Campo ciclotómico

En la teoría algebraica de números , un cuerpo ciclotómico es un cuerpo numérico obtenido al adjuntar una raíz compleja de la unidad a${\displaystyle \mathbb {Q} }$, el campo de los números racionales . ^{[ 1 ]}

Los campos ciclotómicos desempeñaron un papel crucial en el desarrollo del álgebra moderna y la teoría de números debido a su relación con el Último Teorema de Fermat . Fue en el proceso de sus profundas investigaciones de la aritmética de estos campos (para números primos) que se dio cuenta de su importancia.${\displaystyle n}$)—y más precisamente, debido al fracaso de la factorización única en sus anillos de enteros —que Ernst Kummer introdujo por primera vez el concepto de número ideal y demostró sus célebres congruencias .

Para${\displaystyle n\geq 1}$, dejar

${\displaystyle \zeta _ {n}=e^{2\pi i/n}\in \mathbb {C}.}$

Esto es primitivo${\displaystyle n}$raíz enésima de la unidad. Entonces la${\displaystyle n}$El campo ciclotómico es la extensión del campo.${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {n})}$de${\displaystyle \mathbb {Q} }$generado por${\displaystyle \zeta _{n}}$.

• El${\displaystyle n}$polinomio ciclotómico n.º$${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!\left(xe^{2\pi ik/n}\right)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!(x-{\zeta _ {n}}^{k})}$$es irreducible , por lo que es el polinomio mínimo de${\textstyle \zeta _{n}}$encima${\textstyle \mathbb {Q} }$.

• Los conjugados de${\displaystyle \zeta _{n}}$en${\displaystyle \mathbb {C} }$son por lo tanto los otros primitivos${\displaystyle n}$-raíces de la unidad:${\displaystyle \zeta _{n}^{k}}$para${\displaystyle 1\leq k\leq n}$con${\displaystyle \gcd(k,n)=1}$.

• El grado de${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {n})}$es por lo tanto${\displaystyle [\mathbb {Q} (\zeta _ {n}):\mathbb {Q} ]=\deg \Phi _ {n}=\varphi (n)}$, dónde${\displaystyle \varphi }$es la función totiente de Euler .

• Las raíces de${\displaystyle x^{n}-1}$son los poderes de${\displaystyle \zeta _{n}}$, entonces${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {n})}$es el campo divisor de${\displaystyle x^{n}-1}$(o de${\displaystyle \Phi _{n}}$) encima${\displaystyle \mathbb {Q} }$De ello se deduce que${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {n})}$es una extensión de Galois de${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

• El grupo Galois${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}$es naturalmente isomorfo al grupo multiplicativo${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$, que consiste en los residuos invertibles módulo${\displaystyle n}$, que son los residuos${\displaystyle a}$mod${\displaystyle n}$con${\displaystyle 1\leq a\leq n}$y${\displaystyle \gcd(a,n)=1}$El isomorfismo envía cada${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}$a${\displaystyle a}$mod${\displaystyle n}$, dónde${\displaystyle a}$es un número entero tal que${\displaystyle \sigma (\zeta _ {n})=\zeta _ {n}^{a}}$.

• El anillo de enteros de${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {n})}$es${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _ {n}]}$.

• Para${\displaystyle n>2}$, el discriminante de la extensión${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} }$es ^{[ 2 ]}

${\displaystyle (-1)^{\varphi (n)/2}\,{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _ {p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}.}$

• En particular,${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} }$no está ramificado por encima de cada primo que no divide${\displaystyle n}$.

• Si${\displaystyle n}$es un poder de un primo${\displaystyle p}$, entonces${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} }$está totalmente ramificado arriba${\displaystyle p}$.

• Si${\displaystyle q}$es un número primo que no divide${\displaystyle n}$, entonces el elemento de Frobenius${\displaystyle \operatorname {Frob} _{q}\in \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}$corresponde al residuo de${\displaystyle q}$en${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$.

• El grupo de raíces de unidad en${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {n})}$tiene orden${\displaystyle n}$o${\displaystyle 2n}$, según si${\displaystyle n}$es par o impar.

• El grupo de unidades${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _ {n}]^{\times }}$es un grupo abeliano finitamente generado de rango${\displaystyle \varphi (n)/2-1}$, para cualquier${\displaystyle n>2}$, por el teorema de la unidad de Dirichlet . En particular,${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _ {n}]^{\times }}$es finito solo para${\displaystyle n\in \{1,2,3,4,6\}}$. El subgrupo de torsión de${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _ {n}]^{\times }}$es el grupo de raíces de unidad en${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {n})}$, que se describió en el elemento anterior. Las unidades ciclotómicas forman un subgrupo explícito de índice finito de${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _ {n}]^{\times }}$.

• El teorema de Kronecker-Weber establece que toda extensión abeliana finita de${\displaystyle \mathbb {Q} }$en${\displaystyle \mathbb {C} }$está contenido en${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {n})}$para algunos${\displaystyle n}$. De forma equivalente, la unión de todos los campos ciclotómicos${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {n})}$es la extensión abeliana máxima${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\mathrm {ab} }}$de${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Gauss realizó avances tempranos en la teoría de campos ciclotómicos, en relación con el problema de construir un n -gono regular con un compás y una regla . Su sorprendente resultado, que había pasado desapercibido para sus predecesores, fue que un 17-gono regular podía construirse de esa manera. De forma más general, para cualquier entero${\displaystyle n\geq 3}$, los siguientes son equivalentes:

• un regular${\displaystyle n}$-gon es construible;
• Hay una secuencia de campos, comenzando con${\displaystyle \mathbb {Q} }$y terminando con${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {n})}$, de tal manera que cada uno sea una extensión cuadrática del campo anterior;
• ${\displaystyle \varphi (n)}$es una potencia de 2 ;
• ${\displaystyle n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}}$para algunos números enteros${\displaystyle a,r\geq 0}$y primos de Fermat${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{r}}$(Un primo de Fermat es un primo impar)${\displaystyle p}$de tal manera que${\displaystyle p-1}$es una potencia de 2. Los primos de Fermat conocidos son 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , y es probable que no haya otros.

Un enfoque natural para demostrar el último teorema de Fermat es factorizar el binomio.${\displaystyle x^{n}+y^{n}}$, dónde${\displaystyle n}$es un número primo impar, que aparece en un lado de la ecuación de Fermat.

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$

como sigue:

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=(x+y)(x+\zeta _{n}y)\ldots (x+\zeta _{n}^{n-1}y)}$

Aquí${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son enteros ordinarios, mientras que los factores son enteros algebraicos en el campo ciclotómico.${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$. Si la factorización única se cumple en los enteros ciclotómicos${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$, entonces se puede utilizar para descartar la existencia de soluciones no triviales a la ecuación de Fermat.

Varios intentos de abordar el Último Teorema de Fermat siguieron estas líneas, y tanto la demostración de Fermat como la del Último Teorema de Fermat se han llevado a cabo en este sentido.${\displaystyle n=4}$y la prueba de Euler para${\displaystyle n=3}$puede reformularse en estos términos. La lista completa de n para la cual${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$tiene factorización única es ^{[ 3 ]}

• 1 a 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.

Kummer encontró una manera de lidiar con el fallo de la factorización única. Introdujo un reemplazo para los números primos en los enteros ciclotómicos.${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$, midió el fallo de la factorización única a través del número de clase${\displaystyle h_{n}}$y demostró que si${\displaystyle h_{p}}$no es divisible por un número primo${\displaystyle p}$(semejante${\displaystyle p}$se llaman primos regulares ) entonces el teorema de Fermat es verdadero para el exponente${\displaystyle n=p}$Además, proporcionó un criterio para determinar qué números primos son regulares y estableció el teorema de Fermat para todos los exponentes primos.${\displaystyle p}$menos de 100, excepto por los primos irregulares 37 , 59 y 67. El trabajo de Kummer sobre las congruencias para los números de clase de los cuerpos ciclotómicos fue generalizado en el siglo XX por Iwasawa en la teoría de Iwasawa y por Kubota y Leopoldt en su teoría de${\displaystyle p}$-funciones zeta ádicas .

(secuencia A061653 en el OEIS ) , o (secuencia A055513 en el OEIS ) o (secuencia A000927 en el OEIS ) para el${\displaystyle h}$-parte (para n primo )

• Teorema de Kronecker-Weber
• polinomio ciclotómico

• Coates, John ; Sujatha, R. (2006). Campos ciclotómicos y valores zeta . Monografías de Springer en matemáticas. Springer-Verlag . ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002 . 
• Weisstein, Eric W. "Campo ciclotómico" . MathWorld .
• "Campo ciclotómico" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Yamagata, Koji; Yamagishi, Masakazu (2016). «Sobre el anillo de números enteros de campos ciclotómicos reales» . Proc. Academia de Japón, Serie A, Matemáticas. Ciencias . 92 (6). doi : 10.3792/pjaa.92.73 . ISSN 0386-2194 .