Carácter ciclotómico

En teoría de números , un carácter ciclotómico es un carácter de un grupo de Galois que da la acción de Galois sobre un grupo de raíces de la unidad . Como representación unidimensional sobre un anillo R , su espacio de representación se denota generalmente por R (1) (es decir, es una representación χ  : G → Aut _R ( R (1)) ≈ GL(1, R ) ).

Fijemos p como un número primo y dejemos que${\displaystyle G_{\mathbf {Q} }}$denotan el grupo de Galois absoluto de los números racionales . Las raíces de la unidad$${\displaystyle \mu _{p^{n}}=\left\{\zeta \in {\bar {\mathbf {Q} }}^{\times }\mid \zeta ^{p^{n}}=1\right\}}$$forman un grupo cíclico de orden${\displaystyle p^{n}}$, generado por cualquier elección de una raíz primitiva p ⁿ de la unidad ζ _{p ⁿ} .

Dado que todas las raíces primitivas en${\displaystyle \mu _{p^{n}}}$son conjugados de Galois , el grupo de Galois${\displaystyle G_{\mathbf {Q} }}$actúa en${\displaystyle \mu _{p^{n}}}$por automorfismos. Después de fijar una raíz primitiva de la unidad${\displaystyle \zeta _{p^{n}}}$generando${\displaystyle \mu _{p^{n}}}$cualquier elemento${\displaystyle \zeta \in \mu _{p^{n}}}$puede escribirse como una potencia de${\displaystyle \zeta _{p^{n}}}$, donde el exponente es un elemento único en${\displaystyle \mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} }$, que es una unidad si${\displaystyle \zeta }$también es primitivo. Por lo tanto, se puede escribir, para${\displaystyle \sigma \in G_{\mathbf {Q} }}$,

$${\displaystyle \sigma .\zeta$$ :=\sigma (\zeta )=\zeta _{p^{n}}^{a(\sigma ,n)}}

dónde${\displaystyle a(\sigma ,n)\in (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }}$es el elemento único como se indicó anteriormente, dependiendo de ambos${\displaystyle \sigma }$y${\displaystyle p}$. Esto define un homomorfismo de grupo llamado carácter ciclotómico mod p ⁿ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\chi _{p^{n}}}:G_{\mathbf {Q} }&\to (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\\\sigma &\mapsto a(\sigma ,n),\end{aligned}}}$$ que se considera un personaje ya que la acción corresponde a un homomorfismo${\displaystyle G_{\mathbf {Q} }\to \mathrm {Aut} (\mu _{p^{n}})\cong (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\cong \mathrm {GL} _{1}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )}$.

Fijación${\displaystyle p}$y${\displaystyle \sigma }$y variables${\displaystyle n}$, el${\displaystyle a(\sigma ,n)}$forman un sistema compatible en el sentido de que dan un elemento del límite inverso$${\displaystyle \varprojlim _{n}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\cong \mathbf {Z} _{p}^{\times },}$$las unidades en el anillo de enteros p-ádicos . Por lo tanto, el${\displaystyle {\chi _{p^{n}}}}$ensamblar en un homomorfismo de grupo llamado carácter ciclotómico p -ádico :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{p}:G_{\mathbf {Q} }&\to \mathbf {Z} _{p}^{\times }\cong \mathrm {GL_{1}} (\mathbf {Z} _{p})\\\sigma &\mapsto (a(\sigma ,n))_{n}\end{aligned}}}$$ codificando la acción de${\displaystyle G_{\mathbf {Q} }}$en todas las raíces de la unidad de potencia p${\displaystyle \mu _{p^{n}}}$simultáneamente. De hecho, equipar${\displaystyle G_{\mathbf {Q} }}$con la topología de Krull y${\displaystyle \mathbf {Z} _ {p}}$con la topología p -ádica hace de esto una representación continua de un grupo topológico .

Al variar ℓ sobre todos los números primos, se obtiene un sistema compatible de representaciones ℓ-ádicas a partir de los caracteres ciclotómicos ℓ -ádicos (al considerar sistemas compatibles de representaciones, la terminología estándar es usar el símbolo ℓ para denotar un primo en lugar de p ). Es decir, χ = { χ _ℓ } _ℓ es una "familia" de representaciones ℓ -ádicas.

${\displaystyle \chi _{\ell }:G_{\mathbf {Q} }\rightarrow \operatorname {GL} _{1}(\mathbf {Z} _{\ell })}$

que satisfacen ciertas compatibilidades entre diferentes primos. De hecho, los χ _ℓ forman un sistema estrictamente compatible de representaciones ℓ-ádicas .

El carácter ciclotómico p -ádico es el módulo de Tate p - ádico del esquema de grupo multiplicativo G _{m , Q} sobre Q . Como tal, su espacio de representación puede verse como el límite inverso de los grupos de p raíces ⁿ -ésimas de la unidad en Q .

En términos de cohomología , el carácter ciclotómico p -ádico es el dual del primer grupo de cohomología étale p -ádico de G _m . También se puede encontrar en la cohomología étale de una variedad proyectiva , a saber, la línea proyectiva : es el dual de H ² _ét ( P ¹ ) .

En términos de motivos , el carácter ciclotómico p -ádico es la realización p -ádica del motivo de Tate Z (1) . Como motivo de Grothendieck , el motivo de Tate es el dual de H ² ( P ¹ ) . ^{[ 1 ]}

El carácter ciclotómico p -ádico satisface varias propiedades interesantes.

• No está ramificado en todos los números primos ℓ ≠ p (es decir, el subgrupo de inercia en ℓ actúa trivialmente).
• Si Frob _ℓ es un elemento de Frobenius para ℓ ≠ p , entonces χ _p (Frob _ℓ ) =  ℓ .
• Es cristalino a p .

• El giro de Tate