métodos de descomposición de dominio

En matemáticas , análisis numérico y ecuaciones diferenciales parciales numéricas , los métodos de descomposición de dominio resuelven un problema de valores en la frontera dividiéndolo en problemas más pequeños en subdominios e iterando para coordinar la solución entre subdominios adyacentes. Se utiliza un problema grueso con una o pocas incógnitas por subdominio para coordinar aún más la solución entre los subdominios globalmente. Los problemas en los subdominios son independientes, lo que hace que los métodos de descomposición de dominio sean adecuados para la computación paralela . Los métodos de descomposición de dominio se utilizan típicamente como precondicionadores para métodos iterativos en el espacio de Krylov , como el método del gradiente conjugado , GMRES y LOBPCG .

En los métodos de descomposición de dominio superpuestos, los subdominios se superponen en una longitud mayor que la de la interfaz. Entre estos métodos se incluyen el método alternante de Schwarz y el método aditivo de Schwarz . Muchos métodos de descomposición de dominio pueden formularse y analizarse como un caso particular del método aditivo abstracto de Schwarz .

En los métodos sin solapamiento, los subdominios se intersecan únicamente en su interfaz. En los métodos primarios, como la descomposición de dominio de equilibrio ( BDDC) , la continuidad de la solución a través de la interfaz de los subdominios se garantiza representando el valor de la solución en todos los subdominios vecinos mediante la misma incógnita. En los métodos duales, como FETI , la continuidad de la solución a través de la interfaz de los subdominios se garantiza mediante multiplicadores de Lagrange . El método FETI-DP es híbrido entre un método dual y uno primario.

Los métodos de descomposición de dominio no superpuestos también se denominan métodos de subestructuración iterativos .

Los métodos de Mortar son métodos de discretización para ecuaciones diferenciales parciales que utilizan discretizaciones separadas en subdominios que no se superponen. Las mallas en los subdominios no coinciden en la interfaz, y la igualdad de la solución se impone mediante multiplicadores de Lagrange, elegidos cuidadosamente para preservar la precisión de la solución. En la práctica de la ingeniería, en el método de elementos finitos, la continuidad de las soluciones entre subdominios que no coinciden se implementa mediante restricciones de múltiples puntos .

Las simulaciones de elementos finitos de modelos de tamaño moderado requieren la resolución de sistemas lineales con millones de incógnitas. El tiempo de ejecución secuencial promedio es de varias horas por paso de tiempo; por lo tanto, la computación paralela es indispensable. Los métodos de descomposición de dominio ofrecen un gran potencial para la paralelización de los métodos de elementos finitos y constituyen la base para la computación paralela distribuida.

Los métodos de descomposición de dominio se han aplicado con éxito a problemas que van desde la dinámica de fluidos hasta las simulaciones elásticas. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Varios estudios investigaron la descomposición de dominios computacionales o de discretización en múltiples subdominios y analizaron los acoplamientos discretizados resultantes de forma independiente. ^{[ 3 ]} Los métodos de Schwarz estándar y optimizados también se han utilizado en el contexto del suavizado de mallas, concretamente en el proceso de flujo de curvatura media para mallas poligonales generales. ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{cases}u''(x)=u(x),\\u(0)=0,\\u(1)=1.\end{cases}}}$$ La solución exacta es: $${\displaystyle u(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{1}-e^{-1}}}}$$ Subdivide el dominio en dos subdominios, uno de${\displaystyle \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]}$y otro de${\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]}$En el subdominio izquierdo, defina la función de interpolación.${\displaystyle v_{1}(x)}$y en la definición correcta${\displaystyle v_{2}(x)}$En la interfaz entre estos dos subdominios se impondrán las siguientes condiciones de interfaz: $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}{\left({\frac {1}{2}}\right)}&=v_{2}{\left({\frac {1}{2}}\right)}\\v_{1}'{\left({\frac {1}{2}}\right)}&=v_{2}'{\left({\frac {1}{2}}\right)}\end{aligned}}}$$ Definamos las funciones de interpolación de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}(x)&=\sum _{n=0}^{N}u_{n}T_{n}(y_{1}(x))\\v_{2}(x)&=\sum _{n=0}^{N}u_{n+N}T_{n}(y_{2}(x))\\y_{1}(x)&=4x-1\\y_{2}(x)&=4x-3\end{aligned}}}$$ Dónde${\displaystyle T_{n}(y)}$es la n-ésima función cardinal de los polinomios de Chebyshev de primera especie con argumento de entrada y.

Si N = 4, entonces se obtiene la siguiente aproximación mediante este esquema: $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&=0.06236,&u_{2}&=0.21495,\\u_{3}&=0.37428,&u_{4}&= 0.44341,\\u_{5}&=0.51492,&u_{6}&=0.69972,\\u_{7}&=0.90645.\end{aligned}}}$$ Esto se obtuvo con el siguiente código de MATLAB.

borrar todo N = 4 ; a1 = 0 ; b1 = 1 / 2 ;[ T D1 D2 E1 E2 x xsub ] = cheb ( N , a1 , b1 ); % las matrices de diferencias en [0,1/2] son ​​las mismas % que las de [1/2 1]. I = eye ( N + 1 ); H = D2 - I ; H1 = [[ 1 zeros ( 1 , N )]; H ( 2 : end - 1 ,:); [ zeros ( 1 , N ) 1 ]]; H1 = [ H1 [ zeros ( N , N + 1 ); - [ 1 zeros ( 1 , N )]]]; H2 = [ D1 ( 1 ,:); H ( 2 : end - 1 ,:); [ zeros ( 1 , N ) 1 ]]; H2 = [[ - D1 ( N + 1 ,:); zeros ( N , N + 1 )] H2 ]; K = [ H1 ; H2 ]; F = [ ceros ( 2 * N + 1 , 1 ); 1 ]; tu = K \ F ; xx = - cos ( pi * ( 0 : N ) '/ N ); x1 = 1/4 * ( xx + 1 ) ;​ x2 = 1/4 * ( xx + 3 ) ;​ x = [ x1 ; x2 ]; uex = (exp ( x ) - exp ( - x )) ./ ( exp ( 1 ) - exp ( - 1 ));

• Método multigrid

• La página oficial de Métodos de Descomposición de Dominios parece haberse trasladado a http://www.ddm2.org
• Página "Descomposición de dominios - Simulaciones numéricas" . Archivada desde el original el 26 de enero de 2021.