tensor de tensiones de Cauchy

En mecánica de medios continuos , el tensor de tensiones de Cauchy (símbolo ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$El tensor de tensión de segundo orden ( llamado así en honor a Augustin-Louis Cauchy ), también llamado tensor de tensión verdadero ^{[ 1 ]} o simplemente tensor de tensión , define completamente el estado de tensión en un punto dentro de un material en estado deformado , posición o configuración. El tensor de segundo orden consta de nueve componentes.${\displaystyle \sigma _{ij}}$y relaciona un vector de dirección de longitud unitaria e con el vector de tracción T ^{( e )} a través de una superficie perpendicular a e :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} )}=\mathbf {e} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{o}}\quad T_{j}^{(\mathbf {e} )}=\sum _{i}\sigma _{ij}e_{i}.}$^{[ a ]}

La unidad del SI tanto del tensor de tensión como del vector de tracción es el newton por metro cuadrado (N/m² ⁾ o pascal (Pa), que corresponde al escalar de tensión. El vector unitario es adimensional .

El tensor de tensiones de Cauchy obedece la ley de transformación tensorial ante un cambio en el sistema de coordenadas. Representación gráfica de las transformaciones de coordenadas bidimensionales del círculo de Mohr para la tensión.

El tensor de tensiones de Cauchy se utiliza para el análisis de tensiones en cuerpos materiales que experimentan pequeñas deformaciones ; es un concepto fundamental en la teoría lineal de la elasticidad . Para grandes deformaciones, también llamadas deformaciones finitas , se requieren otras medidas de tensión, como el tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff , el tensor de tensiones de Biot y el tensor de tensiones de Kirchhoff .

Según el principio de conservación del momento lineal , si el cuerpo continuo está en equilibrio estático, se puede demostrar que las componentes del tensor de tensiones de Cauchy en cada punto material del cuerpo satisfacen las ecuaciones de equilibrio ( ecuaciones de movimiento de Cauchy para aceleración cero). Al mismo tiempo, según el principio de conservación del momento angular , el equilibrio requiere que la suma de los momentos con respecto a un punto arbitrario sea cero, lo que lleva a la conclusión de que el tensor de tensiones es simétrico , teniendo así solo seis componentes de tensión independientes, en lugar de las nueve originales. Sin embargo, en presencia de tensiones de par, es decir, momentos por unidad de volumen, el tensor de tensiones no es simétrico. Este también es el caso cuando el número de Knudsen está cerca de uno .${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$⁠ , o el continuo es un fluido no newtoniano , lo que puede conducir a fluidos no invariantes rotacionalmente, como los polímeros .

Existen ciertos invariantes asociados al tensor de tensiones, cuyos valores no dependen del sistema de coordenadas elegido ni del elemento de área sobre el que opera dicho tensor. Estos son los tres autovalores del tensor de tensiones, denominados tensiones principales .

El principio de tensiones de Euler-Cauchy establece que sobre cualquier superficie que divida el cuerpo, la acción de una parte del cuerpo sobre la otra es equivalente (equipolenta) al sistema de fuerzas y pares distribuidos en la superficie que divide el cuerpo , ^{[ 2 ]} y está representado por un campo ⁠${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$⁠ , llamado vector de tracción , definido en la superficie${\displaystyle S}$y se supone que depende continuamente del vector unitario normal de la superficie .${\displaystyle \mathbf {n} }$⁠ . ^{[ 3 ] [ 4 ] : págs. 66–96}

Para formular el principio de tensiones de Euler-Cauchy, consideremos una superficie${\displaystyle S}$pasando a través de un punto material interno${\displaystyle P}$dividiendo el cuerpo continuo en dos segmentos, como se ve en la Figura 2.1a o 2.1b (se puede usar el diagrama del plano de corte o el diagrama con el volumen arbitrario dentro del continuo encerrado por la superficie ).${\displaystyle S}$⁠ ).

Según la dinámica clásica de Newton y Euler , el movimiento de un cuerpo material se produce por la acción de fuerzas externas aplicadas , que se consideran de dos tipos: fuerzas superficiales.${\displaystyle \mathbf {F} }$y fuerzas corporales${\displaystyle \mathbf {b} }$⁠ . ^{[ 5 ]} Por lo tanto, la fuerza total${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Aplicado a un cuerpo o a una parte del cuerpo, puede expresarse como:

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {b} +\mathbf {F} }$

En este artículo solo se tratarán las fuerzas superficiales, ya que son relevantes para el tensor de tensiones de Cauchy.

Cuando el cuerpo está sometido a fuerzas superficiales externas o fuerzas de contacto .${\displaystyle \mathbf {F} }$Según las ecuaciones de movimiento de Euler , las fuerzas y momentos de contacto internos se transmiten de un punto a otro del cuerpo, y de un segmento a otro a través de la superficie divisoria .${\displaystyle S}$⁠ , debido al contacto mecánico de una porción del continuo sobre la otra (Figura 2.1a y 2.1b). En un elemento de área${\displaystyle \Delta S}$que contiene${\displaystyle P}$, con vector normal${\displaystyle \mathbf {n} }$⁠ , la distribución de fuerza es equipolenta a una fuerza de contacto${\displaystyle \Delta \mathbf {F} }$ejercido en el punto${\displaystyle P}$y momento superficial${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$. En particular, la fuerza de contacto viene dada por

${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\Delta S,}$

dónde${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$es la tracción superficial media .

El principio de estrés de Cauchy afirma ^{[ 6 ] : 47–102} que como${\displaystyle \Delta S}$tiende a anular la relación${\displaystyle \Delta \mathbf {F} /\Delta S}$se convierte${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$y el vector de tensión de par${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$desaparece. En campos específicos de la mecánica de medios continuos, se supone que la tensión de torsión no desaparece; sin embargo, las ramas clásicas de la mecánica de medios continuos tratan materiales no polares que no consideran tensiones de torsión ni momentos de cuerpo.

El vector resultante${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$se define como la tracción superficial , ^{[ 7 ]} también llamada vector de tensión , ^{[ 8 ]} tracción , ^{[ 4 ]} o vector de tracción . ^{[ 6 ]} dado por${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}\mathbf {e} _{i}}$en ese punto${\displaystyle P}$asociado a un plano con un vector normal ⁠${\displaystyle \mathbf {n} }$:​

${\displaystyle T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta S}}={dF_{i} \over dS}.}$

Esta ecuación significa que el vector de tensión depende de su ubicación en el cuerpo y de la orientación del plano sobre el que actúa.

Esto implica que la acción de equilibrio de las fuerzas de contacto internas genera una densidad de fuerza de contacto o campo de tracción de Cauchy ^{[ 5 ].}${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$que representa una distribución de las fuerzas de contacto internas en todo el volumen del cuerpo en una configuración particular del cuerpo en un momento dado .${\displaystyle t}$No es un campo vectorial porque no depende únicamente de la posición.${\displaystyle \mathbf {x} }$de un punto material particular, pero también de la orientación local del elemento de superficie definida por su vector normal .${\displaystyle \mathbf {n} }$⁠ . ^{[ 9 ]}

Dependiendo de la orientación del plano considerado, el vector de tensión puede no ser necesariamente perpendicular a ese plano, es decir, paralelo a ⁠${\displaystyle \mathbf {n} }$y se puede descomponer en dos componentes (Figura 2.1c):

• una normal al plano, llamada tensión normal

  ${\displaystyle \mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS}},}$

dónde${\displaystyle dF_{\mathrm {n} }}$es el componente normal de la fuerza${\displaystyle d\mathbf {F} }$al área diferencial${\displaystyle dS}$

• y la otra paralela a este plano, llamada esfuerzo cortante.

  ${\displaystyle \mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {s} }}{dS}},}$

dónde${\displaystyle dF_{\mathrm {s} }}$es la componente tangencial de la fuerza${\displaystyle d\mathbf {F} }$al área de superficie diferencial${\displaystyle dS}$⁠ . El esfuerzo cortante se puede descomponer aún más en dos vectores mutuamente perpendiculares.

El estado de tensión en un punto del cuerpo se define entonces por todos los vectores de tensión T ^{( n )} asociados con todos los planos (infinitos en número) que pasan por ese punto. ^{[ 13 ]} Sin embargo, según el teorema fundamental de Cauchy , ^{[ 11 ]} también llamado teorema de tensión de Cauchy , ^{[ 1 ]} simplemente conociendo los vectores de tensión en tres planos mutuamente perpendiculares, el vector de tensión en cualquier otro plano que pase por ese punto se puede encontrar a través de ecuaciones de transformación de coordenadas.

El teorema de tensiones de Cauchy establece que existe un campo tensorial de segundo orden σ ( x , t ), llamado tensor de tensiones de Cauchy, independiente de n , tal que T es una función lineal de n :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{o}}\quad T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

Esta ecuación implica que el vector de tensión T ^{( n )} en cualquier punto P en un continuo asociado a un plano con vector unitario normal n puede expresarse como una función de los vectores de tensión en los planos perpendiculares a los ejes de coordenadas, es decir en términos de las componentes σ _ij del tensor de tensión σ .

Para demostrar esta expresión, consideremos un tetraedro con tres caras orientadas en los planos de coordenadas y con un área infinitesimal d A orientada en una dirección arbitraria especificada por un vector unitario normal n (Figura 2.2). El tetraedro se forma al cortar el elemento infinitesimal a lo largo de un plano arbitrario con vector normal unitario n . El vector de tensión en este plano se denota por T ^{( n )} . Los vectores de tensión que actúan sobre las caras del tetraedro se denotan como T ^{( e ₁ )} , T ^{( e ₂ )} y T ^{( e ₃ )} , y son, por definición, las componentes σ _ij del tensor de tensión σ . Este tetraedro a veces se denomina tetraedro de Cauchy . El equilibrio de fuerzas, es decir, la primera ley del movimiento de Euler (segunda ley del movimiento de Newton), da:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}dA\right)\mathbf {a} ,}$

donde el lado derecho representa el producto de la masa encerrada por el tetraedro y su aceleración: ρ es la densidad, a es la aceleración y h es la altura del tetraedro, considerando el plano n como base. El área de las caras del tetraedro perpendiculares a los ejes se puede encontrar proyectando d A en cada cara (usando el producto escalar):

${\displaystyle dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,}$

y luego sustituyendo en la ecuación para cancelar d A :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}\right)\mathbf {a} .}$

Para considerar el caso límite cuando el tetraedro se contrae a un punto, h debe tender a 0 (intuitivamente, el plano n se traslada a lo largo de n hacia O ). Como resultado, el lado derecho de la ecuación se aproxima a 0, por lo que

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}.}$

Suponiendo un elemento material (véase la figura en la parte superior de la página) con planos perpendiculares a los ejes de coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas, los vectores de tensión asociados a cada uno de los planos del elemento, es decir , T ( e1 ) , T ( e2 ) y T ( e3 ) , pueden descomponerse en una componente normal y dos componentes de cizallamiento, es decir, componentes en la dirección de los tres ejes de coordenadas. Para el caso particular de una superficie con vector unitario normal orientado en la dirección del eje x1 , denotemos la tensión normal por σ11 y las dos tensiones de cizallamiento como σ12 y σ13 :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3},}$

En notación de índice esto es

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j}=\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}.}$

Las nueve componentes σ _ij de los vectores de tensión son las componentes de un tensor cartesiano de segundo orden llamado tensor de tensión de Cauchy , que puede utilizarse para definir completamente el estado de tensión en un punto y está dado por

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right],}$

donde σ ₁₁ , σ ₂₂ , y σ ₃₃ son tensiones normales, y σ ₁₂ , σ ₁₃ , σ ₂₁ , σ ₂₃ , σ ₃₁ , y σ ₃₂ son tensiones cortantes. El primer índice i indica que la tensión actúa sobre un plano normal al eje X _i , y el segundo índice j denota la dirección en la que actúa la tensión (por ejemplo, σ ₁₂ implica que la tensión actúa sobre el plano que es normal al primer eje, es decir, X ₁ , y actúa a lo largo del segundo eje, es decir, X ₂ ). Un componente de tensión es positivo si actúa en la dirección positiva de los ejes de coordenadas, y si el plano donde actúa tiene un vector normal hacia afuera que apunta en la dirección positiva de las coordenadas.

Por lo tanto, utilizando los componentes del tensor de tensión

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\&=\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}\\&=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}\right)n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

Alternativamente, en forma matricial tenemos

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf {n} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].}$

La representación en notación de Voigt del tensor de tensiones de Cauchy aprovecha la simetría del tensor de tensiones para expresar la tensión como un vector de seis dimensiones de la forma:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{13}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}.}$

La notación de Voigt se utiliza ampliamente para representar las relaciones tensión-deformación en mecánica de sólidos y para mejorar la eficiencia computacional en el software de mecánica estructural numérica .

Regla de transformación del tensor de tensiones

Se puede demostrar que el tensor de tensiones es un tensor contravariante de segundo orden, lo que indica cómo se transforma al cambiar el sistema de coordenadas. De un sistema x _i a un sistema x _i ' , las componentes σ _ij del sistema inicial se transforman en las componentes σ _ij ′ del nuevo sistema según la regla de transformación tensorial (Figura 2.4):

${\displaystyle \sigma '_{ij}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{or}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{\textsf {T}},}$

donde A es una matriz de rotación con componentes a _ij . En forma matricial esto es

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma '_{11}&\sigma '_{12}&\sigma '_{13}\\\sigma '_{21}&\sigma '_{22}&\sigma '_{23}\\\sigma '_{31}&\sigma '_{32}&\sigma '_{33}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matrix}}\right].}$

Al expandir la operación matricial y simplificar los términos utilizando la simetría del tensor de tensiones , se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}'={}&a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23},\\\sigma _{22}'={}&a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23},\\\sigma _{33}'={}&a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23},\\\sigma _{12}'={}&a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13}a_{23}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23}+a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\\\sigma _{23}'={}&a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33}+a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\\\sigma _{13}'={}&a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}.\end{aligned}}}$

El círculo de Mohr para la tensión es una representación gráfica de esta transformación de tensiones.

En cada punto de un cuerpo sometido a tensión hay al menos tres planos, llamados planos principales , con vectores normales .${\displaystyle \mathbf {n} }$⁠ , llamadas direcciones principales , donde el vector de tensión correspondiente es perpendicular al plano, es decir, paralelo o en la misma dirección que el vector normal ⁠${\displaystyle \mathbf {n} }$y donde no existen esfuerzos cortantes normales .${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$⁠ . Las tres tensiones normales a estos planos principales se denominan tensiones principales .

Los componentes${\displaystyle \sigma _{ij}}$del tensor de tensión depende de la orientación del sistema de coordenadas en el punto considerado. Sin embargo, el tensor de tensión en sí es una magnitud física y, como tal, es independiente del sistema de coordenadas elegido para representarlo. Hay ciertos invariantes asociados a cada tensor que también son independientes del sistema de coordenadas. Por ejemplo, un vector es un tensor simple de rango uno. En tres dimensiones, tiene tres componentes. El valor de estas componentes dependerá del sistema de coordenadas elegido para representar el vector, pero la magnitud del vector es una magnitud física (un escalar) y es independiente del sistema de coordenadas cartesianas elegido para representar el vector (siempre que sea normal ). De manera similar, cada tensor de segundo rango (como los tensores de tensión y deformación) tiene tres cantidades invariantes independientes asociadas a él. Un conjunto de tales invariantes son las tensiones principales del tensor de tensión, que son simplemente los valores propios del tensor de tensión. Sus vectores de dirección son las direcciones principales o vectores propios .

Un vector de tensión paralelo al vector unitario normal.${\displaystyle \mathbf {n} }$está dado por:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }\mathbf {n} ,}$

dónde${\displaystyle \lambda }$es una constante de proporcionalidad, y en este caso particular corresponde a las magnitudes${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$de los vectores de tensión normal o tensiones principales.

Sabiendo que${\displaystyle T_{i}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{j}}$y​${\displaystyle {1}}$⁠ , tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{i}^{(n)}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}-\lambda n_{i}&=0\\\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}&=0\\\end{aligned}}}$

Este es un sistema homogéneo , es decir igual a cero, de tres ecuaciones lineales donde${\displaystyle n_{j}}$son las incógnitas. Para obtener una solución no trivial (distinta de cero) para ⁠${\displaystyle n_{j}}$⁠ , el determinante de la matriz de los coeficientes debe ser igual a cero, es decir, el sistema es singular. Por lo tanto,

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\lambda \\\end{vmatrix}}=0}$

Al expandir el determinante se obtiene la ecuación característica.

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}={\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\\[4pt]I_{2}&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\right)={\frac {1}{2}}\left[\left({\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\right)^{2}-{\text{tr}}\left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\right]\\[4pt]I_{3}&=\det(\sigma _{ij})=\det({\boldsymbol {\sigma }})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{31}^{2}\sigma _{22}\\\end{aligned}}}$

La ecuación característica tiene tres raíces reales.${\displaystyle \lambda _{i}}$(es decir, con un componente imaginario cero ) debido a que el tensor de tensiones es simétrico. ${\displaystyle \sigma _{1}=\max \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$,${\displaystyle \sigma _{3}=\min \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$y​${\displaystyle \sigma _{2}=I_{1}-\sigma _{1}-\sigma _{3}}$⁠ , son las tensiones principales, funciones de los valores propios ⁠${\displaystyle \lambda _{i}}$⁠ . Los autovalores son las raíces del polinomio característico . Las tensiones principales son únicas para un tensor de tensiones dado. Por lo tanto, a partir de la ecuación característica, los coeficientes${\displaystyle I_{1}}$,${\displaystyle I_{2}}$y${\displaystyle I_{3}}$, denominados invariantes de tensión primero, segundo y tercero , respectivamente, siempre tienen el mismo valor independientemente de la orientación del sistema de coordenadas.

Para cada valor propio, existe una solución no trivial para${\displaystyle n_{j}}$en la ecuación${\displaystyle \left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0}$Estas soluciones son las direcciones principales o vectores propios que definen el plano donde actúan las tensiones principales. Las tensiones principales y las direcciones principales caracterizan la tensión en un punto y son independientes de la orientación.

Un sistema de coordenadas con ejes orientados a las direcciones principales implica que las tensiones normales son las tensiones principales y que el tensor de tensiones está representado por una matriz diagonal:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

Las tensiones principales se pueden combinar para formar los invariantes de tensión ,${\displaystyle I_{1}}$,​​${\displaystyle I_{2}}$y​​${\displaystyle I_{3}}$⁠ . El primer y tercer invariante son, respectivamente, la traza y el determinante del tensor de tensiones. Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\end{aligned}}}$

Debido a su simplicidad, el sistema de coordenadas principales suele ser útil al considerar el estado del medio elástico en un punto determinado. Las tensiones principales se expresan a menudo mediante la siguiente ecuación para evaluar las tensiones en las direcciones x e y, o las tensiones axiales y de flexión en una pieza. ^{[ 14 ] : p.58–59} Las tensiones normales principales pueden utilizarse para calcular la tensión de von Mises y, en última instancia, el factor de seguridad y el margen de seguridad.

${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}.}$

Utilizando únicamente la parte de la ecuación que se encuentra bajo la raíz cuadrada , se obtiene la tensión cortante máxima y mínima para valores positivos y negativos. Esto se muestra como:

${\displaystyle \tau _{\max },\tau _{\min }=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}.}$

La tensión cortante máxima o tensión cortante principal máxima es igual a la mitad de la diferencia entre las tensiones principales mayor y menor, y actúa sobre el plano que biseca el ángulo entre las direcciones de las tensiones principales mayor y menor, es decir, el plano de la tensión cortante máxima está orientado${\displaystyle 45^{\circ }}$a partir de los planos de tensión principales. La tensión cortante máxima se expresa como

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right|.}$

Arrogante${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$entonces

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|}$

Cuando el tensor de tensiones es distinto de cero, el componente de tensión normal que actúa sobre el plano para la tensión cortante máxima es distinto de cero y es igual a

${\displaystyle \sigma _{\text{n}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right).}$

El tensor de tensiones${\displaystyle \sigma _{ij}}$puede expresarse como la suma de otros dos tensores de tensión:

1. un tensor de tensión hidrostática media o un tensor de tensión volumétrica o un tensor de tensión normal media ,${\displaystyle \pi \delta _{ij}}$⁠ , lo cual tiende a cambiar el volumen del cuerpo sometido a tensión; y
2. un componente desviador llamado tensor desviador de tensiones ,${\displaystyle s_{ij}}$⁠ , lo que tiende a distorsionarlo.

Entonces

${\displaystyle \sigma _{ij}=s_{ij}+\pi \delta _{ij},}$

dónde${\displaystyle \pi }$es la tensión media dada por

${\displaystyle \pi ={\frac {\sigma _{kk}}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}={\frac {1}{3}}I_{1}.}$

Presión ( ⁠${\displaystyle p}$) se define generalmente como un tercio negativo de la traza del tensor de esfuerzos menos cualquier esfuerzo con el que contribuya la divergencia de la velocidad, es decir

${\displaystyle p=\zeta \,\nabla \cdot {\vec {u}}-\pi =\zeta \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi =\sum _{k}\zeta \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi ,}$

dónde${\displaystyle \zeta }$es una constante de proporcionalidad (es decir, la viscosidad volumétrica ),${\displaystyle \nabla \cdot }$es el operador de divergencia ,${\displaystyle x_{k}}$es la k -ésima coordenada cartesiana ,${\displaystyle {\vec {u}}}$es la velocidad del flujo y${\displaystyle u_{k}}$es el k -ésimo componente cartesiano de ⁠${\displaystyle {\vec {u}}}$.​

El tensor de esfuerzos desviadores se puede obtener restando el tensor de esfuerzos hidrostáticos del tensor de esfuerzos de Cauchy:

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{ij}&=\sigma _{ij}-{\frac {\sigma _{kk}}{3}}\delta _{ij},\,\\\left[{\begin{matrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}\pi &0&0\\0&\pi &0\\0&0&\pi \end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}-\pi &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\pi &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\pi \end{matrix}}\right].\end{aligned}}}$

Considerando las direcciones principales como los ejes de coordenadas, un plano cuyo vector normal forma ángulos iguales con cada uno de los ejes principales (es decir, que tiene cosenos directores iguales a ⁠${\displaystyle \vert 1/{\sqrt {3}}\vert }$) se denomina plano octaédrico . Hay un total de ocho planos octaédricos (Figura 6). Las componentes normal y tangencial del tensor de esfuerzos en estos planos se denominan esfuerzos normales octaédricos.${\displaystyle \sigma _{\text{oct}}}$y esfuerzo cortante octaédrico${\displaystyle \tau _{\text{oct}}}$⁠ , respectivamente. El plano octaédrico que pasa por el origen se conoce como el plano π ( π no debe confundirse con la tensión media denotada por π en la sección anterior) . En el plano π , ⁠${\displaystyle \textstyle s_{ij}={\frac {1}{3}}I}$.​

Sabiendo que el tensor de tensiones del punto O (Figura 6) en los ejes principales es

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

El vector de tensión en un plano octaédrico viene dado entonces por:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\text{oct}}^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\frac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}$

La componente normal del vector de tensión en el punto O asociado con el plano octaédrico es

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{oct}}&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3}\\&={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\frac {1}{3}}I_{1}\end{aligned}}}$

que es la tensión normal media o tensión hidrostática. Este valor es el mismo en los ocho planos octaédricos. La tensión cortante en el plano octaédrico es entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{oct}}&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{\text{oct}}^{2}}}\\&=\left[{\frac {1}{3}}\left(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}\right)-{\frac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}\\&={\frac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned}}}$

• ecuación de momento de Cauchy
• Análisis del plano crítico
• Tensor de energía-tensión