Lista de politopos regulares

Este artículo enumera los politopos regulares en los espacios euclidianos , esféricos e hiperbólicos .

Descripción general

Esta tabla muestra un resumen del número de politopos regulares ordenados por rango.

1-politopos

Solo existe un politopo de rango 1 (1-politopo), el segmento de línea cerrado delimitado por sus dos extremos. Toda realización de este 1-politopo es regular. Tiene el símbolo de Schläfli { }, ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} o un diagrama de Coxeter con un único nodo anillado, . Norman Johnson lo llama dion ^{[ 5 ]} y le da el símbolo de Schläfli { }.

Aunque trivial como politopo, aparece como los bordes de polígonos y otros politopos de dimensiones superiores. ^{[ 6 ]} Se utiliza en la definición de prismas uniformes como el símbolo de Schläfli { }×{p}, o el diagrama de Coxeter como producto cartesiano de un segmento de línea y un polígono regular. ^[⁷^]

2-politopos (polígonos)

Los politopos de rango 2 (2-politopos) se denominan polígonos . Los polígonos regulares son equiláteros y cíclicos . Un polígono regular $p$ -gonal se representa mediante el símbolo de Schläfli {p}.

Muchas fuentes solo consideran polígonos convexos , pero los polígonos estrellados , como el pentagrama , también pueden ser regulares. Utilizan los mismos vértices que las formas convexas, pero se conectan mediante una conectividad alternativa que da varias vueltas al círculo para completarse.

Convexo

El símbolo de Schläfli {p} representa un $p$ -gono regular .

Esférico

El digon regular {2} puede considerarse un polígono regular degenerado . Puede realizarse de forma no degenerada en algunos espacios no euclidianos, como en la superficie de una esfera o un toro . Por ejemplo, el digon puede realizarse de forma no degenerada como una lúnula esférica . Un monógono {1} también podría realizarse en la esfera como un único punto con un círculo máximo que lo atraviesa. ^{[ 8 ]} Sin embargo, un monógono no es un politopo abstracto válido porque su única arista incide en un solo vértice en lugar de en dos.

Estrellas

Existen infinitos politopos estrellados regulares en dos dimensiones, cuyos símbolos de Schläfli consisten en números racionales ${n / m}$ . Se denominan polígonos estrellados y comparten la misma disposición de vértices que los polígonos regulares convexos.

En general, para cualquier número natural $n$ , existen estrellas regulares $de n$ puntas con símbolos de Schläfli ${n / m}$ para todo $m$ tal que $m < n /2$ (estrictamente hablando, ${n / m} = {n /(n - m)}$ ) y $m$ y $n$ son coprimos (por lo tanto, todas las estelaciones de un polígono con un número primo de lados serán estrellas regulares). Los símbolos donde $m$ y $n$ no son coprimos pueden usarse para representar polígonos compuestos .

Es posible que existan polígonos estrellados que solo puedan existir como teselaciones esféricas, de forma similar al monógono y al digono (por ejemplo: {3/2}, {5/3}, {5/4}, {7/4}, {9/5}), sin embargo, estos no se han estudiado en detalle.

También existen polígonos estrellados fallidos, como el piangle , que no cubren la superficie de un círculo un número finito de veces. ^{[ 9 ]}

Polígonos sesgados

Además de los polígonos regulares planos, existen infinitos polígonos regulares sesgados . Los polígonos sesgados se pueden crear mediante la operación de fusión.

La combinación de dos polígonos $P$ y $Q$ , escrita como $P # Q$ , se puede construir de la siguiente manera:

toma el producto cartesiano de sus vértices $V P \times V Q$ .
agregar aristas $(p 0 \times q 0, p 1 \times q 1)$ donde $(p 0, p 1)$ es una arista de $P$ y $(q 0, q 1)$ es una arista de $Q$ .
Seleccione un componente conectado arbitrario del resultado.

Alternativamente, la mezcla es el polígono $⟨ ρ 0 σ 0, ρ 1 σ 1 ⟩$ donde $ρ$ y $σ$ son los espejos generadores de $P$ y $Q$ ubicados en subespacios ortogonales. ^{[ 10 ]} La operación de mezcla es conmutativa, asociativa e idempotente.

Todo polígono sesgado regular puede expresarse como la combinación de un conjunto único ^{[ i ]} de polígonos planos. ^{[ 10 ]} Si $P$ y $Q$ no comparten factores, entonces $Dim(P # Q) = Dim(P) + Dim(Q)$ .

En 3 espacios

Los polígonos regulares finitos en 3 dimensiones son exactamente combinaciones de polígonos planos (2 dimensiones) con el digon (1 dimensión). Tienen vértices que corresponden a un prisma ( ${n / m}#{}$ donde $n$ es impar) o a un antiprisma ( ${n / m}#{}$ donde $n$ es par). Todos los polígonos en el espacio tridimensional tienen un número par de vértices y aristas.

Varios de ellos aparecen como polígonos de Petrie de poliedros regulares.

En 4 espacios

Los polígonos regulares finitos en 4 dimensiones son precisamente los polígonos formados por la combinación de dos polígonos planos distintos. Sus vértices se encuentran sobre un toro de Clifford y están relacionados por un desplazamiento de Clifford . A diferencia de los polígonos tridimensionales, los polígonos sesgados en rotaciones dobles pueden tener un número impar de lados.

3-politopos (poliedros)

Los politopos de dimensión 3 se denominan poliedros :

Un poliedro regular con símbolo de Schläfli ${p, q}$ , diagramas de Coxeter , tiene un tipo de cara regular ${$ $p$ $}$ , y una figura de vértice regular ${$ $q$ $}$ .

Una figura de vértice (de un poliedro) es un polígono que se obtiene al conectar los vértices que se encuentran a una arista de un vértice dado. En el caso de poliedros regulares , esta figura de vértice es siempre un polígono regular (y plano).

La existencia de un poliedro regular ${p, q}$ está restringida por una desigualdad relacionada con el defecto angular de la figura del vértice : ${\begin{aligned}&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}:{\text{Polyhedron (existing in Euclidean 3-space)}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}:{\text{Euclidean plane tiling}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}:{\text{Hyperbolic plane tiling}}\end{aligned}}$

Al enumerar las permutaciones , encontramos cinco formas convexas, cuatro formas estrelladas y tres teselaciones planas, todas con polígonos ${p}$ y ${q}$ limitados a: {3}, {4}, {5}, {5/2} y {6}.

Más allá del espacio euclidiano, existe un conjunto infinito de teselaciones hiperbólicas regulares.

Convexo

Los cinco poliedros regulares convexos se denominan sólidos platónicos . La figura del vértice se da con cada recuento de vértices. Todos estos poliedros tienen una característica de Euler ( $\chi$ ) de 2.

Esférico

En geometría esférica , existen poliedros esféricos regulares ( teselados de la esfera ) que, de otro modo, serían degenerados como politopos. Estos son los hosoedros {2,n} y sus diedros duales {n,2}. Coxeter denomina a estos casos teselaciones "impropias". ^{[ 11 ]}

Los primeros casos (n de 2 a 6) se enumeran a continuación.

También existen diedros estrellados y hosoedros ${p / q, 2}$ y ${2, p / q}$ para cualquier polígono estrellado ${p / q}$ .

Estrellas

Los poliedros estrellados regulares se denominan poliedros de Kepler-Poinsot y existen cuatro de ellos, basados en la disposición de los vértices del dodecaedro {5,3} y del icosaedro {3,5}:

Como teselaciones esféricas , estas formas estelares se superponen a la esfera varias veces, lo que se denomina su densidad , que es de 3 o 7 para estas formas. Las imágenes de las teselaciones muestran una única cara de polígono esférico en amarillo.

Existen infinitos poliedros estrellados fallidos. Estos también son teselaciones esféricas con polígonos estrellados en sus símbolos de Schläfli, pero no cubren una esfera un número finito de veces. Algunos ejemplos son {5/2,4}, {5/2,9}, {7/2,3}, {5/2,5/2}, {7/2,7/3}, {4,5/2} y {3,7/3}.

poliedros oblicuos

Los poliedros sesgados regulares son generalizaciones del conjunto de poliedros regulares que incluyen la posibilidad de figuras de vértices no planas .

Para poliedros sesgados de 4 dimensiones, Coxeter propuso un símbolo de Schläfli modificado {l,m|n} para estas figuras, donde {l,m} implica la figura del vértice , m l-gonos alrededor de un vértice y $n$ agujeros gonales. Sus figuras de vértice son polígonos sesgados que zigzaguean entre dos planos.

Los poliedros sesgados regulares, representados por {l,m|n}, siguen esta ecuación:

$2\sin \left({\frac {\pi }{l}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{m}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

Cuatro de ellos pueden verse en 4 dimensiones como un subconjunto de caras de cuatro 4-politopos regulares , que comparten la misma disposición de vértices y disposición de aristas :

4-politopos (policoros)

4 politopos regulares con símbolo de Schläfli $\{p,q,r\}$ tienen células de tipo $\{p,q\}$ , caras de tipo $\{p\}$ , cifras de borde $\{r\}$ y figuras de vértice $\{q,r\}$ .

Una figura de vértice (de un 4-politopo) es un poliedro, visto a partir de la disposición de los vértices vecinos alrededor de un vértice dado. Para los 4-politopos regulares, esta figura de vértice es un poliedro regular.
Una figura de arista es un polígono, que se define por la disposición de las caras alrededor de una arista. En el caso de 4-politopos regulares, esta figura de arista siempre será un polígono regular.

La existencia de un 4-politopo regular $\{p,q,r\}$ está limitado por la existencia de los poliedros regulares $\{p,q\},\{q,r\}$ . Un nombre sugerido para los 4-politopos es "policoron". ^{[ 12 ]}

Cada uno existirá en un espacio que depende de esta expresión:

\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)-\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)

>0

: Panal hiperesférico de 3 espacios o politopo de 4 capas

=0

: Panal euclidiano de 3 espacios

<0

: Panal hiperbólico de 3 espacios

Estas restricciones permiten 21 formas: 6 son convexas, 10 no son convexas, una es un panal euclidiano tridimensional y 4 son panales hiperbólicos.

Convexo

Los 6 4-politopos regulares convexos se muestran en la tabla siguiente. Todos estos 4-politopos tienen una característica de Euler ( $\chi$ ) de 0.

Esférico

Los di-4-topos y los hoso-4-topos existen como teselaciones regulares de la 3-esfera .

Los di-4-topos regulares (2 facetas) incluyen: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p,2,2}, y sus duales hoso-4-topos (2 vértices): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,5,3}, {2,2, p }. Los 4-politopos de la forma {2, p ,2} son iguales a {2,2, p }. También están los casos { p ,2, q } que tienen celdas diedrales y figuras de vértices hosoédricas.

Estrellas

Hay diez 4-politopos estrellados regulares , que se denominan 4-politopos de Schläfli-Hess . Sus vértices se basan en los 120-celdas convexos {5,3,3} y 600-celdas {3,3,5} .

Ludwig Schläfli encontró cuatro de ellos y se saltó los últimos seis porque no permitiría formas que no cumplieran la característica de Euler en celdas o figuras de vértice (para toros de agujero cero: F+V−E=2). Edmund Hess (1843-1903) completó la lista completa de diez en su libro alemán Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (1883)..

Existen 4 disposiciones de aristas únicas y 7 disposiciones de caras únicas a partir de estos 10 politopos de estrella regulares de 4 lados, mostrados como proyecciones ortogonales :

Existen 4 permutaciones potenciales fallidas de politopos de estrella regulares de 4 miembros: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}. Sus celdas y figuras de vértices existen, pero no cubren una hiperesfera con un número finito de repeticiones.

4-politopos sesgados

Además de los 16 4-politopos planares anteriores, hay 18 politopos sesgados finitos. ^{[ 13 ]} Uno de ellos se obtiene como el dual de Petrie del teseracto, y los otros 17 se pueden formar aplicando la operación kappa a los politopos planares y al dual de Petrie del teseracto.

Dimensión 5 y superiores

A los 5-politopos se les puede dar el símbolo $\{p,q,r,s\}$ dónde $\{p,q,r\}$ es el tipo de 4 caras, $\{p,q\}$ es el tipo de célula, $\{p\}$ es el tipo de rostro, y $\{s\}$ es la figura del rostro, $\{r,s\}$ es la figura del borde, y $\{q,r,s\}$ es la figura del vértice.

Una figura de vértice (de un politopo de 5 miembros) es un politopo de 4 miembros, visto por la disposición de los vértices vecinos a cada vértice.

Una figura de arista (de un 5-politopo) es un poliedro, visto por la disposición de las caras alrededor de cada arista.

Una figura facial (de un politopo de 5 caras) es un polígono, que se puede observar por la disposición de las celdas alrededor de cada cara.

Un politopo regular de 5 miembros $\{p,q,r,s\}$ existe solo si $\{p,q,r\}$ y $\{q,r,s\}$ son 4-politopos regulares.

El espacio en el que encaja se basa en la expresión:

{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{s}}\right)}}

<1

: Teselación esférica de 4 espacios o politopo de 5 espacios

=1

: Teselación euclidiana de 4 espacios

>1

: teselación hiperbólica de 4 espacios

La enumeración de estas restricciones produce 3 politopos convexos, ningún politopo estrellado, 3 teselaciones del espacio euclidiano de 4 dimensiones y 5 teselaciones del espacio hiperbólico paracompacto de 4 dimensiones. Los únicos politopos regulares no convexos para rangos 5 y superiores son los sesgados.

Convexo

En dimensiones 5 y superiores, solo hay tres tipos de politopos regulares convexos. ^{[ 14 ]}

También existen casos impropios en los que algunos números del símbolo de Schläfli son 2. Por ejemplo, {p,q,r,...2} es un politopo esférico regular impropio siempre que {p,q,r...} sea un politopo esférico regular, y {2,...p,q,r} es un politopo esférico regular impropio siempre que {...p,q,r} sea un politopo esférico regular. Dichos politopos también pueden utilizarse como facetas, dando lugar a formas como {p,q,...2...y,z}.

5 dimensiones

6 dimensiones

7 dimensiones

8 dimensiones

9 dimensiones

10 dimensiones

politopos estrellados

No existen politopos estelares regulares de rango 5 o superior, con la excepción de los politopos degenerados creados por el producto estelar de politopos estelares de rango inferior, por ejemplo, los hosotopos y los dítopos.

politopos proyectivos regulares

Existe un politopo proyectivo regular $(n +1) - cuando una teselación$ $n$ -esférica regular original , {p,q,...}, es centralmente simétrica . Dicho politopo se denomina hemi-{p,q,...}, y contienen la mitad de elementos. Coxeter da un símbolo {p,q,...}/2, mientras que McMullen escribe {p,q,...} _h/2 con h como el número de Coxeter . ^{[ 15 ]}

Los polígonos regulares de lados pares tienen polígonos proyectivos de hemi- 2n- gonos, {2p}/2.

Hay 4 poliedros proyectivos regulares relacionados con 4 de los 5 sólidos platónicos .

El hemicubo y el hemioctaedro se generalizan como hemi- $n-$ cubos y hemi $-n$ - ortoplexos de cualquier rango.

poliedros proyectivos regulares

4-politopos proyectivos regulares

Cinco de los seis 4-politopos regulares convexos son 4-politopos proyectivos generadores de simetría central. Los tres casos especiales son hemi-24-celdas, hemi-600-celdas y hemi-120-celdas.

5-politopos proyectivos regulares

Solo 2 de los 3 politopos esféricos regulares son simétricos centralmente para rangos 5 o superiores. Los politopos proyectivos regulares correspondientes son las versiones hemi del hipercubo y el ortoplex regulares. Se muestran en la tabla a continuación para el rango 5, por ejemplo:

Apeirotopos

Un apeirotopo o politopo infinito es un politopo que tiene infinitas caras . Un $n -apeirotopo es un$ $n$ -politopo infinito : un 2-apeirotopo o apeirogon es un polígono infinito, un 3-apeirotopo o apeirohedron es un poliedro infinito, etc.

Existen dos clases geométricas principales de apeirotopos: ^{[ 16 ]}

Panales regulares en $n$ dimensiones, que llenan completamente un espacio $n -dimensional.$
Apeirotopos sesgados regulares , que comprenden una variedad $n$ -dimensional en un espacio superior.

2-apeirotopos (apeirogonos)

El apeirogon recto es una teselación regular de la línea, que la subdivide en infinitos segmentos iguales. Tiene infinitos vértices y aristas. Su símbolo de Schläfli es {∞} y su diagrama de Coxeter es .

... ...

Existe como el límite del $p$ -gono cuando $p$ tiende a infinito, como sigue:

Los apeirogonos en el plano hiperbólico , en particular el apeirogono regular , {∞}, pueden tener una curvatura igual que los polígonos finitos del plano euclidiano, con los vértices circunscritos por horociclos o hiperciclos en lugar de círculos .

Los apeirogones regulares que se escalan para converger en el infinito tienen el símbolo {∞} y existen en horociclos, mientras que, de forma más general, pueden existir en hiperciclos.

Arriba se muestran dos apeirogonos hiperbólicos regulares en el modelo del disco de Poincaré ; el de la derecha muestra líneas de reflexión perpendiculares de dominios fundamentales divergentes , separadas por una longitud λ.

Apeirogones sesgados

Un apeirogon sesgado en dos dimensiones forma una línea en zigzag en el plano. Si el zigzag es par y simétrico, entonces el apeirogon es regular.

Los apeirogonos oblicuos se pueden construir en cualquier número de dimensiones. En tres dimensiones, un apeirogono oblicuo regular describe una espiral helicoidal y puede ser levógiro o dextrógiro.

3-apeirotopos (apeiroedros)

teselaciones euclidianas

Existen seis teselaciones regulares del plano: las tres que se enumeran a continuación y sus correspondientes Petrials.

Hay dos teselaciones regulares impropias: {∞,2}, un diedro apeirogonal , formado por dos apeirogonos , cada uno de los cuales llena la mitad del plano; y en segundo lugar, su dual, {2,∞}, un hosoedro apeirogonal , visto como un conjunto infinito de líneas paralelas.

Teselaciones estelares euclidianas

No existen teselaciones planas regulares de polígonos estrellados . Hay muchas enumeraciones que caben en el plano (1/ p + 1/ q = 1/2), como {8/3,8}, {10/3,5}, {5/2,10}, {12/5,12}, etc., pero ninguna se repite periódicamente.

Teselaciones hiperbólicas

Las teselaciones del espacio hiperbólico bidimensional son teselaciones hiperbólicas . Existen infinitas teselaciones regulares en H₂ ^. Como se indicó anteriormente, todo par de enteros positivos { p , q } tal que 1/ p + 1/ q < 1/2 da lugar a una teselación hiperbólica. De hecho, para el triángulo de Schwarz general ( p , q , r ), se cumple lo mismo para 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1.

Existen diversas formas de representar el plano hiperbólico, incluyendo el modelo del disco de Poincaré , que lo transforma en un círculo, como se muestra a continuación. Cabe destacar que todas las caras poligonales en los mosaicos que se muestran a continuación tienen el mismo tamaño y solo parecen reducirse cerca de los bordes debido a la proyección aplicada, de forma muy similar al efecto de una lente ojo de pez .

Hay infinitos 3-apeirotopos regulares planos (apeiroedros) como teselaciones regulares del plano hiperbólico, de la forma {p,q}, con p+q<pq/2.

{3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
{4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
{5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
{6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
{7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
{8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
{9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
...
{∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}

Una muestra:

Los teselados {p, ∞} tienen vértices ideales , en el borde del modelo del disco de Poincaré. Sus duales {∞, p} tienen caras apeirogonales ideales , lo que significa que están inscritos en horociclos . Se podría ir más allá (como se hace en la tabla anterior) y encontrar teselados con vértices ultraideales, fuera del disco de Poincaré, que son duales a teselas inscritas en hiperciclos ; en lo que se simboliza {p, iπ/λ} arriba, infinitas teselas aún caben alrededor de cada vértice ultraideal. ^{[ 17 ]} (Las líneas paralelas en el espacio hiperbólico extendido se encuentran en un punto ideal; las líneas ultraparalelas se encuentran en un punto ultraideal.) ^{[ 18 ]}

Teselaciones de estrellas hiperbólicas

Hay 2 formas infinitas de teselaciones hiperbólicas cuyas caras o figuras de vértice son polígonos estrellados: { m /2, m } y sus duales { m , m /2} con m = 7, 9, 11, ... ^{[ 19 ]} Las teselaciones { m /2, m } son estelaciones de las teselaciones { m , 3} mientras que las teselaciones duales { m , m /2} son facetas de las teselaciones {3, m } y ampliaciones ^{[ ii ]} de las teselaciones { m , 3}.

Los patrones { m /2, m } y { m , m /2} continúan para m impar < 7 como poliedros : cuando m = 5, obtenemos el dodecaedro estrellado pequeño y el dodecaedro grande , ^{[ 19 ]} y cuando m = 3, el caso degenera a un tetraedro . Los otros dos poliedros de Kepler-Poinsot (el dodecaedro estrellado grande y el icosaedro grande ) no tienen análogos de teselado hiperbólico regular. Si m es par, dependiendo de cómo elijamos definir { m /2}, podemos obtener recubrimientos dobles degenerados de otros teselados o teselados compuestos .

Apeiroedros sesgados en el espacio euclidiano tridimensional.

Hay tres apeiroedros sesgados regulares en el espacio euclidiano tridimensional, con caras planas. ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}^{[ 24 ]} Comparten la misma disposición de vértices y disposición de aristas de 3 panales uniformes convexos .

6 cuadrados alrededor de cada vértice: {4,6|4}
4 hexágonos alrededor de cada vértice: {6,4|4}
6 hexágonos alrededor de cada vértice: {6,6|3}

Poliedros sesgados regulares con caras planas
El mucubo
El muoctaedro
El mutetraedro

Considerando las caras sesgadas, hay 30 apeiroedros regulares en el espacio euclidiano tridimensional. ^{[ 25 ]} Estos incluyen los 12 apeiroedros combinados creados por combinaciones con los apeiroedros planares euclidianos, y 18 apeiroedros puros, que no pueden expresarse como una combinación no trivial que incluya los apeiroedros planares y los tres apeiroedros tridimensionales anteriores.

Los apeiroedros puros tridimensionales son:

${4,6|4}$ , el mucubo
${\infty,6} 4,4$ , el Petrial del mucubo
${6,6|3}$ , el mutetraedro
${\infty,6} 6,3$ , el Petrial del mutetraedro
${6,4|4}$ , el muoctaedro
${\infty,4} 6,4$ , el Petrial del muoctaedro
${6,6} 4$ , la división a la mitad del mucubo
${4,6} 6$ , el Petrial de ${6,6} 4$
${\infty,4} \cdot,*3$ , la inclinación del muoctaedro
${6,4} 6$ , la asimetría de ${\infty,4} 6,4$
${\infty,3} (a)$
${\infty,3} (b)$

Apeiroedros sesgados en el espacio hiperbólico tridimensional.

Hay 31 apeiroedros sesgados regulares con caras convexas en el espacio hiperbólico 3-dimensional con simetría compacta o paracompacta: ^{[ 26 ]}

14 son compactos: {8,10|3}, {10,8|3}, {10,4|3}, {4,10|3}, {6,4|5}, {4,6|5}, {10,6|3}, {6,10|3}, {8,8|3}, {6,6|4}, {10,10|3},{6,6|5}, {8,6|3} y {6,8|3}.
17 son paracompactos: {12,10|3}, {10,12|3}, {12,4|3}, {4,12|3}, {6,4|6}, {4,6|6}, {8,4|4}, {4,8|4}, {12,6|3}, {6,12|3}, {12,12|3}, {6,6|6}, {8,6|4}, {6,8|4}, {12,8|3}, {8,12|3} y {8,8|4}.

4-apeirotopos

Teselaciones del espacio euclidiano tridimensional

Solo existe una teselación regular no degenerada del espacio tridimensional ( panales ), {4, 3, 4}: ^{[ 27 ]}

Teselaciones impropias del espacio euclidiano tridimensional.

Hay seis teselaciones regulares impropias, pares basados en los tres teselados euclidianos regulares. Sus celdas y figuras de vértice son todos hosoedros regulares {2,n}, diedros {n,2} y teselados euclidianos. Estos teselados regulares impropias están relacionados constructivamente con panales prismáticos uniformes mediante operaciones de truncamiento. Son análogos de dimensiones superiores del teselado apeirogonal de orden 2 y del hosoedro apeirogonal .

Teselaciones del espacio hiperbólico tridimensional

Hay 15 panales planos regulares del espacio hiperbólico tridimensional:

4 son compactos: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} y {5,3,5}
mientras que 11 son paracompactos: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} y {6,3,6}.

Las teselaciones del espacio hiperbólico tridimensional pueden denominarse panales hiperbólicos . Existen 15 panales hiperbólicos en H ³ , 4 compacto y 11 paracompactos.

También hay 11 panales paracompactos H ³ (aquellos con celdas infinitas (euclidianas) y/o figuras de vértice): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} y {6,3,6}.

Las soluciones no compactas existen como grupos de Coxeter lorentzianos y pueden visualizarse con dominios abiertos en el espacio hiperbólico (el tetraedro fundamental tiene vértices ultraideales). Todos los panales con celdas o figuras de vértices hiperbólicas que no tienen el número 2 en su símbolo de Schläfli son no compactos.

No existen panales de abeja hiperbólicos compactos o paracompactos regulares en H ³ : todas las formas con un poliedro estrellado regular como celda, figura de vértice o ambas terminan siendo esféricas.

Los vértices ideales aparecen ahora cuando la figura del vértice es un teselado euclidiano, volviéndose inscribibles en una horósfera en lugar de una esfera. Son duales a las celdas ideales (teselados euclidianos en lugar de poliedros finitos). A medida que el último número del símbolo de Schläfli aumenta, la figura del vértice se vuelve hiperbólica y los vértices se vuelven ultraideales (de modo que las aristas no se encuentran dentro del espacio hiperbólico). En los panales {p, q, ∞} las aristas intersecan la bola de Poincaré solo en un punto ideal; el resto de la arista se ha vuelto ultraideal. Si se continúa, se obtendrían aristas completamente ultraideales, tanto para el panal como para el simplex fundamental (aunque todavía se encontrarían infinitos {p, q} en dichas aristas). En general, cuando el último número del símbolo de Schläfli se convierte en ∞, las caras de codimensión dos intersecan la hiperbola de Poincaré solo en un punto ideal. ^{[ 17 ]}

5-apeirotopos

Teselaciones del espacio euclidiano de 4 dimensiones

Existen tres tipos de teselaciones regulares infinitas ( panales ) que pueden teselar el espacio euclidiano de cuatro dimensiones:

También existen los dos casos impropios {4,3,4,2} y {2,4,3,4}.

Hay tres panales planos regulares del espacio euclidiano de 4 dimensiones: ^{[ 27 ]}

{4,3,3,4}, {3,3,4,3} y {3,4,3,3}.

Hay siete panales convexos regulares planos del espacio hiperbólico 4-espacio: ^{[ 19 ]}

5 son compactos: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3,5}
2 son paracompactos: {3,4,3,4} y {4,3,4,3}.

Hay cuatro panales de abejas estrelladas regulares planas del espacio hiperbólico de 4 dimensiones: ^{[ 19 ]}

{5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {3,5,5/2,5} y {5,5/2,5,3}.

Teselaciones del espacio hiperbólico de 4 dimensiones

Hay siete panales regulares convexos y cuatro panales estrellados en el espacio H ^4.^{[ 28 ]} Cinco de los convexos son compactos y dos son paracompactos.

Cinco panales compactos regulares en H ⁴ :

Los dos panales regulares paracompactos H ⁴ son: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

Las soluciones no compactas existen como grupos de Coxeter lorentzianos y pueden visualizarse con dominios abiertos en el espacio hiperbólico (la celda fundamental de 5 elementos tiene algunas partes inaccesibles más allá del infinito). Todos los panales que no se muestran en el conjunto de tablas a continuación y que no tienen el número 2 en su símbolo de Schläfli son no compactos.

Teselaciones estelares del espacio hiperbólico de 4 dimensiones

^{En el espacio H 4} hay cuatro estructuras de panal estrelladas regulares , todas compactas:

6-apeirotopos

Solo existe un panal plano regular del espacio euclidiano de 5 dimensiones: ( mencionado anteriormente como teselaciones) ^{[ 27 ]}

{4,3,3,3,4}

Hay cinco panales regulares planos regulares del espacio hiperbólico 5-dimensional, todos paracompactos: (previamente enumerados arriba como teselaciones) ^{[ 19 ]}

{3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} y {4,3,3,4,3}

Teselaciones del espacio euclidiano de 5 dimensiones

El panal hipercúbico es la única familia de panales regulares que puede teselar cada dimensión, cinco o más, formada por facetas de hipercubo , cuatro alrededor de cada arista .

En E ⁵ , también están los casos impropios {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3,4,3}, {3,4,3,3,2} y {2,3,4,3,3}. En E ⁿ , {4,3 ⁿ⁻³ ,4,2} y {2,4,3 ⁿ⁻³ ,4} son siempre teselaciones euclidianas impropias.

Teselaciones del espacio hiperbólico de 5 dimensiones

Hay 5 panales regulares en H ⁵ , todos paracompactos, que incluyen facetas o figuras de vértice infinitas (euclidianas): {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,4} y {4,3,3,4,3}.

No existen teselaciones regulares compactas del espacio hiperbólico de dimensión 5 o superior, ni teselaciones regulares paracompactas en el espacio hiperbólico de dimensión 6 o superior.

Dado que no hay n -politopos estrellados regulares para n ≥ 5, que podrían ser células potenciales o figuras de vértice, no hay más panales estrellados hiperbólicos en H ⁿ para n ≥ 5.

Apeirotopos de rango 7 o superior

Teselaciones de espacio hiperbólico de 6 dimensiones y superior

No existen teselaciones compactas o paracompactas regulares del espacio hiperbólico de dimensión 6 o superior. Sin embargo, cualquier símbolo de Schläfli de la forma {p,q,r,s,...} no mencionado anteriormente (p,q,r,s,... números naturales mayores que 2 o infinito) formará una teselación no compacta del espacio hiperbólico n- dimensional . ^{[ 17 ]}

politopos abstractos

Los politopos abstractos surgieron del intento de estudiarlos al margen del espacio geométrico en el que están inmersos. Incluyen las teselaciones del espacio esférico, euclidiano e hiperbólico, así como de otras variedades . Existen infinitos politopos de cada rango mayor que 1. Véase este atlas para una muestra. Algunos ejemplos notables de politopos regulares abstractos que no aparecen en ninguna otra parte de esta lista son el politopo de 11 celdas , {3,5,3}, y el politopo de 57 celdas , {5,3,5}, que tienen poliedros proyectivos regulares como celdas y figuras de vértice.

Los elementos de un poliedro abstracto son su cuerpo (el elemento máximo), sus caras, aristas, vértices y el politopo nulo o conjunto vacío. Estos elementos abstractos pueden representarse en el espacio ordinario o realizarse como figuras geométricas. Algunos poliedros abstractos tienen realizaciones bien formadas o fieles , otros no. Una bandera es un conjunto conexo de elementos de cada rango; para un poliedro, esto incluye el cuerpo, una cara, una arista de la cara, un vértice de la arista y el politopo nulo. Se dice que un politopo abstracto es regular si sus simetrías combinatorias son transitivas en sus banderas; es decir, que cualquier bandera puede representarse en cualquier otra bajo una simetría del poliedro. Los politopos regulares abstractos siguen siendo un área activa de investigación.

Cinco poliedros abstractos regulares, que no pueden realizarse fiel y simétricamente, fueron identificados por HSM Coxeter en su libro Regular Polytopes (1977) y nuevamente por JM Wills en su artículo "The combinatorially regular polyhedra of index 2" (1987). ^{[ 29 ]} Todos ellos son topológicamente equivalentes a toroides . Su construcción, mediante la disposición de n caras alrededor de cada vértice, puede repetirse indefinidamente como teselaciones del plano hiperbólico . En los diagramas a continuación, las imágenes de teselaciones hiperbólicas tienen colores que corresponden a los de las imágenes de los poliedros.

Estos se presentan como pares duales de la siguiente manera:

El triacontaedro rómbico medial y el dodecadodecaedro son duales entre sí.
El icosaedro triámbico medial y el dodecadodecaedro ditrigonal son duales entre sí.
El dodecaedro excavado es autodual.

Véase también

Lista de compuestos politópicos regulares
Polígono
Poliedro
sólidos platónicos
Sólidos de Kepler-Poinsot
4-politopo
4 politopos regulares (16 4 politopos regulares, 4 convexos y 10 estrellas (Schläfli – Hess))
Mosaico
Teselaciones de polígonos regulares
Panal uniforme convexo
Mapa regular (teoría de grafos)

Notas

↑ (hasta identidad e idempotencia)
↑ En una clasificación propuesta por Conway y adoptada por Coxeter ,^{[ 20 ]} la estelación se refiere a la extensión de los bordes, y el agrandamiento a la extensión de las caras; el término engrandecimiento se da para la extensión de las celdas (de los policoros), aunque parece ser menos común.^{[ 21 ]}

Referencias

1 2 McMullen (2004) harvcoltxt error: no hay destino: CITEREFMcMullen2004 ( ayuda )
↑ Error de McMullen harvcoltxt: no hay destino: CITEREFMcMullen ( ayuda )
↑ Coxeter (1973) , pág. 129.
^ McMullen y Schulte (2002) , pág. 30.
↑ Johnson, NW (2018). «Capítulo 11: Grupos de simetría finitos». Geometrías y transformaciones . Cambridge University Press. 11.1 Politopos y panales, pág. 224. ISBN 978-1-107-10340-5.
↑ Coxeter (1973) , pág. 120.
↑ Coxeter (1973) , pág. 124.
↑ Coxeter, Politopos complejos regulares , pág. 9
↑ Duncan, Hugh (28 de septiembre de 2017). "Entre una roca cuadrada y un pentágono duro: Polígonos fraccionarios" . chalkdust . Archivado del original el 23 de diciembre de 2018. Recuperado el 24 de diciembre de 2018 .
1 2 McMullen y Schulte 2002 .
↑ Coxeter (1973) , págs. 66–67.
↑ Resúmenes (PDF) . Politopos convexos y abstractos (19-21 de mayo de 2005) y Día de los politopos en Calgary (22 de mayo de 2005). Archivado (PDF) del original el 29 de noviembre de 2014. Consultado el 2 de febrero de 2015 .
↑ McMullen (2004) . sfnp error: no target: CITEREFMcMullen2004 ( ayuda )
↑ Coxeter (1973) , Tabla I: Politopos regulares, (iii) Los tres politopos regulares en $n$ dimensiones (n>=5), págs. 294–295.
↑ McMullen y Schulte (2002) , "6C Projective Regular Polytopes" pp. 162–165 .
^ Grünbaum, B. (1977). "Poliedros regulares: antiguos y nuevos". Aecuaciones Mathematicae . 16 ( 1– 2): 1– 20. doi : 10.1007/BF01836414 . S2CID 125049930 .
1 2 3 Roice Nelson y Henry Segerman, Visualización de panales hiperbólicos Archivado el 30/11/2020 en Wayback Machine
↑ Irving Adler, Una nueva mirada a la geometría (edición Dover de 2012), pág. 233
1 2 3 4 5 Coxeter (1999) , "Capítulo 10".
↑ Coxeter, HMS (1975). Politopos complejos regulares (1.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 46–47 . ISBN 9780521201254.
↑ Véase: Inchbald, Guy (9 de septiembre de 2024). "Estrellamiento y facetado: una breve historia" . Página de poliedros de Guy . Archivado del original el 20 de mayo de 2024.
↑ Coxeter, HSM (1938). "Poliedros sesgados regulares en tres y cuatro dimensiones". Proc. London Math. Soc . 2. 43 : 33– 62. doi : 10.1112/plms/s2-43.1.33 .
^ Coxeter, HSM (1985). "Politopos regulares y semirregulares II". Mathematische Zeitschrift . 188 (4): 559– 591. doi : 10.1007/BF01161657 . S2CID 120429557 .
↑ Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). «Capítulo 23: Objetos con simetría primaria, poliedros platónicos infinitos». Las simetrías de las cosas . Taylor & Francis. págs. 333–335 . ISBN 978-1-568-81220-5.
↑ McMullen y Schulte (2002) , Sección 7E.
↑ Garner, CWL (1967). "Poliedros sesgados regulares en el espacio hiperbólico tridimensional" . Can. J. Math . 19 : 1179–1186 . doi : 10.4153/CJM-1967-106-9 . S2CID 124086497 . Nota: Su artículo dice que hay 32, pero uno es autodual, lo que deja 31.
1 2 3 Coxeter (1973) , Tabla II: Panales regulares, pág. 296.
↑ Coxeter (1999) , "Capítulo 10", Tabla IV, pág. 213.
↑ David A. Richter. "Los poliedros regulares (de índice dos)" . Archivado del original el 4 de marzo de 2016. Consultado el 13 de marzo de 2015 .

Citas

Coxeter, HSM (1999), «Capítulo 10: Panales regulares en el espacio hiperbólico», La belleza de la geometría: doce ensayos , Mineola, NY: Dover Publications, Inc., págs. 199-214 , ISBN 0-486-40919-8, LCCN 99035678 , MR 1717154 Véanse en particular las Tablas Resumen II, III, IV, V, págs . 212-213 .
- Publicado originalmente en Coxeter, HSM (1956), "Regular honeycombs in hyperbolic space" (PDF) , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, 1954, Ámsterdam , vol. III, Ámsterdam: North-Holland Publishing Co., pp. 155–169 , MR 0087114 , archivado del original (PDF) el 2 de abril de 2015. .
Coxeter, HSM (1973) [1948]. Politopos regulares (Tercera ed.). Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8. MR 0370327 . OCLC 798003 . Véanse en particular las Tablas I y II: Politopos regulares y estructuras de panal, págs . 294-296 .
Johnson, Norman W. (2012), "Polítopos inversos regulares" (PDF) , Conferencia Internacional sobre Matemáticas de Distancias y Aplicaciones (2-5 de julio de 2012, Varna, Bulgaria) , pp. 85-95 , Artículo 27 , archivado (PDF) del original el 8 de agosto de 2017 , recuperado el 12 de enero de 2015.
McMullen, Peter ; Schulte, Egon (2002), Abstract Regular Polytopes , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 92, Cambridge: Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511546686 , ISBN 0-521-81496-0, MR 1965665 , S2CID 115688843
McMullen, Peter (2018), "Nuevos compuestos regulares de 4-politopos", Nuevas tendencias en geometría intuitiva , Bolyai Society Mathematical Studies, vol. 27, pp. 307–320 , doi : 10.1007/978-3-662-57413-3_12 , ISBN 978-3-662-57412-6.
Nelson, Roice; Segerman, Henry (2015). "Visualizing Hyperbolic Honeycombs". arXiv : 1511.02851 [ math.HO ].hyperbolichoneycombs.org/ Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine
Sommerville, DMY (1958), Introducción a la geometría de $n$ dimensiones , Nueva York: Dover Publications, Inc., MR 0100239 Reimpresión de la edición de 1930, publicada por EP Dutton. Véase en particular el Capítulo X: Los politopos regulares.

Enlaces externos

Los sólidos platónicos
Poliedros de Kepler-Poinsot
Desplegables de politopos 4D regulares
Glosario multidimensional (Consulte Hexacosichorn y Hecatonicosachoron )
Visor de politopos
Politopos y empaquetamiento óptimo de p puntos en esferas n-dimensionales
Un atlas de pequeños politopos regulares
Poliedros regulares a través del tiempo I. Hubard, Politopos, mapas y sus simetrías
Politopos de estrellas regulares , Nan Ma

[11] (hasta identidad e idempotencia)

[23] En una clasificación propuesta por Conway y adoptada por Coxeter ,^{[ 20 ]} la estelación se refiere a la extensión de los bordes, y el agrandamiento a la extensión de las caras; el término engrandecimiento se da para la extensión de las celdas (de los policoros), aunque parece ser menos común.^{[ 21 ]}

[RegPolyFull-1] 1 2 McMullen (2004) harvcoltxt error: no hay destino: CITEREFMcMullen2004 ( ayuda )

[2] Error de McMullen harvcoltxt: no hay destino: CITEREFMcMullen ( ayuda )

[FOOTNOTECoxeter1973129-3] Coxeter (1973) , pág. 129.

[FOOTNOTEMcMullenSchulte200230-4] McMullen y Schulte (2002) , pág. 30.

[5] Johnson, NW (2018). «Capítulo 11: Grupos de simetría finitos». Geometrías y transformaciones . Cambridge University Press. 11.1 Politopos y panales, pág. 224. ISBN 978-1-107-10340-5.

[FOOTNOTECoxeter1973120-6] Coxeter (1973) , pág. 120.

[FOOTNOTECoxeter1973124-7] Coxeter (1973) , pág. 124.

[8] Coxeter, Politopos complejos regulares , pág. 9

[:0-9] Duncan, Hugh (28 de septiembre de 2017). "Entre una roca cuadrada y un pentágono duro: Polígonos fraccionarios" . chalkdust . Archivado del original el 23 de diciembre de 2018. Recuperado el 24 de diciembre de 2018 .

[FOOTNOTEMcMullenSchulte2002-10] 1 2 McMullen y Schulte 2002 .

[FOOTNOTECoxeter197366–67-12] Coxeter (1973) , págs. 66–67.

[13] Resúmenes (PDF) . Politopos convexos y abstractos (19-21 de mayo de 2005) y Día de los politopos en Calgary (22 de mayo de 2005). Archivado (PDF) del original el 29 de noviembre de 2014. Consultado el 2 de febrero de 2015 .

[FOOTNOTEMcMullen2004-14] McMullen (2004) . sfnp error: no target: CITEREFMcMullen2004 ( ayuda )

[FOOTNOTECoxeter1973Table_I:_Regular_polytopes,_(iii)_The_three_regular_polytopes_in_<span_class="texhtml_mvar"_style="font-style:italic;">n</span>_dimensions_(n>=5),_pp._294–295-15] Coxeter (1973) , Tabla I: Politopos regulares, (iii) Los tres politopos regulares en $n$ dimensiones (n>=5), págs. 294–295.

[FOOTNOTEMcMullenSchulte2002[httpsbooksgooglecombooksidJfmlMYe6MJgCpgPA162_"6C_Projective_Regular_Polytopes"_pp._162–165]-16] McMullen y Schulte (2002) , "6C Projective Regular Polytopes" pp. 162–165 .

[17] Grünbaum, B. (1977). "Poliedros regulares: antiguos y nuevos". Aecuaciones Mathematicae . 16 ( 1– 2): 1– 20. doi : 10.1007/BF01836414 . S2CID 125049930 .

[hyphon-18] 1 2 3 Roice Nelson y Henry Segerman, Visualización de panales hiperbólicos Archivado el 30/11/2020 en Wayback Machine

[19] Irving Adler, Una nueva mirada a la geometría (edición Dover de 2012), pág. 233

[FOOTNOTECoxeter1999"Chapter_10"-20] 1 2 3 4 5 Coxeter (1999) , "Capítulo 10".

[21] Coxeter, HMS (1975). Politopos complejos regulares (1.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 46–47 . ISBN 9780521201254.

[22] Véase: Inchbald, Guy (9 de septiembre de 2024). "Estrellamiento y facetado: una breve historia" . Página de poliedros de Guy . Archivado del original el 20 de mayo de 2024.

[24] Coxeter, HSM (1938). "Poliedros sesgados regulares en tres y cuatro dimensiones". Proc. London Math. Soc . 2. 43 : 33– 62. doi : 10.1112/plms/s2-43.1.33 .

[25] Coxeter, HSM (1985). "Politopos regulares y semirregulares II". Mathematische Zeitschrift . 188 (4): 559– 591. doi : 10.1007/BF01161657 . S2CID 120429557 .

[26] Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). «Capítulo 23: Objetos con simetría primaria, poliedros platónicos infinitos». Las simetrías de las cosas . Taylor & Francis. págs. 333–335 . ISBN 978-1-568-81220-5.

[FOOTNOTEMcMullenSchulte2002Section_7E-27] McMullen y Schulte (2002) , Sección 7E.

[28] Garner, CWL (1967). "Poliedros sesgados regulares en el espacio hiperbólico tridimensional" . Can. J. Math . 19 : 1179–1186 . doi : 10.4153/CJM-1967-106-9 . S2CID 124086497 . Nota: Su artículo dice que hay 32, pero uno es autodual, lo que deja 31.

[FOOTNOTECoxeter1973Table_II:_Regular_honeycombs,_p.&nbsp;296-29] 1 2 3 Coxeter (1973) , Tabla II: Panales regulares, pág. 296.

[FOOTNOTECoxeter1999"Chapter_10"_Table_IV,_p._213-30] Coxeter (1999) , "Capítulo 10", Tabla IV, pág. 213.

[31] David A. Richter. "Los poliedros regulares (de índice dos)" . Archivado del original el 4 de marzo de 2016. Consultado el 13 de marzo de 2015 .

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[ 8 ]

[ 10 ]

[ i ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ ii ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 20 ]

[ 21 ]