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Articulo de referencia

Politopo uniforme de 4 capas

Diagrama de Schlegel para la celda truncada de 120 celdas con celdas tetraédricas visibles Proyección ortográfica de la celda truncada de 120 lados, en el plano H 3 Coxeter ( si...

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Diagrama de Schlegel para la celda truncada de 120 celdas con celdas tetraédricas visibles
Proyección ortográfica de la celda truncada de 120 lados, en el plano H 3 Coxeter ( simetría D 10 ). Solo se muestran los vértices y las aristas.

En geometría , un 4-politopo uniforme (o policoro uniforme ) [ 1 ] es un politopo de 4 dimensiones que es transitivo en vértices y cuyas celdas son poliedros uniformes y cuyas caras son polígonos regulares .

Existen 47 politopos uniformes convexos de dimensión 4 no prismáticos . Hay dos conjuntos infinitos de formas prismáticas convexas, junto con 17 casos que surgen como prismas de los poliedros uniformes convexos. También existe un número desconocido de formas estrelladas no convexas.

Historia del descubrimiento

  • Politopos regulares convexos :
    • 1852 : Ludwig Schläfli demostró en su manuscrito Theorie der vielfachen Kontinuität que existen exactamente 6 politopos regulares en 4 dimensiones y sólo 3 en 5 o más dimensiones.
  • Poliedros estrellados regulares de 4 lados ( celdas de poliedros estrellados y/o figuras de vértices )
    • 1852 : Ludwig Schläfli también encontró 4 de los 10 4-politopos estrellados regulares, descartando 6 con celdas o figuras de vértice { 5/2 , 5 } y { 5, 5/2 } .
    • 1883 : Edmund Hess completó la lista de 10 de los 4 politopos regulares no convexos, en su libro (en alemán) Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder Einleitung in die Lehre von der. Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder, von dr. Edmundo Hess. Mit sechzehn litographierten tafeln. .
  • Politopos semirregulares convexos : (Varias definiciones anteriores a la categoría uniforme de Coxeter )
    • 1900 : Thorold Gosset enumeró la lista de politopos convexos semirregulares no prismáticos con celdas regulares ( sólidos platónicos ) en su publicación Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones . En cuatro dimensiones, esto da como resultado la 5-celda rectificada , la 600-celda rectificada y la 24-celda truncada . [ 2 ]
    • 1910 : Alicia Boole Stott , en su publicación « Deducción geométrica de politopos semirregulares a partir de politopos regulares y rellenos espaciales» , amplió la definición al permitir también celdas sólidas y prismáticas arquimedianas . Esta construcción enumeró 45 4-politopos semirregulares, que corresponden a las formas no prismáticas que se enumeran a continuación. [ 3 ] El 24-celda truncado y el gran antiprisma no figuraban en su lista. [ 4 ]
    • 1911 : Pieter Hendrik Schoute publicó Tratamiento analítico de los politopos derivados regularmente de los politopos regulares , siguiendo las notaciones de Boole-Stott, enumerando los politopos uniformes convexos por simetría basados ​​en 5-celdas , 8-celdas / 16-celdas y 24-celdas . [ 5 ] [ 6 ]
    • 1912 : EL Elte amplió de forma independiente la lista de Gosset con la publicación The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces , politopos con uno o dos tipos de facetas semirregulares. [ 7 ]
  • Politopos uniformes convexos :
    • 1940 : La búsqueda fue ampliada sistemáticamente por HSM Coxeter en su publicación Regular and Semi-Regular Polytopes .
    • 4-politopos uniformes convexos :
      • 1965 : La lista completa de formas convexas fue finalmente enumerada por John Horton Conway y Michael Guy en su publicación Four-Dimensional Archimedean Polytopes , establecida mediante análisis informático, añadiendo solo un 4-politopo convexo no wythoffiano, el gran antiprisma.
      • En 1966, Norman Johnson finaliza su tesis doctoral titulada " La teoría de los politopos uniformes y los panales" bajo la dirección de Coxeter, completando así la teoría básica de los politopos uniformes para dimensiones 4 y superiores.
      • En 1986, Coxeter publicó un artículo titulado " Polítopos regulares y semiregulares II" que incluía un análisis de la singular estructura truncada de 24 celdas y la simetría del gran antiprisma anómalo.
      • 1998 [ 8 ] -2000 : Los 4-politopos fueron nombrados sistemáticamente por Norman Johnson y dados por la enumeración indexada en línea de George Olshevsky (utilizada como base para esta lista). Johnson nombró a los 4-politopos como policoros, como poliedros para los 3-politopos, de las raíces griegas poly ("muchos") y choros ("habitación" o "espacio"). [ 9 ] Los nombres de los policoros uniformes comenzaron con los 6 policoros regulares con prefijos basados ​​en anillos en los diagramas de Coxeter; truncamiento t 0,1 , cantelación, t 0,2 , runcinación t 0,3 , con formas de anillo simple llamadas rectificadas, y prefijos bi, tri añadidos cuando el primer anillo estaba en el segundo o tercer nodo. [ 10 ] [ 11 ]
      • 2004 : Marco Möller publicó una prueba de que el conjunto de Conway-Guy es completo en su disertación, Vierdimensionale Archimedische Polytope . Möller reprodujo el sistema de nomenclatura de Johnson en su listado. [ 12 ]
      • 2008 : John H. Conway publicó *The Symmetries of Things * [ 13 ] , que contiene la primera lista impresa de los 4-politopos uniformes convexos y politopos de dimensiones superiores según la familia del grupo de Coxeter, con diagramas de figuras de vértices generales para cada permutación del diagrama de Coxeter anillado (snub, grand antiprisma y duoprismas), a los que denominó proprismas para prismas producto. Utilizó su propio esquema de nomenclatura ijk -ambo para las permutaciones de anillo indexadas más allá de la truncación y la bitruncación, y todos los nombres de Johnson se incluyeron en el índice del libro.
  • Politopos de estrella uniformes no regulares de 4 miembros : (similares a los poliedros uniformes no convexos )
    • 1966 : Johnson describe tres antiprismas uniformes no convexos en el espacio de 4 dimensiones en su disertación. [ 14 ]
    • 1990-2006 : En una búsqueda colaborativa, hasta 2005 Jonathan Bowers y George Olshevsky habían identificado un total de 1845 4-politopos uniformes (convexos y no convexos), [ 15 ] con cuatro adicionales descubiertos en 2006 para un total de 1849. El recuento incluye los 74 prismas de los 75 poliedros uniformes no prismáticos (ya que es un conjunto finito; el prisma cúbico está excluido porque duplica el teseracto), pero no las categorías infinitas de duoprismas o prismas de antiprismas. [ 16 ]
    • 2020-2023 : Se encontraron 342 nuevos policoros, lo que eleva el número total de 4-politopos uniformes conocidos a 2191. No se ha demostrado que la lista sea completa. [ 16 ] [ 17 ]

4-politopos regulares

Los 4-politopos regulares son un subconjunto de los 4-politopos uniformes, que satisfacen requisitos adicionales. Los 4-politopos regulares se pueden expresar con el símbolo de Schläfli { p , q , r } tienen celdas de tipo { p , q }, caras de tipo { p }, figuras de aristas { r } y figuras de vértices { q , r }.

La existencia de un 4-politopo regular { p , q , r } está restringida por la existencia de los poliedros regulares { p , q } que se convierten en celdas, y { q , r } que se convierten en la figura del vértice .

La existencia como un 4-politopo finito depende de una desigualdad: [ 18 ]

pecado⁡(πpag)pecado⁡(πr)>porque⁡(πq).{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)>\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right).}

Los 16 4-politopos regulares , con la propiedad de que todas las celdas, caras, aristas y vértices son congruentes:

4-politopos uniformes convexos

Simetría de 4-politopos uniformes en cuatro dimensiones

Hay 5 familias de grupos puntuales fundamentales con simetría especular en 4 dimensiones: A 4 = , B 4 = , D 4 = , F 4 = , H 4 = . [ 10 ] También hay 3 grupos prismáticos A 3 A 1 = , B 3 A 1 = , H 3 A 1 = , y grupos duoprismáticos: I 2 (p)×I 2 (q) = . Cada grupo está definido por un dominio fundamental tetraédrico de Goursat delimitado por planos de simetría especular.

Cada politopo 4-uniforme reflectante puede construirse en uno o más grupos puntuales reflectantes en 4 dimensiones mediante una construcción de Wythoff , representada por anillos alrededor de permutaciones de nodos en un diagrama de Coxeter . Los hiperplanos de simetría pueden agruparse, como se observa mediante nodos coloreados, separados por ramas pares. Los grupos de simetría de la forma [a,b,a] tienen una simetría extendida, [[a,b,a]] , que duplica el orden de simetría. Esto incluye [3,3,3], [3,4,3] y [ p ,2, p ]. Los politopos uniformes en estos grupos con anillos simétricos contienen esta simetría extendida.

Si todos los espejos de un color dado no están anillados (inactivos) en un politopo uniforme dado, tendrá una construcción de menor simetría al eliminar todos los espejos inactivos. Si todos los nodos de un color dado están anillados (activos), una operación de alternancia puede generar un nuevo 4-politopo con simetría quiral, mostrado como nodos "vacíos" rodeados de círculos, pero la geometría generalmente no es ajustable para crear soluciones uniformes .

Enumeración

Hay 64 4-politopos uniformes convexos, incluyendo los 6 4-politopos convexos regulares, y excluyendo los conjuntos infinitos de los duoprismas y los prismas antiprismáticos .

  • 5 son prismas poliédricos basados ​​en los sólidos platónicos (1 se superpone con los prismas regulares ya que un hiperprisma cúbico es un teseracto ).
  • 13 son prismas poliédricos basados ​​en los sólidos de Arquímedes.
  • 9 pertenecen a la familia del grupo A 4 [3,3,3] regular autodual ( 5-celdas ).
  • 9 pertenecen a la familia del grupo F 4 [3,4,3] regular autodual ( 24-celdas ). (Excluyendo las 24-celdas truncadas)
  • 15 pertenecen al grupo regular B 4 [3,3,4] ( teseracto / familia de 16 células ) (3 se solapan con la familia de 24 células).
  • 15 pertenecen a la familia del grupo regular H 4 [3,3,5] ( 120 células / 600 células ).
  • 1 forma snub especial en la familia del grupo [3,4,3] ( 24 células ).
  • 1 politopo de 4 lados no wythoffiano especial, el gran antiprisma.
  • TOTAL: 68 − 4 = 64

Estos 64 4-politopos uniformes están indexados a continuación por George Olshevsky. Las formas de simetría repetidas están indexadas entre corchetes.

Además de los 64 mencionados anteriormente, existen 2 conjuntos prismáticos infinitos que generan todas las formas convexas restantes:

La familia A 4

La 5-celda tiene simetría pentacórica diploide [3,3,3] , [ 10 ] de orden 120, isomorfa a las permutaciones de cinco elementos, porque todos los pares de vértices están relacionados de la misma manera.

Se proporcionan facetas (células), agrupadas en sus ubicaciones del diagrama de Coxeter mediante la eliminación de nodos específicos.

Las tres formas uniformes de 4 politopos marcadas con un asterisco , * , tienen la simetría pentacórica extendida superior , de orden 240, [[3,3,3]] porque el elemento correspondiente a cualquier elemento de la 5-celda subyacente puede intercambiarse con uno de los correspondientes a un elemento de su dual. Hay un pequeño subgrupo de índice [3,3,3] + , orden 60, o su duplicación [[3,3,3]] + , orden 120, que define una omnisnub de 5 celdas que se enumera para mayor exhaustividad, pero no es uniforme.

La familia B 4

Esta familia tiene simetría hexadecacórica diploide , [ 10 ] [4,3,3], de orden 24 × 16=384: 4!=24 permutaciones de los cuatro ejes, 2 4 =16 para la reflexión en cada eje. Hay 3 subgrupos de índice pequeños, con los dos primeros generando 4-politopos uniformes que también se repiten en otras familias, [1 + ,4,3,3], [4,(3,3) + ], y [4,3,3] + , todos de orden 192.

Truncamientos del teseracto

Truncamientos de 16 celdas

(*) Así como rectificar el tetraedro produce el octaedro , rectificar el 16-celda produce el 24-celda, el miembro regular de la siguiente familia.

La celda truncada de 24 celdas se repite en esta familia para mayor completitud. Es una alternancia de la celda cantitruncada de 16 celdas o la celda truncada de 24 celdas , con el grupo de simetría [(3,3) + ,4]. Las celdas octaédricas truncadas se convierten en icosaedros. Los cubos se convierten en tetraedros, y se crean 96 nuevos tetraedros en los huecos de los vértices eliminados.

La familia F 4

Esta familia tiene simetría icositetracórica diploide , [ 10 ] [3,4,3], de orden 24 × 48=1152: las 48 simetrías del octaedro para cada una de las 24 celdas. Hay 3 subgrupos de índice pequeños, con los dos primeros pares isomorfos generando 4-politopos uniformes que también se repiten en otras familias, [3 + ,4,3], [3,4,3 + ], y [3,4,3] + , todos de orden 576.

(†) La celda 24 truncada aquí, a pesar de su nombre común, no es análoga al cubo truncado ; más bien, se deriva de una alternancia de la celda 24 truncada. Su número de simetría es solo 576, (el grupo icositetracórico disminuido iónico , [3 + ,4,3]).

Al igual que la 5-celular, la 24-celular es autodual, por lo que las siguientes tres formas tienen el doble de simetrías, lo que eleva su total a 2304 ( simetría icositetracórica extendida [[3,4,3]] ).

La familia H 4

Esta familia tiene simetría hexacosicórica diploide , [ 10 ] [5,3,3], de orden 120 × 120=24 × 600=14400: 120 para cada uno de los 120 dodecaedros, o 24 para cada uno de los 600 tetraedros. Hay un pequeño subgrupo de índice [5,3,3] + , todos de orden 7200.

Truncamientos de 120 celdas

Truncamientos de 600 celdas

La familia D 4

Esta familia de demiteseractos , [3 1,1,1 ], no introduce nuevos 4-politopos uniformes, pero vale la pena repetir estas construcciones alternativas. Esta familia tiene un orden de 12 × 16 = 192: 4!/2 = 12 permutaciones de los cuatro ejes, la mitad como alternados, 2 4 = 16 para la reflexión en cada eje. Hay un pequeño subgrupo de índices que genera 4-politopos uniformes, [3 1,1,1 ] + , de orden 96.

Cuando los 3 nodos de la rama bifurcada están anillados de forma idéntica, la simetría puede incrementarse en 6, ya que [3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3], y por lo tanto estos politopos se repiten de la familia de 24 células .

Aquí nuevamente el 24-celda truncado , con el grupo de simetría [3 1,1,1 ] + esta vez, representa una truncación alternada del 24-celda truncado creando 96 nuevos tetraedros en la posición de los vértices eliminados. A diferencia de su aparición dentro de grupos anteriores como 4-politopo parcialmente truncado, solo dentro de este grupo de simetría tiene la analogía completa con los snubs de Kepler, es decir, el cubo truncado y el dodecaedro truncado .

El gran antiprisma

Existe un politopo convexo uniforme de dimensión 4 que no es de Wythoff, conocido como el gran antiprisma , que consta de 20 antiprismas pentagonales que forman dos anillos perpendiculares unidos por 300 tetraedros . Es vagamente análogo a los antiprismas tridimensionales , que consisten en dos polígonos paralelos unidos por una banda de triángulos . Sin embargo, a diferencia de estos, el gran antiprisma no pertenece a una familia infinita de politopos uniformes.

Su simetría es el grupo de Coxeter disminuido iónico , [[10,2 + ,10]], orden 400.

4-politopos prismáticos uniformes

Un politopo prismático es un producto cartesiano de dos politopos de menor dimensión; ejemplos conocidos son los prismas tridimensionales , que son productos de un polígono y un segmento de línea . Los 4-politopos prismáticos uniformes constan de dos familias infinitas:

  • Prismas poliédricos : productos de un segmento de línea y un poliedro uniforme. Esta familia es infinita porque incluye prismas construidos sobre prismas y antiprismas tridimensionales .
  • Duoprismas : productos de dos polígonos.

Prismas poliédricos convexos

La familia más evidente de 4-politopos prismáticos son los prismas poliédricos, es decir, productos de un poliedro con un segmento de línea . Las celdas de dichos 4-politopos son dos poliedros uniformes idénticos situados en hiperplanos paralelos (las celdas base ) y una capa de prismas que los une (las celdas laterales ). Esta familia incluye prismas para los 75 poliedros uniformes no prismáticos (de los cuales 18 son convexos; uno de ellos, el prisma cúbico, se menciona anteriormente como el teseracto ).

Existen 18 prismas poliédricos convexos formados a partir de 5 sólidos platónicos y 13 sólidos arquimedianos , así como familias infinitas de prismas y antiprismas tridimensionales . El número de simetría de un prisma poliédrico es el doble del del poliedro base.

Prismas tetraédricos: A 3 × A 1

Esta simetría tetraédrica prismática es [3,3,2], orden 48. Hay dos subgrupos de índice 2, [(3,3) + ,2] y [3,3,2] + , pero el segundo no genera un 4-politopo uniforme.

Prismas octaédricos: B 3 × A 1

Esta simetría de la familia octaédrica prismática es [4,3,2], orden 96. Hay 6 subgrupos de índice 2, orden 48 que se expresan en 4-politopos alternados a continuación. Las simetrías son [(4,3) + ,2], [1 + ,4,3,2], [4,3,2 + ], [4,3 + ,2], [4,(3,2) + ] y [4,3,2] + .

Prismas icosaédricos: H 3 × A 1

Esta simetría icosaédrica prismática es [5,3,2], orden 240. Hay dos subgrupos de índice 2, [(5,3) + ,2] y [5,3,2] + , pero el segundo no genera un policoro uniforme.

Duoprismas: [p] × [q]

El más simple de los duoprismas, el duoprismo 3,3, en el diagrama de Schlegel , una de las 6 celdas de prisma triangular que se muestran.

La segunda es la familia infinita de duoprismas uniformes , productos de dos polígonos regulares . El diagrama de Coxeter-Dynkin de un duoprismo es . Su figura de vértice es un tetraedro disfenoidal , .

Esta familia se solapa con la primera: cuando uno de los dos polígonos "factores" es un cuadrado, el producto es equivalente a un hiperprisma cuya base es un prisma tridimensional. El número de simetría de un duoprismo cuyos factores son un p -gono y un q- gono (un " p,q- duoprismo") es 4 pq si p ≠ q ; si ambos factores son p -gonos, el número de simetría es 8 p² . El teseracto también puede considerarse un 4,4-duoprismo.

El f-vector extendido de { p }×{ q } es ( p , p ,1)*( q , q ,1) = ( pq ,2 pq , pq + p + q , p + q ).

  • Celdas: prismas p q -gonales, prismas q p -gonales
  • Caras: pq cuadrados, pq - gonos, qp - gonos
  • Bordes: 2pq
  • Vértices: pq

No existe un análogo uniforme en cuatro dimensiones para la familia infinita de antiprismas tridimensionales .

Conjunto infinito de duoprismas pq - - prismas p q -gonales, prismas q p -gonales:

Son posibles las alternancias. = da la familia de duoantiprismas , pero generalmente no se pueden uniformizar. p=q=2 es el único caso convexo que se puede uniformizar, dando el 16-celda regular. p=5, q=5/3 es el único caso no convexo que se puede uniformizar, dando el llamado gran duoantiprisma . da el prismantiprismoide p-2q-gonal (una alternancia de aristas del duoprismo 2p-4q), pero este no se puede uniformizar en ningún caso. [ 23 ]

Prismas prismáticos poligonales: [p] × [ ] × [ ]

El conjunto infinito de prismas prismáticos uniformes se superpone con los duoprismas 4-p: (p≥3) - - p cubos y 4 p prismas -gonales - (Todos son iguales al duoprisma 4-p ) El segundo politopo de la serie es una simetría inferior del teseracto regular , {4}×{4}.

Prismas antiprismáticos poligonales: [p] × [ ] × [ ]

Los conjuntos infinitos de prismas antiprismáticos uniformes se construyen a partir de dos antiprismas uniformes paralelos ): (p≥2) - - 2 p -antiprismas gonales, conectados por 2 p -prismas gonales y 2p prismas triangulares.

Un prisma antiprismático p-gonal tiene 4p caras triangulares, 4p caras cuadradas y 4 caras p-gonales. Tiene 10p aristas y 4p vértices.

Alternancias no uniformes

Al igual que el cubo truncado tridimensional , una alternancia elimina la mitad de los vértices, en dos conjuntos quirales de vértices de la forma anillada ; sin embargo, la solución uniforme requiere que las posiciones de los vértices se ajusten para que tengan longitudes iguales. En cuatro dimensiones, este ajuste solo es posible para dos figuras alternadas, mientras que el resto solo existen como figuras alternadas no equiláteras.

Coxeter mostró solo dos soluciones uniformes para grupos de Coxeter de rango 4 con todos los anillos alternados (mostrados con nodos de círculo vacíos). La primera es , s{2 1,1,1 } que representaba una forma de subgrupo de índice 24 ( simetría [2,2,2] + , orden 8) del demiteseracto , , h{4,3,3} (simetría [1 + ,4,3,3] = [3 1,1,1 ], orden 192). La segunda es , s{3 1,1,1 }, que es una forma de subgrupo de índice 6 (simetría [3 1,1,1 ] + , orden 96) de la 24-celda truncada , , s{3,4,3}, (simetría [3 + ,4,3], orden 576).

Otras alternancias, como , como una alternancia del teseracto omnitruncado , no pueden hacerse uniformes ya que resolver para longitudes de aristas iguales es, en general, sobredeterminado (hay seis ecuaciones pero solo cuatro variables). Tales figuras alternadas no uniformes pueden construirse como 4-politopos transitivos de vértices mediante la eliminación de uno de los dos semiconjuntos de los vértices de la figura anillada completa, pero tendrán longitudes de aristas desiguales. Al igual que las alternancias uniformes, tendrán la mitad de la simetría de la figura uniforme, como [4,3,3] + , orden 192, que es la simetría del teseracto omnitruncado alternado . [ 24 ]

Las construcciones de Wythoff con alternancias producen figuras transitivas en los vértices que pueden hacerse equiláteras, pero no uniformes porque los huecos alternados (alrededor de los vértices eliminados) crean celdas que no son regulares ni semirregulares. Un nombre propuesto para tales figuras es politopos escaliformes . [ 25 ] Esta categoría permite un subconjunto de sólidos de Johnson como celdas, por ejemplo la cúpula triangular .

Cada configuración de vértice dentro de un sólido de Johnson debe existir dentro de la figura de vértice. Por ejemplo, una pirámide cuadrada tiene dos configuraciones de vértice: 3.3.4 alrededor de la base y 3.3.3.3 en el vértice.

A continuación se muestran las redes y las figuras de los vértices de los cuatro casos equiláteros convexos, junto con una lista de las celdas que rodean cada vértice.

Derivaciones geométricas para 46 policoras uniformes de Wythoff no prismáticas

Los 46 4-politopos de Wythoff incluyen los seis 4-politopos regulares convexos . Los otros cuarenta se pueden derivar de los policoros regulares mediante operaciones geométricas que conservan la mayoría o la totalidad de sus simetrías y, por lo tanto, se pueden clasificar según los grupos de simetría que tienen en común.

Las operaciones geométricas que derivan los 40 4-politopos uniformes a partir de los 4-politopos regulares son operaciones de truncamiento . Un 4-politopo puede truncarse en los vértices, aristas o caras, lo que conlleva la adición de celdas correspondientes a dichos elementos, como se muestra en las columnas de las tablas siguientes.

El diagrama de Coxeter-Dynkin muestra los cuatro espejos del caleidoscopio de Wythoff como nodos, y las aristas entre los nodos están etiquetadas con un número entero que indica el ángulo entre los espejos ( π / n radianes o 180/ n grados). Los nodos rodeados con un círculo muestran qué espejos están activos para cada forma; un espejo está activo con respecto a un vértice que no se encuentra sobre él.

Véase también panales uniformes convexos , algunos de los cuales ilustran estas operaciones aplicadas al panal cúbico regular .

Si dos politopos son duales entre sí (como el teseracto y el politopo de 16 celdas, o el de 120 celdas y el de 600 celdas), entonces aplicar bitruncating , runcinating u omnitruncating a cualquiera de ellos produce la misma figura que aplicar la misma operación al otro. Por lo tanto, cuando solo aparece el participio en la tabla, debe entenderse que se aplica a cualquiera de los padres.

Resumen de construcciones mediante simetría extendida

Los 46 policoros uniformes construidos a partir de la simetría A 4 , B 4 , F 4 , H 4 se presentan en esta tabla con su simetría extendida completa y diagramas de Coxeter. La simetría D 4 también se incluye, aunque solo crea duplicados. Las alternancias se agrupan según su simetría quiral. Se presentan todas las alternancias, aunque el 24-celular truncado , con sus 3 construcciones de diferentes familias, es el único uniforme. Los recuentos entre paréntesis corresponden a repeticiones o no uniformidades. Los diagramas de Coxeter se presentan con índices subíndices del 1 al 46. Se incluye la familia duoprismática 3-3 y 4-4, la segunda por su relación con la familia B 4 .

policora estrellada uniforme

Además de las familias de prismas duoprisma y antiprisma infinitas mencionadas anteriormente, que tienen infinitos miembros no convexos, se han descubierto muchos policoros estelares uniformes. En 1852, Ludwig Schläfli descubrió cuatro policoros estelares regulares : {5,3,5/2}, {5/2,3,5}, {3,3,5/2} y {5/2,3,3}. En 1883, Edmund Hess encontró los otros seis: {3,5,5/2}, {5/2,5,3}, {5,5/2,5}, {5/2,5,5/2}, {5,5/2,3} y {3,5/2,5}. Norman Johnson describió tres policoros estelares uniformes similares a antiprismas en su tesis doctoral de 1966: se basan en los tres poliedros ditrigonales que comparten aristas y vértices del dodecaedro regular. Desde entonces, otros investigadores, como Jonathan Bowers y George Olshevsky, han descubierto muchos más, lo que da como resultado un total de 2127 policoras estelares uniformes conocidas hasta la fecha (sin contar el conjunto infinito de duoprismas basados ​​en polígonos estelares). Actualmente no existe prueba alguna de que el conjunto sea completo.

Véase también

Referencias

  1. ↑ NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.1 Politopos y panales , pág. 224
  2. ↑ T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
  3. ^ A. Boole Stott (1910). "Deducción geométrica de politopos semirregulares a partir de regulares y rellenos de espacios" (PDF) . Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . XI (1). Ámsterdam: Johannes Müller. Archivado desde el original (PDF) el 29 de abril de 2025.
  4. ↑ Polo-Blanco, Irene (2007). «Alicia Boole Stott y los politopos de cuatro dimensiones». Teoría e historia de los modelos geométricos (PDF) (tesis doctoral). Universidad de Groningen. pp. 155–156 . Archivado del original (PDF) el 22 de enero de 2025. 
  5. ↑ PH Schoute (1911). "Tratamiento analítico de los politopos regulares derivados de los politopos regulares" (PDF) . Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . Sección I. XI (3). Ámsterdam: Johannes Müller. Archivado desde el original (PDF) el 22 de enero de 2025.
  6. ↑ PH Schoute (1913). "Tratamiento analítico de los politopos regulares derivados de los politopos regulares" (PDF) . Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . Secciones II, III, IV. XI (5). Ámsterdam: Johannes Müller. Archivado desde el original (PDF) el 22 de febrero de 2025.
  7. ↑ Elte (1912)
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