Diagrama de Dynkin

En el campo matemático de la teoría de Lie , un diagrama de Dynkin , llamado así en honor a Eugene Dynkin , es un tipo de grafo con algunas aristas duplicadas o triplicadas (representadas como líneas dobles o triples). Los diagramas de Dynkin surgen en la clasificación de álgebras de Lie semisimples sobre cuerpos algebraicamente cerrados , en la clasificación de grupos de Weyl y otros grupos de reflexión finitos , y en otros contextos. Diversas propiedades del diagrama de Dynkin (como la presencia de aristas múltiples o sus simetrías) se corresponden con características importantes del álgebra de Lie asociada.

El término «diagrama de Dynkin» puede resultar ambiguo. En algunos casos, se asume que los diagramas de Dynkin son dirigidos , en cuyo caso corresponden a sistemas de raíces y álgebras de Lie semisimples, mientras que en otros casos se asume que son no dirigidos , en cuyo caso corresponden a grupos de Weyl. En este artículo, «diagrama de Dynkin» se refiere a un diagrama de Dynkin dirigido , y los diagramas de Dynkin no dirigidos se denominarán explícitamente como tales.

El interés fundamental de los diagramas de Dynkin reside en que clasifican las álgebras de Lie semisimples sobre cuerpos algebraicamente cerrados . Estas álgebras de Lie se clasifican mediante su sistema de raíces , que puede representarse con un diagrama de Dynkin. Posteriormente, los diagramas de Dynkin se clasifican según las restricciones que deben satisfacer, como se describe a continuación.

Al eliminar la dirección en las aristas del grafo, se reemplaza un sistema de raíces por el grupo de reflexión finito que genera, el llamado grupo de Weyl , y así los diagramas de Dynkin no dirigidos clasifican los grupos de Weyl.

Tienen la siguiente correspondencia para las álgebras de Lie asociadas a grupos clásicos sobre los números complejos:

• ${\displaystyle A_{n}}$:${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$, el álgebra de Lie lineal especial .
• ${\displaystyle B_{n}}$:${\displaystyle {\mathfrak {entonces}}_{2n+1}}$, el álgebra de Lie ortogonal especial de dimensión impar .
• ${\displaystyle C_{n}}$:${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}$, el álgebra de Lie simpléctica .
• ${\displaystyle D_{n}}$:${\displaystyle {\mathfrak {entonces}}_{2n}}$, el álgebra de Lie ortogonal especial de dimensión par (${\displaystyle n>1}$).

Para los grupos excepcionales, los nombres del álgebra de Lie y del diagrama de Dynkin asociado coinciden.

Los diagramas de Dynkin pueden interpretarse como una clasificación de muchos objetos distintos y relacionados, y la notación "A _n , B _n , ..." se utiliza para referirse a todas esas interpretaciones, dependiendo del contexto; esta ambigüedad puede resultar confusa.

La clasificación central es que un álgebra de Lie simple tiene un sistema de raíces, al que se asocia un diagrama de Dynkin (orientado); a los tres se les puede denominar B _n , por ejemplo.

El diagrama de Dynkin no orientado es una forma de diagrama de Coxeter y corresponde al grupo de Weyl, que es el grupo de reflexión finito asociado al sistema de raíces. Por lo tanto, B _n puede referirse al diagrama no orientado (un tipo especial de diagrama de Coxeter), al grupo de Weyl (un grupo de reflexión concreto) o al grupo de Coxeter abstracto.

Aunque el grupo de Weyl es abstractamente isomorfo al grupo de Coxeter, un isomorfismo específico depende de una elección ordenada de raíces simples. Del mismo modo, si bien la notación del diagrama de Dynkin está estandarizada, la notación del diagrama de Coxeter y del grupo es variada y a veces coincide con la notación del diagrama de Dynkin y otras veces no.

Por último, en ocasiones se hace referencia a objetos asociados con la misma notación, aunque esto no siempre es posible de forma regular. Algunos ejemplos son:

• La red de raíces generada por el sistema de raíces, como en la red E ₈ . Esto se define naturalmente, pero no de forma biunívoca; por ejemplo, A ₂ y G ₂ generan la red hexagonal .
• Un politopo asociado, por ejemplo el politopo Gosset 4 _21, puede denominarse "el politopo E ₈ ", ya que sus vértices se derivan del sistema de raíces E ₈ y tiene el grupo de Coxeter E _{8 como grupo de simetría.}
• Una forma cuadrática o variedad asociada; por ejemplo, la variedad E ₈ tiene una forma de intersección dada por la red E _{8 .}

Estas últimas notaciones se utilizan principalmente para objetos asociados con diagramas excepcionales; los objetos asociados con los diagramas regulares (A, B, C, D) tienen, en cambio, nombres tradicionales.

El índice ( n ) es el número de nodos en el diagrama, el número de raíces simples en una base, la dimensión de la red de raíces y el espacio generado por el sistema de raíces, el número de generadores del grupo de Coxeter y el rango del álgebra de Lie. Sin embargo, n no es igual a la dimensión del módulo definitorio (una representación fundamental ) del álgebra de Lie; el índice en el diagrama de Dynkin no debe confundirse con el índice en el álgebra de Lie. Por ejemplo,${\displaystyle B_{4}}$corresponde a${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2\cdot 4+1}={\mathfrak {so}}_{9},}$que actúa naturalmente en un espacio de 9 dimensiones, pero tiene rango 4 como álgebra de Lie.

Los diagramas de Dynkin con enlaces simples , aquellos sin aristas múltiples (A, D, E), clasifican muchos otros objetos matemáticos; véase la discusión en la clasificación ADE .

Ejemplo: A ₂

Por ejemplo, el símbolo${\displaystyle A_{2}}$puede referirse a:

• El diagrama de Dynkin con dos nodos conectados, , que también puede interpretarse como un diagrama de Coxeter .
• El sistema radicular con 2 raíces simples en un${\displaystyle 2\pi /3}$ángulo (120 grados).
• El álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2+1}={\mathfrak {sl}}_{3}}$del rango 2.
• El grupo de Weyl de simetrías de las raíces (reflexiones en el hiperplano ortogonal a las raíces), isomorfo al grupo simétrico${\displaystyle S_{3}}$(de orden 6).
• El grupo abstracto de Coxeter , presentado por generadores y relaciones,${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2}\mid (r_{1})^{2}=(r_{2})^{2}=(r_{i}r_{j})^{3}=1\right\rangle .}$

Consideremos un sistema de raíces , que se supone reducido e integral (o "cristalográfico"). En muchas aplicaciones, este sistema de raíces surgirá de un álgebra de Lie semisimple . Sea${\displaystyle \Delta }$sea ​​un conjunto de raíces simples positivas . Luego construimos un diagrama a partir de${\displaystyle \Delta }$de la siguiente manera. ^{[ 1 ]} Formar un grafo con un vértice por cada elemento de${\displaystyle \Delta }$Luego, inserta aristas entre cada par de vértices según la siguiente receta. Si las raíces correspondientes a los dos vértices son ortogonales, no hay aristas entre los vértices. Si el ángulo entre las dos raíces es de 120 grados, colocamos una arista entre los vértices. Si el ángulo es de 135 grados, colocamos dos aristas, y si el ángulo es de 150 grados, colocamos tres aristas. (Estos cuatro casos agotan todos los ángulos posibles entre pares de raíces simples positivas. ^{[ 2 ]} ) Finalmente, si hay alguna arista entre un par de vértices dado, las decoramos con una flecha que apunta desde el vértice correspondiente a la raíz más larga hacia el vértice correspondiente a la más corta. (La flecha se omite si las raíces tienen la misma longitud). Pensar en la flecha como un signo de "mayor que" aclara en qué dirección debe ir la flecha. Los diagramas de Dynkin conducen a una clasificación de los sistemas de raíces. Los ángulos y las razones de longitud entre las raíces están relacionados . ^{[ 3 ]} Por lo tanto, las aristas para raíces no ortogonales pueden describirse alternativamente como una arista para una relación de longitud de 1, dos aristas para una relación de longitud de${\displaystyle {\sqrt {2}}}$y tres aristas para una relación de longitud de${\displaystyle {\sqrt {3}}}$(No hay aristas cuando las raíces son ortogonales, independientemente de la relación de longitud).

En el${\displaystyle A_{2}}$sistema radicular, mostrado a la derecha, las raíces etiquetadas${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$forman una base. Dado que estas dos raíces están en un ángulo de 120 grados (con una relación de longitud de 1), el diagrama de Dynkin consta de dos vértices conectados por una sola arista: .

Los diagramas de Dynkin están estrechamente relacionados con los diagramas de Coxeter de grupos de Coxeter finitos , y la terminología a menudo se confunde. ^{[ nota 1 ]}

Los diagramas de Dynkin difieren de los diagramas de Coxeter de grupos finitos en dos aspectos importantes:

Parcialmente dirigido

Los diagramas de Dynkin son parcialmente dirigidos : cualquier arista múltiple (en términos de Coxeter, etiquetada con "4" o superior) tiene una dirección (una flecha que apunta de un nodo a otro); por lo tanto, los diagramas de Dynkin tienen más datos que el diagrama de Coxeter subyacente (grafo no dirigido).

A nivel de los sistemas radiculares, la dirección corresponde a la del vector más corto; las aristas marcadas con "3" no tienen dirección, ya que los vectores correspondientes deben tener la misma longitud. (Advertencia: Algunos autores invierten esta convención, con la flecha apuntando hacia el vector más largo).

restricción cristalográfica

Los diagramas de Dynkin deben satisfacer una restricción adicional, a saber, que las únicas etiquetas de arista permitidas son 2, 3, 4 y 6, una restricción que no comparten los diagramas de Coxeter, por lo que no todos los diagramas de Coxeter de un grupo finito provienen de un diagrama de Dynkin.

A nivel de los sistemas radiculares, esto corresponde al teorema de restricción cristalográfica , ya que las raíces forman una red.

Otra diferencia, que es solo estilística, es que los diagramas de Dynkin se dibujan convencionalmente con aristas dobles o triples entre nodos (para p  =  4,  6), en lugar de una arista etiquetada con " p ".

El término «diagrama de Dynkin» se refiere a veces al grafo dirigido y otras veces al grafo no dirigido . Para mayor precisión, en este artículo «diagrama de Dynkin» significará grafo dirigido, y el grafo no dirigido subyacente se denominará «diagrama de Dynkin no dirigido». Los diagramas de Dynkin y los diagramas de Coxeter se pueden relacionar de la siguiente manera:

Con esto se quiere decir que los diagramas de Coxeter de grupos finitos corresponden a grupos puntuales generados por reflexiones, mientras que los diagramas de Dynkin deben satisfacer una restricción adicional correspondiente al teorema de restricción cristalográfica , y que los diagramas de Coxeter no son dirigidos, mientras que los diagramas de Dynkin son (parcialmente) dirigidos.

Los objetos matemáticos correspondientes clasificados por los diagramas son:

El espacio en blanco en la parte superior derecha, que corresponde a grafos dirigidos con un grafo subyacente no dirigido, cualquier diagrama de Coxeter (de un grupo finito), puede definirse formalmente, pero se discute poco y no parece admitir una interpretación simple en términos de objetos matemáticos de interés.

Existen mapas naturales que van desde los diagramas de Dynkin a los diagramas de Dynkin no dirigidos; y, respectivamente, desde los sistemas de raíces a los grupos de Weyl asociados; y hacia la derecha, desde los diagramas de Dynkin no dirigidos a los diagramas de Coxeter; y, respectivamente, desde los grupos de Weyl a los grupos de Coxeter finitos.

El mapa descendente es sobreyectivo (por definición) pero no uno a uno, ya que los diagramas B _n y C _n se mapean al mismo diagrama no dirigido, con el diagrama de Coxeter y el grupo de Weyl resultantes a veces denotados BC _n .

El mapa correcto es simplemente una inclusión: los diagramas de Dynkin no dirigidos son casos especiales de diagramas de Coxeter, y los grupos de Weyl son casos especiales de grupos de Coxeter finitos; y no es sobreyectivo, ya que no todos los diagramas de Coxeter son diagramas de Dynkin no dirigidos (los diagramas que faltan son H ₃ , H ₄ e I ₂ ( p ) para p  =  5 p ≥ 7), y correspondientemente no todos los grupos de Coxeter finitos son grupos de Weyl.   

Los diagramas de Dynkin se numeran convencionalmente de forma que la lista no sea redundante:${\displaystyle n\geq 1}$para${\displaystyle A_{n},}$${\displaystyle n\geq 2}$para${\displaystyle B_{n},}$${\displaystyle n\geq 3}$para${\displaystyle C_{n},}$${\displaystyle n\geq 4}$para${\displaystyle D_{n},}$y${\displaystyle E_{n}}$comenzando en${\displaystyle n=6.}$Sin embargo, las familias pueden definirse para valores de n más bajos, lo que produce isomorfismos excepcionales de diagramas y los correspondientes isomorfismos excepcionales de álgebras de Lie y grupos de Lie asociados.

Trivialmente, uno puede comenzar las familias en${\displaystyle n=0}$o${\displaystyle n=1,}$que son todos isomorfos, ya que existe un único diagrama vacío y un único diagrama de 1 nodo. Los otros isomorfismos de diagramas de Dynkin conectados son:

• ${\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}$
• ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2}}$
• ${\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}$
• ${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$
• ${\displaystyle E_{3}\cong A_{1}\times A_{2}}$
• ${\displaystyle E_{4}\cong A_{4}}$
• ${\displaystyle E_{5}\cong D_{5}}$

Estos isomorfismos corresponden a isomorfismos de álgebras de Lie simples y semisimples, que también corresponden a ciertos isomorfismos de formas de grupos de Lie de estas. Además, aportan contexto a la familia E _n . ^{[ 4 ]}

Además del isomorfismo entre diferentes diagramas, algunos diagramas también presentan autoisomorfismos o " automorfismos ". Los automorfismos de diagramas corresponden a los automorfismos externos del álgebra de Lie, lo que significa que el grupo de automorfismos externos Out = Aut/Inn es igual al grupo de automorfismos de diagramas. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Los diagramas que tienen automorfismos no triviales son A _n (${\displaystyle n>1}$), D _n (${\displaystyle n>1}$), y E ₆ . En todos estos casos, excepto en D ₄ , hay un único automorfismo no trivial (Out = C ₂ , el grupo cíclico de orden 2), mientras que para D ₄ , el grupo de automorfismos es el grupo simétrico en tres letras ( S ₃ , orden 6) – este fenómeno se conoce como " trialidad ". Sucede que todos estos automorfismos de diagramas pueden realizarse como simetrías euclidianas de cómo se dibujan convencionalmente los diagramas en el plano, pero esto es solo un artefacto de cómo se dibujan, y no una estructura intrínseca.

Para A _n , el automorfismo del diagrama consiste en invertir el diagrama, que es una línea. Los nodos del diagrama indexan los pesos fundamentales , que (para A _{n − 1} ) son${\displaystyle \bigwedge ^{i}C^{n}}$para${\displaystyle i=1,\dots ,n}$y el automorfismo del diagrama corresponde a la dualidad${\displaystyle \bigwedge ^{i}C^{n}\mapsto \bigwedge ^{n-i}C^{n}.}$Realizado como el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1},}$El automorfismo externo puede expresarse como transposición negativa,${\displaystyle T\mapsto -T^{\mathrm {T} }}$, que es como actúa la representación dual. ^{[ 6 ]}

Para D _n , el automorfismo del diagrama consiste en intercambiar los dos nodos al final de la Y, y corresponde a intercambiar las dos representaciones de espín quiral . Realizado como el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n},}$El automorfismo externo puede expresarse como conjugación mediante una matriz en O(2 n ) con determinante − 1. Cuando n = 3, se tiene${\displaystyle \mathrm {D} _{3}\cong \mathrm {A} _{3},}$por lo que sus automorfismos coinciden, mientras que${\displaystyle \mathrm {D} _{2}\cong \mathrm {A} _{1}\times \mathrm {A} _{1}}$está desconectado, y el automorfismo corresponde a intercambiar los dos nodos.

Para D ₄ , la representación fundamental es isomorfa a las dos representaciones de espín, y el grupo simétrico resultante en tres letras ( S ₃ , o alternativamente el grupo diedral de orden 6, Dih ₃ ) corresponde tanto a automorfismos del álgebra de Lie como a automorfismos del diagrama.

El grupo de automorfismos de E ₆ corresponde a invertir el diagrama y puede expresarse utilizando álgebras de Jordan . ^{[ 6 ] [ 8 ]}

Los diagramas desconectados, que corresponden a álgebras de Lie semisimples , pueden tener automorfismos derivados del intercambio de componentes del diagrama.

En característica positiva hay "automorfismos de diagrama" adicionales; en términos generales, en característica p a veces se permite ignorar la flecha en los enlaces de multiplicidad p en el diagrama de Dynkin al tomar automorfismos de diagrama. Así, en característica 2 hay un automorfismo de orden 2 de${\displaystyle \mathrm {B} _{2}\cong \mathrm {C} _{2}}$y de F ₄ , mientras que en característica 3 hay un automorfismo de orden 2 de G ₂ . Pero no se aplica en todas las circunstancias: por ejemplo, tales automorfismos no tienen por qué surgir como automorfismos del grupo algebraico correspondiente, sino más bien en el nivel de puntos valorados en un cuerpo finito.

Plegable

Un diagrama de Dynkin (simplemente enlazado) (finito o afín ) que posee una simetría (que satisface una condición, más adelante) puede ser cociente por dicha simetría, generando un nuevo diagrama, generalmente múltiplemente enlazado, proceso que se denomina plegado (debido a que la mayoría de las simetrías son dobles). A nivel de álgebras de Lie, esto corresponde a tomar la subálgebra invariante bajo el grupo de automorfismos externos, y el proceso puede definirse únicamente con referencia a sistemas de raíces, sin utilizar diagramas. ^{[ 9 ]} Además, todo diagrama múltiplemente enlazado (finito o infinito) puede obtenerse plegando un diagrama simplemente enlazado. ^{[ 10 ]}

La única condición para que el plegado sea posible en el automorfismo es que los nodos distintos del grafo en la misma órbita (bajo el automorfismo) no deben estar conectados por una arista; a nivel de sistemas de raíces, las raíces en la misma órbita deben ser ortogonales. ^{[ 10 ]} A nivel de diagramas, esto es necesario ya que de lo contrario el diagrama cociente tendrá un bucle, debido a la identificación de dos nodos pero con una arista entre ellos, y los bucles no están permitidos en los diagramas de Dynkin.

Los nodos y aristas del diagrama cociente ("plegado") son las órbitas de los nodos y aristas del diagrama original; las aristas son únicas a menos que dos aristas incidentes se mapeen a la misma arista (en particular en nodos de valencia mayor que 2), un "punto de ramificación" del mapeo, en cuyo caso el peso es el número de aristas incidentes, y la flecha apunta hacia el nodo en el que son incidentes: "el punto de ramificación se mapea al punto no homogéneo". Por ejemplo, en el plegado de D ₄ a G ₂ , la arista en G ₂ apunta desde la clase de los 3 nodos externos (valencia 1), a la clase del nodo central (valencia 3).

Los plegados de diagramas finitos son: ^{[ 11 ] [ nota 2 ]}

• ${\displaystyle A_{2n-1}\to C_{n}}$

(El automorfismo de A _{2 n} no produce un plegamiento porque los dos nodos centrales están conectados por una arista, pero en la misma órbita).

• ${\displaystyle D_{n+1}\to B_{n}}$
• ${\displaystyle D_{4}\to G_{2}}$(si se calcula el cociente por el grupo completo o un ciclo de 3, además de${\displaystyle D_{4}\to B_{3}}$de 3 maneras diferentes, si se toma el cociente por una involución)
• ${\displaystyle E_{6}\to F_{4}}$

Existen plegamientos similares para diagramas afines, entre los que se incluyen:

• ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2n-1}\to {\tilde {C}}_{n}}$
• ${\displaystyle {\tilde {D}}_{n+1}\to {\tilde {B}}_{n}}$
• ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}\to {\tilde {G}}_{2}}$
• ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}\to {\tilde {F}}_{4}}$

La noción de plegados también puede aplicarse de forma más general a los diagramas de Coxeter ^{[ 12 ]} – en particular, se pueden generalizar los cocientes admisibles de los diagramas de Dynkin a H _n e I ₂ ( p ). Geométricamente, esto corresponde a proyecciones de politopos uniformes . En particular, cualquier diagrama de Dynkin simplemente enlazado puede plegarse a I ₂ ( h ), donde h es el número de Coxeter , que corresponde geométricamente a la proyección al plano de Coxeter .

El plegado puede aplicarse para reducir las cuestiones relativas a las álgebras de Lie (semisimples) a cuestiones relativas a las álgebras simplemente enlazadas, junto con un automorfismo, lo que puede resultar más sencillo que tratar directamente las álgebras enlazadas múltiples; esto puede hacerse, por ejemplo, al construir las álgebras de Lie semisimples. Véase Math Overflow: Folding by Automorphisms para más información.

Algunos mapas adicionales de diagramas tienen interpretaciones significativas, como se detalla a continuación. Sin embargo, no todos los mapas de sistemas radiculares surgen como mapas de diagramas. ^{[ 13 ]}

Por ejemplo, en G2 _hay dos inclusiones de sistemas radiculares de A2 _, ya sea como las seis raíces largas o las seis raíces cortas. Sin embargo, los nodos del diagrama G2 _corresponden a una raíz larga y una corta, mientras que los nodos del diagrama _A2 corresponden a raíces de igual longitud; por lo tanto, este mapa de sistemas radiculares no puede expresarse como un mapa de los diagramas.

Algunas inclusiones de sistemas de raíces pueden expresarse como un diagrama que es un subgrafo inducido de otro, es decir, "un subconjunto de los nodos, con todas las aristas entre ellos". Esto se debe a que eliminar un nodo de un diagrama de Dynkin equivale a eliminar una raíz simple de un sistema de raíces, lo que resulta en un sistema de raíces de rango uno inferior. Por el contrario, eliminar una arista (o cambiar la multiplicidad de una arista) sin modificar los nodos equivale a cambiar los ángulos entre las raíces, lo cual no puede hacerse sin modificar todo el sistema de raíces. Por lo tanto, se pueden eliminar nodos de forma significativa, pero no aristas. Eliminar un nodo de un diagrama conexo puede resultar en un diagrama conexo (álgebra de Lie simple), si el nodo es una hoja, o en un diagrama desconectado (álgebra de Lie semisimple pero no simple), con dos o tres componentes (esto último para D _n y E _n ). A nivel de álgebras de Lie, estas inclusiones corresponden a subálgebras de Lie.

Los subgrafos máximos son los siguientes; los subgrafos relacionados por un automorfismo de diagrama se denominan "conjugados":

• A _{n +1} : A _n , de 2 maneras conjugadas.
• B _{n +1} : A _n , B _n .
• C _{n +1} : A _n , C _n .
• D _{n +1} : A _n (2 formas conjugadas), D _n .
• E _{n +1} : A _n , D _n , E _n .
  • Para E ₆ , dos de estos coinciden:${\displaystyle \mathrm {D} _{5}\cong \mathrm {E} _{5}}$y son conjugados.
• F ₄ : B ₃ , C ₃ .
• G ₂ : A ₁ , de 2 maneras no conjugadas (como raíz larga o raíz corta).

Finalmente, la dualidad de los diagramas corresponde a invertir la dirección de las flechas, si las hay: ^{[ 13 ]} B _n y C _n son duales, mientras que F ₄ y G ₂ son autoduales, al igual que los diagramas ADE simplemente enlazados.

Un diagrama de Dynkin sin aristas múltiples se denomina simplemente entrelazado , al igual que el álgebra de Lie y el grupo de Lie correspondientes. Estos son los${\displaystyle A_{n},D_{n},E_{n}}$Los diagramas y los fenómenos que estos clasifican se denominan clasificación ADE . En este caso, los diagramas de Dynkin coinciden exactamente con los diagramas de Coxeter, ya que no hay aristas múltiples.

Los diagramas de Dynkin clasifican las álgebras de Lie semisimples complejas . Las álgebras de Lie semisimples reales pueden clasificarse como formas reales de álgebras de Lie semisimples complejas, y estas se clasifican mediante diagramas de Satake , que se obtienen a partir del diagrama de Dynkin etiquetando algunos vértices de negro (rellenos) y conectando otros vértices de dos en dos mediante flechas, según ciertas reglas.

Los diagramas de Dynkin reciben su nombre de Eugene Dynkin , quien los utilizó en dos artículos (1946, 1947) para simplificar la clasificación de las álgebras de Lie semisimples; ^{[ 14 ]} véase ( Dynkin 2000 ) . Cuando Dynkin abandonó la Unión Soviética en 1976, lo que en aquel entonces se consideraba equivalente a una traición, se instruyó a los matemáticos soviéticos a que se refirieran a los "diagramas de raíces simples" en lugar de usar su nombre.

Los grafos no dirigidos fueron utilizados anteriormente por Coxeter (1934) para clasificar grupos de reflexión , donde los nodos correspondían a reflexiones simples; los grafos fueron utilizados posteriormente (con información de longitud) por Witt (1941) en referencia a sistemas de raíces, con los nodos correspondientes a raíces simples, como se utilizan hoy en día. ^{[ 14 ] [ 15 ]} Dynkin los utilizó posteriormente en 1946 y 1947, reconociendo a Coxeter y Witt en su artículo de 1947.

Los diagramas de Dynkin se han dibujado de varias maneras; ^{[ 15 ]} la convención que se sigue aquí es común, con ángulos de 180° en los nodos de valencia 2, ángulos de 120° en el nodo de valencia 3 de D _n , y ángulos de 90°/90°/180° en el nodo de valencia 3 de E _n , con la multiplicidad indicada por 1, 2 o 3 aristas paralelas, y la longitud de la raíz indicada dibujando una flecha en la arista para la orientación. Más allá de la simplicidad, otra ventaja de esta convención es que los automorfismos del diagrama se realizan mediante isometrías euclidianas de los diagramas.

Entre las convenciones alternativas se incluyen escribir un número junto al borde para indicar la multiplicidad (comúnmente utilizado en los diagramas de Coxeter), oscurecer los nodos para indicar la longitud de la raíz o usar ángulos de 120° en los nodos de valencia 2 para que los nodos sean más distintivos.

También existen convenciones sobre la numeración de los nodos. La convención moderna más común se desarrolló en la década de 1960 y se ilustra en ( Bourbaki 1968 ) . ^{[ 15 ]}

Los diagramas de Dynkin son equivalentes a las matrices de Cartan generalizadas , como se muestra en esta tabla de diagramas de Dynkin de rango 2 con sus correspondientes matrices de Cartan de 2 × 2 .

Para el rango 2, la forma de la matriz de Cartan es:

${\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]}$

Un diagrama de múltiples aristas corresponde a los elementos no diagonales de la matriz de Cartan .${\displaystyle -a_{21},-a_{12}}$⁠ , con el número de aristas dibujadas igual a ⁠${\displaystyle \max(-a_{21},-a_{12})}$y una flecha que apunta hacia los elementos que no son unidades.

Una matriz de Cartan generalizada es una matriz cuadrada.${\displaystyle A=(a_{ij})}$de tal manera que:

1. Para entradas diagonales,${\displaystyle a_{ii}=2}$.
2. Para entradas no diagonales,${\displaystyle a_{ij}\leq 0}$.
3. ${\displaystyle a_{ij}=0}$si y solo si${\displaystyle a_{ji}=0}$

La matriz de Cartan determina si el grupo es de tipo finito (si es una matriz definida positiva , es decir, todos los autovalores son positivos), de tipo afín (si no es definida positiva sino semidefinida positiva, es decir, todos los autovalores son no negativos) o de tipo indefinido . El tipo indefinido a menudo se subdivide aún más; por ejemplo, un grupo de Coxeter es lorentziano si tiene un autovalor negativo y todos los demás autovalores son positivos. Además, varias fuentes hacen referencia a grupos de Coxeter hiperbólicos , pero existen varias definiciones no equivalentes para este término. En la discusión que sigue, los grupos de Coxeter hiperbólicos son un caso especial de lorentziano, que satisface una condición adicional. Para rango 2, todas las matrices de Cartan con determinante negativo corresponden a un grupo de Coxeter hiperbólico. Pero, en general, la mayoría de las matrices con determinante negativo no son ni hiperbólicas ni lorentzianas.

Las ramas finitas tienen${\displaystyle (-a_{21},-a_{12})=(1,1),(2,1),(3,1)}$y las ramas afines (con determinante cero) tienen${\displaystyle (-a_{21},-a_{12})=(2,2){\text{ or }}(4,1)}$⁠ .

Existen extensiones de los diagramas de Dynkin, a saber, los diagramas de Dynkin afines ; estos clasifican las matrices de Cartan de las álgebras de Lie afines . Estos se clasifican en ( Kac 1994 , Capítulo 4, págs. 47– ) , específicamente listados en ( Kac 1994 , págs. 53–55 ) . Los diagramas afines se denotan como${\displaystyle X_{l}^{(1)},X_{l}^{(2)},}$o${\displaystyle X_{l}^{(3)},}$donde X es la letra del diagrama finito correspondiente, y el exponente depende de en qué serie de diagramas afines se encuentren. El primero de estos,${\displaystyle X_{l}^{(1)},}$son los más comunes, y se denominan diagramas de Dynkin extendidos y se denotan con una tilde , y a veces también se marcan con un superíndice + . ^{[ 17 ]} como en${\displaystyle {\tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}}$. Las series (2) y (3) se denominan diagramas afines retorcidos .

Consulte el generador de diagramas de Dynkin para ver los diagramas.

Aquí se muestran todos los grafos de Dynkin para grupos afines de hasta 10 nodos. Los grafos de Dynkin extendidos se presentan como familias ~ , al igual que los grafos finitos anteriores, con un nodo adicional. Otras variaciones de grafos dirigidos se indican con un superíndice (2) o (3), que representan plegamientos de grupos de orden superior. Estos se clasifican como diagramas afines retorcidos . ^{[ 18 ]}

Se ha enumerado el conjunto de grafos de Dynkin hiperbólicos compactos y no compactos. ^{[ 19 ]} Todos los grafos hiperbólicos de rango 3 son compactos. Existen diagramas de Dynkin hiperbólicos compactos hasta el rango 5, y grafos hiperbólicos no compactos hasta el rango 10.

• Diagrama de Satake
• Lista de índices de Tits irreductibles
• Klassifikation von Wurzelsystemen (Clasificación de sistemas de raíces) (en alemán)

• John Baez habla sobre la omnipresencia de los diagramas de Dynkin en matemáticas.
• Herramienta web para crear diagramas Dynkin con etiquetas de calidad profesional (escrita en JavaScript).