dinámica de cuerpos rígidos

Se han desarrollado varios métodos para describir la orientación de un cuerpo rígido en tres dimensiones. Estos se resumen en las siguientes secciones.

Ángulos de Tait-Bryan

Se trata de tres ángulos, también conocidos como guiñada, cabeceo y alabeo, ángulos de navegación y ángulos de Cardán. Matemáticamente, constituyen un conjunto de seis posibilidades dentro de los doce conjuntos posibles de ángulos de Euler, siendo este orden el más adecuado para describir la orientación de un vehículo, como un avión. En ingeniería aeroespacial, se les suele denominar ángulos de Euler.

Para considerar la dinámica de cuerpos rígidos en el espacio tridimensional, es necesario extender la segunda ley de Newton para definir la relación entre el movimiento de un cuerpo rígido y el sistema de fuerzas y pares que actúan sobre él.

Newton formuló su segunda ley para una partícula como: "El cambio de movimiento de un objeto es proporcional a la fuerza aplicada y se produce en la dirección de la línea recta en la que se aplica la fuerza". ^{[ 3 ]} Debido a que Newton generalmente se refería a la masa por la velocidad como el "movimiento" de una partícula, la frase "cambio de movimiento" se refiere a la masa por la aceleración de la partícula, y por lo tanto esta ley se suele escribir como $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$ donde F es la única fuerza externa que actúa sobre la partícula, m es su masa y a es su vector de aceleración. La extensión de la segunda ley de Newton a cuerpos rígidos se logra considerando un sistema rígido de partículas.

Si un sistema de N partículas, P _i , i=1,..., N , se ensambla en un cuerpo rígido, entonces la segunda ley de Newton se puede aplicar a cada una de las partículas del cuerpo. Si F _i es la fuerza externa aplicada a la partícula P _i con masa m _i , entonces $${\displaystyle \mathbf {F} _{i}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{ij}=m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad i=1,\ldots ,N,}$$ donde F _ij es la fuerza interna de la partícula P _j que actúa sobre la partícula P _i y que mantiene la distancia constante entre estas partículas.

Una simplificación importante de estas ecuaciones de fuerza se obtiene al introducir la fuerza resultante y el par que actúa sobre el sistema rígido. Esta fuerza resultante y este par se obtienen eligiendo una de las partículas del sistema como punto de referencia, R , donde se aplican todas las fuerzas externas con la adición de un par asociado. La fuerza resultante F y el par T vienen dados por las fórmulas: $${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},}$$ donde R _i es el vector que define la posición de la partícula P _i .

La segunda ley de Newton para una partícula se combina con estas fórmulas para la fuerza resultante y el torque para producir, $${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i}),}$$ donde las fuerzas internas F _ij se cancelan en pares. La cinemática de un cuerpo rígido produce la fórmula para la aceleración de la partícula P _i en términos de la posición R y la aceleración a de la partícula de referencia, así como el vector de velocidad angular ω y el vector de aceleración angular α del sistema rígido de partículas como, $${\displaystyle \mathbf {a} _{i}=\alpha \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\omega \times (\omega \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {a} .}$$

Las propiedades de masa del cuerpo rígido están representadas por su centro de masa y su matriz de inercia . Elija el punto de referencia R de modo que satisfaga la condición. $${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )=0,}$$

Entonces se le conoce como el centro de masa del sistema.

La matriz de inercia [I _R ] del sistema con respecto al punto de referencia R se define por $${\displaystyle [I_{R}]=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\mathbf {I} \left(\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}\right)-\mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\right),}$$

dónde${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$es el vector columna R _i − R ;${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}}$es su transpuesta, y${\displaystyle \mathbf {I} }$es la matriz identidad de 3 por 3 .

${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}}$es el producto escalar de${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$consigo mismo, mientras${\displaystyle \mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}}$es el producto tensorial de${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$consigo mismo.

Utilizando el centro de masa y la matriz de inercia, las ecuaciones de fuerza y ​​torque para un solo cuerpo rígido toman la forma $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,\quad \mathbf {T} =[I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega ,}$$ y se conocen como la segunda ley del movimiento de Newton para un cuerpo rígido.

La dinámica de un sistema interconectado de cuerpos rígidos, B _i , j = 1, ..., M , se formula aislando cada cuerpo rígido e introduciendo las fuerzas de interacción. La resultante de las fuerzas externas y de interacción sobre cada cuerpo produce las ecuaciones fuerza-torque. $${\displaystyle \mathbf {F} _{j}=m_{j}\mathbf {a} _{j},\quad \mathbf {T} _{j}=[I_{R}]_{j}\alpha _{j}+\omega _{j}\times [I_{R}]_{j}\omega _{j},\quad j=1,\ldots ,M.}$$

La formulación de Newton produce 6 M ecuaciones que definen la dinámica de un sistema de M cuerpos rígidos. ^{[ 4 ]}

Un objeto en rotación, ya sea bajo la influencia de pares de torsión o no, puede exhibir comportamientos de precesión y nutación . La ecuación fundamental que describe el comportamiento de un cuerpo sólido en rotación es la ecuación de movimiento de Euler : $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {D\mathbf {L} }{Dt}}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} ={\frac {d(I{\boldsymbol {\omega }})}{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}=I{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}}$$ donde los pseudovectores τ y L son, respectivamente, los pares sobre el cuerpo y su momento angular , el escalar I es su momento de inercia , el vector ω es su velocidad angular, el vector α es su aceleración angular, D es el diferencial en un sistema de referencia inercial y d es el diferencial en un sistema de referencia relativo fijo al cuerpo.

La solución a esta ecuación cuando no hay torque aplicado se analiza en los artículos La ecuación de movimiento de Euler y El elipsoide de Poinsot .

De la ecuación de Euler se deduce que un torque τ aplicado perpendicularmente al eje de rotación, y por lo tanto perpendicular a L , produce una rotación alrededor de un eje perpendicular tanto a τ como a L. Este movimiento se denomina precesión . La velocidad angular de precesión Ω _P viene dada por el producto vectorial :$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\Omega }}_{\mathrm {P} }\times \mathbf {L} .}$$

La precesión se puede demostrar colocando una peonza giratoria con su eje horizontal y sostenida sin apenas fricción (sin fricción hacia la precesión) en un extremo. En lugar de caer, como cabría esperar, la peonza parece desafiar la gravedad al mantener su eje horizontal, cuando el otro extremo del eje queda sin apoyo y describe lentamente un círculo en un plano horizontal, dando lugar a la precesión. Este efecto se explica mediante las ecuaciones anteriores. El par de torsión sobre la peonza se debe a dos fuerzas: la gravedad, que actúa hacia abajo sobre el centro de masa del dispositivo, y una fuerza igual que actúa hacia arriba para sostener un extremo del mismo. La rotación resultante de este par de torsión no es hacia abajo, como cabría esperar intuitivamente, provocando la caída del dispositivo, sino perpendicular tanto al par de torsión gravitatorio (horizontal y perpendicular al eje de rotación) como al eje de rotación (horizontal y hacia afuera del punto de apoyo), es decir, alrededor de un eje vertical, lo que provoca que el dispositivo gire lentamente alrededor del punto de apoyo.

Bajo un par constante de magnitud τ , la velocidad de precesión Ω _P es inversamente proporcional a L , la magnitud de su momento angular: $${\displaystyle \tau ={\mathit {\Omega }}_{\mathrm {P} }L\sin \theta ,}$$ donde θ es el ángulo entre los vectores Ω _P y L. Por lo tanto, si la velocidad de giro de la peonza disminuye (por ejemplo, debido a la fricción), su momento angular disminuye y, en consecuencia, la velocidad de precesión aumenta. Esto continúa hasta que el dispositivo ya no puede girar lo suficientemente rápido como para soportar su propio peso, momento en el que deja de precesar y se cae de su soporte, principalmente porque la fricción contra la precesión provoca otra precesión que causa la caída.

Por convención, estos tres vectores –torque, giro y precesión– están orientados entre sí según la regla de la mano derecha .

El trabajo se calcula a partir del producto escalar de cada fuerza con el desplazamiento de su punto de contacto. $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}.}$$ Si la trayectoria de un cuerpo rígido se define mediante un conjunto de coordenadas generalizadas q _j , j = 1, ..., m , entonces los desplazamientos virtuales δ r _i vienen dados por $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}.}$$ El trabajo virtual de este sistema de fuerzas que actúan sobre el cuerpo en términos de las coordenadas generalizadas se convierte en $${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{1}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)+\dots +\mathbf {F} _{n}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{n}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)}$$

o recopilando los coeficientes de δq _j$${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{1}}}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(\sum _{1=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)\delta q_{m}.}$$

Para simplificar, consideremos la trayectoria de un cuerpo rígido especificada por una única coordenada generalizada q, como un ángulo de rotación; entonces la fórmula se convierte en: $${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} )}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$$

Introducimos la fuerza resultante F y el par T para que esta ecuación tome la forma $${\displaystyle \delta W=\left(\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$$

La cantidad Q definida por $${\displaystyle Q=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}},}$$

se conoce como la fuerza generalizada asociada con el desplazamiento virtual δq. Esta fórmula se generaliza al movimiento de un cuerpo rígido definido por más de una coordenada generalizada, es decir $${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$$ dónde $${\displaystyle Q_{j}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Es útil señalar que las fuerzas conservativas, como la gravedad y las fuerzas elásticas, se pueden derivar de una función potencial V ( q ₁ , ..., q _n ) , conocida como energía potencial . En este caso, las fuerzas generalizadas vienen dadas por $${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

El equilibrio estático de un sistema mecánico de cuerpos rígidos se define por la condición de que el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas sea cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Esto se conoce como el principio del trabajo virtual. ^{[ 5 ]} Esto es equivalente al requisito de que las fuerzas generalizadas para cualquier desplazamiento virtual sean cero, es decir, Q _i =0.

Consideremos un sistema mecánico formado por n cuerpos rígidos, B _i , i = 1, ..., n , y consideremos que la resultante de las fuerzas aplicadas en cada cuerpo son los pares fuerza-torque, F _i y T _i , i = 1, ..., n . Nótese que estas fuerzas aplicadas no incluyen las fuerzas de reacción en los puntos de conexión de los cuerpos. Finalmente, supongamos que la velocidad V _i y las velocidades angulares ω _i , i = 1, ..., n , para cada cuerpo rígido, se definen mediante una única coordenada generalizada q. Se dice que dicho sistema de cuerpos rígidos tiene un grado de libertad .

El trabajo virtual de las fuerzas y los pares, F _i y T _i , aplicados a este sistema de un grado de libertad viene dado por $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=Q\delta q,}$$ dónde $${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right),}$$ es la fuerza generalizada que actúa sobre este sistema de un grado de libertad.

Si el sistema mecánico se define mediante m coordenadas generalizadas, q _j , j = 1, ..., m , entonces el sistema tiene m grados de libertad y el trabajo virtual viene dado por: $${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$$ dónde $${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$ es la fuerza generalizada asociada con la coordenada generalizada q _j . El principio del trabajo virtual establece que el equilibrio estático se produce cuando estas fuerzas generalizadas que actúan sobre el sistema son cero, es decir $${\displaystyle Q_{j}=0,\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Estas m ecuaciones definen el equilibrio estático del sistema de cuerpos rígidos.

Consideremos un único cuerpo rígido que se mueve bajo la acción de una fuerza resultante F y un par T , con un grado de libertad definido por la coordenada generalizada q . Supongamos que el punto de referencia para la fuerza resultante y el par es el centro de masa del cuerpo; entonces, la fuerza de inercia generalizada Q* asociada con la coordenada generalizada q viene dada por: $${\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-\left([I_{R}]{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}$$

Esta fuerza de inercia se puede calcular a partir de la energía cinética del cuerpo rígido, $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},}$$ utilizando la fórmula $${\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}$$

Un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas tiene la energía cinética $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),}$$ que se pueden utilizar para calcular las fuerzas de inercia generalizadas m ^{[ 6 ]}$${\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$

La formulación de D'Alembert del principio del trabajo virtual establece que un sistema de cuerpos rígidos se encuentra en equilibrio dinámico cuando el trabajo virtual resultante de la suma de las fuerzas aplicadas y las fuerzas de inercia es cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Por lo tanto, el equilibrio dinámico de un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas requiere que $${\displaystyle \delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,}$$ para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales δq _j . Esta condición produce m ecuaciones, $${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$ que también se puede escribir como $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$ El resultado es un conjunto de m ecuaciones de movimiento que definen la dinámica del sistema de cuerpo rígido.

Si las fuerzas generalizadas Q _j se pueden derivar de una energía potencial V ( q ₁ , ..., q _m ) , entonces estas ecuaciones de movimiento toman la forma $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

En este caso, introducimos el lagrangiano , L = T − V , de modo que estas ecuaciones de movimiento se convierten en $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}$$ Estas se conocen como las ecuaciones de movimiento de Lagrange .

El momento lineal y angular de un sistema rígido de partículas se formula midiendo la posición y la velocidad de las partículas con respecto al centro de masa. Sea el sistema de partículas P _i , i = 1, ..., n ubicado en las coordenadas r _i y con velocidades v _i . Seleccione un punto de referencia R y calcule los vectores de posición y velocidad relativos, $${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} .}$$

Los vectores de momento lineal y angular totales con respecto al punto de referencia R son: $${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,}$$ y $${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)\times \mathbf {V} .}$$

Si se elige R como centro de masa, estas ecuaciones se simplifican a $${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right).}$$

Para especializar estas fórmulas a un cuerpo rígido, suponga que las partículas están rígidamente conectadas entre sí, de modo que P _i , i=1,...,n están ubicadas por las coordenadas r _i y las velocidades v _i . Seleccione un punto de referencia R y calcule los vectores de posición y velocidad relativos, $${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}=\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}$$ donde ω es la velocidad angular del sistema. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

El momento lineal y el momento angular de este sistema rígido, medidos con respecto al centro de masa R, son: $${\displaystyle \mathbf {p} =\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times (\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )).}$$

Estas ecuaciones se simplifican para convertirse en: $${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =[I_{R}]\omega ,}$$ donde M es la masa total del sistema y [I _R ] es la matriz de momento de inercia definida por$${\displaystyle [I_{R}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R],}$$ donde [r _i − R] es la matriz antisimétrica construida a partir del vector r _i − R .