Cuadrar el cuadrado

Cuadrar el cuadrado es el problema de teselar un cuadrado entero usando solo otros cuadrados enteros. (Un cuadrado entero es un cuadrado cuyos lados tienen longitud entera ). El nombre se acuñó en una analogía humorística con la cuadratura del círculo . Cuadrar el cuadrado es una tarea fácil a menos que se establezcan condiciones adicionales. La restricción más estudiada es que la cuadratura sea perfecta , lo que significa que los tamaños de los cuadrados más pequeños son todos diferentes. Un problema relacionado es cuadrar el plano , que se puede hacer incluso con la restricción de que cada número natural aparezca exactamente una vez como tamaño de un cuadrado en el teselado. El orden de un cuadrado cuadrado es el número de cuadrados que lo componen.

Para cualquier número entero${\displaystyle n}$Aparte de 2, 3 y 5, es posible diseccionar un cuadrado en${\displaystyle n}$cuadrados de uno o dos tamaños diferentes. ^{[ 2 ]} Un cuadrado "perfecto" es un cuadrado tal que cada uno de los cuadrados más pequeños tiene un tamaño diferente.

Los cuadrados perfectos fueron estudiados por RL Brooks , CAB Smith , AH Stone y WT Tutte (bajo el seudónimo colectivo de " Blanche Descartes ") en la Universidad de Cambridge entre 1936 y 1938. Transformaron el teselado cuadrado en un circuito eléctrico equivalente —que denominaron "diagrama de Smith"— considerando los cuadrados como resistencias conectadas a sus vecinos en sus bordes superior e inferior, y luego aplicaron las leyes de circuitos de Kirchhoff y técnicas de descomposición de circuitos a dicho circuito. Los primeros cuadrados perfectos que encontraron fueron de orden 69.

El primer cuadrado perfecto que se publicó, un cuadrado compuesto de lado 4205 y orden 55, fue encontrado por Roland Sprague en 1939. ^{[ 1 ]}

Martin Gardner publicó un extenso artículo escrito por WT Tutte sobre la historia temprana de la cuadratura del cuadrado en su columna de Juegos Matemáticos de noviembre de 1958. ^{[ 3 ]}

Un cuadrado simple es aquel en el que ningún subconjunto de más de uno de los cuadrados forma un rectángulo o un cuadrado. Cuando un cuadrado tiene un subconjunto cuadrado o rectangular, se denomina "compuesto".

En 1978, AJW Duijvestijn descubrió un cuadrado perfecto simple de lado 112 con el menor número de cuadrados mediante una búsqueda computarizada. Su teselado utiliza 21 cuadrados y se ha demostrado que es mínimo. ^{[ 4 ]} Este cuadrado perfecto constituye el logotipo de la Trinity Mathematical Society en Cambridge , Inglaterra. También aparece en la portada del Journal of Combinatorial Theory .

Duijvestijn también encontró dos cuadrados perfectos simples de lados 110, pero cada uno compuesto por 22 cuadrados. Theophilus Harding Willcocks, matemático aficionado y compositor de ajedrez fantástico , encontró otro. En 1999, I. Gambini demostró que estos tres son los cuadrados perfectos más pequeños en términos de longitud de lado. ^{[ 5 ]}

El cuadrado compuesto perfecto con el menor número de cuadrados fue descubierto por TH Willcocks en 1946 y tiene 24 cuadrados; sin embargo, no fue hasta 1982 que Duijvestijn, Pasquale Joseph Federico y P. Leeuw demostraron matemáticamente que era el ejemplo de orden más bajo. ^{[ 6 ]}

Cuando se relaja la restricción de que todos los cuadrados sean de tamaños diferentes, un cuadrado cuadrado tal que las longitudes de los lados de los cuadrados más pequeños no tengan un divisor común mayor que 1 se llama "edredón de la Sra. Perkins". Como el máximo común divisor de todas las longitudes de los lados más pequeños debe ser 1, un cuadrado de 2k × 2k , por ejemplo, no se puede dividir en cuatro cuadrados de k × k , donde k ≥ 2. El problema del edredón de la Sra. Perkins pide un edredón de la Sra. Perkins con la menor cantidad de piezas para un tamaño dado.${\displaystyle n\times n}$cuadrado. El número de piezas requeridas es al menos${\displaystyle \log _{2}n}$, ^{[ 7 ]} y como máximo${\displaystyle 6\log _{2}n}$. ^{[ 8 ]} Las búsquedas informáticas han encontrado soluciones exactas para valores pequeños de${\displaystyle n}$(lo suficientemente pequeño como para necesitar hasta 18 piezas). ^{[ 9 ]} Para${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$El número de piezas necesarias es:

En 1975, Solomon Golomb planteó la cuestión de si todo el plano puede cubrirse con cuadrados, uno de cada longitud de lado entera, lo que denominó la conjetura del teselado heterogéneo . Este problema fue posteriormente divulgado por Martin Gardner en su columna de Scientific American y apareció en varios libros, pero permaneció sin solución durante más de 30 años.

El plano se puede teselar fácilmente con diferentes cuadrados enteros utilizando la serie de Fibonacci (ver figura) 1. El teselado con cuadrados cuyos lados miden números de Fibonacci es casi perfecto, excepto por dos cuadrados de lado 1. 2. Duijvestijn encontró un cuadrado de 110 lados teselado con 22 cuadrados enteros diferentes. 3. Al multiplicar el teselado de Fibonacci por 110 y reemplazar uno de los cuadrados de 110 lados con el de Duijvestijn, el teselado queda perfecto.

En Tilings and patterns , publicado en 1987, Branko Grünbaum y GC Shephard describen un método para teselar el plano con cuadrados enteros, tomando recursivamente cualquier cuadrado perfecto y ampliándolo de manera que la pieza más pequeña tenga el tamaño del cuadrado original, para luego reemplazarla con una copia del cuadrado original. El proceso de escalado recursivo aumenta el tamaño de los cuadrados exponencialmente , omitiendo la mayoría de los números enteros, una característica que, según señalan, era válida para todos los teselados enteros perfectos del plano conocidos hasta entonces.

En 2008, James Henle y Frederick Henle demostraron la conjetura de teselado heterogéneo de Golomb: existe un teselado del plano mediante cuadrados, uno de cada tamaño entero. Su demostración es constructiva y procede expandiendo una región en forma de L formada por dos cuadrados contiguos y alineados horizontalmente de diferentes tamaños hasta obtener un teselado perfecto de una región rectangular mayor. A continuación, se añade el cuadrado de menor tamaño que aún no se ha utilizado para obtener otra región en forma de L de mayor tamaño. Los cuadrados añadidos durante el proceso de expansión tienen tamaños que aún no han aparecido en la construcción, y el procedimiento está diseñado de manera que las regiones rectangulares resultantes se expandan en las cuatro direcciones, lo que da lugar a un teselado de todo el plano. ^{[ 10 ]}

Elevar el cubo al cubo es el análogo en tres dimensiones de elevar el cuadrado al cuadrado: es decir, dado un cubo C , el problema consiste en dividirlo en un número finito de cubos más pequeños, sin que haya dos congruentes.

A diferencia del caso de elevar un cuadrado al cuadrado, un problema difícil pero resoluble, no existe un cubo perfecto y, en general, no se puede dividir un paralelepípedo rectangular C en un número finito de cubos desiguales.

Para demostrarlo, partimos de la siguiente afirmación: para cualquier disección perfecta de un rectángulo en cuadrados, el cuadrado más pequeño de dicha disección no se encuentra sobre un borde del rectángulo. En efecto, cada cuadrado de esquina tiene un cuadrado adyacente más pequeño en el borde, y el cuadrado más pequeño del borde es adyacente a cuadrados más pequeños que no se encuentran en el borde.

Ahora supongamos que existe una disección perfecta de un paralelepípedo rectangular en cubos. Tomemos una cara de C como su base horizontal. La base está dividida en un rectángulo cuadrado perfecto R por los cubos que descansan sobre ella. El cuadrado más pequeño s ₁ en R está rodeado por cubos más grandes y, por lo tanto , más altos . Por consiguiente, la cara superior del cubo en s ₁ está dividida en un cuadrado cuadrado perfecto por los cubos que descansan sobre ella. Sea s ₂ el cuadrado más pequeño en esta disección. Según la afirmación anterior, este está rodeado en sus 4 lados por cuadrados que son más grandes que s ₂ y, por lo tanto, más altos.

La secuencia de cuadrados s ₁ , s ₂ , ... es infinita y los cubos correspondientes son infinitos en número. Esto contradice nuestra suposición original. ^{[ 11 ]}

Si un hipercubo de 4 dimensiones pudiera ser hipercubo perfecto, sus "caras" serían cubos perfectos; esto es imposible. De igual modo, no existe solución para todos los cubos de dimensiones superiores.

• Empaquetamiento cuadrado en un cuadrado
• Dividir un cuadrado en rectángulos semejantes
• Rectángulo perfecto

• Cuadrados perfectamente cuadrados:
  • Bouwkamp, ​​CJ; Duijvestijn, AJW (diciembre de 1994). «Álbum de Cuadrados Cuadrados Perfectos Simples de orden 26» (PDF) . Informe EUT 94-WSK-02.Universidad Tecnológica de Eindhoven, Facultad de Matemáticas e Informática
  • http://www.squaring.net/
  • http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_12_01_03.html
  • http://www.math.uwaterloo.ca/navigation/ideas/articles/honsberger2/index.shtml
  • https://web.archive.org/web/20030419012114/http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/98/square_dissect
• cuadrados sin ningún orden:
  • http://karlscherer.com/
• La colcha de la señora Perkins:
  • La colcha de la Sra. Perkins en MathWorld