Centralidad

En la teoría de grafos y el análisis de redes , los indicadores de centralidad asignan números o clasificaciones a los nodos dentro de un grafo según su posición en la red. Las aplicaciones incluyen la identificación de la(s) persona(s) más influyente(s) en una red social , nodos de infraestructura clave en Internet o redes urbanas , superpropagadores de enfermedades y redes cerebrales. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Los conceptos de centralidad se desarrollaron por primera vez en el análisis de redes sociales , y muchos de los términos utilizados para medir la centralidad reflejan su origen sociológico . ^{[ 3 ]} Con el tiempo, el concepto se ha expandido sustancialmente, lo que ha llevado al desarrollo de cientos de medidas de centralidad distintas, cuya lista más completa se documenta en el catálogo en línea CentralityZoo. ^{[ 4 ]}

Los índices de centralidad responden a la pregunta "¿Qué caracteriza a un vértice importante?". La respuesta se expresa mediante una función de valor real sobre los vértices de un grafo, cuyos valores se espera que proporcionen una clasificación que identifique los nodos más importantes. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

La palabra "importancia" tiene numerosos significados, lo que da lugar a muchas definiciones diferentes de centralidad. Se han propuesto dos esquemas de categorización. La "importancia" puede concebirse en relación con un tipo de flujo o transferencia a través de la red. Esto permite clasificar las centralidades según el tipo de flujo que consideran importante. ^{[ 6 ]} Alternativamente, la "importancia" puede concebirse como la participación en la cohesión de la red. Esto permite clasificar las centralidades en función de cómo miden la cohesión. ^{[ 8 ]} Ambos enfoques dividen las centralidades en categorías distintas. Una conclusión adicional es que una centralidad apropiada para una categoría a menudo "se equivocará" al aplicarse a una categoría diferente. ^{[ 6 ]}

Muchas medidas de centralidad, aunque no todas, cuentan efectivamente el número de caminos (también llamados recorridos) de algún tipo que pasan por un vértice dado; las medidas difieren en cómo se definen y cuentan los recorridos relevantes. Restringir la consideración a este grupo permite una taxonomía que sitúa muchas medidas de centralidad en un espectro que va desde aquellas que se ocupan de recorridos de longitud uno ( centralidad de grado ) hasta recorridos infinitos ( centralidad de vector propio ). ^{[ 5 ] [ 9 ]} Otras medidas de centralidad, como la centralidad de intermediación , se centran no solo en la conectividad general, sino también en ocupar posiciones que son fundamentales para la conectividad de la red.

Los índices de centralidad presentan dos limitaciones importantes: una obvia y otra sutil. La limitación obvia es que una centralidad óptima para una aplicación suele ser subóptima para otra. De hecho, si no fuera así, no necesitaríamos tantas centralidades diferentes. Un ejemplo de este fenómeno lo proporciona el grafo cometa de Krackhardt , para el cual tres nociones diferentes de centralidad dan lugar a tres opciones distintas del vértice más central. ^{[ 13 ]}

La limitación más sutil reside en la falacia común de que la centralidad de los vértices indica su importancia relativa. Los índices de centralidad están diseñados explícitamente para generar una clasificación que permita identificar los vértices más importantes. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Cumplen bien su función, dentro de la limitación ya mencionada. No están diseñados para medir la influencia de los nodos en general. Recientemente, los físicos de redes han comenzado a desarrollar métricas de influencia de nodos para abordar este problema.

El error es doble. En primer lugar, una clasificación solo ordena los vértices por importancia, no cuantifica la diferencia de importancia entre los distintos niveles de la clasificación. Esto puede mitigarse aplicando la centralización de Freeman a la medida de centralidad en cuestión, lo que proporciona información sobre la importancia de los nodos en función de las diferencias en sus puntuaciones de centralización. Además, la centralización de Freeman permite comparar varias redes comparando sus puntuaciones de centralización más altas. ^{[ 14 ]}

En segundo lugar, las características que identifican (correctamente) los vértices más importantes en una red/aplicación determinada no necesariamente se generalizan a los vértices restantes. Para la mayoría de los demás nodos de la red, las clasificaciones pueden carecer de sentido. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]} Esto explica por qué, por ejemplo, solo los primeros resultados de una búsqueda de imágenes de Google aparecen en un orden razonable. El PageRank es una medida muy inestable, que muestra frecuentes cambios de clasificación tras pequeños ajustes del parámetro de salto. ^{[ 19 ]}

Aunque el hecho de que los índices de centralidad no se generalicen al resto de la red pueda parecer contraintuitivo al principio, se deduce directamente de las definiciones anteriores. Las redes complejas tienen una topología heterogénea. En la medida en que la medida óptima depende de la estructura de red de los vértices más importantes, una medida que sea óptima para dichos vértices es subóptima para el resto de la red. ^{[ 15 ]}

Históricamente, la primera y conceptualmente más simple es la centralidad de grado , que se define como el número de enlaces incidentes en un nodo (es decir, el número de vínculos que tiene un nodo). El grado puede interpretarse en términos del riesgo inmediato de que un nodo se adhiera a lo que circule por la red (como un virus o alguna información). En el caso de una red dirigida (donde los vínculos tienen dirección), generalmente definimos dos medidas separadas de centralidad de grado: el grado de entrada y el grado de salida . En consecuencia, el grado de entrada es el número de vínculos dirigidos al nodo y el grado de salida es el número de vínculos que el nodo dirige a otros. Cuando los vínculos se asocian a aspectos positivos como la amistad o la colaboración, el grado de entrada se suele interpretar como una forma de popularidad y el grado de salida como sociabilidad.

La centralidad de grado de un vértice${\displaystyle v}$, para un gráfico dado${\displaystyle G:=(V,E)}$con${\displaystyle |V|}$vértices y${\displaystyle |E|}$bordes, se define como

${\ Displaystyle C_ {D} (v) = \ grados (v)}$

Calcular la centralidad de grado para todos los nodos en un grafo lleva${\displaystyle \Theta (V^{2})}$en una representación de matriz de adyacencia densa del grafo, y para las aristas toma${\displaystyle \Theta (E)}$en una representación de matriz dispersa .

La definición de centralidad a nivel de nodo puede extenderse a todo el grafo, en cuyo caso hablamos de centralización de grafos . ^{[ 20 ]} Sea${\displaystyle v*}$ser el nodo con mayor grado de centralidad en${\displaystyle G}$. Dejar${\displaystyle X:=(Y,Z)}$ser el${\displaystyle |Y|}$-grafo conectado de nodos que maximiza la siguiente cantidad (con${\displaystyle y*}$ser el nodo con mayor grado de centralidad en${\displaystyle X}$):

${\displaystyle H=\sum _{j=1}^{|Y|}[C_{D}(y*)-C_{D}(y_{j})]}$

En consecuencia, la centralización del grado del gráfico${\displaystyle G}$es el siguiente:

${\displaystyle C_{D}(G)={\frac {\sum _{i=1}^{|V|}[C_{D}(v*)-C_{D}(v_{i})]}{H}}}$

El valor de${\displaystyle H}$se maximiza cuando el gráfico${\displaystyle X}$contiene un nodo central al que están conectados todos los demás nodos (un grafo en estrella ), y en este caso

${\displaystyle H=(n-1)\cdot ((n-1)-1)=n^{2}-3n+2.}$

Entonces, para cualquier gráfico${\displaystyle G:=(V,E),}$

${\displaystyle C_{D}(G)={\frac {\sum _{i=1}^{|V|}[C_{D}(v*)-C_{D}(v_{i})]}{|V|^{2}-3|V|+2}}}$

Además, una nueva medida global extensa para la centralidad de grado llamada Tendencia a Hacer Hub (TMH) se define de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\text{TMH}}={\frac {\sum _{i=1}^{|V|}\deg(v)^{2}}{\sum _{i=1}^{|V|}\deg(v)}}}$

donde TMH aumenta por la aparición de centralidad de grado en la red.

En un grafo conectado , la centralidad de cercanía normalizada (o cercanía ) de un nodo es la longitud promedio del camino más corto entre el nodo y todos los demás nodos del grafo. Por lo tanto, cuanto más central sea un nodo, más cerca estará de todos los demás nodos.

La cercanía fue definida por Alex Bavelas (1950) como el recíproco de la lejanía , ^{[ 21 ] [ 22 ]} es decir${\textstyle C_{B}(v)=(\sum _{u}d(u,v))^{-1}}$dónde${\displaystyle d(u,v)}$es la distancia entre los vértices u y v . Sin embargo, cuando se habla de centralidad de cercanía, la gente suele referirse a su forma normalizada, dada por la fórmula anterior multiplicada por${\displaystyle N-1}$, dónde${\displaystyle N}$es el número de nodos en el grafo

${\displaystyle C(v)={\frac {N-1}{\sum _{u}d(u,v)}}.}$

Esta normalización permite comparaciones entre nodos de grafos de diferentes tamaños. Para muchos grafos, existe una fuerte correlación entre el inverso de la cercanía y el logaritmo del grado, ^{[ 23 ].}${\displaystyle (C(v))^{-1}\approx -\alpha \ln(k_{v})+\beta }$dónde${\displaystyle k_{v}}$es el grado del vértice v, mientras que α y β son constantes para cada red.

Calcular las distancias desde o hacia todos los demás nodos es irrelevante en los grafos no dirigidos, mientras que puede producir resultados totalmente diferentes en los grafos dirigidos (por ejemplo, un sitio web puede tener una alta centralidad de cercanía desde un enlace saliente, pero una baja centralidad de cercanía desde los enlaces entrantes).

La centralidad de intermediación es una medida de centralidad de un vértice dentro de un grafo (también existe la centralidad de intermediación de aristas , que no se trata aquí). La centralidad de intermediación cuantifica el número de veces que un nodo actúa como puente a lo largo del camino más corto entre otros dos nodos. Fue introducida por Linton Freeman como una medida para cuantificar el control de un humano sobre la comunicación entre otros humanos en una red social . ^{[ 27 ]} En su concepción, los vértices que tienen una alta probabilidad de aparecer en un camino más corto elegido al azar entre dos vértices elegidos al azar tienen una alta centralidad de intermediación.

La intermediación de un vértice${\displaystyle v}$en un gráfico${\displaystyle G:=(V,E)}$con${\displaystyle V}$El número de vértices se calcula de la siguiente manera:

1. Para cada par de vértices ( s , t ), calcule los caminos más cortos entre ellos.
2. Para cada par de vértices ( s , t ), determine la fracción de caminos más cortos que pasan por el vértice en cuestión (en este caso, el vértice v ).
3. Suma esta fracción sobre todos los pares de vértices ( s , t ).

De forma más compacta, la intermediación se puede representar como: ^{[ 28 ]}

${\displaystyle C_{B}(v)=\sum _{s\neq v\neq t\in V}{\frac {\sigma _{st}(v)}{\sigma _{st}}}}$

dónde${\displaystyle \sigma _{st}}$es el número total de caminos más cortos desde el nodo${\displaystyle s}$al nodo${\displaystyle t}$y${\displaystyle \sigma _{st}(v)}$es el número de esos caminos que pasan por${\displaystyle v}$. La centralidad de intermediación se puede normalizar dividiendo por el número de pares de vértices que no incluyen v , que para grafos dirigidos es${\displaystyle (n-1)(n-2)}$y para grafos no dirigidos es${\displaystyle (n-1)(n-2)/2}$. Por ejemplo, en un grafo estrella no dirigido , el vértice central (que está contenido en cada posible camino más corto) tendría una centralidad de intermediación de${\displaystyle (n-1)(n-2)/2}$(1, si se normaliza) mientras que las hojas (que no están contenidas en ningún camino más corto) tendrían una centralidad de intermediación de 0.

Desde el punto de vista del cálculo, tanto la centralidad de intermediación como la de cercanía de todos los vértices de un grafo implican calcular los caminos más cortos entre todos los pares de vértices del grafo, lo que requiere${\displaystyle O(V^{3})}$tiempo con el algoritmo de Floyd-Warshall . Sin embargo, en grafos dispersos, el algoritmo de Johnson puede ser más eficiente, tomando${\displaystyle O(|V||E|+|V|^{2}\log |V|)}$tiempo. En el caso de grafos no ponderados, los cálculos se pueden realizar con el algoritmo de Brandes ^{[ 28 ]} que toma${\displaystyle O(|V||E|)}$tiempo. Normalmente, estos algoritmos asumen que los grafos no están dirigidos y están conectados, permitiendo bucles y aristas múltiples. Cuando se trata específicamente de grafos de red, a menudo los grafos carecen de bucles o aristas múltiples para mantener relaciones simples (donde las aristas representan conexiones entre dos personas o vértices). En este caso, el algoritmo de Brandes dividirá las puntuaciones de centralidad finales por 2 para tener en cuenta que cada ruta más corta se cuenta dos veces. ^{[ 28 ]}

La centralidad de vector propio (también llamada centralidad propia ) es una medida de la influencia de un nodo en una red . Asigna puntuaciones relativas a todos los nodos de la red basándose en el concepto de que las conexiones a nodos con puntuaciones altas contribuyen más a la puntuación del nodo en cuestión que las conexiones iguales a nodos con puntuaciones bajas. ^{[ 29 ] [ 7 ]} El PageRank de Google y la centralidad de Katz son variantes de la centralidad de vector propio. ^{[ 30 ]}

La centralidad de Katz ^{[ 31 ]} es una generalización de la centralidad de grado. La centralidad de grado mide el número de vecinos directos, y la centralidad de Katz mide el número de todos los nodos que pueden conectarse a través de un camino, mientras que las contribuciones de los nodos distantes se penalizan. Matemáticamente, se define como

${\displaystyle x_{i}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{N}\alpha ^{k}(A^{k})_{ji}}$

dónde${\displaystyle \alpha }$es un factor de atenuación en ${\displaystyle (0,1)}$.

La centralidad de Katz puede considerarse una variante de la centralidad de vector propio. Otra forma de centralidad de Katz es

${\displaystyle x_{i}=\alpha \sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x_{j}+1).}$

En comparación con la expresión de centralidad de vector propio,${\displaystyle x_{j}}$es reemplazado por ${\displaystyle x_{j}+1.}$

Se demuestra que ^{[ 32 ]} el vector propio principal (asociado con el mayor valor propio de${\displaystyle A}$, la matriz de adyacencia) es el límite de la centralidad de Katz como${\displaystyle \alpha }$aproches${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda }}}$desde abajo.

PageRank satisface la siguiente ecuación

${\displaystyle x_{i}=\alpha \sum _{j}a_{ji}{\frac {x_{j}}{L(j)}}+{\frac {1-\alpha }{N}},}$

dónde

${\displaystyle L(j)=\sum _{i}a_{ji}}$

es el número de vecinos del nodo${\displaystyle j}$(o número de enlaces salientes en un grafo dirigido). En comparación con la centralidad de vector propio y la centralidad de Katz, una diferencia importante es el factor de escala.${\displaystyle L(j)}$Otra diferencia entre PageRank y la centralidad de vector propio es que el vector PageRank es un vector propio izquierdo (nótese el factor${\displaystyle a_{ji}}$tiene los índices invertidos). ^{[ 33 ]}

Existen numerosas medidas de centralidad para determinar la "importancia" de un nodo en una red compleja. Sin embargo, estas medidas cuantifican la importancia de un nodo en términos puramente topológicos, y su valor no depende en absoluto de su "estado". Permanece constante independientemente de la dinámica de la red. Esto se cumple incluso para las medidas de intermediación ponderada. No obstante, un nodo puede estar ubicado en una posición central en términos de centralidad de intermediación u otra medida de centralidad, pero no necesariamente en una posición central dentro de una red con percolación. La percolación de un "contagio" se produce en redes complejas en diversos escenarios. Por ejemplo, una infección viral o bacteriana puede propagarse a través de redes sociales, conocidas como redes de contacto. La propagación de enfermedades también puede considerarse a un nivel de abstracción superior, al contemplar una red de ciudades o centros de población conectados por carretera, ferrocarril o vía aérea. Los virus informáticos pueden propagarse a través de redes informáticas. Los rumores o noticias sobre ofertas y acuerdos comerciales también pueden propagarse a través de las redes sociales. En todos estos escenarios, un «contagio» se propaga a través de los enlaces de una red compleja, alterando los «estados» de los nodos a medida que se extiende, ya sea recuperables o no. Por ejemplo, en un escenario epidemiológico, los individuos pasan del estado «susceptible» al estado «infectado» a medida que se propaga la infección. Los estados que pueden adoptar los nodos individuales en los ejemplos anteriores podrían ser binarios (como haber recibido o no una noticia), discretos (susceptible/infectado/recuperado) o incluso continuos (como la proporción de personas infectadas en una ciudad), a medida que se propaga el contagio. La característica común en todos estos escenarios es que la propagación del contagio resulta en un cambio de estado de los nodos en las redes. La centralidad de percolación (PC) se propuso teniendo esto en cuenta, la cual mide específicamente la importancia de los nodos en términos de facilitar la percolación a través de la red. Esta medida fue propuesta por Piraveenan et al. ^{[ 34 ].}

La centralidad de percolación se define para un nodo dado, en un momento dado, como la proporción de "caminos percolados" que pasan por ese nodo. Un "camino percolado" es el camino más corto entre un par de nodos, donde el nodo de origen está percolado (por ejemplo, infectado). El nodo de destino puede estar percolado o no percolado, o en un estado parcialmente percolado.

${\displaystyle PC^{t}(v)={\frac {1}{N-2}}\sum _{s\neq v\neq r}{\frac {\sigma _{sr}(v)}{\sigma _{sr}}}{\frac {{x^{t}}_{s}}{{\sum {[{x^{t}}_{i}}]}-{x^{t}}_{v}}}}$

dónde${\displaystyle \sigma _{sr}}$es el número total de caminos más cortos desde el nodo${\displaystyle s}$al nodo${\displaystyle r}$y${\displaystyle \sigma _{sr}(v)}$es el número de esos caminos que pasan por${\displaystyle v}$. El estado de percolación del nodo${\displaystyle i}$en ese momento${\displaystyle t}$se denota por${\displaystyle {x^{t}}_{i}}$y dos casos especiales son cuando${\displaystyle {x^{t}}_{i}=0}$lo que indica un estado no percolado en el tiempo${\displaystyle t}$mientras que cuando${\displaystyle {x^{t}}_{i}=1}$lo que indica un estado de percolación completa en el tiempo${\displaystyle t}$Los valores intermedios indican estados parcialmente percolados (por ejemplo, en una red de municipios, este sería el porcentaje de personas infectadas en ese municipio).

Los pesos adjuntos a las rutas de percolación dependen de los niveles de percolación asignados a los nodos de origen, basándose en la premisa de que cuanto mayor sea el nivel de percolación de un nodo de origen, más importantes serán las rutas que se originan en ese nodo. Por lo tanto, los nodos que se encuentran en las rutas más cortas que se originan en nodos altamente percolados son potencialmente más importantes para la percolación. La definición de PC también puede extenderse para incluir los pesos de los nodos de destino. Los cálculos de centralidad de percolación se ejecutan en${\displaystyle O(NM)}$tiempo con una implementación eficiente adoptada del algoritmo rápido de Brandes y si el cálculo necesita considerar los pesos de los nodos objetivo, el tiempo en el peor de los casos es${\displaystyle O(N^{3})}$.

La centralidad entre cliques de un nodo individual en un grafo complejo determina la conectividad de un nodo con diferentes cliques . Un nodo con alta conectividad entre cliques facilita la propagación de información o enfermedades en un grafo. Los cliques son subgrafos en los que cada nodo está conectado a todos los demás nodos del clique. La conectividad entre cliques de un nodo${\displaystyle v}$para un gráfico dado${\displaystyle G:=(V,E)}$con${\displaystyle |V|}$vértices y${\displaystyle |E|}$bordes, se define como${\displaystyle X(v)}$dónde${\displaystyle X(v)}$es el número de camarillas a las que el vértice${\displaystyle v}$pertenece. Esta medida fue utilizada por Faghani en 2013 ^{[ 35 ]} pero fue propuesta por primera vez por Everett y Borgatti en 1998, donde la llamaron centralidad de superposición de camarillas.

La centralización de cualquier red es una medida de cuán central es su nodo más central en relación con cuán centrales son todos los demás nodos. ^{[ 14 ]} Las medidas de centralización (a) calculan la suma de las diferencias de centralidad entre el nodo más central de una red y todos los demás nodos; y (b) dividen esta cantidad por la suma teóricamente mayor de dichas diferencias en cualquier red del mismo tamaño. ^{[ 14 ]} Por lo tanto, cada medida de centralidad puede tener su propia medida de centralización. Definido formalmente, si${\displaystyle C_{x}(p_{i})}$es cualquier medida de centralidad de punto${\displaystyle i}$, si${\displaystyle C_{x}(p_{*})}$es la medida más grande de este tipo en la red, y si:

${\displaystyle \max \sum _{i=1}^{N}(C_{x}(p_{*})-C_{x}(p_{i}))}$

es la mayor suma de diferencias en la centralidad de los puntos${\displaystyle C_{x}}$Para cualquier grafo con el mismo número de nodos, entonces la centralización de la red es: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle C_{x}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(C_{x}(p_{*})-C_{x}(p_{i}))}{\max \sum _{i=1}^{N}(C_{x}(p_{*})-C_{x}(p_{i}))}}.}$

El concepto se debe a Linton Freeman .

Para obtener mejores resultados en la clasificación de los nodos de una red dada, Álvarez-Socorro et al. ^{[ 36 ]} utilizaron medidas de disimilitud (específicas de la teoría de clasificación y minería de datos) para enriquecer las medidas de centralidad en redes complejas. Esto se ilustra con la centralidad de vector propio , que calcula la centralidad de cada nodo a través de la solución del problema de valores propios.

${\displaystyle W\mathbf {c} =\lambda \mathbf {c} }$

dónde${\displaystyle W_{ij}=A_{ij}D_{ij}}$(producto de coordenadas a coordenadas) y${\displaystyle D_{ij}}$es una matriz de disimilitud arbitraria, definida a través de una medida de disimilitud, por ejemplo, la disimilitud de Jaccard dada por

${\displaystyle D_{ij}=1-{\dfrac {|V^{+}(i)\cap V^{+}(j)|}{|V^{+}(i)\cup V^{+}(j)|}}}$

Esta medida nos permite cuantificar la contribución topológica (por eso se llama centralidad de contribución) de cada nodo a la centralidad de un nodo dado, teniendo más peso/relevancia aquellos nodos con mayor disimilitud, ya que estos permiten al nodo dado acceder a nodos a los que él mismo no puede acceder directamente.

Es digno de mención que${\displaystyle W}$es no negativo porque${\displaystyle A}$y${\displaystyle D}$son matrices no negativas, por lo que podemos usar el teorema de Perron-Frobenius para asegurar que el problema anterior tiene una solución única para λ = λ _max con c no negativo, lo que nos permite inferir la centralidad de cada nodo en la red. Por lo tanto, la centralidad del i-ésimo nodo es

${\displaystyle c_{i}={\dfrac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}W_{ij}c_{j},\,\,\,\,\,\,i=1,\cdots ,n}$

dónde${\displaystyle n}$es el número de nodos en la red. Se probaron varias medidas de disimilitud y redes en ^{[ 37 ]} obteniendo mejores resultados en los casos estudiados.

Las redes de transporte, como las redes viales y ferroviarias, se estudian ampliamente en la ciencia del transporte y la planificación urbana. Varios estudios recientes se han centrado en el uso de medidas de centralidad para analizar las redes de transporte. Si bien muchos de estos estudios simplemente utilizan medidas de centralidad genéricas, como la centralidad de intermediación, también se han definido medidas de centralidad personalizadas específicamente para el análisis de redes de transporte. Entre ellas destaca la centralidad de transporte . ^{[ 38 ]}

La centralidad de transporte mide la suma de las proporciones de caminos desde pares de nodos en una red que pasan por el nodo en cuestión. En este sentido, es similar a la centralidad de intermediación. Sin embargo, a diferencia de la centralidad de intermediación, que solo considera los caminos más cortos, la centralidad de transporte considera todos los caminos posibles entre un par de nodos. Por lo tanto, la centralidad de transporte es una versión genérica de la centralidad de intermediación y, bajo ciertas condiciones, se reduce a ella.

La centralidad de transporte de un nodo v dado se define como: ^{[ 38 ]}

${\displaystyle TC(v)=1/((N-1)(N-2))\Sigma _{s\neq v\neq t}{\frac {\Sigma _{i\in P_{s,t}^{v}}e^{-\beta C_{s,t}^{i}}}{\Sigma _{j\in P_{s,t}^{v}}e^{-\beta C_{s,t}^{j}}}}}$

• Centralidad alfa
• Centralidad del grupo
• Estructura núcleo-periferia
• Distancia en gráficos

• Koschützki, D.; Lehmann, KA; Peeters, L.; Richter, S.; Tenfelde-Podehl, D. y Zlotowski, O. (2005) Índices de centralidad. En Brandes, U. y Erlebach, T. (Eds.) Análisis de redes: fundamentos metodológicos , pp.  16–61, LNCS 3418, Springer-Verlag.