Teorema de la unidad de Dirichlet

En matemáticas , el teorema de la unidad de Dirichlet es un resultado fundamental de la teoría algebraica de números, debido a Peter Gustav Lejeune Dirichlet . ^{[ 1 ]} Determina el rango del grupo de unidades en el anillo O _K de enteros algebraicos de un cuerpo numérico K. El regulador es un número real positivo que determina la "densidad" de las unidades.

La afirmación es que el grupo de unidades es finitamente generado y tiene rango (número máximo de elementos multiplicativamente independientes) igual a

donde r ₁ es el número de incrustaciones reales y r ₂ el número de pares conjugados de incrustaciones complejas de K . Esta caracterización de r ₁ y r ₂ se basa en la idea de que habrá tantas maneras de incrustar K en el campo de los números complejos como grados${\displaystyle n=[K:\mathbb {Q} ]}$; estos serán o bien números reales , o pares de incrustaciones relacionadas por conjugación compleja , de modo que

Nótese que si K es de Galois sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$entonces o r ₁ = 0 o r ₂ = 0 .

Otras formas de determinar r ₁ y r ₂ son:

• utiliza el teorema del elemento primitivo para escribir${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )}$y entonces r ₁ es el número de conjugados de α que son reales, 2 r ₂ el número que son complejos; en otras palabras, si f es el polinomio mínimo de α sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$, entonces r ₁ es el número de raíces reales y 2r ₂ es el número de raíces complejas no reales de f (que vienen en pares complejos conjugados);
• escribe el producto tensorial de campos${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$como producto de campos, habiendo r ₁ copias de${\displaystyle \mathbb {R} }$y r ₂ copias de${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Por ejemplo, si K es un cuerpo cuadrático , su rango es 1 si es un cuerpo cuadrático real y 0 si es un cuerpo cuadrático imaginario. La teoría para cuerpos cuadráticos reales es esencialmente la teoría de la ecuación de Pell .

La clasificación es positiva para todos los campos numéricos excepto${\displaystyle \mathbb {Q} }$y campos cuadráticos imaginarios, que tienen rango 0. El «tamaño» de las unidades se mide generalmente mediante un determinante llamado regulador. En principio, se puede calcular eficazmente una base para las unidades; en la práctica, los cálculos son bastante complejos cuando n es grande.

La torsión en el grupo de unidades es el conjunto de todas las raíces de la unidad de K , que forman un grupo cíclico finito . Para un cuerpo numérico con al menos una inmersión real, la torsión debe ser, por lo tanto, únicamente {1,−1} . Existen cuerpos numéricos, por ejemplo la mayoría de los cuerpos cuadráticos imaginarios , que no tienen inmersiones reales y que también tienen {1,−1} como torsión de su grupo de unidades.

Los cuerpos totalmente reales son especiales con respecto a las unidades. Si L / K es una extensión finita de cuerpos numéricos de grado mayor que 1 y los grupos de unidades para los enteros de L y K tienen el mismo rango, entonces K es totalmente real y L es una extensión cuadrática totalmente compleja. Lo contrario también es cierto. (Un ejemplo es K igual a los racionales y L igual a un cuerpo cuadrático imaginario; ambos tienen rango unitario 0).

El teorema no solo se aplica al orden máximo O _K sino a cualquier orden O ⊂ O _K . ^{[ 2 ]}

Existe una generalización del teorema de la unidad por Helmut Hasse (y posteriormente por Claude Chevalley ) para describir la estructura del grupo de S- unidades , determinando el rango del grupo de unidades en localizaciones de anillos de enteros. Además, la estructura del módulo de Galois de${\displaystyle \mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$Se ha determinado. ^{[ 3 ]}

Supongamos que K es un cuerpo numérico y${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{r}}$son un conjunto de generadores para el grupo unitario de K módulo raíces de la unidad. Habrá r + 1 lugares arquimedianos de K , ya sean reales o complejos. Para${\displaystyle u\in K}$, escribir${\displaystyle u^{(1)},\dots ,u^{(r+1)}}$para las diferentes incrustaciones en${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$y establece N _j en 1 o 2 si la incrustación correspondiente es real o compleja respectivamente. Entonces la matriz r × ( r + 1)$${\displaystyle \left(N_{j}\log \left|u_{i}^{(j)}\right|\right)_{i=1,\dots ,r,\;j=1,\dots ,r+1}}$$Tiene la propiedad de que la suma de cualquier fila es cero (porque todas las unidades tienen norma 1, y el logaritmo de la norma es la suma de las entradas en una fila). Esto implica que el valor absoluto R del determinante de la submatriz formada al eliminar una columna es independiente de la columna. El número R se denomina regulador del cuerpo numérico algebraico (no depende de la elección de los generadores u _i ). Mide la "densidad" de las unidades: si el regulador es pequeño, significa que hay "muchas" unidades.

El regulador tiene la siguiente interpretación geométrica. El mapa que toma una unidad u al vector con entradas${\textstyle N_{j}\log \left|u^{(j)}\right|}$tiene una imagen en el subespacio r -dimensional de${\displaystyle \mathbb {R} ^{r+1}}$consta de todos los vectores cuyas entradas suman 0, y por el teorema de la unidad de Dirichlet la imagen es una red en este subespacio. El volumen de un dominio fundamental de esta red es${\displaystyle R{\sqrt {r+1}}}$.

El regulador de un cuerpo numérico algebraico de grado mayor que 2 suele ser bastante engorroso de calcular, aunque actualmente existen paquetes de álgebra computacional que pueden hacerlo en muchos casos. Generalmente es mucho más fácil calcular el producto hR del número de clase h y el regulador utilizando la fórmula del número de clase , y la principal dificultad al calcular el número de clase de un cuerpo numérico algebraico suele ser el cálculo del regulador.

Ejemplos

• El regulador de un campo cuadrático imaginario , o de los enteros racionales, es 1 (como el determinante de una matriz de 0 × 0 es 1).
• El regulador de un campo cuadrático real es el logaritmo de su unidad fundamental : por ejemplo, el del campo áureo.${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$es${\displaystyle \log {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$Esto se puede ver de la siguiente manera. Una unidad fundamental es la proporción áurea.${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$y sus imágenes bajo las dos incrustaciones en${\displaystyle \mathbb {R} }$son${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$y${\textstyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1-{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$. Entonces la matriz r × ( r + 1) es$${\displaystyle \left[1\times \log \left|{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|,\quad 1\times \log \left|{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|\ \right].}$$
• El regulador del campo cúbico cíclico${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$donde α es una raíz de x³ + ^{x² −} 2x − 1 , es aproximadamente 0,5255. Una base del grupo de unidades módulo raíces de ^{la unidad} _es { ε₁ _, ε₂ _} donde ε₁ = _α² + α − 1 y ε₂ = ² − α² ^. [ ⁴ ]

Un regulador «superior» se refiere a una construcción para una función en un grupo algebraico K con índice n > 1 que desempeña el mismo papel que el regulador clásico para el grupo de unidades, que es un grupo K ₁ . Se ha estado desarrollando una teoría de tales reguladores, con el trabajo de Armand Borel y otros. Estos reguladores superiores desempeñan un papel, por ejemplo, en las conjeturas de Beilinson , y se espera que aparezcan en evaluaciones de ciertas funciones L en valores enteros del argumento. ^{[ 5 ]} Véase también Regulador de Beilinson .

La formulación de las conjeturas de Stark llevó a Harold Stark a definir lo que ahora se denomina el regulador de Stark , similar al regulador clásico como determinante de logaritmos de unidades, adjunto a cualquier representación de Artin . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Sea K un cuerpo numérico y para cada primo P de K por encima de algún primo racional fijo p , sea U _P las unidades locales en P y sea U _{1, P} el subgrupo de unidades principales en U _P .$${\displaystyle U_{1}=\prod _{P|p}U_{1,P}.}$$

Entonces, sea E ₁ el conjunto de unidades globales ε que se mapean a U ₁ a través de la incrustación diagonal de las unidades globales en E .

Dado que E ₁ es un subgrupo de índice finito de las unidades globales, es un grupo abeliano de rango r ₁ + r ₂ − 1 . El regulador p -ádico es el determinante de la matriz formada por los logaritmos p -ádicos de los generadores de este grupo. La conjetura de Leopoldt afirma que este determinante es distinto de cero. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• Unidad elíptica
• Unidad ciclotómica
• Teorema de la unidad de Shintani

• Cohen, Henri (1993). Un curso de teoría algebraica computacional de números . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  138. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-55640-4. SEÑOR 1228206 . Zbl 0786.11071 .  
• Elstrodt, Jürgen (2007). "La vida y obra de Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)" (PDF) . Clay Mathematics Proceedings . Archivado del original (PDF) el 22 de mayo de 2021. Consultado el 13 de junio de 2010 .
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• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol.  323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 , Zbl 0948.11001