Función de Schwartz-Bruhat

En matemáticas , una función de Schwartz-Bruhat , que recibe su nombre de Laurent Schwartz y François Bruhat , es una función de valores complejos definida en un grupo abeliano localmente compacto , como los adeles , que generaliza una función de Schwartz en un espacio vectorial real. Una distribución temperada se define como un funcional lineal continuo en el espacio de funciones de Schwartz-Bruhat.

• En un espacio vectorial real${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, las funciones de Schwartz-Bruhat son simplemente las funciones de Schwartz habituales (todas las derivadas decrecientes rápidamente) y forman el espacio${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$.
• En un toroide, las funciones de Schwartz-Bruhat son las funciones suaves.
• En una suma de copias de los números enteros, las funciones de Schwartz-Bruhat son funciones que disminuyen rápidamente.
• En un grupo elemental (es decir, un grupo abeliano localmente compacto que es producto de copias de los números reales , los números enteros , el grupo del círculo y grupos finitos), las funciones de Schwartz-Bruhat son funciones suaves cuyas derivadas son rápidamente decrecientes. ^{[ 1 ]}
• En un grupo abeliano localmente compacto general${\displaystyle G}$, dejar${\displaystyle A}$ser un subgrupo generado de forma compacta , y${\displaystyle B}$un subgrupo compacto de${\displaystyle A}$de tal manera que${\displaystyle A/B}$es elemental. Luego, el retroceso de una función de Schwartz-Bruhat en${\displaystyle A/B}$es una función de Schwartz-Bruhat en${\displaystyle G}$y todas las funciones de Schwartz-Bruhat en${\displaystyle G}$se obtienen de esta manera para su adecuación${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$. (El espacio de funciones de Schwartz-Bruhat en${\displaystyle G}$está dotada de la topología del límite inductivo .)
• En un campo local no arquimediano${\displaystyle K}$Una función de Schwartz-Bruhat es una función localmente constante de soporte compacto.
• En particular, en el anillo de adeles${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$en un campo global${\displaystyle K}$, las funciones de Schwartz-Bruhat${\displaystyle f}$son combinaciones lineales finitas de los productos${\displaystyle \prod _ {v}f_ {v}}$sobre cada lugar${\displaystyle v}$de${\displaystyle K}$, donde cada${\displaystyle f_{v}}$es una función de Schwartz-Bruhat en un campo local${\displaystyle K_{v}}$y${\displaystyle f_{v}=\mathbf {1} _ {{\mathcal {O}}_{v}}}$es la función característica en el anillo de los números enteros${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$para todos excepto para un número finito de personas${\displaystyle v}$. (Para los lugares arquimedianos de${\displaystyle K}$, el${\displaystyle f_{v}}$son simplemente las funciones habituales de Schwartz en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, mientras que para los lugares no arquimedianos el${\displaystyle f_{v}}$son las funciones de Schwartz-Bruhat de campos locales no arquimedianos.)
• El espacio de Schwartz-Bruhat funciona sobre los adeles${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$se define como el producto tensorial restringido ^{[ 2 ]}${\displaystyle \bigotimes _{v}'{\mathcal {S}}(K_{v}):=\varinjlim _{E}\left(\bigotimes _{v\in E}{\mathcal {S}}(K_{v})\right)}$de espacios de Schwartz-Bruhat${\displaystyle {\mathcal {S}}(K_{v})}$de campos locales, donde${\displaystyle E}$es un conjunto finito de lugares de${\displaystyle K}$. Los elementos de este espacio son de la forma${\displaystyle f=\otimes _ {v} f_ {v}}$, dónde${\displaystyle f_{v}\in {\mathcal {S}}(K_{v})}$a pesar de${\displaystyle v}$y${\displaystyle f_{v}=1_{{\mathcal {O}}_{v}}}$para todos excepto para un número finito de personas${\displaystyle v}$. Para cada${\displaystyle x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$podemos escribir${\ Displaystyle f (x) = \ prod _ {v} f_ {v} (x_ {v})}$, que es finito y por lo tanto está bien definido. ^{[ 3 ]}

• Cada función de Schwartz-Bruhat${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {Q} _{p})}$se puede escribir como${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\mathbf {1} _{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}}$, donde cada${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Q} _{p}}$,${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$, y${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {C} }$. ^{[ 4 ]} Esto se puede ver al observar que${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ser un campo local implica que${\displaystyle f}$por definición tiene soporte compacto, es decir,${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$tiene una subcubierta finita. Dado que cada conjunto abierto en${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$puede expresarse como una unión disjunta de bolas abiertas de la forma${\displaystyle a+p^{k}\mathbb {Z} _ {p}}$(para algunos ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} _{p}}$y${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$) tenemos

${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\coprod _{i=1}^{n}(a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p})}$. La función${\displaystyle f}$También debe ser localmente constante, por lo que${\displaystyle f|_{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}=c_{i}\mathbf {1} _{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}}$para algunos${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {C} }$. (En cuanto a${\displaystyle f}$evaluado en cero,${\displaystyle f(0)\mathbf {1} _{\mathbb {Z} _{p}}}$(Siempre se incluye como término).

• Sobre los adeles racionales${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$Todas las funciones en el espacio de Schwartz-Bruhat${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })}$son combinaciones lineales finitas de${\displaystyle \prod _{p\leq \infty }f_{p}=f_{\infty }\times \prod _{p<\infty }f_{p}}$sobre todos los números primos racionales${\displaystyle p}$, dónde${\displaystyle f_{\infty }\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$,${\displaystyle f_{p}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {Q} _{p})}$, y${\displaystyle f_{p}=\mathbf {1} _{\mathbb {Z} _{p}}}$para todos excepto para un número finito de personas${\displaystyle p}$Los conjuntos${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$y${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$son el campo de los números p-ádicos y el anillo de los enteros p-ádicos respectivamente.

La transformada de Fourier de una función de Schwartz-Bruhat en un grupo abeliano localmente compacto es una función de Schwartz-Bruhat en el grupo dual de Pontryagin . En consecuencia, la transformada de Fourier transforma las distribuciones temperadas en dicho grupo en distribuciones temperadas en el grupo dual. Dada la medida de Haar (aditiva) en${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$el espacio Schwartz-Bruhat${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{K})}$es denso en el espacio${\displaystyle L^{2}(\mathbb {A} _{K},dx).}$

Dejar${\displaystyle G}$sea ​​un grupo abeliano localmente compacto y dejemos que${\displaystyle {\widehat {G}}}$denota su dual Pontryagin . Después de elegir medidas Haar compatibles en${\displaystyle G}$y${\displaystyle {\widehat {G}}}$, la transformada de Fourier de una función integrable${\displaystyle f}$en${\displaystyle G}$se define por $${\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\,dx,\qquad \chi \in {\widehat {G}}.}$$ Una de las propiedades básicas del espacio de Schwartz-Bruhat es que la transformada de Fourier mapea${\displaystyle S(G)}$isomórficamente sobre${\displaystyle S({\widehat {G}})}$. ^{[ 5 ]}

Para un espacio vectorial de dimensión finita${\displaystyle V}$sobre un campo local${\displaystyle F}$La transformada de Fourier se suele escribir con respecto a un carácter aditivo no trivial.${\displaystyle \psi }$de${\displaystyle F}$. Si${\displaystyle V^{*}}$es el espacio vectorial dual, entonces $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\int _{V}f(x)\psi (\langle x,\xi \rangle )\,dx,\qquad \xi \in V^{*}.}$$ Los mapas de transformación${\displaystyle S(V)}$sobre${\displaystyle S(V^{*})}$En el caso arquimediano, esto recupera el hecho habitual de que la transformada de Fourier preserva el espacio de Schwartz . En el caso no arquimediano, indica que la transformada de Fourier de una función localmente constante y con soporte compacto es nuevamente localmente constante y con soporte compacto.

En el anillo de Adele${\displaystyle \mathbf {A} _{K}}$de un campo global${\displaystyle K}$La transformada de Fourier se obtiene a partir del producto de las transformadas de Fourier locales. Con la elección estándar de carácter aditivo y medida de Haar autodual, se conserva el espacio de Schwartz-Bruhat adélico.${\displaystyle S(\mathbf {A} _{K})}$Esta compatibilidad se utiliza en la fórmula de sumación de Poisson adélica y en la tesis de Tate . ^{[ 6 ]}

El espacio de Schwartz-Bruhat no es solo un espacio vectorial de funciones, sino también un espacio vectorial topológico localmente convexo . En el caso real, se trata de la topología usual de Fréchet en el espacio de Schwartz , definida por las seminormas de Schwartz. En el caso de un campo local no arquimediano, el espacio es un límite inductivo de espacios de funciones de dimensión finita con soporte en un conjunto compacto abierto fijo e invariante bajo traslación por un subgrupo compacto abierto fijo. La condición de continuidad en la definición de una distribución temperada se refiere a esta topología localmente convexa.

Con esta topología localmente convexa, los espacios de Schwartz-Bruhat son espacios nucleares . En particular, los ejemplos habituales incluyen los espacios nucleares de Fréchet.${\displaystyle S(\mathbf {R} ^{n})}$,${\displaystyle C^{\infty }(\mathbf {T} ^{n})}$y el espacio de funciones que disminuyen rápidamente en${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}}$; en el caso de campo local no arquimediano,${\displaystyle S(K)}$es un límite inductivo de espacios de dimensión finita.

El dual continuo de un espacio de Schwartz-Bruhat es el espacio correspondiente de distribuciones temperadas . Por lo tanto, una distribución temperada en un grupo abeliano localmente compacto${\displaystyle G}$es un funcional lineal continuo en${\displaystyle S(G)}$Dado que la transformada de Fourier es un isomorfismo de${\displaystyle S(G)}$a${\displaystyle S({\widehat {G}})}$, se extiende por dualidad a un isomorfismo entre distribuciones temperadas en${\displaystyle G}$y distribuciones templadas en${\displaystyle {\widehat {G}}}$.

Para un campo local no arquimediano, el espacio de Schwartz-Bruhat es el espacio de funciones localmente constantes con soporte compacto. En este caso, las funciones de prueba usuales para distribuciones y las funciones de prueba de Schwartz-Bruhat coinciden, por lo que la distinción entre distribuciones y distribuciones temperadas es menos pronunciada que en${\displaystyle \mathbf {R} }$.

En la teoría algebraica de números , las funciones de Schwartz-Bruhat en los adeles se pueden usar para dar una versión adélica de la fórmula de sumación de Poisson del análisis, es decir, para cada${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{K})}$uno tiene${\displaystyle \sum _{x\in K}f(ax)={\frac {1}{|a|}}\sum _{x\in K}{\hat {f}}(a^{-1}x)}$, dónde${\displaystyle a\in \mathbb {A} _{K}^{\times }}$John Tate desarrolló esta fórmula en su tesis doctoral para demostrar una versión más general de la ecuación funcional para la función zeta de Riemann . Esto implica dar a la función zeta de un cuerpo numérico una representación integral en la que la integral de una función de Schwartz-Bruhat, elegida como función de prueba, se modifica mediante un cierto carácter y se integra sobre${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$con respecto a la medida de Haar multiplicativa de este grupo. Esto permite aplicar métodos analíticos para estudiar las funciones zeta a través de estas integrales zeta. ^{[ 7 ]}

• Osborne, M. Scott (1975). "Sobre el espacio de Schwartz-Bruhat y el teorema de Paley-Wiener para grupos abelianos localmente compactos" . Journal of Functional Analysis . 19 : 40-49 . doi : 10.1016/0022-1236(75)90005-1 .
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• Tate, John T. (1950), "Análisis de Fourier en cuerpos numéricos y funciones zeta de Hecke", Teoría algebraica de números (Actas de la conferencia didáctica, Brighton, 1965) , Thompson, Washington, DC, pp. 305–347 , ISBN  978-0-9502734-2-6, MR 0217026 {{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )