadrados ,K=Q,{\displaystyle K=\mathbb {Q} ,}yL=Q(d){\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}, entoncesGalón⁡(L/Q){\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}puede identificarse con {±1}. El discriminante Δ de L sobreQ{\displaystyle \mathbb {Q} }es d o 4d dependiendo de si d ≡ 1 (mod 4) o no. El mapa de Artin se define entonces sobre los primos p que no dividen a Δ por

pag↦(Δpag){\displaystyle p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}

dónde(Δpag){\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}es el símbolo de Kronecker . [ 7 ] Más específicamente, el conductor deL/Q{\displaystyle L/\mathbb {Q} }es el ideal principal (Δ) o (Δ)∞ según si Δ es positivo o negativo, [ 8 ] y el mapa de Artin en un ideal primo a Δ ( n ) viene dado por el símbolo de Kronecker(Δnorte).{\displaystyle \left({\frac {\Delta }{n}}\right).}Esto demuestra que un primo p se divide o es inerte en L según si(Δpag){\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}es 1 o − 1.

Campos ciclotómicos

Sea m > 1 un número entero impar o un múltiplo de 4, seaζmetro{\displaystyle \zeta _{m}}Sea una raíz m- ésima primitiva de la unidad , y seaL=Q(ζmetro){\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{m})}sea ​​el m -ésimo campo ciclotómico .Galón⁡(L/Q){\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}puede identificarse con(Z/metroZ)×{\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}enviando σ a un σ dado por la regla

σ(ζmetro)=ζmetroaσ.{\displaystyle \sigma (\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a_{\sigma }}.}

El director de orquesta deL/Q{\displaystyle L/\mathbb {Q} }es ( m )∞, [ 9 ] y el mapa de Artin en un ideal primo a m ( n ) es simplemente n (mod m ) en(Z/metroZ)×.{\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}[ 10 ]

Relación con la reciprocidad cuadrática

Sea p yℓ{\displaystyle \ell }sean primos impares distintos. Para mayor comodidad, dejemos queℓ∗=(−1)ℓ−12ℓ{\displaystyle \ell ^{*}=(-1)^{\frac {\ell -1}{2}}\ell }(que siempre es 1 (mod 4)). Entonces, la reciprocidad cuadrática establece que

(ℓ∗pag)=(pagℓ).{\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right).}

La relación entre las leyes de reciprocidad cuadrática y de Artin viene dada por el estudio del campo cuadrático.F=Q(ℓ∗){\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {\ell ^{*}}})}y el campo ciclotómicoL=Q(ζℓ){\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{\ell })}como sigue. [ 7 ] Primero, F es un subcampo de L , por lo que si H = Gal( L / F ) yGRAMO=Galón⁡(L/Q),{\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} ),}entoncesGalón⁡(F/Q)=GRAMO/H.{\displaystyle \operatorname {Gal} (F/\mathbb {Q} )=G/H.}Dado que este último tiene orden 2, el subgrupo H debe ser el grupo de cuadrados en(Z/ℓZ)×.{\displaystyle (\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )^{\times }.}Una propiedad básica del símbolo de Artin dice que para cada ideal primo a ℓ ( n )

(F/Q(norte))=(L/Q(norte))(modH).{\displaystyle \left({\frac {F/\mathbb {Q} }{(n)}}\right)=\left({\frac {L/\mathbb {Q} }{(n)}}\right){\pmod {H}}.}

Cuando n = p , esto demuestra que(ℓ∗pag)=1{\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=1}si y solo si, p módulo ℓ está en H , es decir, si y solo si, p es un cuadrado módulo ℓ.

Enunciado en términos de funciones L

Una versión alternativa de la ley de reciprocidad, que conduce al programa de Langlands , conecta las funciones L de Artin asociadas a extensiones abelianas de un cuerpo numérico con las funciones L de Hecke asociadas a caracteres del grupo de clases idèle. [ 11 ]

Un carácter de Hecke (o Größencharakter) de un cuerpo numérico K se define como un cuasicarácter del grupo de clases idèle de K. Robert Langlands interpretó los caracteres de Hecke como formas automorfas en el grupo algebraico reductivo GL (1) sobre el anillo de adeles de K. [ 12 ]

Dejarmi/K{\displaystyle E/K}Sea una extensión de Galois abeliana con grupo de Galois G. Entonces, para cualquier carácterσ:GRAMO→do×{\displaystyle \sigma :G\to \mathbb {C} ^{\times }}(es decir, representación compleja unidimensional del grupo G ), existe un carácter de Heckeχ{\displaystyle \chi }de K tal que

Lmi/KArtinorte(σ,s)=LKHmidokmi(χ,s){\displaystyle L_{E/K}^{\mathrm {Artin} }(\sigma ,s)=L_{K}^{\mathrm {Hecke} }(\chi ,s)}

donde el lado izquierdo es la función L de Artin asociada a la extensión con carácter σ y el lado derecho es la función L de Hecke asociada a χ, Sección 7.D de. [ 12 ]

La formulación de la ley de reciprocidad de Artin como una igualdad de funciones L permite formular una generalización a representaciones n -dimensionales, aunque todavía falta una correspondencia directa.

Véase también

Notas

  1. ↑ Helmut Hasse , Historia de la teoría de cuerpos de clases ,en Teoría algebraica de números , editado por Cassels y Frölich, Academic Press, 1967, págs. 266-279
  2. ↑ Neukirch (1999) pág. 391
  3. ↑ Jürgen Neukirch , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, p. 408. De hecho, una versión más precisa de la ley de reciprocidad lleva un registro de la ramificación.
  4. ↑ Serre (1979) pág. 164
  5. ↑ Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, Capítulo VII
  6. ^ Artin, Emil (diciembre de 1929), "Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 7 (1): 46– 51, doi : 10.1007/BF02941159.
  7. 1 2 Lemmermeyer 2000 , §3.2
  8. ↑ Milne 2008 , ejemplo 3.11
  9. ↑ Milne 2008 , ejemplo 3.10
  10. ↑ Milne 2008 , ejemplo 3.2
  11. ↑ James Milne, Teoría del campo de clases
  12. 1 2 Gelbart, Stephen S. (1975), Formas automórficas en grupos adèle , Annals of Mathematics Studies, vol. 83, Princeton, NJ: Princeton University Press, MR 0379375  .

Referencias

  • Emil Artin (1924) "Über eine neue Art von L-Reihen", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 3: 89–108; Artículos recopilados , Addison Wesley (1965), 105-124
  • Emil Artin (1927) "Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5: 353–363; Artículos recopilados , 131-141
  • Emil Artin (1930) "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 7: 46–51; Artículos recopilados , 159-164
  • Frei, Günther (2004), «Sobre la historia de la ley de reciprocidad de Artin en extensiones abelianas de cuerpos numéricos algebraicos: cómo Artin llegó a su ley de reciprocidad», en Olav Arnfinn Laudal; Ragni Piene (eds.), El legado de Niels Henrik Abel. Ponencias de la conferencia del bicentenario de Abel, Universidad de Oslo, Oslo, Noruega, 3-8 de junio de 2002 , Berlín: Springer-Verlag , pp. 267-294 , ISBN  978-3-540-43826-7, MR 2077576 , Zbl 1065.11001  
  • Janusz, Gerald (1973), Campos numéricos algebraicos , Matemáticas puras y aplicadas, vol.  55, Academic Press, ISBN 0-12-380250-4
  • Lang, Serge (1994), Teoría algebraica de números , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  110 (2.ª  ed.), Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94225-4, MR 1282723 
  • Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66957-9, MR 1761696 , Zbl 0949.11002  
  • Milne, James (2008), Teoría de campos de clases (  ed. v4.0) , consultado el 22 de febrero de 2010.
  • Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol.  322, Traducido del alemán por Norbert Schappacher , Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, Zbl 0956.11021 
  • Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  67, traducido por Greenberg, Marvin Jay , Nueva York, Heidelberg, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90424-7, Zbl 0423.12016 
  • Serre, Jean-Pierre (1967), "VI. Teoría de cuerpos de clases locales", en Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (eds.), Teoría algebraica de números. Actas de una conferencia didáctica organizada por la London Mathematical Society (un Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN) con el apoyo de la Unión Matemática Internacional , Londres: Academic Press, pp. 128–161 , Zbl 0153.07403  
  • Tate, John (1967), «VII. Teoría global de cuerpos de clases», en Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (eds.), Teoría algebraica de números. Actas de una conferencia didáctica organizada por la London Mathematical Society (un Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN) con el apoyo de la Unión Matemática Internacional , Londres: Academic Press, pp. 162–203 , Zbl 0153.07403