Notación de poliedros de Conway

La relación entre el número de vértices, aristas y caras de la semilla y el poliedro creado por las operaciones enumeradas en este artículo se puede expresar como una matriz.${\displaystyle \mathbf {M} _{x}}$. Cuando x es el operador,${\displaystyle v,e,f}$son los vértices, aristas y caras de la semilla (respectivamente), y${\displaystyle v',e',f'}$son los vértices, aristas y caras del resultado, entonces

${\displaystyle \mathbf {M} _{x}{\begin{bmatrix}v\\e\\f\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v'\\e'\\f'\end{bmatrix}}}$.

La matriz para la composición de dos operadores es simplemente el producto de las matrices de ambos operadores. Dos operadores distintos pueden tener la misma matriz, por ejemplo, p y l . El número de aristas del resultado es un múltiplo entero d del de la semilla: esto se denomina tasa de inflación o factor de aristas. ^{[ 7 ]}

Los operadores más simples, el operador identidad S y el operador dual d , tienen formas matriciales simples:

${\displaystyle \mathbf {M} _{S}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {I} _{3}}$,${\displaystyle \mathbf {M} _{d}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}}$

Dos operadores duales se cancelan; dd = S , y el cuadrado de${\displaystyle \mathbf {M} _{d}}$es la matriz identidad . Al aplicarse a otros operadores, el operador dual corresponde a reflexiones horizontales y verticales de la matriz. Los operadores se pueden agrupar en grupos de cuatro (o menos si algunas formas son iguales) identificando los operadores x , xd (operador dual), dx (dual del operador) y dxd (conjugado del operador). En este artículo, solo se proporciona la matriz para x , ya que las demás son simples reflexiones.

El número de LSP para cada tasa de inflación es${\displaystyle 2,2,4,6,6,20,28,58,82,\cdots }$comenzando con una tasa de inflación de 1. Sin embargo, no todos los LSP producen necesariamente un poliedro cuyos bordes y vértices formen un grafo 3-conexo , y como consecuencia del teorema de Steinitz, no producen necesariamente un poliedro convexo a partir de una semilla convexa. El número de LSP 3-conexos para cada tasa de inflación es${\displaystyle 2,2,4,6,4,20,20,54,64,\cdots }$. ^{[ 8 ]} El número de LOPSPs (quirales) conectados a 3 para cada tasa de inflación es${\displaystyle 0,0,0,0,4,0,10,8,38,\cdots }$. ^{[ 10 ]}

Las operaciones de aumento conservan las aristas originales. Se pueden aplicar a cualquier subconjunto independiente de caras o se pueden convertir en una forma de unión eliminando las aristas originales. La notación de Conway admite un índice opcional para estos operadores: 0 para la forma de unión, o 3 o superior para la cantidad de lados que tienen las caras afectadas. Por ejemplo, k₄Y₄ = _{0 : al unir una pirámide de} base cuadrada a otra pirámide se obtiene un octaedro.

El operador de truncamiento t también tiene una forma de índice t _n , que indica que solo se truncan los vértices de cierto grado. Es equivalente a dk _n d .

Algunos de los operadores extendidos se pueden crear en casos especiales con operadores k _n y t _n . Por ejemplo, un cubo chaflán , cC , se puede construir como t ₄ daC , como un dodecaedro rómbico , daC o jC , con sus vértices de grado 4 truncados. Un cubo loft, lC, es lo mismo que t ₄ kC . Un quinto-dodecaedro, qD, se puede construir como t ₅ daaD o t ₅ deD o t ₅ oD , un hexecontaedro deltoidal , deD o oD , con sus vértices de grado 5 truncados.

Meta agrega vértices en el centro y a lo largo de los bordes, mientras que Bevel agrega caras en el centro, vértices semilla y a lo largo de los bordes. El índice indica cuántos vértices o caras se agregan a lo largo de los bordes. Meta (en su forma no indexada) también se denomina cantitruncación u omnitruncación . Nótese que 0 aquí no significa lo mismo que para las operaciones de aumento: significa que no se agregan vértices (o caras) a lo largo de los bordes. ^{[ 4 ]}

Medial es similar a meta, excepto que no agrega aristas desde el centro a cada vértice semilla. La forma de índice 1 es idéntica a los operadores orto y expand de Conway: expand también se denomina cantelación y expansión . Nótese que o y e tienen sus propias formas indexadas, descritas a continuación. También tenga en cuenta que algunas implementaciones comienzan la indexación en 0 en lugar de 1. ^{[ 4 ]}

Los operadores de Goldberg-Coxeter (GC) de Conway son dos familias infinitas de operadores que son una extensión de la construcción de Goldberg-Coxeter . ^{[ 17 ] [ 18 ]} La construcción GC puede pensarse como tomar una sección triangular de una red triangular, o una sección cuadrada de una red cuadrada, y colocarla sobre cada cara del poliedro. Esta construcción puede extenderse a cualquier cara identificando las cámaras del triángulo o cuadrado (el "polígono maestro"). ^{[ 7 ]} Los operadores de la familia triangular pueden usarse para producir los poliedros de Goldberg y los poliedros geodésicos : véase la Lista de poliedros geodésicos y poliedros de Goldberg para las fórmulas.

Las dos familias son la familia GC triangular, c _a,b y u _a,b , y la familia GC cuadrilátera, e _a,b y o _a,b . Ambas familias GC están indexadas por dos números enteros.${\displaystyle a\geq 1}$y${\displaystyle b\geq 0}$Poseen muchas cualidades agradables:

• Los índices de las familias guardan relación con ciertos dominios euclidianos sobre los números complejos: los enteros de Eisenstein para la familia GC triangular y los enteros gaussianos para la familia GC cuadrilátera.
• Los operadores en las columnas x y dxd dentro de la misma familia conmutan entre sí.

Los operadores se dividen en tres clases (los ejemplos están escritos en términos de c , pero se aplican a los 4 operadores):

• Clase I :${\displaystyle b=0}$⁠ . Aquiral, conserva los bordes originales. Se puede escribir con el índice cero suprimido, por ejemplo c _{a ,0} = c _a .
• Clase II:${\displaystyle a=b}$⁠ . También aquiral. Se puede descomponer como c _a,a = c _a c _1,1
• Clase III: Todos los demás operadores. Estos son quirales, y c _a,b y c _b,a son pares quirales entre sí.

De las operaciones originales de Conway, las únicas que no pertenecen a la familia GC son g y s (giroscopio y snub). Meta y bevel ( m y b ) se pueden expresar en términos de un operador de la familia triangular y otro de la familia cuadrilátera.

El conjunto original de operadores de Conway permite crear todos los sólidos arquimedianos y catalanes , utilizando los sólidos platónicos como base. (Cabe destacar que el operador r no es necesario para crear ambas formas quirales).

• Arquímedes
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  Tetraedro truncado tT
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  Cuboctaedro aC = aO = eT
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  Cubo truncado tC
• 
  Octaedro truncado tO = bT
• 
  Rombicúboctaedro eC = eO
• 
  cuboctaedro truncado bC = bO
• 
  cubo truncado sC = sO
• 
  icosidodecaedro aD = aI
• 
  dodecaedro truncado tD
• 
  icosaedro truncado tI
• 
  hedrón rombicosidodeca eD = eI
• 
  icosidodecaedro truncado bD = bI
• 
  dodecaedro truncado sD = sI

• catalán
• 
  Tetraedro de Triakis kT
• 
  Dodecaedro rómbico jC = jO = oT
• 
  Octaedro de Triakis kO
• 
  Hexaedro tetrakis kC = mT
• 
  icositetraedro deltoidal oC = oO
• 
  Dodecaedro de Disdyakis mC = mO
• 
  Icositetraedro pentagonal gC = gO
• 
  Triacontaedro rómbico jD = jI
• 
  icosaedro de Triakis kI
• 
  Dodecaedro de pentakis kD
• 
  Hexcontaedro deltoidal oD = oI
• 
  Triacontaedro de Disdyakis mD = mI
• 
  Hexecontaedro pentagonal gD = gI

El icosaedro truncado , tI , puede usarse como semilla para crear poliedros visualmente más agradables, aunque estos no son transitivos ni en vértices ni en caras .

• 
  yo
• 
  enI
• 
  ttI
• 
  ztI = ttD
• 
  y yo
• 
  pero yo
• 
  stI

• Duales
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  dtI = nI = kD
• 
  jtI
• 
  ntI = kkD
• 
  ktI
• 
  otI
• 
  mtI
• 
  gtI

Cada uno de los teselados uniformes convexos y sus duales se pueden crear aplicando operadores de Conway a los teselados regulares Q , H y Δ .

• 
  Teselado cuadrado Q = dQ = aQ = eQ = jQ = oQ
• 
  Teselado cuadrado truncado tQ = bQ
• 
  Teselado cuadrado de Tetrakis kQ = mQ
• 
  Azulejos cuadrados truncados sQ
• 
  El Cairo, teselado pentagonal gQ

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  Mosaico hexagonal H = dΔ = tΔ
• 
  Teselado trihexagonal aH = aΔ
• 
  Teselado hexagonal truncado tH
• 
  Teselado rombitrihexagonal eH = eΔ
• 
  Teselado trihexagonal truncado bH = bΔ
• 
  Teselado trihexagonal truncado sH = sΔ

• 
  Teselado triangular Δ = dH = kH
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  Teselado de rombos jΔ = jH
• 
  Teselado triangular de Triakis kΔ
• 
  Teselado trihexagonal deltoidal oΔ = oH
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  Teselado de kisrómbille mΔ = mH
• 
  Mosaico pentagonal de florete gΔ = gH

Los operadores de Conway también se pueden aplicar a poliedros toroidales y poliedros con múltiples agujeros.

• 
  Un toro cuadrado regular de 1x1, {4,4} _1,0
• 
  Un toro cuadrado regular de 4x4, {4,4} _4,0
• 
  tQ24×12 proyectado al toro
• 
  taQ24×12 proyectado al toro
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  actQ24×8 proyectado al toro
• 
  tH24×12 proyectado al toro
• 
  taH24×8 proyectado al toro
• 
  kH24×12 proyectado al toro