Filtro analógico

Un filtro analógico es un componente básico del procesamiento de señales, muy utilizado en electrónica . Entre sus numerosas aplicaciones se encuentran la separación de una señal de audio antes de su aplicación a altavoces de graves , medios y agudos ; la combinación y posterior separación de múltiples conversaciones telefónicas en un solo canal; y la selección de una emisora ​​de radio en un receptor , así como el rechazo de otras.

Los filtros analógicos electrónicos lineales pasivos son aquellos que pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales lineales (lineales); están compuestos por capacitores , inductores y, a veces, resistores ( pasivos ) y están diseñados para operar con señales analógicas de variación continua . Existen muchos filtros lineales que no son analógicos en su implementación ( filtros digitales ), y muchos filtros electrónicos que pueden no tener una topología pasiva  ; ambos pueden tener la misma función de transferencia que los filtros descritos en este artículo. Los filtros analógicos se utilizan con mayor frecuencia en aplicaciones de filtrado de ondas, es decir, donde se requiere dejar pasar componentes de frecuencia específicos y rechazar otros de señales analógicas ( de tiempo continuo ).

Los filtros analógicos han desempeñado un papel fundamental en el desarrollo de la electrónica. En particular, en el campo de las telecomunicaciones , han sido cruciales para numerosos avances tecnológicos y han generado enormes beneficios para las empresas de telecomunicaciones. Por lo tanto, no sorprende que el desarrollo inicial de los filtros estuviera íntimamente ligado a las líneas de transmisión . La teoría de las líneas de transmisión dio origen a la teoría de los filtros, que inicialmente adoptó una forma muy similar, y la principal aplicación de los filtros fue su uso en líneas de transmisión de telecomunicaciones. Sin embargo, la llegada de las técnicas de síntesis de redes mejoró considerablemente el grado de control del diseñador.

Actualmente, se suele preferir el filtrado digital, donde los algoritmos complejos son mucho más fáciles de implementar. Sin embargo, los filtros analógicos aún encuentran aplicaciones, especialmente para tareas de filtrado simples de bajo orden, y a menudo siguen siendo la norma en frecuencias más altas, donde la tecnología digital aún no es práctica o, al menos, resulta menos rentable. Siempre que sea posible, y sobre todo en bajas frecuencias, los filtros analógicos se implementan ahora en una topología activa para evitar los componentes bobinados (como inductores, transformadores, etc.) que requiere la topología pasiva.

Es posible diseñar filtros mecánicos analógicos lineales utilizando componentes mecánicos que filtran vibraciones mecánicas u ondas acústicas . Si bien existen pocas aplicaciones para estos dispositivos en mecánica propiamente dicha, pueden utilizarse en electrónica con la adición de transductores para la conversión entre el dominio eléctrico y el eléctrico. De hecho, algunas de las primeras ideas para filtros fueron resonadores acústicos, dado que la tecnología electrónica era poco conocida en aquel entonces. En principio, el diseño de dichos filtros puede realizarse completamente en términos de las contrapartes electrónicas de las magnitudes mecánicas, donde la energía cinética , la energía potencial y la energía térmica corresponden a la energía en inductores, condensadores y resistencias, respectivamente.

Existen tres etapas principales en la historia del desarrollo de los filtros analógicos pasivos :

1. Filtros simples . La dependencia de la frecuencia en la respuesta eléctrica de condensadores e inductores se conocía desde muy temprano. El fenómeno de resonancia también era familiar desde una fecha temprana, y era posible producir filtros simples de una sola rama con estos componentes. Si bien en la década de 1880 se intentó aplicarlos a la telegrafía , estos diseños resultaron inadecuados para la multiplexación por división de frecuencia . El análisis de redes aún no era lo suficientemente potente como para proporcionar la teoría para filtros más complejos, y el progreso se vio aún más obstaculizado por la falta general de comprensión de la naturaleza de las señales en el dominio de la frecuencia .
2. Filtros de imagen . La teoría de los filtros de imagen surgió de la teoría de las líneas de transmisión, y su diseño se desarrolló de forma similar al análisis de dichas líneas. Por primera vez, se pudieron fabricar filtros con bandas de paso y otros parámetros controlables con precisión. Estos avances tuvieron lugar en la década de 1920, y los filtros fabricados según estos diseños seguían utilizándose ampliamente en la década de 1980, disminuyendo su uso únicamente con la disminución de las telecomunicaciones analógicas. Su aplicación inmediata fue el desarrollo, de gran importancia económica, de la multiplexación por división de frecuencia para su uso en líneas interurbanas e internacionales .
3. Filtros de síntesis de red . Las bases matemáticas de la síntesis de red se establecieron en las décadas de 1930 y 1940. Tras la Segunda Guerra Mundial, la síntesis de red se convirtió en la principal herramienta para el diseño de filtros . La síntesis de red sentó las bases matemáticas del diseño de filtros, liberándolo de las técnicas matemáticamente imprecisas del diseño de imágenes y rompiendo la conexión con las líneas físicas. La esencia de la síntesis de red radica en que produce un diseño que (al menos si se implementa con componentes ideales) reproduce con precisión la respuesta originalmente especificada entérminos de caja negra .

A lo largo de este artículo, las letras R, L y C se utilizan con sus significados habituales para representar resistencia , inductancia y capacitancia , respectivamente. En particular, se utilizan en combinaciones, como LC, para indicar, por ejemplo, una red compuesta únicamente por inductores y condensadores. Z se utiliza para la impedancia eléctrica , cualquier combinación de dos terminales ^{[ nota 1 ]} de elementos RLC y, en algunas secciones, D se utiliza para la magnitud poco frecuente de elastancia , que es la inversa de la capacitancia.

Los primeros filtros utilizaban el fenómeno de la resonancia para filtrar señales. Aunque la resonancia eléctrica había sido investigada por investigadores desde una etapa muy temprana, al principio no era ampliamente comprendida por los ingenieros eléctricos. En consecuencia, el concepto mucho más familiar de resonancia acústica (que a su vez puede explicarse en términos de la aún más familiar resonancia mecánica ) se abrió paso en el diseño de filtros antes que la resonancia eléctrica. ^{[ 1 ]} La resonancia puede utilizarse para lograr un efecto de filtrado porque el dispositivo resonante responderá a frecuencias iguales o cercanas a la frecuencia de resonancia, pero no responderá a frecuencias alejadas de la resonancia. Por lo tanto, las frecuencias alejadas de la resonancia se filtran de la salida del dispositivo. ^{[ 2 ]}

Resonancia eléctrica

La resonancia se observó tempranamente en experimentos con la botella de Leyden , inventada en 1746. La botella de Leyden almacena electricidad debido a su capacitancia y, de hecho, es una forma primitiva de condensador. Cuando una botella de Leyden se descarga permitiendo que una chispa salte entre los electrodos, la descarga es oscilatoria. Esto no se sospechó hasta 1826, cuando Felix Savary en Francia, y más tarde (1842) Joseph Henry ^{[ 3 ]} en Estados Unidos, observaron que una aguja de acero colocada cerca de la descarga no siempre se magnetiza en la misma dirección. Ambos llegaron independientemente a la conclusión de que existía una oscilación transitoria que se atenuaba con el tiempo. ^{[ 4 ]}

Hermann von Helmholtz publicó en 1847 su importante obra sobre la conservación de la energía ^{[ 5 ],} en la que utilizó parte de estos principios para explicar por qué la oscilación se desvanece: es la resistencia del circuito la que disipa la energía de la oscilación en cada ciclo sucesivo. Helmholtz también observó que existían indicios de oscilación en los experimentos de electrólisis de William Hyde Wollaston . Wollaston intentaba descomponer el agua mediante descargas eléctricas, pero descubrió que tanto el hidrógeno como el oxígeno estaban presentes en ambos electrodos. En la electrólisis normal, se separarían, uno en cada electrodo. ^{[ 6 ]}

Helmholtz explicó por qué la oscilación decaía, pero no explicó por qué se producía en primer lugar. Esto se le dejó a Sir William Thomson (Lord Kelvin), quien, en 1853, postuló que había inductancia presente en el circuito, así como la capacitancia del recipiente y la resistencia de la carga. ^{[ 7 ]} Esto estableció la base física del fenómeno: la energía suministrada por el recipiente se disipaba parcialmente en la carga, pero también se almacenaba parcialmente en el campo magnético del inductor. ^{[ 8 ]}

Hasta ahora, la investigación se había centrado en la frecuencia natural de oscilación transitoria de un circuito resonante resultante de un estímulo repentino. Más importante desde el punto de vista de la teoría de filtros es el comportamiento de un circuito resonante cuando se le aplica una señal de CA externa : se produce un pico repentino en la respuesta del circuito cuando la frecuencia de la señal de excitación coincide con la frecuencia de resonancia del circuito. ^{[ nota 2 ]} James Clerk Maxwell tuvo conocimiento del fenómeno por parte de Sir William Grove en 1868 en relación con experimentos sobre dinamos , ^{[ 9 ]} y también conocía el trabajo anterior de Henry Wilde en 1866. Maxwell explicó la resonancia ^{[ nota 3 ]} matemáticamente, con un conjunto de ecuaciones diferenciales, en términos muy similares a como se describe hoy un circuito RLC . ^{[ 1 ] [ 10 ] [ 11 ]}

Heinrich Hertz (1887) demostró experimentalmente el fenómeno de resonancia ^{[ 12 ]} mediante la construcción de dos circuitos resonantes: uno alimentado por un generador y otro sintonizable , acoplado electromagnéticamente al primero (es decir, sin conexión de circuito). Hertz demostró que la respuesta del segundo circuito era máxima cuando estaba en sintonía con el primero. Los diagramas presentados por Hertz en este artículo fueron las primeras representaciones gráficas publicadas de una respuesta de resonancia eléctrica. ^{[ 1 ] [ 13 ]}

Multiplexación temprana

Para la década de 1890, la resonancia eléctrica se comprendía mucho mejor y se había convertido en una herramienta habitual para los ingenieros. En 1891, Hutin y Leblanc patentaron un esquema FDM para circuitos telefónicos que utilizaba filtros de circuito resonante. ^{[ 16 ]} En 1892 , Michael Pupin y John Stone presentaron patentes rivales con ideas similares, otorgándose finalmente la prioridad a Pupin. Sin embargo, ningún esquema que utilice simplemente filtros de circuito resonante puede multiplexar (es decir, combinar) con éxito el mayor ancho de banda de los canales telefónicos (en comparación con el telégrafo) sin una restricción inaceptable del ancho de banda de la voz o un espaciado entre canales tan amplio que haga que los beneficios de la multiplexación no sean rentables. ^{[ 1 ] [ 17 ]}

La razón técnica fundamental de esta dificultad radica en que la respuesta en frecuencia de un filtro simple se aproxima a una caída de 6 dB/octava lejos del punto de resonancia. Esto significa que si los canales telefónicos se superponen en el espectro de frecuencias, se producirá diafonía entre canales adyacentes. Se requiere un filtro mucho más sofisticado con una respuesta en frecuencia plana en la banda de paso , similar a un circuito resonante de bajo factor Q , pero con una respuesta que disminuye rápidamente (mucho más rápido que 6  dB/octava) en la transición de la banda de paso a la banda de rechazo , como un circuito resonante de alto factor Q. ^{[ nota 5 ]} Obviamente, estos requisitos son contradictorios y deben cumplirse con un solo circuito resonante. La solución a estas necesidades se fundamentó en la teoría de las líneas de transmisión y, por consiguiente, los filtros necesarios no estuvieron disponibles hasta que esta teoría se desarrolló por completo. En esta etapa inicial, la idea del ancho de banda de la señal, y por ende la necesidad de filtros que se ajustaran a él, no se comprendía del todo; de hecho, no fue hasta 1920 cuando el concepto de ancho de banda se estableció por completo. ^{[ 18 ]} Para los inicios de la radio, los conceptos de factor Q, selectividad y sintonización eran suficientes. Todo esto cambiaría con el desarrollo de la teoría de las líneas de transmisión en la que se basan los filtros de imagen , como se explica en la siguiente sección. ^{[ 1 ]}

A principios de siglo, con la disponibilidad de las líneas telefónicas, se popularizó la incorporación del telégrafo a estas líneas mediante un circuito fantasma de retorno a tierra . ^{[ nota 6 ]} Se requería un filtro LC para evitar que se escucharan los clics del telégrafo en la línea telefónica. A partir de la década de 1920, se utilizaron líneas telefónicas, o líneas balanceadas dedicadas a tal fin, para el telégrafo FDM en frecuencias de audio. El primer sistema de este tipo en el Reino Unido fue una instalación de Siemens y Halske entre Londres y Manchester. GEC y AT&T también contaban con sistemas FDM. Se utilizaban pares separados para las señales de envío y recepción. Los sistemas de Siemens y GEC tenían seis canales de telégrafo en cada dirección; el sistema de AT&T tenía doce. Todos estos sistemas utilizaban osciladores electrónicos para generar una portadora diferente para cada señal de telégrafo y requerían un banco de filtros paso banda para separar la señal multiplexada en el extremo receptor. ^{[ 19 ]}

El primer modelo de la línea de transmisión probablemente fue descrito por Georg Ohm (1827), quien estableció que la resistencia en un cable es proporcional a su longitud. ^{[ 20 ] [ nota 7 ]} El modelo de Ohm, por lo tanto, incluía solo resistencia. Latimer Clark observó que las señales se retrasaban y alargaban a lo largo de un cable, una forma indeseable de distorsión ahora llamada dispersión , pero entonces llamada retardo, y Michael Faraday (1853) estableció que esto se debía a la capacitancia presente en la línea de transmisión. ^{[ 21 ] [ nota 8 ]} Lord Kelvin (1854) encontró la descripción matemática correcta necesaria en su trabajo sobre los primeros cables transatlánticos; llegó a una ecuación idéntica a la conducción de un pulso de calor a lo largo de una barra de metal. ^{[ 22 ]} Este modelo incorpora solo resistencia y capacitancia, pero eso era todo lo que se necesitaba en los cables submarinos dominados por los efectos de capacitancia. El modelo de Kelvin predice un límite en la velocidad de señalización telegráfica de un cable, pero Kelvin todavía no utilizó el concepto de ancho de banda; El límite se explicó completamente en términos de la dispersión de los símbolos telegráficos . ^{[ 1 ]} El modelo matemático de la línea de transmisión alcanzó su máximo desarrollo con Oliver Heaviside . Heaviside (1881) introdujo la inductancia en serie y la conductancia en paralelo en el modelo, creando cuatro elementos distribuidos en total. Este modelo se conoce ahora como la ecuación del telegrafista y los parámetros de los elementos distribuidos se denominan constantes de línea primaria . ^{[ 23 ]}

A partir del trabajo de Heaviside (1887) quedó claro que el rendimiento de las líneas telegráficas, y especialmente de las telefónicas, podía mejorarse añadiendo inductancia a la línea. ^{[ 24 ]} George Campbell, de AT&T, implementó esta idea (1899) insertando bobinas de carga a intervalos a lo largo de la línea. ^{[ 25 ]} Campbell descubrió que, además de las mejoras deseadas en las características de la línea en la banda de paso, también existía una frecuencia definida más allá de la cual las señales no podían transmitirse sin una gran atenuación . Esto se debía a que las bobinas de carga y la capacitancia de la línea formaban un filtro de paso bajo , un efecto que solo se manifiesta en líneas que incorporan componentes concentrados como las bobinas de carga. Esto llevó naturalmente a Campbell (1910) a producir un filtro con topología de escalera . Basta con observar el diagrama del circuito de este filtro para apreciar su relación con una línea de transmisión cargada. ^{[ 26 ]} El fenómeno de corte es un efecto secundario indeseable en lo que respecta a las líneas cargadas, pero para los filtros FDM telefónicos es precisamente lo que se requiere. Para esta aplicación, Campbell produjo filtros paso banda con la misma topología de escalera reemplazando los inductores y condensadores con resonadores y antirresonadores, respectivamente. ^{[ nota 9 ]} Tanto la línea cargada como el FDM fueron de gran beneficio económico para AT&T y esto condujo a un rápido desarrollo del filtrado a partir de ese momento. ^{[ 27 ]}

Los filtros diseñados por Campbell ^{[ nota 10 ]} se denominaron filtros de onda debido a su propiedad de dejar pasar algunas ondas y rechazar fuertemente otras. El método mediante el cual se diseñaron se denominó método de parámetros de imagen ^{[ nota 11 ] [ 29 ] [ 30 ]} y los filtros diseñados con este método se denominan filtros de imagen. ^{[ nota 12 ]} El método de imagen consiste esencialmente en desarrollar las constantes de transmisión de una cadena infinita de secciones de filtro idénticas y luego terminar el número finito deseado de secciones de filtro en la impedancia de imagen . Esto corresponde exactamente a la forma en que las propiedades de una longitud finita de línea de transmisión se derivan de las propiedades teóricas de una línea infinita, correspondiendo la impedancia de imagen a la impedancia característica de la línea. ^{[ 31 ]}

Desde 1920, John Carson , también trabajando para AT&T, comenzó a desarrollar una nueva forma de ver las señales utilizando el cálculo operacional de Heaviside que, en esencia, trabaja en el dominio de la frecuencia . Esto les dio a los ingenieros de AT&T una nueva perspectiva sobre cómo funcionaban sus filtros y llevó a Otto Zobel a inventar muchas formas mejoradas. Carson y Zobel demolieron gradualmente muchas de las ideas antiguas. Por ejemplo, los antiguos ingenieros de telégrafo pensaban que la señal era una sola frecuencia, y esta idea persistió en la era de la radio, con algunos que todavía creían, hasta la publicación del artículo de Carson de 1922, que la transmisión de modulación de frecuencia (FM) podía lograrse con un ancho de banda menor que la señal de banda base . ^{[ 32 ]} Otro avance se refería a la naturaleza del ruido. Carson y Zobel (1923) ^{[ 33 ]} trataron el ruido como un proceso aleatorio con un ancho de banda continuo, una idea muy adelantada a su tiempo, y por lo tanto limitaron la cantidad de ruido que se podía eliminar mediante filtrado a la parte del espectro de ruido que quedaba fuera de la banda de paso. Esto tampoco fue generalmente aceptado al principio, encontrándose notablemente en oposición por parte de Edwin Armstrong (quien irónicamente, de hecho logró reducir el ruido con FM de banda ancha ) y solo se estableció finalmente con el trabajo de Harry Nyquist , cuya fórmula de potencia de ruido térmico es bien conocida hoy en día. ^{[ 34 ]}

Otto Zobel introdujo varias mejoras en los filtros de imagen y su teoría de funcionamiento . Zobel acuñó el término filtro k constante (o filtro de tipo k) para distinguir el filtro de Campbell de los tipos posteriores, en particular del filtro derivado de m de Zobel (o filtro de tipo m). Los problemas específicos que Zobel intentaba resolver con estas nuevas formas eran la adaptación de impedancia en las terminaciones y una mayor pendiente de atenuación. Esto se logró a costa de un aumento en la complejidad del circuito del filtro. ^{[ 35 ] [ 36 ]}

Hendrik Bode (1930) introdujo un método más sistemático para producir filtros de imagen , que posteriormente fue desarrollado por otros investigadores, entre ellos Piloty (1937-1939) y Wilhelm Cauer (1934-1937). En lugar de enumerar el comportamiento (función de transferencia, función de atenuación, función de retardo, etc.) de un circuito específico, se desarrolló un requisito para la impedancia de la imagen en sí misma. La impedancia de la imagen puede expresarse en términos de las impedancias de circuito abierto y de cortocircuito. ^{[ nota 13 ]} del filtro como${\displaystyle \scriptstyle Z_{i}={\sqrt {Z_{o}Z_{s}}}}$Dado que la impedancia de imagen debe ser real en las bandas de paso e imaginaria en las bandas de rechazo según la teoría de imágenes, se requiere que los polos y ceros de Z _o y Z _s se cancelen en la banda de paso y se correspondan en la banda de rechazo. El comportamiento del filtro se puede definir completamente en términos de las posiciones en el plano complejo de estos pares de polos y ceros. Cualquier circuito que tenga los polos y ceros requeridos también tendrá la respuesta requerida. Cauer investigó dos cuestiones relacionadas que surgieron de esta técnica: qué especificación de polos y ceros se puede realizar como filtros pasivos y qué realizaciones son equivalentes entre sí. Los resultados de este trabajo llevaron a Cauer a desarrollar un nuevo enfoque, ahora llamado síntesis de redes. ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}

Esta visión de polos y ceros del diseño de filtros resultó particularmente útil cuando un banco de filtros, cada uno operando a diferentes frecuencias, están conectados a través de la misma línea de transmisión. El enfoque anterior no podía abordar adecuadamente esta situación, pero el enfoque de polos y ceros sí podía contemplarla al especificar una impedancia constante para el filtro combinado. Este problema se relacionaba originalmente con la telefonía FDM, pero ahora surge con frecuencia en los filtros divisores de frecuencia de los altavoces . ^{[ 37 ]}

La esencia de la síntesis de redes consiste en partir de una respuesta de filtro requerida y producir una red que proporcione dicha respuesta, o que se aproxime a ella dentro de un límite especificado. Esto es lo contrario del análisis de redes , que parte de una red dada y, mediante la aplicación de diversos teoremas de circuitos eléctricos, predice la respuesta de la red. ^{[ 39 ]} El término se utilizó por primera vez con este significado en la tesis doctoral de Yuk-Wing Lee (1930) y, aparentemente, surgió de una conversación con Vannevar Bush . ^{[ 40 ]} La ventaja de la síntesis de redes sobre los métodos anteriores es que proporciona una solución que cumple con precisión las especificaciones de diseño. Este no es el caso de los filtros de imagen; se requiere cierto grado de experiencia en su diseño, ya que el filtro de imagen solo cumple con las especificaciones de diseño en el caso irreal de estar terminado en su propia impedancia de imagen. La síntesis de redes, por otro lado, se encarga de las impedancias de terminación simplemente incorporándolas a la red que se está diseñando. ^{[ 41 ]}

El desarrollo del análisis de redes debía tener lugar antes de que la síntesis de redes fuera posible. Los teoremas de Gustav Kirchhoff y otros, y las ideas de Charles Steinmetz ( fasores ) y Arthur Kennelly ( impedancia compleja ) ^{[ 42 ]} sentaron las bases. ^{[ 43 ]} El concepto de puerto también desempeñó un papel en el desarrollo de la teoría y demostró ser una idea más útil que los terminales de red. ^{[ nota 1 ] [ 36 ]} El primer hito en el camino hacia la síntesis de redes fue un importante artículo de Ronald M. Foster (1924), ^{[ 44 ]} Un teorema de reactancia , en el que Foster introduce la idea de una impedancia de punto de excitación , es decir, la impedancia que está conectada al generador. La expresión para esta impedancia determina la respuesta del filtro y viceversa, y una realización del filtro puede obtenerse mediante la expansión de esta expresión. No es posible realizar cualquier expresión de impedancia arbitraria como una red. El teorema de reactancia de Foster estipula condiciones necesarias y suficientes para la realizabilidad: que la reactancia debe ser algebraicamente creciente con la frecuencia y que los polos y ceros deben alternarse. ^{[ 45 ] [ 46 ]}

Wilhelm Cauer amplió el trabajo de Foster (1926) ^{[ 47 ]} y fue el primero en hablar de la realización de una impedancia de un puerto con una función de frecuencia prescrita. El trabajo de Foster solo consideraba reactancias (es decir, solo circuitos de tipo LC). Cauer generalizó esto a cualquier red de un puerto de dos elementos, encontrando que había un isomorfismo entre ellas. También encontró realizaciones en escalera ^{[ nota 14 ]} de la red utilizando la expansión en fracciones continuas de Thomas Stieltjes . Este trabajo fue la base sobre la que se construyó la síntesis de redes, aunque el trabajo de Cauer no fue utilizado inicialmente mucho por los ingenieros, en parte debido a la intervención de la Segunda Guerra Mundial, en parte por razones que se explican en la siguiente sección y en parte porque Cauer presentó sus resultados utilizando topologías que requerían inductores acoplados mutuamente y transformadores ideales. Los diseñadores tienden a evitar la complejidad de las inductancias mutuas y los transformadores siempre que sea posible, aunque los amplificadores de doble sintonización acoplados por transformador son una forma común de ampliar el ancho de banda sin sacrificar la selectividad. ^{[ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]}

Los filtros de imagen continuaron siendo utilizados por los diseñadores mucho después de que las técnicas superiores de síntesis de red estuvieran disponibles. Parte de la razón de esto pudo haber sido simplemente la inercia, pero se debió en gran medida al mayor cálculo requerido para los filtros de síntesis de red, que a menudo necesitaban un proceso iterativo matemático. Los filtros de imagen, en su forma más simple, consisten en una cadena de secciones repetidas e idénticas. El diseño se puede mejorar simplemente agregando más secciones, y el cálculo requerido para producir la sección inicial es del nivel de un diseño "a ojo". En el caso de los filtros de síntesis de red, por otro lado, el filtro se diseña como una entidad única, y para agregar más secciones (es decir, aumentar el orden) ^{[ nota 15 ]} el diseñador no tendría más opción que volver al principio y comenzar de nuevo. Las ventajas de los diseños sintetizados son reales, pero no son abrumadoras en comparación con lo que un diseñador de imágenes experto podría lograr, y en muchos casos era más rentable prescindir de cálculos que consumían mucho tiempo. ^{[ 51 ]} Esto no es simplemente un problema con la disponibilidad moderna de potencia informática, sino que en la década de 1950 era inexistente, en las décadas de 1960 y 1970 solo estaba disponible a un precio elevado, y no se generalizó su acceso para todos los diseñadores hasta la década de 1980 con la llegada de la computadora personal de escritorio. Los filtros de imagen se siguieron diseñando hasta ese momento y muchos permanecieron en servicio hasta el siglo XXI. ^{[ 52 ]}

La dificultad computacional del método de síntesis de red se abordó tabulando los valores de los componentes de un filtro prototipo y luego escalando la impedancia de frecuencia y transformando la forma de banda a las realmente requeridas. Este tipo de enfoque, o uno similar, ya se utilizaba con filtros de imagen, por ejemplo por Zobel, ^{[ 35 ]} pero el concepto de un "filtro de referencia" se debe a Sidney Darlington . ^{[ 53 ]} Darlington (1939), ^{[ 30 ]} también fue el primero en tabular valores para filtros prototipo de síntesis de red; ^{[ 54 ]} sin embargo, hubo que esperar hasta la década de 1950 para que el filtro elíptico de Cauer-Darlington se utilizara por primera vez. ^{[ 55 ]}

Una vez que la capacidad de cálculo estuvo fácilmente disponible, fue posible diseñar filtros para minimizar cualquier parámetro arbitrario, por ejemplo, el retardo de tiempo o la tolerancia a la variación de componentes. Las dificultades del método de imágenes quedaron definitivamente en el pasado, e incluso la necesidad de prototipos se volvió en gran medida superflua. ^{[ 56 ] [ 57 ]} Además, la llegada de los filtros activos facilitó la dificultad de cálculo porque las secciones podían aislarse y los procesos iterativos ya no eran generalmente necesarios. ^{[ 51 ]}

La realizabilidad (es decir, qué funciones son realizables como redes de impedancia reales) y la equivalencia (qué redes tienen equivalentemente la misma función) son dos cuestiones importantes en la síntesis de redes. Siguiendo una analogía con la mecánica lagrangiana , Cauer formuló la ecuación matricial,

${\displaystyle \mathbf {[A]} =s^{2}\mathbf {[L]} +s\mathbf {[R]} +\mathbf {[D]} =s\mathbf {[Z]} }$

donde [ Z ],[ R ],[ L ] y [ D ] son ​​las matrices n x n de, respectivamente, impedancia , resistencia , inductancia y elastancia de una red de malla n y s es el operador de frecuencia compleja${\displaystyle \scriptstyle s=\sigma +i\omega }$Aquí [ R ], [ L ] y [ D ] tienen energías asociadas que corresponden a las energías cinética, potencial y de calor disipativo, respectivamente, en un sistema mecánico, y los resultados ya conocidos de la mecánica podrían aplicarse aquí. Cauer determinó la impedancia del punto de conducción mediante el método de los multiplicadores de Lagrange ;

${\displaystyle Z_{\mathrm {p} }(s)={\frac {\det \mathbf {[A]} }{s\,a_{11}}}}$

donde a ₁₁ es el complemento del elemento A ₁₁ al que se conectará el puerto único. A partir de la teoría de estabilidad, Cauer encontró que [ R ], [ L ] y [ D ] deben ser matrices definidas positivas para que Z _p ( s ) sea realizable si no se excluyen los transformadores ideales. La realizabilidad solo está restringida por limitaciones prácticas en la topología. ^{[ 39 ]} Este trabajo también se debe en parte a Otto Brune (1931), quien trabajó con Cauer en los EE. UU. antes de que Cauer regresara a Alemania. ^{[ 49 ]} Una condición bien conocida para la realizabilidad de una impedancia racional de un puerto ^{[ nota 16 ]} debida a Cauer (1929) es que debe ser una función de s que sea analítica en el semiplano derecho (σ>0), tenga una parte real positiva en el semiplano derecho y tome valores reales en el eje real. Esto se deduce de la representación integral de Poisson de estas funciones. Brune acuñó el término real positivo para esta clase de funciones y demostró que era una condición necesaria y suficiente (Cauer solo había demostrado que era necesaria), y extendieron el trabajo a los multipuertos LC. Un teorema de Sidney Darlington establece que cualquier función real positiva Z ( s ) puede realizarse como un multipuerto sin pérdidas terminado en una resistencia positiva R. No se necesitan resistencias dentro de la red para realizar la respuesta especificada. ^{[ 49 ] [ 58 ] [ 59 ]}

En cuanto a la equivalencia, Cauer descubrió que el grupo de transformaciones afines reales ,

${\displaystyle \mathbf {[T]} ^{T}\mathbf {[A]} \mathbf {[T]} }$

dónde,

${\displaystyle \mathbf {[T]} ={\begin{bmatrix}1&0\cdots 0\\T_{21}&T_{22}\cdots T_{2n}\\\cdot &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}\cdots T_{nn}\end{bmatrix}}}$

es invariante en Z _p ( s ), es decir, todas las redes transformadas son equivalentes a la original. ^{[ 39 ]}

El problema de aproximación en la síntesis de redes consiste en encontrar funciones que produzcan redes realizables que se aproximen a una función de frecuencia prescrita dentro de límites arbitrariamente establecidos. Este problema es importante, ya que la función de frecuencia ideal requerida suele ser inalcanzable con redes racionales. Por ejemplo, la función ideal prescrita se suele considerar como la transmisión sin pérdidas inalcanzable en la banda de paso, la atenuación infinita en la banda de rechazo y una transición vertical entre ambas. Sin embargo, la función ideal puede aproximarse con una función racional , acercándose cada vez más a la ideal a medida que aumenta el orden del polinomio. El primero en abordar este problema fue Stephen Butterworth (1930) utilizando sus polinomios de Butterworth . De forma independiente, Cauer (1931) utilizó polinomios de Chebyshev , aplicados inicialmente a filtros de imagen, y no a la ahora conocida realización en escalera de este filtro. ^{[ 49 ] [ 60 ]}

Los filtros LC a bajas frecuencias se vuelven incómodos; los componentes, especialmente los inductores, se vuelven caros, voluminosos, pesados ​​y no ideales.  Los inductores prácticos de 1 H requieren muchas vueltas en un núcleo de alta permeabilidad; ese material tendrá altas pérdidas y problemas de estabilidad (por ejemplo, un gran coeficiente de temperatura). Para aplicaciones como un filtro de red, la incomodidad debe tolerarse. Para aplicaciones de bajo nivel y baja frecuencia, los filtros RC son posibles, pero no pueden implementar filtros con polos o ceros complejos. Si la aplicación puede usar potencia, entonces se pueden usar amplificadores para hacer filtros activos RC que pueden tener polos y ceros complejos. En la década de 1950, los filtros RC activos Sallen-Key se hicieron con amplificadores de tubo de vacío ; estos filtros reemplazaron los voluminosos inductores con tubos de vacío voluminosos y calientes. Los transistores ofrecieron diseños de filtros activos más eficientes en energía. Más tarde, los amplificadores operacionales económicos permitieron otras topologías de diseño de filtros RC activos. Aunque los diseños de filtros activos eran comunes a bajas frecuencias, eran poco prácticos a altas frecuencias donde los amplificadores no eran ideales; En las radiofrecuencias todavía se utilizaban filtros LC (y de línea de transmisión).

Gradualmente, el filtro RC activo de baja frecuencia fue reemplazado por el filtro de condensadores conmutados , que operaba en el dominio del tiempo discreto en lugar del continuo. Todas estas tecnologías de filtrado requieren componentes de precisión para un filtrado de alto rendimiento, lo que a menudo exige la sintonización de los filtros. Los componentes ajustables son costosos y la mano de obra para realizar la sintonización puede ser considerable. Sintonizar los polos y ceros de un filtro elíptico de séptimo orden no es una tarea sencilla. Los circuitos integrados han abaratado la computación digital, por lo que ahora el filtrado de baja frecuencia se realiza con procesadores de señales digitales. Estos filtros digitales no tienen problemas para implementar valores ultraprecisos (y estables), por lo que no se requiere sintonización ni ajuste. Los filtros digitales tampoco tienen que preocuparse por las rutas de acoplamiento parásitas ni por el blindaje de las secciones individuales del filtro entre sí. Una desventaja es que el procesamiento de señales digitales puede consumir mucha más energía que un filtro LC equivalente. La tecnología digital de bajo costo ha reemplazado en gran medida las implementaciones analógicas de filtros. Sin embargo, aún tienen cierta utilidad en aplicaciones más sencillas, como el acoplamiento, donde no se requieren funciones de frecuencia sofisticadas. ^{[ 76 ] [ 77 ]} Los filtros pasivos siguen siendo la tecnología preferida en frecuencias de microondas. ^{[ 78 ]}

• Filtro de audio
• Filtro de imagen compuesta
• Filtro digital
• Filtro electrónico
• Filtro lineal
• Filtros de síntesis de red

• Belevitch, V. (1962). "Resumen de la historia de la teoría de circuitos". Actas del IRE . 50 (5): 848– 855. Bibcode : 1962PIRE...50..848B . doi : 10.1109/JRPROC.1962.288301 .
• Blanchard, Julian (1941). "La historia de la resonancia eléctrica". Bell System Technical Journal . 20 (4): 415– 433. Bibcode : 1941BSTJ...20..415B . doi : 10.1002/j.1538-7305.1941.tb03608.x .
• Cauer, E; Mathis, W; Pauli, R, "Vida y obra de Wilhelm Cauer (1900–1945)" , Actas del Decimocuarto Simposio Internacional de Teoría Matemática de Redes y Sistemas (MTNS2000) , Perpiñán, junio de 2000.
• Darlington, S. (1984). "Una historia de la síntesis de redes y la teoría de filtros para circuitos compuestos de resistencias, inductores y condensadores". IEEE Transactions on Circuits and Systems . 31 (1): 3– 13. Bibcode : 1984ITCS...31....3D . doi : 10.1109/TCS.1984.1085415 .
• Fagen, MD; Millman, S, Historia de la ingeniería y la ciencia en el sistema Bell: Volumen 5: Ciencias de la comunicación (1925–1980) , AT&T Bell Laboratories, 1984 ISBN 0932764061.
• Godfrey, Charles (1898). "XXXIX. Sobre las discontinuidades relacionadas con la propagación del movimiento ondulatorio a lo largo de una cuerda cargada periódicamente ". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science . 45 (275): 356– 363. doi : 10.1080/14786449808621143 .
• Hunt, Bruce J. (1994). Los maxwellianos . Cornell University Press. ISBN 978-0-8014-8234-2.
• Lundheim, Lars (2002). "Sobre Shannon y la fórmula de Shannon". Telektronikk . 98 (1): 20– 29.
• Mason, WP (1941). "Analogías eléctricas y mecánicas". Bell System Technical Journal . 20 (4): 405– 414. Bibcode : 1941BSTJ...20..405M . doi : 10.1002/j.1538-7305.1941.tb03607.x .
• Matthaei, Young, Jones, Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento , McGraw-Hill 1964.

• Fry, TC (1929). "El uso de fracciones continuas en el diseño de redes eléctricas" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 35 (4): 463– 498. doi : 10.1090/S0002-9904-1929-04747-5 .