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Articulo de referencia

Grupos puntuales en cuatro dimensiones

Jerarquía de grupos de puntos 4D y algunos subgrupos. El posicionamiento vertical se agrupa por orden. Los colores azul, verde y rosa muestran los grupos reflectivos, híbridos y...

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Jerarquía de grupos de puntos 4D y algunos subgrupos. El posicionamiento vertical se agrupa por orden. Los colores azul, verde y rosa muestran los grupos reflectivos, híbridos y rotacionales.
Algunos grupos de puntos 4D en la notación de Conway

En geometría , un grupo de puntos en cuatro dimensiones es un grupo de isometrías en cuatro dimensiones que deja el origen fijo, o correspondientemente, un grupo de isometrías de una 3-esfera .

Historia de los grupos tetradimensionales

  • 1889 Édouard Goursat , Sur les sustituciones ortogonales et les divisiones régulières de l'espace , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 3, 6, (págs.  9–102, págs.  80–81 tetraedros), tetraedro de Goursat
  • 1951, AC Hurley, Grupos de rotación finita y clases cristalinas en cuatro dimensiones , Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge, vol. 47, número 04, pág.  650 [ 1 ]
  • 1962 AL MacKay Redes de Bravais en el espacio de cuatro dimensiones [ 2 ]
  • 1964 Patrick du Val , Homografías, cuaterniones y rotaciones , grupos puntuales 4D basados ​​en cuaterniones
  • 1975 Jan Mozrzymas, Andrzej Solecki, Grupos puntuales R4 , Informes sobre física matemática, Volumen 7, Número 3, págs.  363-394 [ 3 ]
  • 1978 H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek y H. Zassenhaus, Grupos cristalográficos del espacio tetradimensional. [ 4 ]
  • 1982 NP Warner, Los grupos de simetría de las teselaciones regulares de S2 y S3 [ 5 ]
  • 1985 EJW Whittaker, Un atlas de hiperestereogramas de las clases cristalinas tetradimensionales
  • 1985 HSM Coxeter , Politopos regulares y semirregulares II , Notación de Coxeter para grupos puntuales 4D
  • 2003 John Conway y Smith, Sobre cuaterniones y octoniones , Grupos de puntos 4D basados ​​en cuaterniones completados
  • 2018 NW Johnson Geometrías y transformaciones , Capítulos 11, 12, 13, Grupos policóricos completos, pág.  249, Grupos duoprismáticos, pág.  269

Isometrías de simetría puntual 4D

Existen cuatro isometrías básicas de simetría puntual de 4 dimensiones : simetría de reflexión , simetría rotacional , rotoreflexión y doble rotación .

Notación para grupos

Los grupos puntuales en este artículo se dan en notación de Coxeter , que se basa en grupos de Coxeter , con marcas para grupos extendidos y subgrupos. [ 6 ] La notación de Coxeter tiene una correspondencia directa con el diagrama de Coxeter como [3,3,3], [4,3,3], [3 1,1,1 ], [3,4,3], [5,3,3] y [p,2,q]. Estos grupos delimitan la 3-esfera en dominios tetraédricos hiperesféricos idénticos. El número de dominios es el orden del grupo. El número de espejos para un grupo irreducible es nh/2 , donde h es el número de Coxeter del grupo de Coxeter y n es la dimensión (4). [ 7 ]

Para referencias cruzadas, también se incluyen aquí notaciones basadas en cuaterniones de Patrick du Val (1964) [ 8 ] y John Conway (2003) [ 9 ] . La notación de Conway permite calcular el orden del grupo como un producto de elementos con órdenes de grupo poliédricos quirales: (T=12, O=24, I=60). En la notación de Conway, un prefijo (±) implica inversión central , y un sufijo (.2) implica simetría especular. De manera similar, la notación de Du Val tiene un superíndice con asterisco (*) para la simetría especular.

Grupos de involución

Hay cinco grupos involutivos : sin simetría [  ] + , simetría de reflexión [ ], simetría rotacional  doble [2] + , rotoreflexión doble [2 + ,2 + ] y simetría de punto central [2 + ,2 + ,2 + ] como una doble rotación doble .

Grupos Coxeter de rango 4

Un grupo policórico es uno de los cinco grupos de simetría de los politopos regulares de cuatro dimensiones . También existen tres grupos prismáticos poliédricos y un conjunto infinito de grupos duoprismáticos. Cada grupo se define por un dominio fundamental tetraédrico de Goursat delimitado por planos de simetría. Los ángulos diedros entre los planos de simetría determinan el orden de la simetría diedral . El diagrama de Coxeter-Dynkin es un grafo donde los nodos representan planos de simetría y las aristas se denominan ramas y se etiquetan según el orden de sus ángulos diedros entre los planos de simetría.

El término policoro (plural policoros , adjetivo policórico ), de las raíces griegas poly ("muchos") y choros ("habitación" o "espacio"), fue defendido [ 10 ] por Norman Johnson y George Olshevsky en el contexto de los policoros uniformes (4-politopos) y sus grupos de simetría de 4 dimensiones relacionados. [ 11 ]

Los grupos de Coxeter de rango 4 permiten que un conjunto de 4 espejos abarque el espacio de 4 dimensiones y dividen la 3-esfera en dominios fundamentales tetraédricos. Los grupos de Coxeter de rango inferior solo pueden delimitar dominios fundamentales hosoédricos o hosotópicos en la 3-esfera.

Al igual que los grupos poliédricos 3D , los nombres de los grupos policóricos 4D dados se construyen a partir de los prefijos griegos de los recuentos de celdas de los politopos regulares con caras triangulares correspondientes. [ 12 ] Existen simetrías extendidas en policoros uniformes con patrones de anillos simétricos dentro de la construcción del diagrama de Coxeter . Existen simetrías quirales en policoros uniformes alternados .

Solo los grupos irreducibles tienen números de Coxeter, pero los grupos duoprismáticos [p,2,p] se pueden duplicar a [[ p,2,p ]] agregando una doble rotación al dominio fundamental, y esto da un número de Coxeter efectivo de 2 p , por ejemplo el [4,2,4] y su simetría completa B 4 , grupo [4,3,3] con número de Coxeter 8.

El orden de simetría es igual al número de celdas del policoro regular multiplicado por la simetría de sus celdas. Los policoros duales omnitruncados tienen celdas que coinciden con los dominios fundamentales del grupo de simetría.

subgrupos quirales

Las aristas de 16 celdas proyectadas sobre una esfera tridimensional representan 6 círculos máximos de simetría B4. Tres círculos convergen en cada vértice. Cada círculo representa ejes de simetría cuádruple.
Las aristas de 24 celdas proyectadas sobre una esfera tridimensional representan los 16 círculos máximos de simetría F4. Cuatro círculos convergen en cada vértice. Cada círculo representa ejes de simetría triple.
Las aristas de 600 celdas proyectadas sobre una esfera tridimensional representan 72 círculos máximos de simetría H4. Seis círculos convergen en cada vértice. Cada círculo representa ejes de simetría quíntuple.

Los subgrupos directos de los grupos puntuales reflectivos de 4 dimensiones son:

Simetría pentacórica

  • Grupo pentacórico – A 4 , [3,3,3], ( ), orden 120, (Du Val #51' (I † /C 1 ;I/C 1 ) †* , Conway + 1 / 60 [I×I].2 1 ), llamado así por la 5-celda (pentacorón), dada por el diagrama de Coxeter anillado . También se le llama a veces grupo hipertetraédrico por extender el grupo tetraédrico [3,3]. Hay 10 hiperplanos de espejo en este grupo. Es isomorfo al grupo simétrico abstracto , S 5 .
    • El grupo pentacórico extendido , Aut ( A4 ) , [[3,3,3]] , (La duplicación puede insinuarse mediante un diagrama plegado, ), orden 240, (Du Val #51 (I †* /C 2 ;I/C 2 ) †* , Conway ± 1 / 60 [I× I ].2). Es isomorfo al producto directo de grupos abstractos: S 5 ×C 2 .
      • El grupo pentacórico extendido quiral es [[3,3,3]] + , ( ), orden 120, (Du Val #32 (I † /C 2 ;I/C 2 ) † , Conway ± 1 / 60 [Ix I ]). Este grupo representa la construcción de la 5-celda omnisnub , , aunque no se puede uniformizar. Es isomorfo al producto directo de grupos abstractos: A 5 ×C 2 .
    • El grupo pentacórico quiral es [3,3,3] + , ( ), orden 60, (Du Val #32' (I † /C 1 ;I/C 1 ) † , Conway + 1 / 60 [I× I ]). Es isomorfo al grupo alternante abstracto , A 5 .
      • El grupo pentacórico quiral extendido es [[ 3,3,3] + ], orden 120, (Du Val #51" (I † /C 1 ;I/C 1 ) – †* , Conway + 1 / 60 [IxI].2 3 ). Coxeter relaciona este grupo con el grupo abstracto (4,6|2,3). [ 13 ] También es isomorfo al grupo simétrico abstracto , S 5 .

Simetría hexadecacórica

  • Grupo hexadecacórico – B 4 , [4,3,3], ( ), orden 384, (Du Val #47 (O/V;O/V) * , Conway ± 1 / 6 [O×O].2), llamado así por el hexadecacorón de 16 celdas , . Hay 16 hiperplanos de espejo en este grupo, que se pueden identificar en 2 conjuntos ortogonales: 12 de un subgrupo [3 1,1,1 ], y 4 de un subgrupo [2,2,2]. También se le llama grupo hiper-octaédrico por extender el grupo octaédrico 3D [4,3], y grupo teseractico por el teseracto , .
    • El grupo hexadecacórico quiral es [4,3,3] + , ( ), orden 192, (Du Val #27 (O/V;O/V), Conway ± 1 / 6 [O×O]). Este grupo representa la construcción de un teseracto omnisnub , , aunque no se puede hacer uniforme.
    • El grupo hexadecacórico disminuido iónico es [4,(3,3) + ], ( ), orden 192, (Du Val #41 (T/V;T/V) * , Conway ± 1 / 3 [T×T].2). Este grupo conduce a la celda truncada de 24 con construcción .
    • El grupo hexadecacórico medio es [1 + ,4,3,3], ( = ), orden 192, y es igual a la simetría #demitesseráctica : [3 1,1,1 ]. Este grupo se expresa en la construcción alternada teseracto del 16-celda , = .
      • El grupo [1 + ,4,(3,3) + ], ( = ), de orden 96, es el mismo que el grupo quiral demitesserático [3 1,1,1 ] + y también es el subgrupo conmutador de [4,3,3].
    • Un subgrupo reflectante de alto índice es la simetría octaédrica prismática , [4,3,2] ( ), orden 96, índice de subgrupo 4, (Du Val #44 (O/C 2 ;O/C 2 ) * , Conway ± 1 / 24 [O×O].2). El prisma cúbico truncado tiene esta simetría con el diagrama de Coxeter y el prisma cúbico es una construcción de menor simetría del teseracto , como .
      • Su subgrupo quiral es [4,3,2] + , ( ), orden 48, (Du Val #26 (O/C 2 ;O/C 2 ), Conway ± 1 / 24 [O×O]). Un ejemplo es el antiprisma cúbico truncado , , aunque no se puede hacer uniforme.
      • Los subgrupos iónicos son:
        • [(3,4) + ,2], ( ), orden 48, (Du Val #44b' (O/C 1 ;O/C 1 ) − * , Conway + 1 / 24 [O×O].2 1 ). El prisma cúbico truncado tiene esta simetría con el diagrama de Coxeter .
          • [(3,4) + ,2 + ], ( ), orden 24, (Du Val #44' (T/C 2 ;T/C 2 ) − * , Conway + 1 / 12 [T×T].2 1 ).
        • [4,3 + ,2], ( ), orden 48, (Du Val #39 (T/C 2 ;T/C 2 ) c * , Conway ± 1 / 12 [T×T].2).
          • [4,3 + ,2,1 + ] = [4,3 + ,1] = [4,3 + ], ( = ), orden 24, (Du Val #44" (T/C 2 ;T/C 2 ) * , Conway + 1 / 12 [T×T].2 3 ). Este es el grupo piritoédrico 3D , [4,3 + ].
          • [3 + ,4,2 + ], ( ), orden 24, (Du Val #21 (T/C 2 ;T/C 2 ), Conway ± 1 / 12 [T×T]).
        • [3,4,2 + ], ( ), orden 48, (Du Val #39' (T/C 2 ;T/C 2 ) − * , Conway ± 1 / 12 [T× T ].2).
        • [4,(3,2) + ], ( ), orden 48, (Du Val #40b' (O/C 1 ;O/C 1 ) − * , Conway + 1 / 24 [O× O ].2 1 ).
      • Un subgrupo medio [4,3,2,1 + ] = [4,3,1] = [4,3], ( = ), orden 48 (Du Val #44b" (O/C 1 ;O/C 1 ) c * , Conway + 1 / 24 [O×O].2 3 ). Se le llama grupo piramidal octaédrico y es simetría octaédrica 3D , [4,3]. Una pirámide cúbica puede tener esta simetría, con símbolo de Schläfli : ( ) ∨ {4,3}. 
        [4,3], , el grupo piramidal octaédrico es isomorfo a la simetría octaédrica 3d
        • Un subgrupo quiral [(4,3) + ,2,1 + ] = [4,3,1] + = [4,3] + , ( = ), orden 24 (Du Val #26b' (O/C 1 ;O/C 1 ), Conway + 1 / 24 [O×O]). Este es el grupo octaédrico quiral 3D , [4,3] + . Una pirámide cúbica truncada puede tener esta simetría, con el símbolo de Schläfli: ( ) ∨ sr{4,3}. 
    • Otro subgrupo reflectante de alto índice es la simetría tetraédrica prismática , [3,3,2], ( ), orden 48, índice de subgrupo 8, (Du Val #40b" (O/C 1 ;O/C 1 ) * , Conway + 1 / 24 [O× O ].2 3 ).
      • El subgrupo quiral es [3,3,2] + , ( ), orden 24, (Du Val #26b" (O/C 1 ;O/C 1 ), Conway + 1 / 24 [O× O ]). Un ejemplo es el antiprisma tetraédrico truncado , , aunque no se puede hacer uniforme.
      • El subgrupo iónico es [(3,3) + ,2], ( ), orden 24, (Du Val #39b' (T/C 1 ;T/C 1 ) c * , Conway + 1 / 12 [T× T ].2 3 ). Un ejemplo es el prisma tetraédrico truncado , .
      • El subgrupo medio es [3,3,2,1 + ] = [3,3,1] = [3,3], ( = ), orden 24, (Du Val #39b" (T/C 1 ;T/C 1 ) − * , Conway + 1 / 12 [T× T ].2 1 ). Se le llama grupo piramidal tetraédrico y es el grupo tetraédrico 3D , [3,3]. Una pirámide tetraédrica regular puede tener esta simetría, con el símbolo de Schläfli: ( ) ∨ {3,3}. 
        [3,3], , el grupo piramidal tetraédrico es isomorfo a la simetría tetraédrica 3d
        • El subgrupo quiral [(3,3) + ,2,1 + ] = [3,3] + ( = ), orden 12, (Du Val #21b' (T/C 1 ;T/C 1 ), Conway + 1 / 12 [T×T]). Este es el grupo tetraédrico quiral 3D , [3,3] + . Una pirámide tetraédrica truncada puede tener esta simetría, con el símbolo de Schläfli: ( ) ∨ sr{3,3}. 
    • Otro subgrupo reflectante radial de alto índice es [4,(3,3) * ], índice 24, elimina espejos con ángulos diedros de orden 3, creando [2,2,2] ( ), orden 16. Otros son [4,2,4] ( ), [4,2,2] ( ), con índices de subgrupo 6 y 12, orden 64 y 32. Estos grupos son simetrías inferiores del teseracto : ( ), ( ), y ( ). Estos grupos son simetría duoprismática .

Simetría icositetracórica

  • Grupo icositetracórico – F 4 , [3,4,3], ( ), orden 1152, (Du Val #45 (O/T;O/T) * , Conway ± 1 / 2 [OxO].2), llamado así por la celda de 24 (icositetracoron), . Hay 24 planos de espejo en esta simetría, que se pueden descomponer en dos conjuntos ortogonales de 12 espejos en subgrupos de simetría demiteseractica [3 1,1,1 ], como [3 * ,4,3] y [3,4,3 * ], como subgrupos de índice 6.
    • El grupo icositetracórico extendido , Aut ( F4 ) , [[3,4,3]] , ( ) tiene orden 2304, (Du Val #48 (O/O;O/O) * , Conway ±[O×O].2).
      • El grupo icositetracórico extendido quiral , [[3,4,3]] + , ( ) tiene orden 1152, (Du Val #25 (O/O;O/O), Conway ±[OxO]). Este grupo representa la construcción de la omnisnub de 24 celdas , , aunque no se puede hacer uniforme.
    • Los grupos icositetracóricos reducidos iónicos , [3 + ,4,3] y [3,4,3 + ], ( o ), tienen orden 576, (Du Val #43 (T/T;T/T) * , Conway ±[T×T].2). Este grupo conduce a la célula truncada de 24 celdas con construcción o .
      • El grupo icositetracórico doblemente disminuido , [3 + ,4,3 + ] (la doble disminución se puede mostrar mediante un hueco en el diagrama de 4 ramas: ), orden 288, (Du Val #20 (T/T;T/T), Conway ±[T×T]) es el subgrupo conmutador de [3,4,3].
        • Se puede extender como [[3 + ,4,3 + ]], ( ) orden 576, (Du Val #23 (T/T;O/O), Conway ±[OxT]).
    • El grupo icositetracórico quiral es [3,4,3] + , ( ), orden 576, (Du Val #28 (O/T;O/T), Conway ± 1 / 2 [O×O]).
      • El grupo quiral icositetracórico extendido , [[ 3,4,3] + ] tiene orden 1152, (Du Val #46 (O/T;O/T) − * , Conway ± 1 / 2 [OxO]. 2 ). Coxeter relaciona este grupo con el grupo abstracto (4,8|2,3). [ 13 ]

Simetría demiteseractica

  • Grupo demitesseracto – D 4 , [3 1,1,1 ], [3,3 1,1 ] o [3,3,4,1 + ], ( = ), orden 192, (Du Val #42 (T/V;T/V) − * , Conway ± 1 / 3 [T× T ].2), nombrado por la construcción de 4-demicube (demitesseracto) de la 16-celda, o . Hay 12 espejos en este grupo de simetría.
    • Hay dos tipos de simetrías extendidas al agregar espejos: <[3,3 1,1 ]> que se convierte en [4,3,3] al bisecar el dominio fundamental por un espejo, con 3 orientaciones posibles; y el grupo extendido completo [3[3 1,1,1 ]] se convierte en [3,4,3].
    • El grupo quiral demitesserático es [3 1,1,1 ] + o [1 + ,4,(3,3) + ], ( = ), orden 96, (Du Val #22 (T/V;T/V), Conway ± 1 / 3 [T×T]). Este grupo conduce a la celda truncada de 24 celdas con construcción = .

Simetría hexacosicórica

  • Grupo hexacosicórico – H 4 , [5,3,3], ( ), orden 14400, (Du Val #50 (I/I;I/I) * , Conway ±[I×I].2), nombrado por la celda de 600 (hexacosicorno), . También se le llama a veces grupo hipericosaédrico por extender el grupo icosaédrico 3D [5,3], y grupo hecatonicosacórico o grupo dodecacontacórico de la celda de 120 , .
    • El grupo hexacosicórico quiral es [5,3,3] + , ( ), orden 7200, (Du Val #30 (I/I;I/I), Conway ±[I×I]). Este grupo representa la construcción de la celda truncada de 120 celdas , , aunque no se puede hacer uniforme.
    • Un subgrupo reflectante de alto índice es la simetría icosaédrica prismática , [5,3,2], ( ), orden 240, índice de subgrupo 60, (Du Val #49 (I/C 2 ;I/C 2 ) * , Conway ± 1 / 60 [IxI].2).
      • Su subgrupo quiral es [5,3,2] + , ( ), orden 120, (Du Val #31 (I/C 2 ;I/C 2 ), Conway ± 1 / 60 [IxI]). Este grupo representa la construcción del antiprisma dodecaédrico truncado , , aunque no se puede hacer uniforme.
      • Un subgrupo iónico es [(5,3) + ,2], ( ), orden 120, (Du Val #49' (I/C 1 ;I/C 1 ) * , Conway + 1 / 60 [IxI].2 1 ). Este grupo representa la construcción del prisma dodecaédrico truncado , .
      • Un subgrupo medio es [5,3,2,1 + ] = [5,3,1] = [5,3], ( = ), orden 120, (Du Val #49" (I/C 1 ;I/C 1 ) − * , Conway + 1 / 60 [IxI].2 3 ). Se le llama grupo piramidal icosaédrico y es el grupo icosaédrico 3D , [5,3]. Una pirámide dodecaédrica regular puede tener esta simetría, con el símbolo de Schläfli : ( ) ∨ {5,3}.  
        • Un subgrupo quiral es [(5,3) + ,2,1 + ] = [5,3,1] + = [5,3] + , ( = ), orden 60, (Du Val #31' (I/C 1 ;I/C 1 ), Conway + 1 / 60 [IxI]). Este es el grupo icosaédrico quiral 3D , [5,3] + . Una pirámide dodecaédrica truncada puede tener esta simetría, con símbolo de Schläfli : ( ) ∨ sr{5,3}. 

Simetría duoprismática

  • Los grupos duoprismáticos – [p,2,q], ( ), de orden 4 pq , existen para todo 2 ≤ p , q < ∞. Hay p+q espejos en esta simetría, que se descomponen trivialmente en dos conjuntos ortogonales de p y q espejos de simetría diedral : [p] y [q].     
    • El subgrupo quiral es [p,2,p] + ,( ), orden 2 pq . Se puede duplicar como [[ 2p,2,2p] + ].
    • Si p y q son iguales, [p,2,p], ( ), la simetría se puede duplicar como [[p,2,p]] , ( ).
      • Duplicaciones: [[ 2 + ,2,p + ]] , ( ), [[ 2p,2 + ,2p ​​]] , [[ 2p + ,2 + ,2p ​​+ ]] .
    • [p,2,∞], ( ), representa un grupo de líneas en el espacio tridimensional,
    • [∞,2,∞], ( ) representa la simetría del plano euclidiano con dos conjuntos de espejos paralelos y un dominio rectangular ( orbifold *2222).
    • Los subgrupos incluyen: [p + ,2,q], ( ), [p,2,q + ], ( ), [p + ,2,q + ], ( ).
    • Y para valores pares: [2p,2 + ,2q], ( ), [2p,2 + ,2q + ], ( ), [(p,2) + ,2q], ( ), [2p,(2,q) + ], ( ), [(p,2) + ,2q + ], ( ), [2p + , (2,q) + ], ( ), [2p + ,2 + ,2q + ], ( ), y subgrupo de comunicador, índice 16, [2p + ,2 + ,2q + ] + , ( ).
  • Grupo duoprismático digonal – [2,2,2], ( ), orden 16.
    • El subgrupo quiral es [2,2,2] + , ( ), orden 8.
    • Extendido [[2,2,2]] , ( ), orden 32. El duoprismo 4-4 tiene esta simetría extendida, .
      • El grupo extendido quiral es [[2,2,2]] + , orden 16.
      • El subgrupo quiral extendido es [[ 2,2,2] + ], de orden 16, con generadores de rotoreflexión . Es isomorfo al grupo abstracto (4,4|2,2).
    • Otra extendida [(3,3)[2,2,2 ]] =[4,3,3], orden 384, #Simetría hexadecacórica . El teseracto tiene esta simetría, como o .
    • Los subgrupos iónicos disminuidos son [2 + ,2,2], orden 8.
      • El subgrupo doblemente disminuido es [2 + ,2,2 + ], orden 4.
        • Extendido como [[ 2 + ,2,2 + ]] , orden 8.
      • Los subgrupos de rotor-reflexión son [2 + ,2 + ,2], [2,2 + ,2 + ], [2 + ,(2,2) + ], [(2,2) + ,2 + ] de orden 4.
      • El subgrupo triple disminuido es [2 + ,2 + ,2 + ], ( ), orden 2. Es una doble rotación de 2 y una inversión central 4D .
    • El subgrupo medio es [1 + ,2,2,2]=[1,2,2], orden 8.
  • Grupo duoprismático triangular – [3,2,3], , orden 36.
    • El subgrupo quiral es [3,2,3] + , orden 18.
    • Extendido [[3,2,3]] , orden 72. El duoprismo 3-3 tiene esta simetría extendida, .
      • El grupo extendido quiral es [[3,2,3]] + , orden 36.
      • El subgrupo quiral extendido es [[ 3,2,3] + ], de orden 36, con generadores de rotoreflexión . Es isomorfo al grupo abstracto (4,4|2,3).
    • Otros extendidos [[ 3],2,3], [3,2,[3 ]] , orden 72, y son isomorfos a [6,2,3] y [3,2,6].
    • Y [[ 3 ]] ,2, [[ 3 ]] , orden 144, y es isomorfo a [6,2,6].
    • Y 3 ,2,[3 ]] ], orden 288, isomorfo a [[6,2,6]] . El duoprismo 6–6 tiene esta simetría, como o .
    • Los subgrupos iónicos disminuidos son [3 + ,2,3], [3,2,3 + ], orden 18.
      • El subgrupo doblemente disminuido es [3 + ,2,3 + ], orden 9.
        • Extendido como [[ 3 + ,2,3 + ]] , orden 18.
    • Un subgrupo de alto índice es [3,2], orden 12, índice 3, que es isomorfo al grupo de simetría diedral en tres dimensiones , [3,2], D 3h .
      • [3,2] + , orden 6
  • Grupo duoprismático cuadrado – [4,2,4], , orden 64.
    • El subgrupo quiral es [4,2,4] + , orden 32.
    • Extendido [[4,2,4]] , orden 128. El duoprismo 4–4 tiene esta simetría extendida, .
      • El grupo extendido quiral es [[4,2,4]] + , orden 64.
      • El subgrupo quiral extendido es [[ 4,2,4] + ], de orden 64, con generadores de rotoreflexión . Es isomorfo al grupo abstracto (4,4|2,4).
    • Otros extendidos [[ 4],2,4], [4,2,[4 ]] , orden 128, y son isomorfos a [8,2,4] y [4,2,8]. El duoprismo 4–8 tiene esta simetría, como o .
    • Y [[ 4 ]] ,2, [[ 4 ]] , orden 256, y es isomorfo a [8,2,8].
    • Y [[ [4 ]] ,2,[4] ]] orden 512, isomorfo a [[8,2,8]] . El duoprismo 8–8 tiene esta simetría, como o .
    • Los subgrupos iónicos disminuidos son [4 + ,2,4], [4,2,4 + ], orden 32.
      • El subgrupo doblemente disminuido es [4 + ,2,4 + ], orden 16.
        • Extendido como [[ 4 + ,2,4 + ]] , orden 32.
      • Los subgrupos de rotor-reflexión son [4 + ,2 + ,4], [4,2 + ,4 + ], [4 + ,(2,4) + ], [(4,2) + ,4 + ], ( , , , ) orden 16.
      • El subgrupo triple disminuido es [4 + ,2 + ,4 + ], ( ), orden 8.
    • Los subgrupos medios son [1 + ,4,2,4]=[2,2,4], ( ), [4,2,4,1 + ]=[4,2,2], ( ), orden 32.
      • [1 + ,4,2,4] + =[2,2,4] + , ( ), [4,2,4,1 + ] + =[4,2,2] + , ( ), orden 16.
    • El subgrupo de la mitad nuevamente es [1 + ,4,2,4,1 + ]=[2,2,2], ( ), orden 16.
      • [1 + ,4,2,4,1 + ] + = [1 + ,4,2 + ,4,1 + ] = [2,2,2] + , ( ) orden 8

Resumen de algunos grupos puntuales de 4 dimensiones

Este es un resumen de grupos puntuales de 4 dimensiones en notación de Coxeter . 227 de ellos son grupos puntuales cristalográficos (para valores particulares de p y q). [ 14 ] (nc) se da para grupos no cristalográficos. Algunos grupos cristalográficos tienen sus órdenes indexados (order.index) por su estructura de grupo abstracta. [ 15 ]

Véase también

Referencias

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  2. ↑ "Redes de Bravais en el espacio tetradimensional" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 4 de marzo de 2016.
  3. ↑ Mozrzymas, Jan; Solecki, Andrzej (1975). "Grupos puntuales R4". Reports on Mathematical Physics . 7 (3): 363– 394. Bibcode : 1975RpMP....7..363M . doi : 10.1016/0034-4877(75)90040-3 .
  4. ↑ Brown, H; Bülow, R; Neubüser, J; Wondratschek, H; Zassenhaus, H (1978). Grupos cristalográficos del espacio tetradimensional (PDF) . Wiley .
  5. ↑ Warner, NP (1982). "Los grupos de simetría de las teselaciones regulares de S2 y S3". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Matemáticas y Físicas . 383 ( 1785): 379– 398. Bibcode : 1982RSPSA.383..379W . doi : 10.1098/rspa.1982.0136 . JSTOR 2397289. S2CID 119786906 .  
  6. ↑ Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares II , 1985, 2.2 Grupos de reflexión de cuatro dimensiones , 2.3 Subgrupos de índice pequeño
  7. ↑ Coxeter , Politopos regulares , §12.6 El número de reflexiones, ecuación 12.61
  8. ↑ Patrick Du Val, Homografías, cuaterniones y rotaciones , Monografías matemáticas de Oxford, Clarendon Press , Oxford , 1964.
  9. ↑ Conway y Smith, Sobre cuaterniones y octoniones , 2003 Capítulo 4, sección 4.4 Notaciones de Coxeter para los grupos poliédricos
  10. ↑ "Polígonos convexos y abstractos", Programa y resúmenes, MIT, 2005
  11. ↑ Johnson (2015), Capítulo 11, Sección 11.5 Grupos de Coxeter esféricos
  12. ↑ ¿Qué son los poliedros?, con prefijos numéricos griegos
  13. 1 2 Coxeter, Los grupos abstractos G m;n;p , (1939)
  14. ↑ Weigel, D.; Phan, T.; Veysseyre, R. (1987). "Cristalografía, geometría y física en dimensiones superiores. III. Símbolos geométricos para los 227 grupos puntuales cristalográficos en el espacio tetradimensional". Acta Crystallogr . A43 (3): 294. Bibcode : 1987AcCrA..43..294W . doi : 10.1107/S0108767387099367 .
  15. ↑ Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II (1985)
  • HSM Coxeter, Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973
  • Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
    • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semiregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
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  • HSM Coxeter y WOJ Moser. Generadores y relaciones para grupos discretos, 4.ª ed., Springer-Verlag. Nueva York. 1980, pág. 92, pág. 122.
  • John H. Conway y M.J.T. Guy : Politopos arquimedianos de cuatro dimensiones , Actas del Coloquio sobre Convexidad en Copenhague, páginas 38 y 39, 1965.
  • NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abeja , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966.
  • NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.5 Grupos de Coxeter esféricos , pág.  249
  • John H. Conway y Derek A. Smith, Sobre cuaterniones y octoniones , 2003, ISBN 978-1-56881-134-5
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5(Capítulo 26)