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estado Bell

En la ciencia de la información cuántica , los estados de Bell o pares EPR son estados cuánticos específicos de dos cúbits que representan los ejemplos más simples de entrelazam...

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En la ciencia de la información cuántica , los estados de Bell o pares EPR son estados cuánticos específicos de dos cúbits que representan los ejemplos más simples de entrelazamiento cuántico . [ 1 ] : 25 Los estados de Bell son una forma de vectores base entrelazados y normalizados . Esta normalización implica que la probabilidad general de que las partículas estén en uno de los estados mencionados es 1:⟨Φ|Φ⟩=1{\displaystyle \langle \Phi |\Phi \rangle =1}El entrelazamiento es un resultado de superposición independiente de la base . [ 2 ] Debido a esta superposición, la medición del cúbit lo " colapsará " en uno de sus estados base con una probabilidad dada. [ 1 ] Debido al entrelazamiento, la medición de un cúbit "colapsará" el otro cúbit a un estado cuya medición producirá uno de dos valores posibles, donde el valor depende del estado de Bell en el que se encuentren inicialmente los dos cúbits. Los estados de Bell se pueden generalizar a ciertos estados cuánticos de sistemas de múltiples cúbits, como el estado GHZ para tres o más subsistemas.

La comprensión de los estados de Bell es útil en el análisis de la comunicación cuántica, como la codificación superdensa y la teletransportación cuántica . [ 3 ] Estos mecanismos no pueden transmitir información más rápido que la velocidad de la luz, un resultado conocido como el teorema de no comunicación . [ 4 ] : 100

Estados Bell

Los estados de Bell son cuatro estados cuánticos específicos máximamente entrelazados de dos cúbits . Se encuentran en una superposición de 0 y 1 , una combinación lineal de ambos estados. Su entrelazamiento implica lo siguiente: 

El cúbit que posee Alice (subíndice "A") puede estar en una superposición de 0 y 1. Si Alice midiera su cúbit en la base estándar, el resultado sería 0 o 1, cada uno con una probabilidad de 1/2; si Bob (subíndice "B") también midiera su cúbit, el resultado sería el mismo que el de Alice. Por lo tanto, Alice y Bob aparentemente tendrían resultados aleatorios. Mediante la comunicación, descubrirían que, aunque sus resultados por separado parecían aleatorios, estaban perfectamente correlacionados.

Esta correlación perfecta a distancia es especial: tal vez las dos partículas "acordaron" de antemano, cuando se creó el par (antes de que se separaran los cúbits), qué resultado mostrarían en caso de una medición.

Por lo tanto, siguiendo a Albert Einstein , Boris Podolsky y Nathan Rosen en su famoso artículo de 1935 sobre el EPR , falta algo en la descripción del par de cúbits dada anteriormente , a saber, este "acuerdo", llamado más formalmente variable oculta . En su famoso artículo de 1964, John S. Bell demostró mediante argumentos sencillos de teoría de la probabilidad que estas correlaciones (la de la base 0, 1 y la de la base +, −) no pueden hacerse perfectas mediante el uso de ningún "preacuerdo" almacenado en algunas variables ocultas , pero que la mecánica cuántica predice correlaciones perfectas. En una formulación más refinada conocida como la desigualdad de Bell-CHSH , se demuestra que una determinada medida de correlación no puede exceder el valor 2 si se supone que la física respeta las restricciones de la teoría local de "variables ocultas" (una especie de formulación de sentido común de cómo se transmite la información), pero ciertos sistemas permitidos en la mecánica cuántica pueden alcanzar valores tan altos como    22{\displaystyle 2{\sqrt {2}}}Por lo tanto, la teoría cuántica viola la desigualdad de Bell y la idea de "variables ocultas" locales.

Base de campana

Cuatro estados específicos de dos cúbits con el valor máximo de22{\displaystyle 2{\sqrt {2}}}se designan como "estados de Bell". Se conocen como los cuatro estados de Bell de dos cúbits máximamente entrelazados y forman una base máximamente entrelazada, conocida como la base de Bell, del espacio de Hilbert de cuatro dimensiones para dos cúbits: [ 1 ]

|Φ+⟩=12(|0⟩A⊗|0⟩B+|1⟩A⊗|1⟩B)(1){\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}{\big )}\qquad (1)}
|Φ−⟩=12(|0⟩A⊗|0⟩B−|1⟩A⊗|1⟩B)(2){\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}{\big )}\qquad (2)}
|Ψ+⟩=12(|0⟩A⊗|1⟩B+|1⟩A⊗|0⟩B)(3){\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}{\big )}\qquad (3)}
|Ψ−⟩=12(|0⟩A⊗|1⟩B−|1⟩A⊗|0⟩B)(4){\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}{\big )}\qquad (4)}

Creación de estados de Bell mediante circuitos cuánticos

Circuito cuántico para crear un estado de Bell|Φ+⟩{\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }.

Aunque existen muchas maneras posibles de crear estados de Bell entrelazados mediante circuitos cuánticos , la más simple toma una base computacional como entrada y contiene una puerta Hadamard y una puerta CNOT (ver imagen). Como ejemplo, el circuito cuántico de la imagen toma la entrada de dos cúbits.|00⟩{\displaystyle |00\rangle }y lo transforma en el primer estado de Bell|Φ+⟩.{\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle .}Explícitamente, la puerta de Hadamard transforma|00⟩{\displaystyle |00\rangle }en una superposición de(|0⟩|0⟩+|1⟩|0⟩)2{\displaystyle (|0\rangle |0\rangle +|1\rangle |0\rangle ) \over {\sqrt {2}}}Esto actuará entonces como una entrada de control para la puerta CNOT, que solo invierte el objetivo (el segundo cúbit) cuando el control (el primer cúbit) es 1. Por lo tanto, la puerta CNOT transforma el segundo cúbit de la siguiente manera:(|00⟩+|11⟩)2=|Φ+⟩{\displaystyle {\frac {(|00\rangle +|11\rangle )}{\sqrt {2}}}=|\Phi ^{+}\rangle }.

Para las cuatro entradas básicas de dos cúbits,|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩{\displaystyle |00\rangle ,|01\rangle ,|10\rangle ,|11\rangle }El circuito genera los cuatro estados de Bell ( enumerados anteriormente ). De manera más general, el circuito transforma la entrada de acuerdo con la ecuación.

|β(incógnita,y)⟩=(|0,y⟩+(−1)incógnita|1,y¯⟩2),{\displaystyle |\beta (x,y)\rangle =\left({\frac {|0,y\rangle +(-1)^{x}|1,{\bar {y}}\rangle }{\sqrt {2}}}\right),}

dóndey¯{\displaystyle {\bar {y}}}es la negación dey{\displaystyle y}. [ 1 ]

Propiedades de los estados de Bell

El resultado de una medición de un solo cúbit en un estado de Bell es indeterminado, pero al medir el primer cúbit en la base z , se garantiza que el resultado de medir el segundo cúbit dará el mismo valor (para elΦ{\displaystyle \Phi }Bell afirma) o el valor opuesto (para elΨ{\displaystyle \Psi }Estados de Bell). Esto implica que los resultados de la medición están correlacionados. John Bell fue el primero en demostrar que las correlaciones de medición en el estado de Bell son más fuertes de lo que podría existir entre sistemas clásicos. Esto sugiere que la mecánica cuántica permite el procesamiento de información más allá de lo posible con la mecánica clásica. Además, los estados de Bell forman una base ortonormal y, por lo tanto, pueden definirse con una medición apropiada. Debido a que los estados de Bell son estados entrelazados, se puede conocer información sobre todo el sistema, mientras que se retiene información sobre los subsistemas individuales. Por ejemplo, el estado de Bell es un estado puro , pero el operador de densidad reducida del primer cúbit es un estado mixto . El estado mixto implica que no se conoce toda la información sobre este primer cúbit. [ 1 ] Los estados de Bell son simétricos o antisimétricos con respecto a los subsistemas. [ 2 ] Los estados de Bell están máximamente entrelazados en el sentido de que sus operadores de densidad reducida están máximamente mezclados; la generalización multipartita de los estados de Bell en este sentido se denomina estado absolutamente máximamente entrelazado (AME) .

Medición del estado de Bell

La medición de Bell es un concepto importante en la ciencia de la información cuántica : es una medición cuántico-mecánica conjunta de dos cúbits que determina en cuál de los cuatro estados de Bell se encuentran los dos cúbits.

Circuito cuántico que realiza la decodificación de Bell. Los estados de Bell a veces se denominan pares EPR. Nótese que el circuito que decodifica el estado de Bell es el adjunto del circuito que codifica, o crea, los estados de Bell (descrito anteriormente ).

Un ejemplo útil de medición cuántica en la base de Bell se observa en la computación cuántica. Si se aplica una puerta CNOT a los cúbits A y B, seguida de una puerta Hadamard al cúbit A, se puede realizar una medición en la base computacional. La puerta CNOT desenreda los dos cúbits previamente entrelazados, lo que permite convertir la información cuántica en una medición de información clásica.

La medición cuántica obedece a dos principios clave. El primero, el principio de medición diferida , establece que cualquier medición puede trasladarse al final del circuito. El segundo principio, el principio de medición implícita, establece que al final de un circuito cuántico, se puede asumir la medición para cualquier cable sin terminar. [ 1 ]

Las siguientes son aplicaciones de las mediciones de estado de Bell:

La medición del estado de Bell es el paso crucial en la teletransportación cuántica . El resultado de dicha medición es utilizado por el cómplice para reconstruir el estado original de una partícula teletransportada a partir de la mitad de un par entrelazado (el "canal cuántico") que previamente se compartía entre ambos extremos.

Los experimentos que utilizan las técnicas denominadas de "evolución lineal y medición local" no permiten realizar una medición completa del estado de Bell. La evolución lineal implica que el aparato de detección actúa sobre cada partícula independientemente del estado o la evolución de las demás, mientras que la medición local implica que cada partícula se localiza en un detector específico que registra un "clic" para indicar su detección. Estos dispositivos pueden construirse, por ejemplo, con espejos, divisores de haz y láminas de onda , y resultan atractivos desde el punto de vista experimental por su facilidad de uso y su amplia sección transversal de medición . 

Para el entrelazamiento en una única variable de cúbit, solo se pueden distinguir tres clases distintas de los cuatro estados de Bell mediante técnicas ópticas lineales. Esto significa que no se pueden distinguir dos estados de Bell entre sí, lo que limita la eficiencia de los protocolos de comunicación cuántica, como la teletransportación . Si se mide un estado de Bell perteneciente a esta clase ambigua, el evento de teletransportación falla.

El entrelazamiento de partículas en múltiples variables de cúbito, como (para sistemas fotónicos) la polarización y un subconjunto de dos elementos de estados de momento angular orbital , permite al experimentador rastrear una variable y lograr una medición completa del estado de Bell en la otra. [ 5 ] Aprovechar los llamados sistemas hiperentrelazados tiene, por lo tanto, una ventaja para la teletransportación. También tiene ventajas para otros protocolos, como la codificación superdensa , en la que el hiperentrelazamiento aumenta la capacidad del canal.

En general, para el hiperentrelazamiento ennorte{\displaystyle n}variables, uno puede distinguir entre como máximo2norte+1−1{\displaystyle 2^{n+1}-1}clases fuera de4norte{\displaystyle 4^{n}}Estados de Bell utilizando técnicas ópticas lineales. [ 6 ]

correlaciones de estados de Bell

Las mediciones independientes realizadas en dos cúbits que están entrelazados en estados de Bell presentan una anticorrelación perfecta si cada cúbit se mide en la base correspondiente. Para el|Φ+⟩{\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }estado, esto significa medir el primer cúbit en la baseb1{\displaystyle b_{1}}y el segundo cúbit en la baseb2=Z.incógnita.b1{\displaystyle b_{2}=ZXb_{1}}. Si un experimentador eligió medir ambos cúbits en un|Φ−⟩{\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle }Estado de Bell utilizando la misma base, los cúbits aparecerían correlacionados positivamente al medir en el{|0⟩,|1⟩}{\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}base, anticorrelacionada en el{|+⟩,|−⟩}{\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}base [ a ] ​​, y parcialmente (probabilísticamente) correlacionada en otras bases.

El|Ψ−⟩{\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle }Las correlaciones se pueden comprender midiendo ambos cúbits en la misma base y observando resultados perfectamente anticorrelacionados.|Ψ+⟩{\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle }se puede entender midiendo el primer cúbit en la baseb1{\displaystyle b_{1}}, el segundo cúbit en la baseb2=Z.b1{\displaystyle b_{2}=Z.b_{1}}y observando resultados perfectamente correlacionados con aiti.

Relación entre las bases correlacionadas de dos cúbits en el|Φ−⟩{\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle }estado.

Aplicaciones

Codificación superdensa

La codificación superdensa permite que dos individuos comuniquen dos bits de información clásica enviando un solo cúbit. Este fenómeno se basa en los estados entrelazados o estados de Bell de un sistema de dos cúbits. En este ejemplo, Alice y Bob se encuentran muy lejos el uno del otro y cada uno ha recibido un cúbit del estado entrelazado.

|ψ⟩=|00⟩+|11⟩2{\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}.

En este ejemplo, Alice está intentando comunicar dos bits de información clásica, una de las cuatro cadenas de dos bits:′00′,′01′,′10′,{\displaystyle '00','01','10',}o′11′{\displaystyle '11'}Si Alice elige enviar el mensaje de dos bits′01′{\displaystyle '01'}, ella realizaría elincógnita{\displaystyle X}puerta a su cúbit. De manera similar, si Alice quiere enviar′10′{\displaystyle '10'}, ella aplicaría el cambio de faseZ{\displaystyle Z}; si ella quería enviar′11′{\displaystyle '11'}, ella aplicaría eliY{\displaystyle iY}puerta a su cúbit; y finalmente, si Alice quería enviar el mensaje de dos bits′00′{\displaystyle '00'}, ella no haría nada con su cúbit. Alice realiza estas transformaciones de puerta cuántica localmente, transformando el estado entrelazado inicial.|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }en uno de los cuatro estados Bell.

Los pasos que se describen a continuación muestran las transformaciones de puertas cuánticas necesarias y los estados de Bell resultantes que Alice necesita aplicar a su cúbit para cada posible mensaje de dos bits que desee enviar a Bob.

00:I=[1001]⟶|ψ⟩=|00⟩+|11⟩2≡|Φ+⟩{\displaystyle 00:I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Phi ^{+}}\rangle }

01:incógnita=[0110]⟶|ψ⟩=|01⟩+|10⟩2≡|Ψ+⟩{\displaystyle 01:X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|01\rangle +|10\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Psi ^{+}}\rangle }

10:Z=[100−1]⟶|ψ⟩=|00⟩−|11⟩2≡|Φ−⟩{\displaystyle 10:Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle -|11\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Phi ^{-}}\rangle }

11:iY=Zincógnita=[01−10]⟶|ψ⟩=|01⟩−|10⟩2≡|Ψ−⟩{\displaystyle 11:iY=ZX={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|01\rangle -|10\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Psi ^{-}}\rangle }.

Después de que Alice aplica las transformaciones deseadas a su cúbit, se lo envía a Bob. Bob realiza entonces una medición sobre el estado de Bell, que proyecta el estado entrelazado sobre uno de los cuatro vectores base de dos cúbits, uno de los cuales coincidirá con el mensaje original de dos bits que Alice intentaba enviar.

teletransportación cuántica

La teletransportación cuántica es la transferencia de un estado cuántico a distancia. Se facilita mediante el entrelazamiento entre A, el emisor, y B, el receptor de este estado cuántico. Este proceso se ha convertido en un tema fundamental de investigación para la comunicación y la computación cuánticas. Más recientemente, los científicos han estado probando sus aplicaciones en la transferencia de información a través de fibras ópticas. [ 7 ] El proceso de teletransportación cuántica se define de la siguiente manera:

Alice y Bob comparten un par EPR y cada uno tomó un cúbit antes de separarse. Alice debe entregar un cúbit de información a Bob, pero desconoce el estado de este cúbit y solo puede enviarle información clásica.

Se realiza paso a paso de la siguiente manera:

  1. Alice envía sus cúbits a través de una puerta CNOT .
  2. A continuación, Alice envía el primer cúbit a través de una puerta de Hadamard .
  3. Alice mide sus cúbits, obteniendo uno de cuatro resultados, y envía esta información a Bob.
  4. A partir de las mediciones de Alice, Bob realiza una de cuatro operaciones en su mitad del par EPR y recupera el estado cuántico original. [ 1 ]

El siguiente circuito cuántico describe la teletransportación:

Circuito cuántico para teletransportar un cúbit.

Criptografía cuántica

La criptografía cuántica consiste en el uso de propiedades de la mecánica cuántica para codificar y enviar información de forma segura. La teoría subyacente se basa en la imposibilidad de medir el estado cuántico de un sistema sin alterarlo. Esto puede utilizarse para detectar intrusiones en un sistema.

La forma más común de criptografía cuántica es la distribución de claves cuánticas . Permite que dos partes generen una clave secreta aleatoria compartida que puede utilizarse para cifrar mensajes. Su clave privada se crea entre las dos partes a través de un canal público. [ 1 ]

La criptografía cuántica puede considerarse un estado de entrelazamiento entre dos sistemas multidimensionales, también conocido como entrelazamiento de dos qudits (dígitos cuánticos). [ 2 ]

Véase también

Notas

  1. ↑|Φ−⟩=12(|00⟩−|11⟩){\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle -|11\rangle )}=122((|+⟩A+|−⟩A)(|+⟩B+|−⟩B)−(|+⟩A−|−⟩A)(|+⟩B−|−⟩B)){\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|+\rangle _{A}+|-\rangle _{A})(|+\rangle _{B}+|-\rangle _{B})-(|+\rangle _{A}-|-\rangle _{A})(|+\rangle _{B}-|-\rangle _{B}))}=122(|++⟩+|+−⟩+|−+⟩+|−−⟩−|++⟩+|+−⟩+|−+⟩−|−−⟩){\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle +|--\rangle -|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle -|--\rangle )}=12(|+−⟩+|−+⟩){\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle +|-+\rangle )}

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2010). Computación cuántica e información cuántica (10.ª  ed.). Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-63503-5.
  2. 1 2 3 Sych, Denis (7 de enero de 2009). "Una base completa de estados de Bell generalizados" . New Journal of Physics . 11 (1) 013006. Bibcode : 2009NJPh...11a3006S . doi : 10.1088/1367-2630/11/1/013006 – vía IOP Science.
  3. ↑ Zaman, Fakhar; Jeong, Youngmin (2 de octubre de 2018). "Análisis contrafactual del estado de Bell" . Scientific Reports . 8 (1): 14641. Bibcode : 2018NatSR...814641Z . doi : 10.1038/ s41598-018-32928-8 . PMC 6168595. PMID 30279547 .  
  4. ↑ Peres, Asher; Terno, Daniel R. (2004-01-06). "Información cuántica y teoría de la relatividad" . Reviews of Modern Physics . 76 (1): 93– 123. arXiv : quant-ph/0212023 . Bibcode : 2004RvMP...76...93P . doi : 10.1103/RevModPhys.76.93 . ISSN 0034-6861 . S2CID 7481797 .  
  5. ↑ Kwiat, Weinfurter. "Análisis de estados de Bell integrados"
  6. ↑ Pisenti, Gaebler, Lynn. "Distinguibilidad de estados de Bell hiperentrelazados mediante evolución lineal y medición local"
  7. ↑ Huo, Meiru (19 de octubre de 2018). "Teletransportación cuántica determinista a través de canales de fibra" . Science Advances . 4 (10) eaas9401. Bibcode : 2018SciA....4.9401H . doi : 10.1126/sciadv.aas9401 . PMC 6195333. PMID 30345350 .