Teoría de campos conformes

El grupo conforme global de la esfera de Riemann es el grupo de transformaciones de Möbius .${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {C} )}$⁠ , que es de dimensión finita. Por otro lado, las transformaciones conformes infinitesimales forman el álgebra de Witt de dimensión infinita: las ecuaciones de Killing conformes en dos dimensiones,${\displaystyle \partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }=\partial \cdot \xi \eta _{\mu \nu },~}$reducir a las ecuaciones de Cauchy-Riemann ,${\displaystyle \partial _{\bar {z}}\xi (z)=0=\partial _{z}\xi ({\bar {z}})}$⁠ , la infinidad de modos de transformaciones de coordenadas analíticas arbitrarias${\displaystyle \xi (z)}$producir la infinitud de campos vectoriales de Killing${\displaystyle z^{n}\partial _ {z}}$.​

Estrictamente hablando, es posible que una teoría de campos conformes bidimensional sea local (en el sentido de poseer un tensor de energía-impulso) y aun así solo exhiba invariancia bajo la condición global .${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {C} )}$Esto resulta ser único para las teorías no unitarias; un ejemplo es el escalar biarmónico. ^{[ 6 ]} Esta propiedad debería considerarse incluso más especial que la escala sin invariancia conforme, ya que requiere${\displaystyle T_{\mu }{}^{\mu }}$ser una segunda derivada total.

La simetría conforme global en dos dimensiones es un caso particular de la simetría conforme en dimensiones superiores y se estudia con las mismas técnicas. Esto se aplica no solo a teorías con simetría conforme global pero no local, sino también a teorías con simetría conforme local, con el fin de probar técnicas o ideas de la teoría de campos conformes (CFT) en dimensiones superiores. En particular, las técnicas de remuestreo numérico (bootstrap) pueden probarse aplicándolas a modelos mínimos y comparando los resultados con los resultados analíticos conocidos derivados de la simetría conforme local.

En una teoría cuántica bidimensional conformemente invariante, el álgebra de Witt de transformaciones conformes infinitesimales debe extenderse centralmente . Por lo tanto, el álgebra de simetría cuántica es el álgebra de Virasoro , que depende de un número llamado carga central . Esta extensión central también puede entenderse en términos de una anomalía conforme .

Alexander Zamolodchikov demostró que existe una función que disminuye monótonamente bajo el flujo del grupo de renormalización de una teoría cuántica de campos bidimensional, y que es igual a la carga central de una teoría de campos conformes bidimensional. Esto se conoce como el teorema C de Zamolodchikov y nos indica que el flujo del grupo de renormalización en dos dimensiones es irreversible. ^{[ 7 ]}

Además de extenderse centralmente, el álgebra de simetría de una teoría cuántica conformemente invariante debe complejizarse, lo que da como resultado dos copias del álgebra de Virasoro. En la teoría de campos conformes euclidiana, estas copias se denominan holomorfa y antiholomorfa. En la teoría de campos conformes lorentziana, se denominan de movimiento hacia la izquierda y de movimiento hacia la derecha. Ambas copias tienen la misma carga central.

El espacio de estados de una teoría es una representación del producto de las dos álgebras de Virasoro. Este espacio es un espacio de Hilbert si la teoría es unitaria. Este espacio puede contener un estado de vacío o, en mecánica estadística, un estado térmico. A menos que la carga central se anule, no puede existir un estado que deje intacta toda la simetría conforme de dimensión infinita. Lo mejor que podemos tener es un estado que sea invariante bajo los generadores.${\displaystyle L_{n\geq -1}}$del álgebra de Virasoro, cuya base es${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$⁠ . Esto contiene los generadores${\ Displaystyle L_ {-1}, L_ {0}, L_ {1}}$de las transformaciones conformes globales. El resto del grupo conforme se rompe espontáneamente.

Para un espaciotiempo y una métrica dados, una transformación conforme es una transformación que preserva los ángulos. Nos centraremos en las transformaciones conformes del plano.${\displaystyle d}$espacio euclidiano de -dimensiones${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$o del espacio de Minkowski${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,d-1}}$.​

Si${\displaystyle x\to f(x)}$es una transformación conforme, el jacobiano${\displaystyle J_{\nu }^{\mu }(x)={\frac {\partial f^{\mu }(x)}{\partial x^{\nu }}}}$es de la forma

${\displaystyle J_{\nu }^{\mu }(x)=\Omega (x)R_{\nu }^{\mu }(x),}$

dónde${\displaystyle \Omega (x)}$es el factor de escala, y${\displaystyle R_{\nu }^{\mu }(x)}$es una rotación (es decir, una matriz ortogonal) o una transformación de Lorentz.

El grupo conforme del espacio euclidiano es localmente isomorfo a ⁠${\displaystyle \mathrm {SO} (1,d+1)}$⁠ , y del espacio de Minkowski es ⁠${\displaystyle \mathrm {SO} (2,d)}$Esto incluye traslaciones, rotaciones (euclidianas) o transformaciones de Lorentz (Minkowski) y dilataciones, es decir, transformaciones de escala.

${\displaystyle x^{\mu }\to \lambda x^{\mu }.}$

Esto también incluye transformaciones conformes especiales. Para cualquier traslación${\displaystyle T_{a}(x)=x+a}$⁠ , existe una transformación conforme especial

${\displaystyle S_{a}=I\circ T_{a}\circ I,}$

dónde${\displaystyle I}$es la inversión tal que

${\displaystyle I\left(x^{\mu }\right)={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}.}$

En la esfera${\displaystyle S^{d}=\mathbb {R} ^{d}\cup \{\infty \}}$⁠ , los intercambios de inversión${\displaystyle 0}$con​${\displaystyle \infty }$⁠ . Las traducciones salen${\displaystyle \infty }$fijo, mientras que las transformaciones conformes especiales dejan${\displaystyle 0}$fijado.

Las relaciones de conmutación del álgebra de Lie correspondiente son

${\displaystyle {\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0,\\[][D,K_{\mu }]&=-K_{\mu },\\[][D,P_{\mu }]&=P_{\mu },\\[][K_{\mu },K_{\nu }]&=0,\\[][K_{\mu },P_{\nu }]&=\eta _{\mu \nu }D-iM_{\mu \nu },\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle P}$generar traducciones ,${\displaystyle D}$genera dilataciones,${\displaystyle K_{\mu }}$generar transformaciones conformes especiales y${\displaystyle M_{\mu \nu }}$generar rotaciones o transformaciones de Lorentz. El tensor${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$es la métrica plana.

En el espacio de Minkowski, el grupo conforme no preserva la causalidad . Observables como las funciones de correlación son invariantes bajo el álgebra conforme, pero no bajo el grupo conforme. Como demostraron Lüscher y Mack, es posible restaurar la invariancia bajo el grupo conforme extendiendo el espacio plano de Minkowski a un cilindro lorentziano. ^{[ 8 ]} El espacio de Minkowski original es conformemente equivalente a una región del cilindro llamada parche de Poincaré. En el cilindro, las transformaciones conformes globales no violan la causalidad; en cambio, pueden mover puntos fuera del parche de Poincaré.

Cualquier transformación conforme${\displaystyle x\to f(x)}$actúa linealmente sobre los campos .${\displaystyle O(x)\to \pi _{f}(O)(x)}$⁠ , de tal manera que${\displaystyle f\to \pi _{f}}$es una representación del grupo conforme, y las funciones de correlación son invariantes:

${\displaystyle \left\langle \pi _{f}(O_{1})(x_{1})\cdots \pi _{f}(O_{n})(x_{n})\right\rangle =\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle .}$

Los campos primarios son campos que se transforman en sí mismos a través de${\displaystyle \pi _{f}}$⁠ . El comportamiento de un campo primario se caracteriza por una serie de${\displaystyle \Delta }$llamada su dimensión conforme y una representación${\displaystyle \rho }$del grupo de rotación o de Lorentz. Para un campo primario, entonces tenemos

${\displaystyle \pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }\rho (R(x'))O(x'),\quad {\text{donde}}\ x'=f^{-1}(x).}$

Aquí${\displaystyle \Omega (x)}$y${\displaystyle R(x)}$son el factor de escala y la rotación que están asociados a la transformación conforme${\displaystyle f}$⁠ . La representación${\displaystyle \rho }$es trivial en el caso de campos escalares, que se transforman como ⁠${\displaystyle \pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }O(x')}$⁠ . Para campos vectoriales, la representación${\displaystyle \rho }$es la representación fundamental, y tendríamos${\displaystyle \pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')}$.​

Un campo primario que se caracteriza por la dimensión conforme${\displaystyle \Delta }$y representación${\displaystyle \rho }$se comporta como un vector de peso máximo en una representación inducida del grupo conforme del subgrupo generado por dilataciones y rotaciones. En particular, la dimensión conforme${\displaystyle \Delta }$caracteriza una representación del subgrupo de dilataciones. En dos dimensiones, el hecho de que esta representación inducida sea un módulo de Verma aparece en toda la literatura. Para CFT de dimensiones superiores (en las que la subálgebra máximamente compacta es mayor que la subálgebra de Cartan ), recientemente se ha apreciado que esta representación es un módulo de Verma parabólico o generalizado . ^{[ 9 ]}

Los derivados (de cualquier orden) de los campos primarios se denominan campos descendientes . Su comportamiento bajo transformaciones conformes es más complicado. Por ejemplo, si${\displaystyle O}$es un campo primario, entonces${\displaystyle \pi _{f}(\partial _{\mu }O)(x)=\partial _{\mu }\left(\pi _{f}(O)(x)\right)}$es una combinación lineal de${\displaystyle \partial _{\mu }O}$y​${\displaystyle O}$Las funciones de correlación de los campos descendientes pueden deducirse a partir de las funciones de correlación de los campos primarios. Sin embargo, incluso en el caso común en que todos los campos son primarios o descendientes de estos, los campos descendientes desempeñan un papel importante, ya que los bloques conformes y las expansiones de productos de operadores implican sumas sobre todos los campos descendientes .

La recopilación de todos los campos primarios${\displaystyle O_{p}}$⁠ , caracterizados por sus dimensiones de escala${\displaystyle \Delta _{p}}$y las representaciones${\displaystyle \rho _{p}}$⁠ , se denomina el espectro de la teoría.

La invariancia de las funciones de correlación bajo transformaciones conformes restringe severamente su dependencia de las posiciones del campo. En el caso de las funciones de dos y tres puntos, dicha dependencia está determinada salvo por un número finito de coeficientes constantes. Las funciones de mayor número de puntos tienen más libertad y solo están determinadas por funciones de combinaciones de posiciones que son conformemente invariantes.

La función de dos puntos de dos campos primarios se anula si sus dimensiones conformes difieren.

${\displaystyle \Delta _{1}\neq \Delta _{2}\implies \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\right\rangle =0.}$

Si el operador de dilatación es diagonalizable (es decir, si la teoría no es logarítmica), existe una base de campos primarios tales que las funciones de dos puntos son diagonales, es decir${\displaystyle i\neq j\implies \left\langle O_{i}O_{j}\right\rangle =0}$⁠ . En este caso, la función de dos puntos de un campo primario escalar es ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \left\langle O(x_{1})O(x_{2})\right\rangle ={\frac {1}{|x_{1}-x_{2}|^{2\Delta }}},}$

donde elegimos la normalización del campo de tal manera que el coeficiente constante, que no está determinado por la simetría conforme, sea uno. De manera similar, las funciones de dos puntos de campos primarios no escalares se determinan salvo un coeficiente, que puede establecerse en uno. En el caso de un tensor simétrico sin traza de rango ⁠${\displaystyle \ell }$⁠ , la función de dos puntos es

${\displaystyle \left\langle O_{\mu _{1},\dots ,\mu _{\ell }}(x_{1})O_{\nu _{1},\dots ,\nu _{\ell }}(x_{2})\right\rangle ={\frac {\prod _{i=1}^{\ell }I_{\mu _{i},\nu _{i}}(x_{1}-x_{2})-{\text{traces}}}{|x_{1}-x_{2}|^{2\Delta }}},}$

donde el tensor${\displaystyle I_{\mu ,\nu }(x)}$se define como

${\displaystyle I_{\mu ,\nu }(x)=\eta _{\mu \nu }-{\frac {2x_{\mu }x_{\nu }}{x^{2}}}.}$

La función de tres puntos de tres campos primarios escalares es

${\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{3}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{\Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}}}},}$

donde​${\displaystyle x_{ij}=x_{i}-x_{j}}$y​${\displaystyle C_{123}}$es una constante de estructura de tres puntos . Con campos primarios que no son necesariamente escalares, la simetría conforme permite un número finito de estructuras tensoriales, y hay una constante de estructura para cada estructura tensorial. En el caso de dos campos escalares y un tensor simétrico sin traza de rango ⁠${\displaystyle \ell }$⁠ , solo hay una estructura tensorial y la función de tres puntos es

${\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{\mu _{1},\dots ,\mu _{\ell }}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}\left(\prod _{i=1}^{\ell }V_{\mu _{i}}-{\text{traces}}\right)}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{\Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}}}},}$

donde introducimos el vector

${\displaystyle V_{\mu }={\frac {x_{13}^{\mu }x_{23}^{2}-x_{23}^{\mu }x_{13}^{2}}{|x_{12}||x_{13}||x_{23}|}}.}$

Se determinan funciones de cuatro puntos de campos primarios escalares hasta funciones arbitrarias.${\displaystyle g(u,v)}$de las dos razones cruzadas

${\displaystyle u={\frac {x_{12}^{2}x_{34}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}\ ,\ v={\frac {x_{14}^{2}x_{23}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}.}$

La función de cuatro puntos es entonces ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle ={\frac {\left({\frac {|x_{24}|}{|x_{14}|}}\right)^{\Delta _{1}-\Delta _{2}}\left({\frac {|x_{14}|}{|x_{13}|}}\right)^{\Delta _{3}-\Delta _{4}}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}}|x_{34}|^{\Delta _{3}+\Delta _{4}}}}g(u,v).}$

La expansión del producto de operadores (OPE) es más potente en la teoría de campos conformes que en teorías de campos cuánticos más generales. Esto se debe a que, en la teoría de campos conformes, el radio de convergencia de la expansión del producto de operadores es finito (es decir, no es cero). ^{[ 12 ]} Siempre que las posiciones${\displaystyle x_{1},x_{2}}$Si dos campos están lo suficientemente cerca, la expansión del producto de operadores reescribe el producto de estos dos campos como una combinación lineal de campos en un punto dado, que puede elegirse como${\displaystyle x_{2}}$por conveniencia técnica.

La expansión del producto del operador de dos campos toma la forma

${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=\sum _{k}c_{12k}(x_{1}-x_{2})O_{k}(x_{2}),}$

dónde${\displaystyle c_{12k}(x)}$es una función de coeficientes, y la suma, en principio, se extiende sobre todos los campos de la teoría. (De forma equivalente, por la correspondencia estado-campo, la suma se extiende sobre todos los estados del espacio de estados). Algunos campos pueden estar ausentes, en particular debido a restricciones de simetría: simetría conforme o simetrías adicionales.

Si todos los campos son primarios o descendientes, la suma sobre los campos se puede reducir a una suma sobre los primarios, reescribiendo las contribuciones de cualquier descendiente en términos de la contribución del primario correspondiente:

${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=\sum _{p}C_{12p}P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})O_{p}(x_{2}),}$

donde los campos${\displaystyle O_{p}}$son todos primarios y${\displaystyle C_{12p}}$es la constante de estructura de tres puntos (que por esta razón también se llama coeficiente OPE ). El operador diferencial${\displaystyle P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})}$es una serie infinita de derivadas, que está determinada por la simetría conforme y, por lo tanto, en principio es conocida.

Considerar la OPE como una relación entre funciones de correlación muestra que la OPE debe ser asociativa. Además, si el espacio es euclidiano, la OPE debe ser conmutativa, porque las funciones de correlación no dependen del orden de los campos, es decir${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})}$.​

La existencia de la expansión del producto de operadores es un axioma fundamental del bootstrap conforme. Sin embargo, generalmente no es necesario calcular las expansiones del producto de operadores y, en particular, los operadores diferenciales .${\displaystyle P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})}$En realidad, lo que se necesita es la descomposición de las funciones de correlación en constantes de estructura y bloques conformes. En principio, la OPE puede utilizarse para calcular bloques conformes, pero en la práctica existen métodos más eficientes.

Utilizando el OPE${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})}$⁠ , una función de cuatro puntos se puede escribir como una combinación de constantes de estructura de tres puntos y bloques conformes de canal s ,

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\sum _{p}C_{12p}C_{p34}G_{p}^{(s)}(x_{i}).}$

El bloque conforme${\displaystyle G_{p}^{(s)}(x_{i})}$es la suma de las contribuciones del campo primario${\displaystyle O_{p}}$y sus descendientes. Depende de los campos.${\displaystyle O_{i}}$y sus posiciones. Si las funciones de tres puntos${\displaystyle \left\langle O_{1}O_{2}O_{p}\right\rangle }$o${\displaystyle \left\langle O_{3}O_{4}O_{p}\right\rangle }$implican varias estructuras tensoriales independientes, las constantes de estructura y los bloques conformes dependen de estas estructuras tensoriales, y el campo primario${\displaystyle O_{p}}$aporta varios bloques independientes. Los bloques conformes están determinados por la simetría conforme y se conocen en principio. Para calcularlos, existen relaciones de recursión ^{[ 9 ]} y técnicas integrables ^{[ 13 ] .}

Utilizando el OPE${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{4}(x_{4})}$o​${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{3}(x_{3})}$⁠ , la misma función de cuatro puntos se escribe en términos de bloques conformes de canal t o bloques conformes de canal u ,

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\sum _{p}C_{14p}C_{p23}G_{p}^{(t)}(x_{i})=\sum _{p}C_{13p}C_{p24}G_{p}^{(u)}(x_{i}).}$

La igualdad de las descomposiciones de los canales s, t y u se denomina simetría de cruce : una restricción sobre el espectro de campos primarios y sobre las constantes de estructura de tres puntos.

Los bloques conformes obedecen las mismas restricciones de simetría conforme que las funciones de cuatro puntos. En particular, los bloques conformes de canal s se pueden escribir en términos de funciones.${\displaystyle g_{p}^{(s)}(u,v)}$de las relaciones cruzadas. Mientras que el OPE${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})}$solo converge si${\displaystyle \vert x_{12}\vert <\min(\vert x_{23}\vert ,\vert x_{24}\vert )}$Los bloques conformes pueden extenderse analíticamente a todos los valores (no coincidentes por pares) de las posiciones. En el espacio euclidiano, los bloques conformes son funciones analíticas reales unívocas de las posiciones, excepto cuando los cuatro puntos${\displaystyle x_{i}}$yacen en un círculo pero en un orden cíclico transpuesto una sola vez [1324], y solo en estos casos excepcionales la descomposición en bloques conformes no converge.

Una teoría de campos conformes en el espacio euclidiano plano${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$se define, por lo tanto, por su espectro${\displaystyle \{(\Delta _{p},\rho _{p})\}}$y coeficientes OPE (o constantes de estructura de tres puntos )${\displaystyle \{C_{pp'p''}\}}$⁠ , satisfaciendo la restricción de que todas las funciones de cuatro puntos sean simétricas respecto al cruce. A partir del espectro y los coeficientes OPE (denominados colectivamente datos CFT ), se pueden calcular funciones de correlación de orden arbitrario.

Una teoría de campos conformes es unitaria si su espacio de estados tiene un producto escalar definido positivo tal que el operador de dilatación es autoadjunto. Entonces, el producto escalar dota al espacio de estados con la estructura de un espacio de Hilbert .

En las teorías de campos conformes euclidianas, la unitariedad es equivalente a la positividad de reflexión de las funciones de correlación: uno de los axiomas de Osterwalder-Schrader . ^{[ 11 ]}

La unitariedad implica que las dimensiones conformes de los campos primarios son reales y están acotadas inferiormente. El límite inferior depende de la dimensión del espaciotiempo .${\displaystyle d}$⁠ , y en la representación de la rotación o grupo de Lorentz en la que se transforma el campo primario. Para campos escalares, el límite de unitariedad es ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \Delta \geq {\frac {1}{2}}(d-2).}$

En una teoría unitaria, las constantes de estructura de tres puntos deben ser reales, lo que a su vez implica que las funciones de cuatro puntos obedecen ciertas desigualdades. Los potentes métodos numéricos de remuestreo (bootstrap) se basan en la explotación de estas desigualdades.

Una teoría de campos conformes es compacta si obedece tres condiciones: ^{[ 14 ]}

• Todas las dimensiones conformes son reales.
• Para cualquier${\displaystyle \Delta \in \mathbb {R} }$Hay un número finito de estados cuyas dimensiones son menores que ⁠${\displaystyle \Delta }$.​
• Existe un estado único con la dimensión ⁠${\displaystyle \Delta =0}$⁠ , y es el estado de vacío , es decir, el campo correspondiente es el campo identidad .

(El campo identidad es el campo cuya inserción en funciones de correlación no las modifica, es decir ,${\displaystyle \left\langle I(x)\cdots \right\rangle =\left\langle \cdots \right\rangle }$⁠ .) El nombre proviene del hecho de que si una teoría de campos conformes 2D es también un modelo sigma , satisfará estas condiciones si y solo si su espacio objetivo es compacto.

Se cree que todas las teorías de campos conformes unitarias son compactas en dimensión .${\displaystyle d>2}$⁠ . Sin unitariedad, por otro lado, es posible encontrar CFT en dimensión cuatro ^{[ 15 ]} y en dimensión${\displaystyle 4-\epsilon }$^{[ 16 ]} que tienen un espectro continuo. Y en dimensión dos,la teoría de Liouvillees unitaria pero no compacta.

Una teoría de campos conformes puede tener simetrías adicionales además de la simetría conforme. Por ejemplo, el modelo de Ising tiene una${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$simetría, y las teorías de campos superconformes tienen supersimetría.

Un campo libre generalizado es un campo cuyas funciones de correlación se deducen de su función de dos puntos mediante el teorema de Wick . Por ejemplo, si${\displaystyle \phi }$es un campo primario escalar de dimensión ⁠${\displaystyle \Delta }$⁠ , su función de cuatro puntos se lee ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}\phi (x_{i})\right\rangle ={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta }|x_{34}|^{2\Delta }}}+{\frac {1}{|x_{13}|^{2\Delta }|x_{24}|^{2\Delta }}}+{\frac {1}{|x_{14}|^{2\Delta }|x_{23}|^{2\Delta }}}.}$

Por ejemplo, si${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}}$son dos campos primarios escalares tales que${\displaystyle \langle \phi _{1}\phi _{2}\rangle =0}$(lo cual es el caso en particular si${\displaystyle \Delta _{1}\neq \Delta _{2}}$), tenemos la función de cuatro puntos

${\displaystyle {\Big \langle }\phi _{1}(x_{1})\phi _{1}(x_{2})\phi _{2}(x_{3})\phi _{2}(x_{4}){\Big \rangle }={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta _{1}}|x_{34}|^{2\Delta _{2}}}}.}$

La teoría de campo medio es un nombre genérico para las teorías de campo conformes que se construyen a partir de campos libres generalizados. Por ejemplo, una teoría de campo medio se puede construir a partir de un campo primario escalar .${\displaystyle \phi }$⁠ . Entonces esta teoría contiene ⁠${\displaystyle \phi }$⁠ , sus campos descendientes y los campos que aparecen en el OPE \phi \phi . Los campos primarios que aparecen en${\displaystyle \phi \phi }$se puede determinar descomponiendo la función de cuatro puntos${\displaystyle \langle \phi \phi \phi \phi \rangle }$en bloques conformes: ^{[ 17 ]} sus dimensiones conformes pertenecen a${\displaystyle 2\Delta +2\mathbb {N} }$En la teoría de campo medio, la dimensión conforme se conserva módulo enteros. Las constantes de estructura se pueden calcular exactamente en términos de la función Gamma . ^{[ 18 ]}

De manera similar, es posible construir teorías de campo medio a partir de un campo con espín de Lorentz no trivial. Por ejemplo, la teoría de Maxwell 4d (en ausencia de campos de materia cargada) es una teoría de campo medio construida a partir de un campo tensorial antisimétrico.${\displaystyle F_{\mu \nu }}$con dimensión de escala${\displaystyle \Delta =2}$.​

Las teorías de campo medio tienen una descripción lagrangiana en términos de una acción cuadrática que involucra al laplaciano elevado a una potencia real arbitraria (que determina la dimensión de escala del campo). Para una dimensión de escala genérica, la potencia del laplaciano no es entera. La teoría de campo medio correspondiente es entonces no local (por ejemplo, no posee un operador tensorial de energía-impulso conservado).

El modelo crítico de Ising es el punto crítico del modelo de Ising en una red hipercúbica en dos o tres dimensiones. Tiene una${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$simetría global, correspondiente a invertir todos los espines. El modelo crítico de Ising bidimensional incluye la${\displaystyle {\mathcal {M}}(4,3)}$Modelo mínimo de Virasoro , que puede resolverse exactamente. El modelo crítico de Ising tridimensional no se resuelve exactamente, pero su clase de universalidad describe no solo la magnetización del modelo crítico de Ising 3D, sino también la opalescencia crítica de los fluidos en su punto crítico. No hay CFT de Ising en${\displaystyle d\geq 4}$dimensiones.

El modelo crítico de Potts con${\displaystyle q=2,3,4,\cdots }$Los colores son una CFT unitaria que es invariante bajo el grupo de permutaciones .${\displaystyle S_{q}}$⁠ . Es una generalización del modelo crítico de Ising, que corresponde a ⁠${\displaystyle q=2}$⁠ . El modelo crítico de Potts existe en un rango de dimensiones que dependen de ⁠${\displaystyle q}$.​

El modelo crítico de Potts puede construirse como el límite continuo del modelo de Potts en una red hipercúbica d -dimensional. En la reformulación de Fortuin-Kasteleyn en términos de clústeres, el modelo de Potts puede definirse para ⁠${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$⁠ , pero no es unitario si${\displaystyle q}$no es un número entero.

El modelo crítico O( N ) es un invariante CFT bajo el grupo ortogonal . Para cualquier entero${\displaystyle N}$⁠ , existe como una CFT interactiva, unitaria y compacta en${\displaystyle d=3}$dimensiones (y para${\displaystyle N=1}$también en dos dimensiones). Es una generalización del modelo crítico de Ising, que corresponde a la CFT O(N) en ⁠${\displaystyle N=1}$.​

La CFT O( N ) se puede construir como el límite continuo de un modelo de red con espines que son N -vectores, llamado modelo de n-vectores .

Alternativamente, el crítico${\displaystyle O(N)}$El modelo se puede construir como el${\displaystyle \varepsilon \to 1}$límite del punto fijo de Wilson-Fisher en${\displaystyle d=4-\varepsilon }$dimensiones. En${\displaystyle \varepsilon =0}$⁠ , el punto fijo de Wilson-Fisher se convierte en el producto tensorial de${\displaystyle N}$escalares libres con dimensión ⁠${\displaystyle \Delta =1}$⁠ . Para${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$El modelo en cuestión no es unitario. ^{[ 19 ]}

Cuando N es grande, el modelo O( N ) se puede resolver perturbativamente en una expansión 1/ N mediante la transformación de Hubbard-Stratronovich . En particular, el${\displaystyle N\to \infty }$El límite del modelo crítico O( N ) se comprende bien.

Los datos conformes del modelo crítico O( N ) son funciones de N y de la dimensión, sobre las cuales se conocen muchos resultados. ^{[ 20 ]}

Algunas teorías de campos conformes en tres y cuatro dimensiones admiten una descripción lagrangiana en forma de teoría de gauge , ya sea abeliana o no abeliana. Ejemplos de tales CFT son la QED conforme con suficientes campos cargados en${\displaystyle d=3}$o el punto fijo de Banks-Zaks en ⁠${\displaystyle d=4}$.​

Las transiciones de fase continuas (puntos críticos) de los sistemas de física estadística clásica con D dimensiones espaciales se describen a menudo mediante teorías de campos conformes euclidianas. Una condición necesaria para que esto ocurra es que el punto crítico sea invariante bajo rotaciones y traslaciones espaciales. Sin embargo, esta condición no es suficiente: algunos puntos críticos excepcionales se describen mediante teorías invariantes de escala, pero no conformes. Si el sistema de física estadística clásica es positivo bajo reflexión, la teoría de campos conformes euclidiana correspondiente que describe su punto crítico será unitaria.

Las transiciones de fase cuánticas continuas en sistemas de materia condensada con D dimensiones espaciales pueden describirse mediante teorías de campo conformes lorentzianas de D+1 dimensiones (relacionadas por rotación de Wick con las CFT euclidianas en D +1 dimensiones). Además de la invariancia traslacional y rotacional, una condición necesaria adicional para que esto ocurra es que el exponente crítico dinámico z sea igual a 1. Las CFT que describen dichas transiciones de fase cuánticas (en ausencia de desorden congelado) son siempre unitarias.

La descripción de la teoría de cuerdas en la hoja de mundo implica una teoría de campos conformes (CFT) bidimensional acoplada a la gravedad cuántica dinámica bidimensional (o supergravedad, en el caso de la teoría de supercuerdas). La consistencia de los modelos de teoría de cuerdas impone restricciones a la carga central de esta CFT, que debe ser c = 26 en la teoría de cuerdas bosónicas y c = 10 en la teoría de supercuerdas. Las coordenadas del espaciotiempo en el que reside la teoría de cuerdas corresponden a los campos bosónicos de esta CFT.

Las teorías de campos conformes desempeñan un papel fundamental en la correspondencia AdS/CFT , donde una teoría gravitacional en el espacio anti-de Sitter (AdS) es equivalente a una teoría de campos conformes en la frontera de AdS. Ejemplos notables son la teoría de Yang-Mills supersimétrica d  =  4, N = 4 , dual a la teoría de cuerdas de tipo IIB en AdS ₅  × S ⁵ , y la teoría de Chern-Simons supersimétrica d = 3, N = 6 , dual a la teoría M en AdS ₄ × S ^7. (El prefijo "super" denota supersimetría , N denota el grado de supersimetría extendida que posee la teoría, y d el número de dimensiones espaciotemporales en la frontera).       

Al perturbar una teoría de campos conforme, es posible construir otras teorías de campos, conformes o no. Sus funciones de correlación pueden calcularse perturbativamente a partir de las funciones de correlación de la teoría de campos conforme original, mediante una técnica denominada teoría de perturbación conforme .

Por ejemplo, un tipo de perturbación consiste en discretizar una teoría de campos conformes estudiándola en un espaciotiempo discreto. Los efectos de tamaño finito resultantes pueden calcularse utilizando la teoría de perturbaciones conformes. ^{[ 21 ]}