Distribución (análisis matemático)

Supongamos que f  : R → R es una función localmente integrable . Entonces, una distribución correspondiente T _f puede definirse mediante

${\displaystyle \left\langle T_{f},\varphi \right\rangle =\int _{\mathbf {R} }f(x)\varphi (x)\,dx\quad {\text{for}}\quad \varphi \in D(\mathbf {R} ).}$

Esta integral es un número real que depende lineal y continuamente de${\displaystyle \varphi }$Por el contrario, los valores de la distribución T _f en las funciones de prueba en D( R ) determinan los valores puntuales casi en todas partes de la función f en R . En un abuso convencional de la notación , f se usa a menudo para representar tanto la función original f como la distribución correspondiente T _f . Este ejemplo sugiere la definición de una distribución como un funcional lineal y, en un sentido apropiado, continuo en el espacio de funciones de prueba D( R ).

De manera similar, si μ es una medida de Radon en R , entonces una distribución correspondiente R _μ puede definirse mediante

${\displaystyle \left\langle R_{\mu },\varphi \right\rangle =\int _{\mathbf {R} }\varphi \,d\mu \quad {\text{for}}\quad \varphi \in D(\mathbf {R} ).}$

Esta integral también depende lineal y continuamente de${\displaystyle \varphi }$, de modo que R _μ es una distribución. Si μ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue con densidad f y d μ = f dx , entonces esta definición para R _μ es la misma que la anterior para T _f , pero si μ no es absolutamente continua, entonces R _μ es una distribución que no está asociada con una función. Por ejemplo, si P es la medida de masa puntual en R que asigna medida uno al conjunto unitario {0} y medida cero a los conjuntos que no contienen cero, entonces

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\varphi \,dP=\varphi (0),}$

de modo que R _P = δ es la delta de Dirac.

Las distribuciones pueden multiplicarse por números reales y sumarse entre sí, formando así un espacio vectorial real . También pueden multiplicarse por funciones infinitamente diferenciables, pero no es posible definir un producto de distribuciones generales que extienda el producto puntual usual de funciones y posea las mismas propiedades algebraicas. Este resultado fue demostrado por Schwartz (1954) y se conoce comúnmente como el Teorema de Imposibilidad de Schwartz .

Es deseable elegir una definición para la derivada de una distribución que, al menos para las distribuciones derivadas de funciones suaves, tenga la propiedad de que${\displaystyle T'_{f}=T_{f'}}$. Si${\displaystyle \varphi }$es una función de prueba, podemos usar la integración por partes para ver que

${\displaystyle \left\langle f',\varphi \right\rangle =\int _{\mathbf {R} }f'\varphi \,dx={\Big [}f(x)\varphi (x){\Big ]}_{-\infty }^{\infty }-\int _{\mathbf {R} }f\varphi '\,dx=-\left\langle f,\varphi '\right\rangle }$

donde la última igualdad se deduce del hecho de que${\displaystyle \varphi }$tiene soporte compacto, por lo que es cero fuera de un conjunto acotado. Esto sugiere que si${\displaystyle T}$es una distribución , debemos definir su derivada${\displaystyle T'}$por

${\displaystyle \left\langle T',\varphi \right\rangle =-\left\langle T,\varphi '\right\rangle .}$

Resulta que esta es la definición correcta; extiende la definición ordinaria de derivada, toda distribución se vuelve infinitamente diferenciable y se mantienen las propiedades habituales de las derivadas.

Ejemplo: Recordemos que la delta de Dirac (llamada función delta de Dirac) es la distribución definida por la ecuación

${\displaystyle \left\langle \delta ,\varphi \right\rangle =\varphi (0).}$

Es la derivada de la distribución correspondiente a la función escalón de Heaviside H : Para cualquier función de prueba${\displaystyle \varphi }$,

${\displaystyle \left\langle H',\varphi \right\rangle =-\int _{-\infty }^{\infty }H(x)\varphi '(x)\,dx=-\varphi (\infty )+\varphi (0)=\left\langle \delta ,\varphi \right\rangle ,}$

por lo tanto H ′ = δ . Nota:${\displaystyle \varphi }$(∞) = 0 porque${\displaystyle \varphi }$tiene soporte compacto según nuestra definición de función de prueba. De manera similar, la derivada del delta de Dirac es la distribución definida por la ecuación

${\displaystyle \langle \delta ',\varphi \rangle =-\varphi '(0).}$

Esta última distribución es un ejemplo de distribución que no se deriva de una función o una medida. Su interpretación física es la densidad de una fuente dipolar. Así como el impulso de Dirac puede realizarse en el límite débil como una secuencia de diversas funciones de pico de norma constante con amplitud cada vez mayor y soporte cada vez más estrecho, su derivada puede, por definición, realizarse como el límite débil de las derivadas negativas de dichas funciones, que ahora son antisimétricas respecto al punto de soporte singular de la distribución final.

El espacio D( U ) de funciones de prueba en U se define de la siguiente manera. Una función${\displaystyle \varphi }$ Se dice que U → R tiene soporte compacto si existe un subconjunto compacto K de U tal que${\displaystyle \varphi }$( x ) = 0 para todo x en U \ K . Los elementos de D( U ) son las funciones infinitamente diferenciables${\displaystyle \varphi }$ : U → R con soporte compacto – también conocidas como funciones de bulto . Este es un espacio vectorial real . Se le puede dar una topología definiendo el límite de una secuencia de elementos de D( U ). Una secuencia (${\displaystyle \varphi }$_{Se dice que k} ) en D( U ) converge a${\displaystyle \varphi }$ ∈  D( U ) si se cumplen las dos condiciones siguientes: ^{[ 1 ]}

• Existe un conjunto compacto K  ⊂ U que contiene los soportes de todos ${\displaystyle \varphi }$_k :

${\displaystyle \bigcup \nolimits _{k}\operatorname {supp} (\varphi _{k})\subset K.}$

• Para cada índice múltiple α, la secuencia de derivadas parciales${\displaystyle \partial ^{\alpha }\varphi _{k}}$tiende uniformemente a${\displaystyle \partial ^{\alpha }\varphi }$.

Con esta definición, D( U ) se convierte en un espacio vectorial topológico localmente convexo completo que satisface la propiedad de Heine-Borel . ^{[ 2 ]}

Esta topología puede ubicarse en el contexto de la siguiente construcción general: sea

${\displaystyle X=\bigcup \nolimits _{i}X_{i}}$

Sea X una unión creciente numerable de espacios vectoriales topológicos localmente convexos y sean ι _i  : X _i → X las aplicaciones de inclusión. En este contexto, la topología límite inductiva , o topología final , τ en X es la topología de espacio vectorial localmente convexo más fina que hace que todas las aplicaciones de inclusión sean${\displaystyle \iota _{i}}$continua. La topología τ se puede describir explícitamente de la siguiente manera: sea β la colección de subconjuntos convexos equilibrados W de X tales que W ∩ X _i es abierto para todo i . Una base para la topología límite inductiva τ consiste entonces en los conjuntos de la forma x + W , donde x en X y W en β .

La demostración de que τ es una topología de espacio vectorial se basa en la suposición de que cada X _i es localmente convexo. Por construcción, β es una base local para τ . Que cualquier topología de espacio vectorial localmente convexa en X deba contener necesariamente a τ significa que es la más débil. También se puede demostrar que, para cada i , la topología de subespacio X _i que hereda de τ coincide con su topología original. Cuando cada X _i es un espacio de Fréchet , ( X , τ) se denomina espacio LF .

Ahora sea U la unión de U _i donde { U _i } es una familia anidada numerable de subconjuntos abiertos de U con cierres compactos K _i = U _i . Entonces tenemos la unión creciente numerable

${\displaystyle \mathrm {D} (U)=\bigcup \nolimits _{i}\mathrm {D} _{K_{i}}}$

donde D _{K i} es el conjunto de todas las funciones suaves en U con soporte que se encuentra en K _i . En cada D _{K i} , consideremos la topología dada por las seminormas

${\displaystyle \|\varphi \|_{\alpha }=\max _{x\in K_{i}}\left|\partial ^{\alpha }\varphi \right|,}$

es decir, la topología de convergencia uniforme de derivadas de orden arbitrario. Esto convierte a cada D _{K i} en un espacio de Fréchet . La estructura de espacio LF resultante en D( U ) es la topología descrita al principio de la sección.

En D( U ), también se puede considerar la topología dada por las seminormas

${\displaystyle \|\varphi \|_{\alpha ,K_{i}}=\max _{x\in K_{i}}\left|\partial ^{\alpha }\varphi \right|.}$

Sin embargo, esta topología tiene la desventaja de no ser completa. Por otro lado, debido a las características particulares de D _{K i} , un conjunto está acotado con respecto a τ si y solo si pertenece a algún D _{K i} . La completitud de ( D ( U ), τ) se deduce entonces de la de D _{K i} .

La topología τ no es metrizable según el teorema de la categoría de Baire , ya que D( U ) es la unión de subespacios de la primera categoría en D( U ). ^{[ 3 ]}

Una distribución en U es un funcional lineal continuo T  :  D( U )  → R (o T : D( U ) → C ). Es decir, una distribución T asigna a cada función de prueba     ${\displaystyle \varphi }$un escalar real (o complejo) T (${\displaystyle \varphi }$) tal que

${\displaystyle T(c_{1}\varphi _{1}+c_{2}\varphi _{2})=c_{1}T(\varphi _{1})+c_{2}T(\varphi _{2})}$

para todas las funciones de prueba${\displaystyle \varphi }$₁ ,${\displaystyle \varphi }$₂ y escalares c ₁ , c ₂ . Además, T es continua si y solo si

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }T(\varphi _{k})=T{\Bigl (}\lim _{k\to \infty }\varphi _{k}{\Bigr )}}$

para cada secuencia convergente${\displaystyle \varphi }$_k en D( U ). (Aunque la topología de D( U ) no es metrizable, un funcional lineal en D( U ) es continuo si y solo si es secuencialmente continuo). Equivalentemente, T es continuo si y solo si para cada subconjunto compacto K de U existe una constante positiva C _K y un entero no negativo N _K tal que

${\displaystyle |T(\varphi )|\leq C_{K}\sup {\bigl \{}|\partial ^{\alpha }\varphi (x)|\mathrel {\big |} x\in K,|\alpha |\leq N_{K}{\bigr \}}}$

para todas las funciones de prueba${\displaystyle \varphi }$con soporte contenido en K . ^{[ 4 ]}

El espacio de distribuciones en U se denota por D′( U ) y es el espacio dual continuo de D( U ). Independientemente de la topología dual que se coloque en D′( U ), una sucesión de distribuciones converge en esta topología si y solo si converge puntualmente (aunque esto no necesariamente sea cierto para una red ), razón por la cual la topología a veces se define como la topología débil-* . Pero a menudo se coloca en D′( U ) la topología de convergencia acotada , que en este caso es la misma que la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos, ya que es con esta topología que D′( U ) se convierte en un espacio de Montel nuclear y es con esta topología que se cumple el teorema de los núcleos de Schwartz . ^{[ 5 ]} Independientemente de la topología que se elija, D′( U ) será un espacio vectorial topológico no metrizable y localmente convexo .

El emparejamiento dual entre una distribución T en D′( U ) y una función de prueba${\displaystyle \varphi }$en D( U ) se denota usando corchetes angulares por

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {D} '(U)\times \mathrm {D} (U)\to \mathbf {R} \\(T,\varphi )\mapsto \langle T,\varphi \rangle ,\end{cases}}}$

para que ⟨ T ,${\displaystyle \varphi }$⟩ = T (${\displaystyle \varphi }$). Esta notación se interpreta como la distribución T actuando sobre la función de prueba.${\displaystyle \varphi }$para dar un escalar, o simétricamente como la función de prueba${\displaystyle \varphi }$actuando sobre la distribución T.

Una secuencia de distribuciones ( T _k ) converge con respecto a la topología débil-* en D′( U ) a una distribución T si y solo si

${\displaystyle \langle T_{k},\varphi \rangle \to \langle T,\varphi \rangle }$

para cada función de prueba${\displaystyle \varphi }$en D( U ). Por ejemplo, si f _k  : R → R es la función

${\displaystyle f_{k}(x)={\begin{cases}k&{\text{if}}\ 0\leq x\leq 1/k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

y T _k es la distribución correspondiente a f _k , entonces

${\displaystyle \langle T_{k},\varphi \rangle =k\int _{0}^{1/k}\varphi (x)\,dx\to \varphi (0)=\langle \delta ,\varphi \rangle }$

cuando k → ∞, entonces T _k → δ en D′( R ). Por lo tanto, para k grande , la función f _k puede considerarse una aproximación de la distribución delta de Dirac.

La función f  : U → R se denomina localmente integrable si es integrable de Lebesgue ^sobre todo subconjunto compacto K de U. ^{[ 6} ] Esta es una gran clase de funciones que incluye todas las funciones continuas y todas las funciones L ^p . La topología en D( U ) se define de tal manera que cualquier función localmente integrable f produce un funcional lineal continuo en D( U ) – es decir, un elemento de D′( U ) – denotado aquí por T _f , cuyo valor en la función de prueba   ${\displaystyle \varphi }$viene dada por la integral de Lebesgue:

${\displaystyle \langle T_{f},\varphi \rangle =\int _{U}f\varphi \,dx.}$

Convencionalmente, se abusa de la notación al identificar T _f con f , siempre que no pueda surgir confusión y, por lo tanto, el emparejamiento entre T _f y${\displaystyle \varphi }$a menudo se escribe

${\displaystyle \langle f,\varphi \rangle =\langle T_{f},\varphi \rangle .}$

Si f y g son dos funciones localmente integrables, entonces las distribuciones asociadas T _f y T _g son iguales al mismo elemento de D′( U ) si y solo si f y g son iguales casi en todas partes (véase, por ejemplo, Hörmander (1983 , Teorema 1.2.5) ). De manera similar, cada medida de Radon μ en U define un elemento de D′( U ) cuyo valor en la función de prueba${\displaystyle \varphi }$es ∫${\displaystyle \varphi }$ dμ . Como se indicó anteriormente, es convencional abusar de la notación y escribir el emparejamiento entre una medida de Radon μ y una función de prueba.${\displaystyle \varphi }$como${\displaystyle \langle \mu ,\varphi \rangle }$. Por el contrario, como se muestra en un teorema de Schwartz (similar al teorema de representación de Riesz ), toda distribución que es no negativa en funciones no negativas tiene esta forma para alguna medida de Radon (positiva).

Las funciones de prueba son localmente integrables y, por lo tanto, definen distribuciones. Como tales, son densas en D′( U ) con respecto a la topología en D′( U ) en el sentido de que para cualquier distribución T  ∈  D′( U ), existe una red${\displaystyle \varphi }$_i  ∈ D( U ) tal que

${\displaystyle \langle \varphi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle }$

para todo Ψ  ∈  D( U ). Este hecho se deduce del teorema de Hahn-Banach , puesto que el dual de D′( U ) con su topología débil-* es el espacio D( U ). ^{[ 7 ]} Un resultado más fuerte de densidad secuencial puede demostrarse de forma más constructiva mediante un argumento de convolución.

Supongamos que A  :  D( U )  →  D( U ) es el operador de derivada parcial.

${\displaystyle A\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{k}}}.}$

Si${\displaystyle \varphi }$y ψ están en D( U ), entonces una integración por partes da

${\displaystyle \int _{U}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{k}}}\psi \,dx=-\int _{U}\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\,dx,}$

de modo que A ^t  =  − A . Este operador es una transformación lineal continua en D( U ). Entonces, si T  ∈  D′( U ) es una distribución, entonces la derivada parcial de T con respecto a la coordenada x _k se define por la fórmula

${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}},\varphi \right\rangle =-\left\langle T,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{k}}}\right\rangle \qquad {\text{for all}}\ \varphi \in D(U).}$

Con esta definición, toda distribución es infinitamente diferenciable, y la derivada en la dirección x _k es un operador lineal en D′( U ).

De forma más general, si α = (α ₁ , ..., α _n ) es un multiíndice arbitrario y ∂ ^α es el operador de derivada parcial asociado, entonces la derivada parcial ∂ ^α T de la distribución T ∈ D′( U ) se define por

${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }T,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle T,\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle {\mbox{ for all }}\varphi \in \mathrm {D} (U).}$

La diferenciación de distribuciones es un operador continuo en D′( U ); esta es una propiedad importante y deseable que no comparten la mayoría de las demás nociones de diferenciación.

Si m  : U → R es una función infinitamente diferenciable y T es una distribución en U , entonces el producto m T se define por

${\displaystyle \langle mT,\varphi \rangle =\langle T,m\varphi \rangle \qquad {\text{for all}}\ \varphi \in D(U).}$

Esta definición coincide con la definición de transposición ya que si M  :  D( U )  →  D( U ) es el operador de multiplicación por la función m (es decir, M${\displaystyle \varphi }$= m${\displaystyle \varphi }$), entonces

${\displaystyle \int _{U}M\varphi (x)\cdot \psi (x)\,dx=\int _{U}m(x)\varphi (x)\cdot \psi (x)\,dx=\int _{U}\varphi (x)\cdot m(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\varphi (x)\cdot M\psi (x)\,dx,}$

de modo que M ^t  = M . 

Bajo la multiplicación por funciones suaves, D′( U ) es un módulo sobre el anillo C ^∞ ( U ). Con esta definición de multiplicación por una función suave, la regla del producto ordinaria del cálculo sigue siendo válida. Sin embargo, también surgen varias identidades inusuales. Por ejemplo, si δ es la distribución delta de Dirac en R , entonces mδ  = m (0) δ , y si δ ′ es la derivada de la distribución delta, entonces 

${\displaystyle m\delta '=m(0)\delta '-m'\delta =m(0)\delta '-m'(0)\delta .\,}$

Estas definiciones de diferenciación y multiplicación también permiten definir la operación de un operador diferencial lineal con coeficientes suaves sobre una distribución. Un operador diferencial lineal P transforma una distribución T  ∈  D′( U ) en otra distribución PT dada por una suma de la forma

${\displaystyle PT=\sum \nolimits _{|\alpha |\leq k}p_{\alpha }\partial ^{\alpha }T,}$

donde los coeficientes p _α son funciones suaves en U. La acción de la distribución PT sobre una función de prueba${\displaystyle \varphi }$es dado por

${\displaystyle \left\langle \sum \nolimits _{|\alpha |\leq k}p_{\alpha }\partial ^{\alpha }T,\varphi \right\rangle =\left\langle T,\sum \nolimits _{|\alpha |\leq k}(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }(p_{\alpha }\varphi )\right\rangle .}$

El entero mínimo k para el cual dicha expansión se cumple para cada distribución T se llama orden de P. El espacio D′( U ) es un D-módulo con respecto a la acción del anillo de operadores diferenciales lineales.

Sea T una distribución en un conjunto abierto U  ⊂ R ⁿ . Sea V un conjunto abierto en R ⁿ , y F : V → U . Entonces, siempre que F sea una submersión , es posible definir     

${\displaystyle T\circ F\in \mathrm {D} '(V).}$

Esta es la composición de la distribución T con F , y también se llama retroceso de T a lo largo de F , a veces escrito

${\displaystyle F^{\sharp }:T\mapsto F^{\sharp }T=T\circ F.}$

El retroceso se suele denotar como F* , aunque esta notación no debe confundirse con el uso de '*' para denotar el adjunto de una aplicación lineal.

La condición de que F sea una submersión es equivalente al requisito de que la derivada jacobiana dF ( x ) de F sea una aplicación lineal sobreyectiva para todo x  ∈ V . Una condición necesaria (pero no suficiente) para extender F ^# a distribuciones es que F sea una aplicación abierta . ^{[ 9 ]} El teorema de la función inversa asegura que una submersión satisface esta condición. 

Si F es una inmersión, entonces F ^# se define en distribuciones hallando la transpuesta. La unicidad de esta extensión está garantizada ya que F ^# es un operador lineal continuo en D( U ). Sin embargo, la existencia requiere el uso de la fórmula de cambio de variables , el teorema de la función inversa (localmente) y un argumento de partición de la unidad . ^{[ 10 ]}

En el caso especial en que F es un difeomorfismo de un subconjunto abierto V de R ⁿ sobre un subconjunto abierto U de R ^n, el cambio de variables bajo la integral da

${\displaystyle \int _{V}\varphi \circ F(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\varphi (x)\psi \left(F^{-1}(x)\right)\left|\det dF^{-1}(x)\right|\,dx.}$

En este caso particular, entonces, F ^# se define mediante la fórmula de transposición:

${\displaystyle {\bigl \langle }F^{\sharp }T,\varphi {\bigr \rangle }=\left\langle T,\left|\det d(F^{-1})\right|\varphi \circ F^{-1}\right\rangle .}$

Sean U y V subconjuntos abiertos de R ⁿ con V  ⊂ U . Sea E _VU : D( V ) → D( U ) el operador que extiende por cero una función suave dada con soporte compacto en V a una función suave con soporte compacto en el conjunto mayor U . Entonces, la aplicación de restricción ρ _VU se define como la transpuesta de E _VU . Por lo tanto, para cualquier distribución T ∈ D′( U ), la restricción ρ _VU T es una distribución en el espacio dual D′( V ) definida por       

${\displaystyle \langle \rho _{VU}T,\varphi \rangle =\langle T,E_{VU}\varphi \rangle }$

para todas las funciones de prueba${\displaystyle \varphi }$ ∈  D( V ).

A menos que U  = V , la restricción a V no es ni inyectiva ni sobreyectiva . La falta de sobreyectividad se debe a que las distribuciones pueden divergir hacia el límite de V. Por ejemplo, si U = R y V = (0, 2), entonces la distribución     

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\,\delta \left(x-{\frac {1}{n}}\right)}$

está en D′( V ) pero no admite ninguna extensión a D′( U ).

Sea T  ∈ D′( U ) una distribución en un conjunto abierto U . Entonces se dice que T se anula en un conjunto abierto V de U si T pertenece al núcleo de la aplicación de restricción ρ _VU . Explícitamente, T se anula en V si

${\displaystyle \langle T,\varphi \rangle =0}$

para todas las funciones de prueba${\displaystyle \varphi }$ ∈ C ^∞ ( U ) con soporte en V . Sea V un conjunto abierto maximal en el que la distribución T se anula; es decir, V es la unión de todos los conjuntos abiertos en los que T se anula. El soporte de T es el complemento de V en U . Por lo tanto,

${\displaystyle \operatorname {supp} \,T=U\setminus \bigcup \left\{V\mid \rho _{VU}T=0\right\}.}$

La distribución T tiene soporte compacto si su soporte es un conjunto compacto. Explícitamente, T tiene soporte compacto si existe un subconjunto compacto K de U tal que para cada función de prueba${\displaystyle \varphi }$cuyo soporte está completamente fuera de K , tenemos T (${\displaystyle \varphi }$) = 0. Las distribuciones con soporte compacto definen funcionales lineales continuos en el espacio C ^∞ ( U ); la topología en C ^∞ ( U ) se define de tal manera que una secuencia de funciones de prueba${\displaystyle \varphi }$_k converge a 0 si y solo si todas las derivadas de${\displaystyle \varphi }$_k converge uniformemente a 0 en cada subconjunto compacto de U. Recíprocamente, se puede demostrar que todo funcional lineal continuo en este espacio define una distribución de soporte compacto. La incrustación de C _c ^∞ ( U ) en C ^∞ ( U ), donde los espacios tienen sus respectivas topologías, es continua y tiene imagen densa. Por lo tanto, las distribuciones de soporte compacto se pueden identificar con aquellas distribuciones que se pueden extender de C _c ^∞ ( U ) a C ^∞ ( U ).

Si f  ∈ S ′( R ⁿ ) es una distribución temperada, entonces existe una constante C > 0 y enteros positivos M y N tales que para todas las funciones de Schwartz   ${\displaystyle \varphi }$ ∈ S ( R ⁿ ) 

${\displaystyle \langle f,\varphi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }D^{\beta }\varphi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\varphi ).}$

Esta estimación junto con algunas técnicas del análisis funcional se puede utilizar para demostrar que existe una función F continua de crecimiento lento y un índice múltiple α tal que

${\displaystyle f=D^{\alpha }F.\,}$

Si f  ∈  D′( R ⁿ ), entonces para cualquier conjunto compacto K  ⊂ R ⁿ , existe una función continua F con soporte compacto en R ⁿ (posiblemente en un conjunto mayor que K mismo) y un multiíndice α tal que f = D ^α F en C _c ^∞ ( K ). Esto se deduce del resultado citado anteriormente sobre distribuciones temperadas mediante un argumento de localización.   

Si f tiene soporte en un único punto { P }, entonces f es de hecho una combinación lineal finita de derivadas distribucionales de la función δ en P . Es decir, existe un entero m y constantes complejas a _α para multiíndices | α |  ≤ m tales que 

${\displaystyle f=\sum \nolimits _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }(\tau _{P}\delta )}$

donde τ _P es el operador de traslación.

Una versión del teorema anterior se cumple localmente en el siguiente sentido ( Rudin 1991 ) . Sea T una distribución en U , entonces se puede encontrar para cada multiíndice α una función continua g _α tal que

${\displaystyle \displaystyle T=\sum \nolimits _{\alpha }D^{\alpha }g_{\alpha }}$

y que cualquier subconjunto compacto K de U interseca los soportes de solo un número finito de g _α ; por lo tanto, para evaluar el valor de T para una función suave f dada con soporte compacto en U , solo necesitamos un número finito de g _α ; por consiguiente, la suma infinita anterior está bien definida como una distribución. Si la distribución T es de orden finito, entonces se puede elegir g _α de tal manera que solo un número finito de ellos sean distintos de cero.