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Filtro k constante

Los filtros de constante k , también conocidos como filtros de tipo k , son un tipo de filtro electrónico diseñado mediante el método de la imagen . Son los filtros originales y...

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Los filtros de constante k , también conocidos como filtros de tipo k , son un tipo de filtro electrónico diseñado mediante el método de la imagen . Son los filtros originales y más sencillos producidos con esta metodología y consisten en una red en escalera de secciones idénticas de componentes pasivos . Históricamente, fueron los primeros filtros que podían aproximarse a la respuesta en frecuencia ideal dentro de cualquier límite preestablecido con la adición de un número suficiente de secciones. Sin embargo, rara vez se consideran en el diseño moderno, ya que los principios en los que se basan han sido reemplazados por otras metodologías que predicen con mayor precisión la respuesta del filtro.

Historia

Los filtros de k constante fueron inventados por George Campbell . Publicó su trabajo en 1922, [ 1 ] pero claramente los había inventado algún tiempo antes, [ 2 ] ya que su colega en AT&T Co. , Otto Zobel , ya estaba realizando mejoras al diseño en ese momento. Los filtros de Campbell eran muy superiores a los circuitos de un solo elemento más simples que se habían utilizado anteriormente. Campbell llamó a sus filtros filtros de onda eléctrica, pero este término pasó a significar cualquier filtro que deja pasar ondas de algunas frecuencias pero no de otras. Posteriormente se inventaron muchas formas nuevas de filtros de onda; una variación temprana (e importante) fue el filtro derivado de m de Zobel, quien acuñó el término k constante para el filtro de Campbell con el fin de distinguirlos. [ 3 ]

La gran ventaja de los filtros de Campbell sobre el circuito RL y otros filtros sencillos de la época radicaba en que podían diseñarse para cualquier grado deseado de rechazo de banda de atenuación o pendiente de transición entre la banda de paso y la banda de atenuación. Solo era necesario añadir más secciones de filtro hasta obtener la respuesta deseada. [ 4 ]

Campbell diseñó los filtros con el propósito de separar canales telefónicos multiplexados en líneas de telefonía portadora , pero su uso posterior se ha extendido mucho más. Las técnicas de diseño empleadas por Campbell han sido en gran medida superadas. Sin embargo, la topología en escalera utilizada por Campbell con k constante todavía se utiliza hoy en día en implementaciones de diseños de filtros modernos, como el filtro de Chebyshev . Campbell proporcionó diseños con k constante para filtros de paso bajo , paso alto y paso banda . También son posibles los filtros de rechazo de banda y de múltiples bandas. [ 5 ]

Terminología

Algunos de los términos de impedancia y de sección utilizados en este artículo se muestran en el diagrama a continuación. La teoría de imágenes define las magnitudes en términos de una cascada infinita de secciones de dos puertos y, en el caso de los filtros que se analizan, una red en escalera infinita de secciones en forma de L. Aquí, "L" no debe confundirse con la inductancia L ; en la topología de filtros electrónicos , "L" se refiere a la forma específica del filtro, que se asemeja a una "L" invertida.

Las secciones del hipotético filtro infinito están formadas por elementos en serie con impedancia 2 Z y elementos en paralelo con admitancia 2 Y. El factor de dos se introduce por conveniencia matemática, ya que es habitual trabajar con semisecciones donde desaparece. La impedancia imagen del puerto de entrada y salida de una sección generalmente no será la misma. Sin embargo, para una sección intermedia en serie (es decir, una sección desde la mitad de un elemento en serie hasta la mitad del siguiente elemento en serie) tendrá la misma impedancia imagen en ambos puertos debido a la simetría. Esta impedancia imagen se designa debido a la topología " " de una sección intermedia en serie. De igual manera, la impedancia imagen de una sección intermedia en paralelo se designa debido a la topología " ". La mitad de dicha sección o se llama semisección , que también es una sección en L pero con la mitad de los valores de los elementos de la sección en L completa. La impedancia de imagen de la media sección es diferente en los puertos de entrada y salida: en el lado que presenta el elemento en serie es igual a la del punto medio de la serie , pero en el lado que presenta el elemento en paralelo es igual a la del punto medio de la derivación . Por lo tanto, existen dos formas variantes de utilizar una media sección.ZiTTZiΠΠ"T""Π"ZiTZiΠ

Algunas partes de este artículo o sección dependen del conocimiento que tenga el lector sobre la representación de impedancia compleja de capacitores e inductores y sobre el conocimiento de la representación de señales en el dominio de la frecuencia .

Derivación

Semisección de filtro paso bajo de k constante. Aquí la inductancia L es igual a Ck 2
Semisección de filtro pasabanda de k constante. L 1 = C 2 k 2 y L 2 = C 1 k 2
Se representa gráficamente la impedancia de imagen Z iT de un filtro paso bajo prototipo de k constante en función de la frecuencia.ω{\displaystyle \omega }La impedancia es puramente resistiva (real) por debajo deωdo{\displaystyle \omega _{c}}y puramente reactivo (imaginario) arribaωdo{\displaystyle \omega _{c}}.

El elemento básico de los filtros k constante es la red "L" de media sección, compuesta por una impedancia en serie Z y una admitancia en paralelo Y. La "k" en "k constante" es el valor dado por, [ 6 ]

k2=ZY{\displaystyle k^{2}={\frac {Z}{Y}}}

Así, k tendrá unidades de impedancia, es decir, ohmios . Es evidente que para que k sea constante, Y debe ser la impedancia dual de Z. Una interpretación física de k se puede dar observando que k es el valor límite de Z i a medida que el tamaño de la sección (en términos de los valores de sus componentes, como inductancias, capacitancias, etc.) se aproxima a cero, mientras que k se mantiene en su valor inicial. Por lo tanto, k es la impedancia característica , Z 0 , de la línea de transmisión que se formaría con estas secciones infinitesimalmente pequeñas. [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] También es la impedancia imagen de la sección en resonancia , en el caso de filtros paso banda, o en ω = 0 en el caso de filtros paso bajo. [ 10 ] Por ejemplo, la media sección paso bajo que se muestra tiene

k=iωLiωdo=Ldo{\displaystyle k={\sqrt {\frac {i\omega L}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}.

Los elementos L y C pueden hacerse arbitrariamente pequeños manteniendo el mismo valor de k . Sin embargo, Z e Y se aproximan a cero, y a partir de las fórmulas (a continuación) para las impedancias de imagen,

límiteZ,Y→0Zi=k{\displaystyle \lim _{Z,Y\to 0}Z_{\mathrm {i} }=k}.

impedancia de imagen

Las impedancias de imagen de la sección vienen dadas por [ 11 ].

ZiT2=Z2+k2{\displaystyle {Z_{\mathrm {iT} }}^{2}=Z^{2}+k^{2}}

y

1ZiΠ2=YiΠ2=Y2+1k2{\displaystyle {\frac {1}{{Z_{\mathrm {i\Pi } }}^{2}}}={Y_{\mathrm {i\Pi } }}^{2}=Y^{2}+{\frac {1}{k^{2}}}}

Dado que el filtro no contiene ningún elemento resistivo, la impedancia de imagen en la banda de paso del filtro es puramente real y en la banda de rechazo es puramente imaginaria . Por ejemplo, para la semisección de paso bajo que se muestra en la imagen, [ 12 ]

ZiT2=−(ωL)2+Ldo{\displaystyle {Z_{\mathrm {iT} }}^{2}=-(\omega L)^{2}+{\frac {L}{C}}}

La transición se produce a una frecuencia de corte dada por

ωdo=1Ldo{\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}

Por debajo de esta frecuencia , la impedancia de la imagen es real,

ZiT=Lωdo2−ω2{\displaystyle Z_{\mathrm {iT} }=L{\sqrt {\omega _{c}^{2}-\omega ^{2}}}}

Por encima de la frecuencia de corte, la impedancia de la imagen es imaginaria.

ZiT=iLω2−ωdo2{\displaystyle Z_{\mathrm {iT} }=iL{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{c}^{2}}}}

Parámetros de transmisión

La función de transferencia de un filtro paso bajo prototipo de k constante para una sola media sección que muestra atenuación en nepers y cambio de fase en radianes .

Los parámetros de transmisión para una semisección k constante general vienen dados por [ 13 ].

γ=sinh−1⁡Zk{\displaystyle \gamma =\sinh ^{-1}{\frac {Z}{k}}}

y para una cadena de n semisecciones

γnorte=norteγ{\displaystyle \gamma _{n}=n\gamma \,\!}

Para la sección en forma de L de paso bajo, por debajo de la frecuencia de corte, los parámetros de transmisión vienen dados por [ 11 ].

γ=α+iβ=0+ipecado−1⁡ωωdo{\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta =0+i\sin ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{c}}}}

Es decir, la transmisión es sin pérdidas en la banda de paso, con solo el cambio de fase de la señal. Por encima de la frecuencia de corte, los parámetros de transmisión son: [ 11 ]

γ=α+iβ=aporrear−1⁡ωωdo+iπ2{\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta =\cosh ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{c}}}+i{\frac {\pi }{2}}}

transformaciones prototipo

Las gráficas presentadas de impedancia de imagen, atenuación y cambio de fase corresponden a una sección de filtro prototipo de paso bajo . El prototipo tiene una frecuencia de corte de ωc = 1 rad/s y una impedancia nominal k = 1 Ω. Esto se produce mediante una semisección de filtro con inductancia L = 1 henrio y capacitancia C = 1 faradio . Este prototipo puede escalarse en impedancia y frecuencia a los valores deseados. El prototipo de paso bajo también puede transformarse en filtros de paso alto, paso banda o rechazo de banda mediante la aplicación de transformaciones de frecuencia adecuadas . [ 14 ]

Secciones en cascada

Respuesta de ganancia, H( ω ) para una cadena de n semisecciones de filtro paso bajo de k constante.

Varias semisecciones en forma de L pueden conectarse en cascada para formar un filtro compuesto. En estas combinaciones, las impedancias iguales siempre deben enfrentarse entre sí. Por lo tanto, existen dos circuitos que pueden formarse con dos semisecciones idénticas en forma de L. Cuando un puerto de impedancia imagen ZiT se enfrenta a otro ZiT , la sección se denomina Πsección en T. Cuando ZiΠ se enfrenta a ZiΠ , la sección formada es una sección en T. La adición de semisecciones adicionales a cualquiera de estas secciones forma una red en escalera que puede comenzar y terminar con elementos en serie o en paralelo. [ 15 ]

Cabe tener en cuenta que las características del filtro predichas por el método de la imagen solo son precisas si la sección termina con su impedancia imagen. Esto no suele ocurrir con las secciones de los extremos, que generalmente terminan con una resistencia fija. Cuanto más alejada esté la sección del extremo del filtro, más precisa será la predicción, ya que los efectos de las impedancias de terminación quedan enmascarados por las secciones intermedias. [ 16 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Campbell, GA (noviembre de 1922), "Teoría física del filtro de ondas eléctricas", Bell System Tech. J. , 1 (2): 1–32 , doi : 10.1002/j.1538-7305.1922.tb00386.x
  2. ↑ Bray, pág. 62, indica que 1910 fue el inicio del trabajo de Campbell sobre filtros.
  3. ↑ White, G. (enero de 2000), "El pasado", BT Technology Journal , 18 (1): 107–132 , doi : 10.1023/A:1026506828275 , S2CID 62360033 
  4. ↑ Bray, pág. 62.
  5. ↑ Zobel, OJ, Filtro de onda multibanda , patente estadounidense 1,509,184 , presentada el 30 de abril de 1920, emitida el 23 de septiembre de 1924.
  6. ↑ Zobel, 1923, pág. 6.
  7. ↑ Lee, Thomas H. (2004). "2.5. Impedancia del punto de excitación de la estructura iterada". Ingeniería de microondas planar: una guía práctica de teoría, medición y circuitos . Cambridge University Press. pág. 44. 
  8. ↑ Niknejad, Ali M. (2007). "Sección 9.2. Una red de escalera infinita." . Electromagnetismo para circuitos de comunicación analógicos y digitales de alta velocidad .
  9. ↑ Feynman, Richard ; Leighton, Robert B .; Sands, Matthew . "Sección 22-7. Filtro" . Las Lecciones de Física de Feynman . Vol. 2. Si imaginamos la línea como dividida en pequeñas longitudes Δℓ, cada longitud se verá como una sección de la escalera LC con una inductancia en serie ΔL y una capacitancia en paralelo ΔC. Entonces podemos usar nuestros resultados para el filtro de escalera. Si tomamos el límite cuando Δℓ tiende a cero, tenemos una buena descripción de la línea de transmisión. Nótese que a medida que Δℓ se hace cada vez más pequeño, tanto ΔL como ΔC disminuyen, pero en la misma proporción, de modo que la relación ΔL/ΔC permanece constante. Entonces, si tomamos el límite de la ecuación. (22.28) Cuando ΔL y ΔC tienden a cero, encontramos que la impedancia característica z0 es una resistencia pura cuya magnitud es √(ΔL/ΔC). También podemos escribir la relación ΔL/ΔC como L0/C0, donde L0 y C0 son la inductancia y la capacitancia de una unidad de longitud de la línea; entonces tenemos L0do0{\displaystyle {\sqrt {\frac {L_{0}}{C_{0}}}}}.
  10. ↑ Zobel, 1923, págs. 3-4.
  11. 1 2 3 Matthaei et al., pág. 61.
  12. ^ Matthaei et al., págs.61-62.
  13. ↑ Zobel, 1923, p.3.
  14. ^ Matthaei et al., págs. 96-97, 412-413, 438-440, 727-729.
  15. ^ Matthaei et al., págs.65-68.
  16. ↑ Matthaei et al., pág. 68.

Referencias

  • Bray, J., Innovación y la revolución de las comunicaciones , Instituto de Ingenieros Eléctricos, 2002.
  • Matthaei, G.; Young, L.; Jones, EMT, Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento McGraw-Hill 1964.
  • Zobel, OJ, Teoría y diseño de filtros de ondas eléctricas uniformes y compuestos , Bell System Technical Journal, vol. 2 (1923), págs.  1–46.
  • Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew, The Feynman Lectures on Physics, Vol. II , Capítulo 22. Circuitos de CA, Sección 6. Una red en escalera , Instituto Tecnológico de California – Edición HTML.

Lecturas adicionales

Para un tratamiento más sencillo del análisis, véase:
  • Ghosh, Smarajit (2005), Teoría de redes: análisis y síntesis , Nueva Delhi: Prentice Hall of India, pp. 544–563 , ISBN  81-203-2638-5