Álgebra diferencial

Una derivación${\textstyle \partial }$en un anillo${\textstyle R}$es una función${\displaystyle \partial :R\to R\,}$ de tal manera que $${\displaystyle \partial (r_{1}+r_{2})=\partial r_{1}+\partial r_{2}}$$ y

${\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})\quad }$( Regla del producto de Leibniz ),

por cada${\displaystyle r_{1}}$y${\displaystyle r_{2}}$en${\displaystyle R.}$

Una derivación es lineal sobre los enteros ya que estas identidades implican${\displaystyle \partial (0)=\partial (1)=0}$y${\displaystyle \partial (-r)=-\partial (r).}$

Un anillo diferencial es un anillo conmutativo.${\displaystyle R}$equipado con una o más derivaciones que conmutan por pares; es decir,$${\displaystyle \partial _{1}(\partial _{2}(r))=\partial _{2}(\partial _{1}(r))}$$para cada par de derivaciones y cada${\displaystyle r\in R.}$^{[ 7 ]} Cuando solo hay una derivación, se suele hablar de unanillo diferencial ordinario; de lo contrario, se habla de unanillo diferencial parcial.

Un cuerpo diferencial es un anillo diferencial que también es un cuerpo. Un álgebra diferencial${\displaystyle A}$sobre un campo diferencial${\displaystyle K}$es un anillo diferencial que contiene${\displaystyle K}$como un subanillo tal que la restricción a${\displaystyle K}$de las derivaciones de${\displaystyle A}$igual a las derivaciones de${\displaystyle K.}$(A continuación se ofrece una definición más general que abarca el caso en el que${\displaystyle K}$no es un campo, y es esencialmente equivalente cuando${\displaystyle K}$es un campo.)

Un álgebra de Witt es un anillo diferencial que contiene el cuerpo${\displaystyle \mathbb {Q} }$de los números racionales. Equivalentemente, se trata de un álgebra diferencial sobre${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$desde${\displaystyle \mathbb {Q} }$puede considerarse como un campo diferencial en el que cada derivación es la función cero .

Las constantes de un anillo diferencial son los elementos${\displaystyle r}$de tal manera que${\displaystyle \partial r=0}$para cada derivación${\displaystyle \partial .}$Las constantes de un anillo diferencial forman un subanillo y las constantes de un cuerpo diferenciable forman un subcuerpo. ^{[ 8 ]} Este significado de "constante" generaliza el concepto de función constante y no debe confundirse con el significado común de constante .

En las siguientes identidades ,${\displaystyle \delta }$es una derivación de un anillo diferencial${\displaystyle R.}$^{[ 9 ]}

• Si${\displaystyle r\in R}$y${\displaystyle c}$es una constante en${\displaystyle R}$(eso es,${\displaystyle \delta c=0}$), entonces$${\displaystyle \delta (cr)=c\delta (r).}$$
• Si${\displaystyle r\in R}$y${\displaystyle u}$es una unidad en${\displaystyle R,}$entonces $${\displaystyle \delta \left({\frac {r}{u}}\right)={\frac {\delta (r)u-r\delta (u)}{u^{2}}}}$$
• Si${\displaystyle n}$es un número entero no negativo y${\displaystyle r\in R}$entonces$${\displaystyle \delta (r^{n})=nr^{n-1}\delta (r)}$$
• Si${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$son unidades en${\displaystyle R,}$y${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$son enteros, uno tiene la identidad de la derivada logarítmica :$${\displaystyle {\frac {\delta (u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}})}{u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}}}}=e_{1}{\frac {\delta (u_{1})}{u_{1}}}+\dots +e_{n}{\frac {\delta (u_{n})}{u_{n}}}.}$$

Un operador de derivación o derivación de orden superior es la composición de varias derivaciones. Como se supone que las derivaciones de un anillo diferencial conmutan, el orden de las derivaciones no importa, y un operador de derivación puede escribirse como $${\displaystyle \delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}},}$$ dónde${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{n}}$son las derivaciones que se están considerando,${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$son enteros no negativos, y el exponente de una derivación denota el número de veces que esta derivación se compone en el operador.

La suma${\displaystyle o=e_{1}+\cdots +e_{n}}$se denomina orden de derivación. Si${\displaystyle o=1}$El operador de derivación es una de las derivaciones originales. Si${\displaystyle o=0}$Se tiene la función identidad , que generalmente se considera el único operador de derivación de orden cero. Con estas convenciones, los operadores de derivación forman un monoide conmutativo libre sobre el conjunto de derivaciones consideradas.

Un derivado de un elemento${\displaystyle x}$de un anillo diferencial es la aplicación de un operador de derivación a${\displaystyle x,}$es decir, con la notación anterior,${\displaystyle \delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(x).}$Una derivada propia es una derivada de orden positivo. ^{[ 7 ]}

Un ideal diferencial${\displaystyle I}$de un anillo diferencial${\displaystyle R}$es un ideal del anillo${\displaystyle R}$que es cerrado (estable) bajo las derivaciones del anillo; es decir,${\textstyle \partial x\in I,}$para cada derivación${\displaystyle \partial }$y cada${\displaystyle x\in I.}$Se dice que un ideal diferencial es propio si no es todo el anillo. Para evitar confusiones, a un ideal que no es un ideal diferencial se le llama a veces ideal algebraico .

El radical de un ideal diferencial es el mismo que su radical como ideal algebraico, es decir, el conjunto de los elementos del anillo que tienen una potencia en el ideal. El radical de un ideal diferencial es también un ideal diferencial. Un ideal diferencial radical o perfecto es un ideal diferencial que es igual a su radical. ^{[ 10 ]} Un ideal diferencial primo es un ideal diferencial que es primo en el sentido usual; es decir, si un producto pertenece al ideal, al menos uno de los factores pertenece al ideal. Un ideal diferencial primo es siempre un ideal diferencial radical.

Un descubrimiento de Ritt es que, si bien la teoría clásica de los ideales algebraicos no funciona para los ideales diferenciales, gran parte de ella se puede extender a los ideales diferenciales radicales, lo que los convierte en fundamentales en el álgebra diferencial.

La intersección de cualquier familia de ideales diferenciales es un ideal diferencial, y la intersección de cualquier familia de ideales diferenciales radicales es un ideal diferencial radical. ^{[ 11 ]} De ello se deduce que, dado un subconjunto${\displaystyle S}$De un anillo diferencial, existen tres ideales generados por él, que son las intersecciones de, respectivamente, todos los ideales algebraicos, todos los ideales diferenciales y todos los ideales diferenciales radicales que lo contienen. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

El ideal algebraico generado por${\displaystyle S}$es el conjunto de combinaciones lineales finitas de elementos de${\displaystyle S,}$y se suele denominar${\displaystyle (S)}$o${\displaystyle \langle S\rangle .}$

El ideal diferencial generado por${\displaystyle S}$es el conjunto de las combinaciones lineales finitas de elementos de${\displaystyle S}$y de los derivados de cualquier orden de estos elementos; comúnmente se denota como${\displaystyle [S].}$Cuando${\displaystyle S}$es finito,${\displaystyle [S]}$Generalmente no se genera de forma finita como ideal algebraico.

El ideal diferencial radical generado por${\displaystyle S}$comúnmente se denota como${\displaystyle \{S\}.}$No se conoce ninguna forma de caracterizar sus elementos de manera similar a como se hace en los otros dos casos.

La clasificación de los derivados es un orden total y un orden admisible , definido como: ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}

${\textstyle \forall p\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta$ :\theta _{\mu }p>p.}

${\textstyle \forall p,q\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta :p\geq q\Rightarrow \theta _{\mu }p\geq \theta _{\mu }q.}$

Cada derivada tiene una tupla entera, y un orden monomial clasifica la derivada clasificando su tupla entera. La tupla entera identifica la indeterminada diferencial, el multiíndice de la derivada y puede identificar su orden. Los tipos de clasificación incluyen: ^{[ 27 ]}

• Clasificación ordenada :${\displaystyle \forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \$ :\ \operatorname {ord} (\theta _ {\mu })\geq \operatorname {ord} (\theta _ {\nu })\Rightarrow \theta _ {\mu }y_ {i}\geq \theta _ {\nu }y_ {j}}
• Clasificación de eliminación :${\displaystyle \forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \$ :\ y_{i}\geq y_{j}\Rightarrow \theta _{\mu }y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}}

En este ejemplo, la tupla entera identifica el indeterminado diferencial y el multiíndice de la derivada, y el orden monomial lexicográfico ,${\textstyle \geq _{\text{lex}}}$, determina el rango de la derivada. ^{[ 28 ]}

${\displaystyle \eta (\delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(y_{j}))=(j,e_{1},\ldots ,e_{n})}$.

${\displaystyle \eta (\theta _{\mu }y_{j})\geq _{\text{lex}}\eta (\theta _{\nu }y_{k})\Rightarrow \theta _{\mu }y_{j}\geq \theta _{\nu }y_{k}.}$

Esta es la forma polinómica estándar:${\displaystyle p=a_{d}\cdot u_{p}^{d}+a_{d-1}\cdot u_{p}^{d-1}+\cdots +a_{1}\cdot u_{p}+a_{0}}$. ^{[ 24 ] [ 28 ]}

• La derivada principal o derivada líder es la derivada de mayor rango del polinomio:${\displaystyle u_{p}}$.
• Coeficientes${\displaystyle a_{d},\ldots ,a_{0}}$no contienen el derivado principal${\textstyle u_{p}}$.
• El grado de un polinomio es el exponente más grande de la derivada principal:${\displaystyle \deg _{u_{p}}(p)=d}$.
• El coeficiente inicial es:${\displaystyle I_{p}=a_{d}}$.
• El rango es la derivada principal elevada al grado del polinomio:${\displaystyle u_{p}^{d}}$.
• El separador es el derivado:${\displaystyle S_{p}={\frac {\partial p}{\partial u_{p}}}}$.

El conjunto separador es${\displaystyle S_{A}=\{S_{p}\mid p\in A\}}$, el conjunto inicial es${\displaystyle I_{A}=\{I_{p}\mid p\in A\}}$y el conjunto combinado es${\textstyle H_{A}=S_{A}\cup I_{A}}$. ^{[ 29 ]}

Polinomio parcialmente reducido ( forma normal parcial )${\textstyle q}$con respecto al polinomio${\textstyle p}$indica que estos polinomios no son elementos de campo fundamental,${\textstyle p,q\in {\mathcal {K}}\{Y\}\setminus {\mathcal {K}}}$, y${\displaystyle q}$no contiene ningún derivado propio de${\displaystyle u_{p}}$. ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 29 ]}

Polinomio parcialmente reducido${\textstyle q}$con respecto al polinomio${\textstyle p}$se convierte en un polinomio reducido ( forma normal )${\textstyle q}$con respecto a${\textstyle p}$si el grado de${\textstyle u_{p}}$en${\textstyle q}$es menor que el grado de${\textstyle u_{p}}$en${\textstyle p}$. ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 29 ]}

Un conjunto de polinomios autorreducidos tiene cada polinomio reducido con respecto a todos los demás polinomios del conjunto. Todo conjunto autorreducido es finito. Un conjunto autorreducido es triangular, lo que significa que cada elemento polinómico tiene una derivada principal distinta. ^{[ 32 ] [ 30 ]}

El algoritmo de reducción de Ritt identifica los números enteros.${\textstyle i_{A_{k}},s_{A_{k}}}$y transforma un polinomio diferencial${\textstyle f}$utilizando pseudodivisión a un polinomio de resto de menor o igual rango${\textstyle f_{red}}$que se reduce con respecto al conjunto de polinomios autorreducidos${\textstyle A}$El primer paso del algoritmo reduce parcialmente el polinomio de entrada y el segundo paso del algoritmo lo reduce completamente. La fórmula para la reducción es: ^{[ 30 ]}

${\displaystyle f_{\text{red}}\equiv \prod _{A_{k}\in A}I_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot S_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot f,{\pmod {[A]}}{\text{ with }}i_{A_{k}},s_{A_{k}}\in \mathbb {N} .}$

Colocar${\textstyle A}$es una cadena diferencial si el rango de los derivados principales es${\textstyle u_{A_{1}}<\dots <u_{A_{m}}}$y${\textstyle \forall i,\ A_{i}}$se reduce con respecto a${\textstyle A_{i+1}}$^{[ 33 ]}

Conjuntos autorreducidos${\textstyle A}$y${\textstyle B}$Cada uno contiene elementos polinómicos clasificados. Este procedimiento clasifica dos conjuntos autorreducidos comparando pares de polinomios con el mismo índice de ambos conjuntos autorreducidos. ^{[ 34 ]}

• ${\displaystyle A_{1}<\cdots <A_{m}\in A}$y${\displaystyle B_{1}<\cdots <B_{n}\in B}$y${\displaystyle i,j,k\in \mathbb {N} }$.
• ${\displaystyle {\text{rank }}A<{\text{rank }}B}$si hay un${\displaystyle k\leq \operatorname {minimum} (m,n)}$de tal manera que${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$para${\textstyle 1\leq i<k}$y${\displaystyle A_{k}<B_{k}}$.
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A<\operatorname {rank} B}$si${\displaystyle n<m}$y${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$para${\displaystyle 1\leq i\leq n}$.
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} B}$si${\displaystyle n=m}$y${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$para${\displaystyle 1\leq i\leq n}$.

Un conjunto característico${\textstyle C}$es el subconjunto autorreducido de menor rango entre todos los subconjuntos autorreducidos del ideal cuyos separadores polinomiales de subconjunto no son miembros del ideal.${\textstyle {\mathcal {I}}}$. ^{[ 35 ]}

El polinomio delta se aplica a pares de polinomios${\textstyle p,q}$cuyos líderes comparten un derivado común,${\textstyle \theta _{\alpha }u_{p}=\theta _{\beta }u_{q}}$El operador de derivada menos común para las derivadas principales del par de polinomios es${\textstyle \theta _{pq}}$y el polinomio delta es: ^{[ 36 ] [ 37 ]}

${\displaystyle \operatorname {\Delta -poly} (p,q)=S_{q}\cdot {\frac {\theta _{pq}p}{\theta _{p}}}-S_{p}\cdot {\frac {\theta _{pq}q}{\theta _{q}}}}$

Un conjunto coherente es un conjunto polinómico que reduce sus pares de polinomios delta a cero. ^{[ 36 ] [ 37 ]}

Un sistema regular${\textstyle \Omega }$Contiene un conjunto de ecuaciones diferenciales autorreducidas y coherentes.${\textstyle A}$y un conjunto de desigualdades${\textstyle H_{\Omega }\supseteq H_{A}}$con conjunto${\textstyle H_{\Omega }}$reducido con respecto al conjunto de ecuaciones. ^{[ 37 ]}

Diferencial regular ideal${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}}$y el ideal algebraico regular${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}}$son ideales de saturación que surgen de un sistema regular. ^{[ 37 ]} El lema de Lazard establece que los ideales diferenciales regulares y los ideales algebraicos regulares son ideales radicales. ^{[ 38 ]}

• Diferencial regular ideal :${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}=[A]:H_{\Omega }^{\infty }.}$
• Ideal algebraico regular :${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}=(A):H_{\Omega }^{\infty }.}$

El algoritmo de Rosenfeld-Gröbner descompone el ideal diferencial radical como una intersección finita de ideales diferenciales radicales regulares. Estos ideales diferenciales radicales regulares, representados por conjuntos característicos, no son necesariamente ideales primos y la representación no es necesariamente mínima . ^{[ 39 ]}

El problema de pertenencia consiste en determinar si un polinomio diferencial${\textstyle p}$es un miembro de un ideal generado a partir de un conjunto de polinomios diferenciales${\textstyle S}$El algoritmo de Rosenfeld-Gröbner genera conjuntos de bases de Gröbner. El algoritmo determina que un polinomio pertenece al ideal si y solo si el polinomio restante parcialmente reducido pertenece al ideal algebraico generado por las bases de Gröbner. ^{[ 40 ]}

El algoritmo de Rosenfeld-Gröbner facilita la creación de expansiones en serie de Taylor de las soluciones de las ecuaciones diferenciales. ^{[ 41 ]}

Ejemplo 1:${\textstyle (\operatorname {Mer} (\operatorname {f} (y),\partial _{y}))}$es el campo de funciones meromorfas diferenciales con una única derivación estándar .

Ejemplo 2:${\textstyle (\mathbb {C} \{y\},p(y)\cdot \partial _{y})}$es un campo diferencial con un operador diferencial lineal como derivación, para cualquier polinomio${\displaystyle p(y)}$.

Definir${\textstyle E^{a}(p(y))=p(y+a)}$como operador de turno${\textstyle E^{a}}$para polinomio${\textstyle p(y)}$.

Un operador invariante a traslaciones${\textstyle T}$Se desplaza con el operador de turno:${\textstyle E^{a}\circ T=T\circ E^{a}}$.

La derivada de Pincherle , una derivación del operador invariante por desplazamiento${\textstyle T}$, es${\textstyle T^{\prime }=T\circ y-y\circ T}$. ^{[ 42 ]}

Anillo de enteros es${\displaystyle (\mathbb {Z} .\delta )}$y cada número entero es una constante.

• La derivación de 1 es cero.${\textstyle \delta (1)=\delta (1\cdot 1)=\delta (1)\cdot 1+1\cdot \delta (1)=2\cdot \delta (1)\Rightarrow \delta (1)=0}$.
• También,${\displaystyle \delta (m+1)=\delta (m)+\delta (1)=\delta (m)\Rightarrow \delta (m+1)=\delta (m)}$.
• Por inducción,${\displaystyle \delta (1)=0\ \wedge \ \delta (m+1)=\delta (m)\Rightarrow \forall \ m\in \mathbb {Z} ,\ \delta (m)=0}$.

El campo de los números racionales es${\displaystyle (\mathbb {Q} .\delta )}$y todo número racional es una constante.

• Todo número racional es un cociente de números enteros.

  ${\displaystyle \forall r\in \mathbb {Q} ,\ \exists \ a\in \mathbb {Z} ,\ b\in \mathbb {Z} /\{0\},\ r={\frac {a}{b}}}$

• Aplique la fórmula de derivación para cocientes, reconociendo que las derivaciones de números enteros son cero:

  ${\displaystyle \delta (r)=\delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {\delta (a)\cdot b-a\cdot \delta (b)}{b^{2}}}=0}$.

Las constantes forman el subanillo de constantes.${\textstyle (\mathbb {C} ,\partial _{y})\subset (\mathbb {C} \{y\},\partial _{y})}$. ^{[ 43 ]}

Elemento${\textstyle \exp(y)}$simplemente genera un ideal diferencial${\textstyle [\exp(y)]}$en el anillo diferencial${\textstyle (\mathbb {C} \{y,\exp(y)\},\partial _{y})}$. ^{[ 44 ]}

Cualquier anillo con identidad es un${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$álgebra. ^{[ 45 ]} Por lo tanto, un anillo diferencial es un${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$álgebra.

Si suena${\textstyle {\mathcal {R}}}$es un subanillo del centro del anillo unitario${\textstyle {\mathcal {M}}}$, entonces${\textstyle {\mathcal {M}}}$es un${\textstyle \operatorname {{\mathcal {R}}-} }$álgebra. ^{[ 45 ]} Por lo tanto, un anillo diferencial es un álgebra sobre su subanillo diferencial. Esta es la estructura natural de un álgebra sobre su subanillo. ^{[ 30 ]}

Anillo${\textstyle (\mathbb {Q} \{y,z\},\partial _{y})}$tiene polinomios irreducibles,${\textstyle p}$(normal, libre de cuadrados) y${\textstyle q}$(generador especial e ideal).

${\textstyle \partial _{y}(y)=1,\ \partial _{y}(z)=1+z^{2},\ z=\tan(y)}$

${\textstyle p(y)=1+y^{2},\ \partial _{y}(p)=2\cdot y,\ \gcd(p,\partial _{y}(p))=1}$

${\textstyle q(z)=1+z^{2},\ \partial _{y}(q)=2\cdot z\cdot (1+z^{2}),\ \gcd(q,\partial _{y}(q))=q}$

La integración simbólica utiliza algoritmos que involucran polinomios y sus derivadas, como la reducción de Hermite, el algoritmo de Czichowski, el algoritmo de Lazard-Rioboo-Trager, el algoritmo de Horowitz-Ostrogradsky, la factorización libre de cuadrados y la factorización de descomposición en polinomios especiales y normales. ^{[ 46 ]}

El álgebra diferencial permite determinar si un conjunto de ecuaciones diferenciales polinómicas tiene solución. Una clasificación por orden total puede identificar restricciones algebraicas. Una clasificación por eliminación puede determinar si una o un grupo seleccionado de variables independientes pueden expresar las ecuaciones diferenciales. Mediante la descomposición triangular y el orden de eliminación, es posible resolver las ecuaciones diferenciales de una indeterminada diferencial a la vez, siguiendo un método paso a paso. Otro enfoque consiste en crear una clase de ecuaciones diferenciales con una forma de solución conocida; al asociar una ecuación diferencial a su clase, se identifica su solución. Existen métodos para facilitar la integración numérica de un sistema de ecuaciones diferenciales-algebraicas . ^{[ 47 ]}

En un estudio de sistemas dinámicos no lineales con caos , los investigadores utilizaron la eliminación diferencial para reducir ecuaciones diferenciales a ecuaciones diferenciales ordinarias que involucran una sola variable de estado. Tuvieron éxito en la mayoría de los casos, y esto facilitó el desarrollo de soluciones aproximadas, la evaluación eficiente del caos y la construcción de funciones de Lyapunov . ^{[ 48 ]} Los investigadores han aplicado la eliminación diferencial para comprender la biología celular , los modelos bioquímicos compartimentales , la estimación de parámetros y la aproximación de estado cuasiestacionario (QSSA) para reacciones bioquímicas. ^{[ 49 ] [ 50 ]} Utilizando bases de Gröbner diferenciales, los investigadores han investigado propiedades de simetría no clásicas de ecuaciones diferenciales no lineales . ^{[ 51 ]} Otras aplicaciones incluyen la teoría de control, la teoría de modelos y la geometría algebraica . ^{[ 52 ] [ 16 ] [ 53 ]} El álgebra diferencial también se aplica a ecuaciones diferenciales en diferencias. ^{[ 54 ]}

A${\textstyle \operatorname {\mathbb {Z} -graded} }$espacio vectorial${\textstyle V_{\bullet }}$es una colección de espacios vectoriales${\textstyle V_{m}}$con grado entero${\textstyle |v|=m}$para${\textstyle v\in V_{m}}$. Una suma directa puede representar este espacio vectorial graduado: ^{[ 55 ]}

${\displaystyle V_{\bullet }=\bigoplus _{m\in \mathbb {Z} }V_{m}}$

Un espacio vectorial graduado diferencial o complejo de cadena es un espacio vectorial graduado.${\textstyle V_{\bullet }}$con un mapa diferencial o mapa de límites${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m-1}}$con${\displaystyle d_{m}\circ d_{m+1}=0}$. ^{[ 56 ]}

Un complejo de cocadenas es un espacio vectorial graduado${\textstyle V^{\bullet }}$con un mapa diferencial o mapa de cofronteras${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m+1}}$con${\displaystyle d_{m+1}\circ d_{m}=0}$. ^{[ 56 ]}

Un álgebra graduada diferencial es un álgebra graduada.${\textstyle A}$con una derivación lineal${\textstyle d:A\to A}$con${\displaystyle d\circ d=0}$que sigue la regla del producto graduado de Leibniz. ^{[ 57 ]}

• Regla de Leibniz para productos graduados:${\displaystyle \forall a,b\in A,\ d(a\cdot b)=d(a)\cdot b+(-1)^{|a|}\cdot a\cdot d(b)}$con${\displaystyle |a|}$el grado de vector${\displaystyle a}$.

Un álgebra de Lie es un espacio vectorial real o complejo de dimensión finita.${\textstyle {\mathcal {g}}}$con un operador de corchete bilineal${\textstyle [,]:{\mathcal {g}}\times {\mathcal {g}}\to {\mathcal {g}}}$con simetría antisimétrica y la propiedad de identidad de Jacobi . ^{[ 58 ]}

• Simetría antisimétrica:${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$
• Propiedad de identidad de Jacobi:${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0}$

a pesar de${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {g}}}$.

El operador adjunto ,${\textstyle \operatorname {ad} _{X}(Y)=[Y,X]}$es una derivación del corchete porque el efecto del adjunto en la operación binaria del corchete es análogo al efecto de la derivación en la operación binaria del producto. Esta es la derivación interna determinada por${\textstyle X}$. ^{[ 59 ] [ 60 ]}

${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}([Y,Z])=[\operatorname {ad} _{X}(Y),Z]+[Y,\operatorname {ad} _{X}(Z)]}$

El álgebra envolvente universal${\textstyle U({\mathcal {g}})}$del álgebra de Lie${\textstyle {\mathcal {g}}}$es un álgebra asociativa máxima con identidad, generada por elementos de álgebra de Lie.${\textstyle {\mathcal {g}}}$y que contienen productos definidos por la operación de corchetes. Maximal significa que un homomorfismo lineal mapea el álgebra universal a cualquier otra álgebra que, de otro modo, tenga estas propiedades. El operador adjunto es una derivación que sigue la regla del producto de Leibniz. ^{[ 61 ]}

• Producto en${\displaystyle U({\mathcal {g}})}$ :${\displaystyle X\cdot Y-Y\cdot X=[X,Y]}$
• Regla del producto de Leibniz:${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y\cdot Z)=\operatorname {ad} _{X}(Y)\cdot Z+Y\cdot \operatorname {ad} _{X}(Z)}$

a pesar de${\displaystyle X,Y,Z\in U({\mathcal {g}})}$.

El álgebra de Weyl es un álgebra${\textstyle A_{n}(K)}$ sobre un anillo${\textstyle K[p_{1},q_{1},\dots ,p_{n},q_{n}]}$con un producto no conmutativo específico: ^{[ 62 ]}

${\displaystyle p_{i}\cdot q_{i}-q_{i}\cdot p_{i}=1,\$ :\ i\in \{1,\dots ,n\}} .

Todos los demás productos indeterminados son conmutativos para${\textstyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}$:

${\displaystyle p_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot p_{i}=0{\text{ if }}i\neq j,\ p_{i}\cdot p_{j}-p_{j}\cdot p_{i}=0,\ q_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot q_{i}=0}$.

Un álgebra de Weyl puede representar las derivaciones de los polinomios de un anillo conmutativo.${\textstyle f\in K[y_{1},\ldots ,y_{n}]}$Los elementos del álgebra de Weyl son endomorfismos , los elementos${\textstyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$funcionan como derivaciones estándar, y las composiciones de mapas generan operadores diferenciales lineales . El D-módulo es un enfoque relacionado para comprender los operadores diferenciales. Los endomorfismos son: ^{[ 62 ]}

${\displaystyle q_{j}(y_{k})=y_{j}\cdot y_{k},\ q_{j}(c)=c\cdot y_{j}{\text{ with }}c\in K,\ p_{j}(y_{j})=1,\ p_{j}(y_{k})=0{\text{ if }}j\neq k,\ p_{j}(c)=0{\text{ with }}c\in K}$

El anillo asociativo, posiblemente no conmutativo${\textstyle A}$tiene derivación${\textstyle d:A\to A}$. ^{[ 63 ]}

El anillo de operadores pseudodiferenciales${\textstyle A((\partial ^{-1}))}$es una izquierda${\textstyle \operatorname {A-module} }$ que contienen elementos anulares${\textstyle L}$: ^{[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]}

${\displaystyle a_{i}\in A,\ i,i_{\min }\in \mathbb {N} ,\ |i_{\min }|>0\$ :\ L=\sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}}

El operador de derivada es${\textstyle d(a)=\partial \circ a-a\circ \partial }$. ^{[ 63 ]}

El coeficiente binomial es${\displaystyle {\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}}$.

La multiplicación de operadores pseudodiferenciales es: ^{[ 63 ]}

${\displaystyle \sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}\cdot \sum _{j\geq j_{\min }}^{m}b_{i}\cdot \partial ^{j}=\sum _{i,j;k\geq 0}{\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}\cdot a_{i}\cdot d^{k}(b_{j})\cdot \partial ^{i+j-k}}$